动点产生的等腰三角形

中考问题之-因动点产生的等腰三角形

【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题. 这个动点可以在x 轴、y 轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度.

等腰三角形的题目范围较广，题型很多. 数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.

这部分考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右. 【策略分级细述】 1. 怎样设动点的坐标

（1）若动点在x 轴上，因为横坐标x 在变化，纵坐标y 没有变化，始终等于0，所以可设动点坐标为（x ，0）；

若动点在y 轴上，横坐标x 没有变化，始终等于0，纵坐标y 在变化，所以可设动点坐标为（0，y ）. （2）若动点在函数y ＝f (x )上，则横坐标设为x ，纵坐标设为f (x ). 例如，点A 在反比例函数 y ＝ 3x 的

图像上，设A （x ，y ），因为y ＝ 3x ，所以用 3x 来代替y ，这种情况一般就直接设A （x ，3

x ）；又如：点

B 在一次函数 y ＝2 x ─ 12 上，直接设B （x ，2 x ─ 1

2

）.

2. 等腰三角形要分类讨论

如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB = AC ；AB = BC ；BC = AC ，所以要分类进 行讨论.

3. 坐标系中三角形边长的表示

如图1-2，若三角形AOB 的三个顶点在平面直角坐标系中，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则AB 两点间的距离公式为：AB = (x 1─x 2)2＋(y 1─y 2)2 . 用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA =

x 12＋y 12 ，OB =

x 22＋y 22 . 然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可.

我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.

图 1-1

B

图1-3

图 1-2

)

(

例1. 如图1-3，在直角坐标系xOy 中，反比例函数 y = 8

x

图像上的点A 、B 的坐标分别为（2，m ）、（n ，

2），点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，求点C 的坐标. 分析：

1. 反比例函数y = 8

x

图像上的A 、B 点，满足这个解析式，所以把A 、B 点的坐标分别代入，求出这

两个点的坐标.

2. 如图1-4，点C 在x 轴上，所以设C （x ，0）.

3. 为了方便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB ，BC ，CA 的长度写出来.

4. 根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB = AC ；AB = BC ；BC = AC 进行讨论.

解：因为A （2，m ）、B （n ，2）在y ＝8x 上，所以m ＝82 ，2＝8

n ，解得：m ＝4,n ＝4，所以A （2，4）、

B （4，2）.

因为点C 在x 轴上，所以设C （x ，0），

则AB ＝(4─2)2＋(2─4)2 ＝22，AC ＝(x ─2)2＋42 ＝x 2─4x ＋20 ，BC ＝(x ─4)2＋22 ＝x 2─8x ＋20 . 若△ABC 为等腰三角形，分三种情况讨论：

① AB ＝AC ，即x 2─4x ＋20 ＝22，整理得x 2─4x ＋12＝0，因为△＜0，所以方程无实数根，这种情 况不存在.

② AB ＝BC ，即x 2─8x ＋20 ＝22，整理得x 2─8x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，所以C （2，0）（如 图1-4）；C （6，0）（因为A 、B 、C 三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去）.

③ BC ＝AC ，即x 2─4x ＋20 ＝x 2─8x ＋20 ，解得：x ＝0，所以C （0，0）（如图1-6）. 所以这样的点C 有两个，C （2，0）或（0，0）.

例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x 轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y 轴上的点构成的等腰三角形的问题.

图1-4

图1-5

图1-6

例2. 如图1-7，点A （m ，2）是正比例函数和反比例函数的交点， AB ⊥y 轴于点B ，OB = 2 AB .

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C 的坐标；

（3）在y 轴上是否存在一点D ，使△ACD 为等腰三角形，若存在，请求出 点D 的坐标，若不存在，请说明理由.

分析：

1.从点A （m ，2），AB ⊥y 轴可得：OB ＝2，因为OB ＝2AB ，所以AB ＝1，所以A （1，2）把A 点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得（1）.

2.一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个方程组得到的x ，y 就是它们的交点坐标. 但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C 点坐标.

3.因为点D 在y 轴上，设出D 点坐标，按照等腰三角形存在的三种情况：AC = AD ，AC = CD ，AD = CD ，进行分类讨论. 解：（1）因为AB ⊥y 轴于点B ，OB ＝2 AB ，点A （m ，2）所以OB ＝2，AB ＝1，所以A （1，2）， 因为A （1，2）在y ＝kx （k ≠ 0)上，所以k ＝2，所以y ＝2x . 又因为A （1，2）在y ＝k

x （k ≠ 0)上，所以k

＝2，所以y ＝2

x

.

（2）因为A （1，2），正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C （ ─ 1，─ 2 ）. （3）存在.

因为点D 在y 轴上，所以设D （0，y ），则AC ＝(1＋1)2＋(2＋2)2 ＝25，AD ＝12＋(y ─2)2 ， CD ＝(─1)2＋(y ＋2)2

若△ACD 为等腰三角形，分三种情况讨论：

① AC ＝AD ，即25＝12＋(y ─2)2 ，整理得y 2─4y ─15＝0，解得y ＝2±19，所以D （0，2＋19） 或（0，2─19）

② AC ＝CD ，即25＝(─1)2＋(y ＋2)2 ，整理得y 2＋4y ─15＝0，解得y ＝─2±19，所以D （0，─2 ＋19）或（0，─2─19）.

③ AD ＝CD ，即12＋(y ─2)2 ＝(─1)2＋(y ＋2)2 ，解得y ＝0，此时点D 与原点重合，舍去. 所以这样的点D 有四个，D （0，2＋19），（0，2─19），（0，─2 ＋19），（0，─2─19）. 这一道题的方法和例1一样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法.

1.1因动点产生的等腰三角形

图 1-7