2014级高一新生入学考试数学试卷及答案

A BC2014级高一新生入学考试数学试卷（总分：120分，时间：120分钟）一、选择题 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)1．新华社3月5日报道，中国计划将2014年国防预算提高12%，达到约8082亿元人民币，将8082亿用科学计数法表示应为（ ）A 、80.82×1010B 、8.082×103C 、8.082×1011D 、0.8082×10122.下列计算中，正确的是（ ）A ．3a-2a=1B ．(x+3y)2=x 2+9y 2C ．(x 5 )2=x 7D ．(-3)-2=913．如图，已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°，则∠BAC 的大小是（ ）A ． 70°B ． 40°C ． 50°D ． 20°4．若不等式组 的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）A ． a>3B ． a ≥3C ． a < 3D ． a ≤ 35．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a b c c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06.某班分成甲、乙两组去距离学校4km 的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早20min 到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，设步行的速度为x km /h ，则x 满足的方程为（ ）A ．x 4－x 24=20 B ．x 24－x 4=20 C ．x 4－x 24=31 D ．x 24－x 4=317． 下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是 （ ）8．∵1sin 302=，1sin 2102=-，∴sin 210sin(18030)sin30=+=-；∵2sin 45=，⎪⎩⎪⎨⎧>->+-a x x x 54252Bsin 225=-，∴sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想、推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）A ．12-B． C．- D．9.如图。

在四边形纸片ABCD 中，∠A=130°，∠C=40°，现将其右下角向内折出⊿FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105° 10.如图，在⊿ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D 。

下列四个结论：①以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；②∠BOC=90°+21∠A ； ③EF 不能成为⊿ABC 的中位线；④设OD=m,AE+AF=n,则S ⊿AEF =mn. 其中正确的结论是：A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二. 填空题(本题有6个小题, 每小题4分, 共24分) 11．某小区20户家庭的日用水量（单位：吨）统计如下：则这20户家庭日用水量的众数、中位数分别是 ．12. 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC, AD ⊥BD 于D, F 为AC 中点，AB = 5, BC = 7, 则DF = 13. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为_____。

14．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，AB=AD=6，BC=9，以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 。

GF EDCB A O F E DC B A （第10题）AF D第14题（第9题）（第12题）（第13题）15. 对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+， 计算f （12014）+ f （12013）+ f （12012）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+f （3）+ … + f （2012）+ f （2013）+ f （2014）= .16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）．其中正确的结论有 （填序号） 三、简答题 (本题有7个小题, 共66分) 17. (本小题满分6分)请你先化简代数式a a a a a a a ÷--+++-22121222，再从0，3，-1中选择一个合适的a 的值代入求值。

18、（本小题满分8分）设a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为{a,b},对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n,我们就称此函数是闭区间{m,n}上的“闭函数”. （1）反比列函数2013y x=是闭区间{1,2013}上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y=kx+b(k ≠0)是闭区间{m,n}上的“闭函数”，求此函数的解析式：（第16题）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）某厂将A，B，C，D四种型号的空调的销售情况绘制成了图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）请补全图2的条形统计图；（2）为了应对激烈的市场竞争，该厂决定降价促销，A，B，C，D四种型号的空调分别降价30%，10%，10%，30%，因此该厂宣称其产品平均降价20%，你认为该厂的说法正确吗？请通过计算说明理由．（3）为进一步促销，该厂决定从这四种型号空调中任意选取两种型号空调降价销售，请用树状图或列表法求出降价空调中含D种型号空调的概率．21. （本小题满分10分）【问题】如图1、2是底面为1cm，母线长为2cm的圆柱体和圆锥体模型．现要用长为2πcm，宽为4cm的长方形彩纸（如图3）装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱和一个圆锥模型为一套，长方形彩纸共有122张，用这些纸最多能装饰多少套模型呢？【对话】老师：“长方形纸可以怎么裁剪呢？”学生甲：“可按图4方式裁剪出2张长方形．”学生乙：“可按图5方式裁剪出6个小圆．”学生丙：“可按图6方式裁剪出1个大圆和2个小圆．”老师：尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三位同学的裁剪方法！【解决】（1）计算：圆柱的侧面积是 cm2，圆锥的侧面积是 cm2．（2）1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰个圆锥模型；5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰个圆柱体模型．（3）求用122张彩纸最多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．N MM N NM题22图3 题22图422、（本小题12分）类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

⑴原题：如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD= 。

（试写出解答过程）⑵尝试探究：如图2，在⊙O中，M N是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，则CD= （试写出解答过程）。

⑶类比延伸：利用图3，再探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD ⊥MN于点D，∠AOC=90°时，则线段AB、CD、BD满足的数量关系为。

(4)拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（m，6），B（n，1）两点（其中0＜m＜3），且以y轴为对称轴，且∠AOB=90°，①求mn的值；②当S△AOB=10时，求抛物线的解析式。

23.（本小题满分14分）已知抛物线2213188y x mx m m =++-与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，与y 轴交于点C （0，b ），O 为原点. （1）求m 的取值范围； （2）若118m >且OA+OB=3OC ，求抛物线的解析式及A 、B 、C 的坐标. （3）在（2）的情形下，点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发以相同的速度沿AB 、OC 向B 、C 运动，联结PQ 与BC 交于M ，设AP=k ，问是否存在k ，使以P 、B 、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在，求所有的k 值，若不存在说明理由.2014级高一新生入学考试数学试题参考答案11、6吨，6.5吨 12、1 13、4514、9π 15、2014 16、③④⑤三、解答题（本大题共7小题，共66分）17．(本题6分) 解：原式=()()()()a a a a a a a ÷--++-+221112…………2分=111-+-a a …………3分 =12+-a …………4分把a=3代入，原式=21132-=+-…………6分 18、(本题8分) （1）是，2013y x=在1≤x ≤2003范围内y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝1时，y 最大＝2003；当x ＝2003时，y 最小＝1； ∴1≤y ≤2003 即2013y x=是闭区间{1,2013}上的闭函数………………………………3分 （2）当m ≤x ≤n ，知y=kx+b(k ≠0).ⅰ）当k>0, y 随x 的增大而增大，有mk+b ≤y ≤nk+b∴10m mk b k n nk b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩y=x 满足条件。

……………………………………………………………………5分 ⅱ）当k<0，y 随x 的增大而减小，有nk+b ≤y ≤mk+b ∴1m nk b k n mk b b m n =+=-⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩y=-x+m+n 满足条件. …………………………………………………………7分 综上所述：所求函数的解析式为：y=x 或y=-x+m+n ………………………………8分 19. (本题8分)解：延长CB 交PQ 于点D ．∵MN ∥PQ ，BC ⊥MN ，∴BC ⊥PQ ． ……………… （2分） ∵自动扶梯AB 的坡度为1：2.4，∴1254.21==AC BC ． ……………………………… （4分） 设BD=5k 米，AD=12k 米，则AB=13k 米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米． ………………………………………（6分） 在Rt △CHO 中，∠CHO=90°，∠CAD=42°， ∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米， ∴BC≈5.8米．答：二楼的层高BC 约为5.8米． ……………………………………… （8分）20. (本题8分) 解（1）………………………………2分…………4分…………8分21. (本题10分)解：（1）计算：圆柱的侧面积是 4π cm 2，圆锥的侧面积是 2π cm 2．（2分） （2）1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 2 个圆锥模型；5张长方形彩纸剪拼后最多能装 6 个圆柱体模型． ………………（4分） （3）设做x 套模型，则每套模型中做圆锥的需要2x 张纸，作圆柱需要65x 张纸， ∴1226x52≤+x ……………………………………………………（6分） 解得：2183≤x ， ………………………………………………………（8分）∵x 是6的倍数，取x=90，做90套模型后剩余长方形纸片的张数是122-（45+75）=2张，11 2张纸不够坐一套模型．∴最多能做90套模型． ………………………………………………（10分）22、（本小题满分12分）解：⑴原题：∵AB ⊥MN ，CD ⊥MN ，∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90°∵∠AOC=90° ∴∠DOC+∠AOB=90°∴∠BAO=∠DOC 又∵OA=OC ∴△AOB ≌△ODC （AAS ） ∴OD=AB=3，OB=CD=4，∴BD=OB+OD=7 ……………………………3分⑵尝试探究：∵AB ⊥MN ，CD ⊥MN ，∴∠ABE=∠CDE=90°∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE ∽△EDC ∴CD DE BE AB = ∵AB=3，BD=8，BE ：DE=1:3， ∴BE=2，DE=6 ∴CD 623= ∴CD=4 …………………………………6分 ⑶类比延伸：如图3（a ）CD=AB+BD ； 如图3（b ）AB=CD+BD ………8分说明：只要答出一种取可！ ⑷拓展迁移：①作BC x ⊥轴于C 点，AD x ⊥轴于D 点，A B ，点坐标分别为(6)(1)m n ，，，，∴16BC OC n OD m AD ==-==，，，， 又∵∠AOB=90°∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD∴CBO DOA △∽△， ∴166CB CO BO n mn DO DA OA m -==∴=∴=-，，。