图形复合变换的原理
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
图形复合变换的原理
图形复合变换的原理复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。
任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
复合变换具有形式：在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换。
相对任一参考点的二维几何变换相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：(1) 平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合。
(2) 针对原点进行二维几何变换。
(3) 反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。
例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下：相对任意方向的二维几何变换相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：(1) 旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。
(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；(3) 反向旋转。
例. 将正方形ABCO各点沿(0, 0)→(1, 1)方向进行拉伸，结果如图所示，写出其变换矩阵和变换过程。
解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有：坐标系之间的变换问题：x'o'y'坐标系是在xoy坐标系中定义的局部坐标系，已知x'o'y'坐标系中的点P，求P点在xoy坐标系中的坐标值。
图6-12 坐标系间的变换分析：假设在xoy坐标系中，有一点P*，使P*点的坐标与P点在x'oy'坐标系中的坐标一致，这样问题就转化为求P*点的坐标，由图中可以看出，将p 点与x'oy'坐标系一起通过变换使x'oy'坐标系与xoy坐标系重合，此时P点将变换到P*点，即P*点的坐标是P点变换后P'点的坐标。
图6-13 坐标系变换的变换原理故此坐标系间的变换可以分以下两步进行：(1)通过平移变换将x'o'y'坐标系的原点与xoy坐标系的原点重合。
图像缩小方法
（2.3.12）
21
⎡33 39 15 21⎤ ⎥ G=⎢ ⎢35 11 17 23⎥ ⎢ ⎣36 12 18 34⎥ ⎦
2 图像的比例放大变换
（2.3.13）
图像在缩小操作中， 是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。 而在图像的放大操 作中，则需要对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的像素值，这是信息的估计问题，所以 较图像的缩小要难一些。 由于图像相邻像素之间的相关性很强， 可以利用这个相关性来实现 图像的放大。与图像缩小相同，按比例放大不会引起图像的畸变，而不按比例放大则会产生 图像的畸变。图像放大一般采用最近邻域法、线性插值法、三次卷积法。 （1）最近邻域法 一般地，按比例将原图像放大 k 倍时，如果按照最近邻域法，则需要将一个像素值添在 新图像的 k × k 的子块中。式（2.3.14）为图像 F 的矩阵，该图像放大 3 倍得到图像 G 的矩 阵用式（2.3.15）表示。图 2.3.3 为放大 5 倍的示意图。显然，如果放大倍数太大，按照这种 方法处理会出现马赛克效应。
⎧ 1 − 2x2 + x 3 0 ≤ x ≤1 ⎪ 3 ⎪ ω ( x) = ⎨4 − 8 x + 5 x 2 − x 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ 0 2≤ x ⎪ ⎩
三次多项式 ω ( x) 近似表示灰度内插时周围像元的灰度值对内插点灰度值的贡献大小。 可先在某一方向上内插， 如先在 X 方向上， 每 4 个值依次内插 4 次， 求出 f ( x, j − 1) ，f ( x, j ) ，
⎡ f11 ⎢f F = ⎢ 21 ⎢ f 31 ⎢ ⎣ f 41
f 12 f 22 f 32 f 42
f 13 f 23 f 33 f 43
f 14 f 24 f 34 f 44
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
对称性的组合变换
对称性的组合变换对称性是一种根深蒂固的美学概念，具有深刻的哲学内涵。
在现代科学的发展中，对称性早已不再是一个纯粹的美学问题，而是成为了物理学、化学等领域中不可或缺的基础原理之一。
本文将探讨对称性的组合变换及其在组合学、几何学等各个领域中的应用。
一、组合变换在数学中，对称性通常可以通过变换来实现。
其中的一类变换是组合变换，它是通过多个单一变换依次执行的一种复合变换。
比如，平面上的一次组合变换可以由平移、旋转和镜像等基本变换依次构成。
平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，可以看作是一种由向量构成的变换。
旋转是指将一个图形沿着一个点进行旋转，同样可以看作是一种由向量构成的变换。
镜像则是将一个图形沿着一条直线或平面进行反射，也可以看作是一种由向量构成的变换。
这三种基本变换的组合可以产生各种不同的变换，比如平移与旋转的组合，称为一次旋转平移变换。
在平面上，我们可以通过组合变换来制作各种对称图形，如正多边形、星形图案等等。
对于一些更为复杂的图形，组合变换同样具有重要的作用。
在组合变换中，不仅包含了基本的平移、旋转、镜像等变换，还涉及到许多其他的复杂变换，比如拉伸变换、剪切变换等等。
二、对称组合排列对称组合排列是对称性的一种经典应用。
在其基本定义中，对称组合排列是指由一组对称变换组成的排列，通过多次执行这些变换，可以得到一系列不同的排列。
对称组合排列可以由一个或多个对称点、对称轴或对称面组成，这些对称元素可以被视为排列的对称中心。
通过对称组合排列，我们可以很容易地构造出许多美丽复杂的图形。
比如，一个六边形可以围绕着某个对称轴执行旋转变换，可以得到一个六叶花的形状。
又比如，在正方形的四个角上各取一点，然后将它们通过组合变换连接起来，可以得到一个正八面体的形状。
对称组合排列在组合学、几何学等领域中都是重要的研究领域。
组合学和几何学中的许多问题都可以通过对称性的分析和计算来解决。
三、对称性在几何学中的应用对称性在几何学中有着广泛的应用。
二维图形变换
)
r
cos
sin
＋r
sin
cos
将式（5-11）代入式（5-12）得：
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
cos
矩阵形式
x
y x
y
cos sin
sin
cos
（5-12） （5-13） （5-14）
5.2.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
图形变换
大多数几何变换（如平移、旋转和变比）是保 持拓扑不变的，不改变图形的连接关系和平行 关系
对于线框图形，通常是以点变换为基础，把图 形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点 序列即可产生新的变换后的图形。
对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方 程几何变换，实现对图形的变换（基于效率的 考虑）。
几何 关系
x' y
y'
x
y
o
x
对称变换（3）
y
y=x
x o
对称变换（4）
（5）相对于直线y=-x对称
y=-x
几何关系
x' y
y'
x
y
o
x
对称变换（5）
错切变换（shear）
错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换， 得到点的过程 。
y
y
y
O
x
O
x
O
x
（a）正方形
（b）沿+x方向错切
（c）沿-x方向错切
图形变换
图形变换
图形变换是计算机图形学基础内容之一。 内容： 几何变换； 视图变换； 投影变换。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
中考数学图形的旋转与对称
中考数学图形的旋转与对称在中考数学中，图形的旋转和对称是一个重要的考点。
本文将介绍图形的旋转和对称的概念、性质以及解题技巧，帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。
一、图形的旋转图形的旋转是指围绕某个点旋转一定角度后所得到的新图形。
在中考数学中，常见的图形旋转有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指图形围绕某个点按照顺时针方向旋转一定角度。
旋转后，原来图形上的点和线段相对位置发生改变，但是图形的大小和形状不变。
2. 逆时针旋转逆时针旋转与顺时针旋转相对，是指图形围绕某个点按照逆时针方向旋转一定角度。
同样，旋转后图形的大小和形状不变。
图形的旋转可以通过几何划线法和坐标变换法进行求解。
特别是坐标变换法，可以通过将原图形的坐标点进行变换计算，得到旋转后图形的坐标点，从而绘制出旋转后的图形。
二、图形的对称图形的对称是指图形按照某个轴或某个点进行对称，得到的新图形和原图形完全一致。
根据对称的方式，图形的对称可以分为轴对称和点对称。
1. 轴对称轴对称是指图形按照某条直线进行对称，对称后的图形与原图形重合。
对称轴是使得对称前后对应点在同一条直线上的直线。
2. 点对称点对称是指图形按照某个点进行对称，对称后的图形与原图形完全一致。
对称中心是使得对称前后对应点在同一直线上的点。
图形的对称可以通过几何划线法和坐标变换法进行求解。
对称轴可以通过观察图形特点或者通过求交点的方法来确定。
点对称也可以通过观察图形特点或者通过坐标变换法来求解。
三、图形旋转与对称的性质1. 旋转与对称的复合变换图形的旋转和对称可以进行复合变换，即先进行旋转变换，再进行对称变换，或者先进行对称变换，再进行旋转变换。
复合变换后，图形的大小和形状保持不变。
2. 旋转与对称的性质运用图形的旋转和对称性质经常在中考数学的几何题中应用。
特别是在计算图形的面积、周长、角度等问题时，通过旋转和对称可以简化计算过程，提高解题效率。
四、例题解析1. 已知一个三角形ABC，将其绕点A顺时针旋转120度，再绕点B逆时针旋转90度，得到一个新的三角形A'B'C'。
图形变换（转）
图形变换（转）主要内容：图形处理是CAD/CAM中的关键技术，包括图形⽣成、编辑和图形变换。
计算机图形学计算机图形学的概念计算机图形学的研究内容图形变换点的变换⼆维图形的变换⼆维图形的齐次变换⼆维图形的基本变换复合变换三维图形的齐次变换三维图形的基本变换复合变换1、什么是计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是近30年来发展迅速、应⽤⼴泛的新兴学科，是计算机科学最活跃的分⽀之⼀。
计算机图形学是研究在计算机中如何表⽰图形，以及利⽤计算机进⾏图形的计算、处理和显⽰的相关原理与算法的⼀门学科。
随着计算机技术的发展，计算机图形学在CAD/CAM等计算机应⽤领域中占有越来越重要的地位。
计算机图形学的研究内容是⼗分丰富的。
虽然许多研究⼯作已经进⾏了多年，取得了不少成果，但随着计算机技术的进步和图形显⽰技术应⽤领域的扩⼤和深⼊，计算机图形学的研究、开发与应⽤还将得到进⼀步的发展。
2、图形变换的概念根据需要将已定义的图形从屏幕的某⼀位置移动到另⼀位置，或改变图形的⼤⼩和形状或利⽤已有的图形⽣成复杂的图形，这种图形处理的⽅法称为图形的⼏何变换，简称图形变换。
图形变换是计算机图形学的核⼼基础，通过图形变换，能够很⽅便地由简单图形派⽣出所需要的图形。
图形变换主要包括⼆维图形和三维图形的⼏何变换，投影变换等。
图形变换通常采⽤矩阵变换的⽅法，图形变换不同，其变换矩阵也不同，本节将重点介绍图形变换的矩阵⽅法及图形变换的程序设计。
2.1 点的变换在计算机绘图中，常常要进⾏诸如⽐例、对称、旋转、平移、投影等各种变换，图形可以⽤点集来表⽰，也就是点集定了，图形也就确定了。
如果点的位置变了，图形也就随之改变。
因此，要对图形进⾏变换，只要变换点就可以了。
由于点集可以⽤矩阵的⽅法来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即旧点（集）×变换矩阵矩阵运算新点（集）。
2.2 ⼆维图形变换⼆维图形变换主要包括⽐例，对称、错切、旋转、平移等。
图像缩小方法
⎡ f 11 ⎢f F = ⎢ 21 ⎢ f 31 ⎢ ⎣ f 41
f12 f 22 f 32 f 42
f13 f 23 f 33 f 43
f14 f 24 f 34 f 44
f15 f 25 f 35 f 45
f 16 ⎤ f 26 ⎥ ⎥ f 36 ⎥ ⎥ f 46 ⎦
（2.3.8）
大小为 4×6，将其进行缩小，缩小的倍数为缩小的倍数 k1 = 0.7， k1 = 0.6 则缩小图像 的大小为 3×4。由式（2.3.3）计算得 Δi = 1 / k1 = 1.4， Δj = 1 / k 2 = 1.7。由式（2.3.7）可以 将图像 F 分块为：
⎡ 31 ⎢32 F=⎢ ⎢33 ⎢ ⎣34
35 36 37 38
39 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21⎤ 22⎥ ⎥ 23⎥ ⎥ 24⎦
（2.3.11）
按照上例缩小的比例，采用等间隔采样和采用局部均值采样得到缩小的图像分别为：
⎡35 39 17 21⎤ ⎥ G=⎢ ⎢37 11 19 23⎥ ⎢ ⎣38 12 20 24⎥ ⎦
⎧ 1 − 2x2 + x 3 0 ≤ x ≤1 ⎪ 3 ⎪ ω ( x) = ⎨4 − 8 x + 5 x 2 − x 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ 0 2≤ x ⎪ ⎩
三次多项式 ω ( x) 近似表示灰度内插时周围像元的灰度值对内插点灰度值的贡献大小。 可先在某一方向上内插， 如先在 X 方向上， 每 4 个值依次内插 4 次， 求出 f ( x, j − 1) ，f ( x, j ) ，
k l
（2.3.17）
式中， ( xk , yl ) 表示 ( x, y ) 周围的格网点，ω ( t ) 为内插函数。最理想的采样内插函数为辛克 sinc 函数，但使用不方便，计算时间也长，实践中常用多项式逼近该函数，如图 2.3.5 所示。
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
几何变换的组合与复合
几何变换的组合与复合几何变换是计算机图形学中的重要概念，它指的是对图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变其位置、大小和形状。
而几何变换的组合与复合则是指多个几何变换按一定顺序进行组合或复合操作，从而得到新的图形。
一、平移变换平移变换是指将图形在平面上沿着指定的方向进行移动，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，沿着指定的向量t(i, j) 进行平移，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = x + i， y' = y + j。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕指定点进行旋转的操作，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，绕着指定的点O旋转θ度，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = (x - ox) * cosθ - (y - oy) * sinθ + ox，y' = (x - ox) * sinθ + (y - oy) * cosθ + oy。
旋转变换会改变图形的方向、形状和位置。
三、缩放变换缩放变换是指将图形沿着指定的轴进行放大或缩小的操作，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，沿着指定的轴缩放，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = x * s，y' = y * s。
缩放变换会改变图形的大小，但不会改变其形状和方向。
四、反射变换反射变换是指将图形关于某一直线进行对称的操作，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，关于指定的直线L进行对称，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = x - 2 * (x * n + y * m + d) * n，y' = y - 2 * (x * n + y * m + d) * m。
中考数学旋转知识点总结
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
八年级上册数学知识点汇总
八年级上册数学知识点汇总一、代数与函数1. 代数运算：加减乘除、加法交换律、结合律、分配律、简单的整式求值。
2. 解一元一次方程：原理是等式两边同时做相同的运算，消去未知数的系数和常数项，求得未知数的值。
3. 一次函数：y = kx + b 的标准式，斜率是 k，截距是 b。
4. 平面直角坐标系：确定点的位置，解决几何问题。
5. 平移、相似、对称、旋转等基本变换。
二、图形的初步认识1. 图形的基本概念：点、线、面等基本元素。
2. 基本图形的性质：三角形、四边形、圆等基本图形的内角和、面积、周长等性质。
3. 图形的相似：形状相同，大小不同；相似三角形的性质。
三、三角形的性质和计算1. 三角形的分类：按角度分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边长分为等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
2. 三角形重心、垂心、外心和内心：位置和计算公式。
3. 三角形的面积公式：海伦公式、正弦公式、余弦公式和面积公式。
四、列方程解几何问题1. 利用方程解几何问题：列方程、解方程，求出未知数。
2. 分析几何问题：确定已知量和未知量，列方程求解。
五、形状的运动1. 平移、相似、对称、旋转等基本变换。
2. 图形的运动：平移、相似、对称、旋转变换的概念和性质。
3. 图形的复合变换：多个变换连续作用的情况。
六、数学中的单位换算1. 长度单位的换算：米、厘米、毫米等常用单位的换算。
2. 面积单位的换算：平方米、平方厘米、平方毫米等常用单位的换算。
3. 容积单位的换算：立方米、立方厘米等常用单位的换算。
4. 质量、时间和速度单位的换算。
七、简单的概率统计1. 事件、样本空间和概率：事件发生的可能性，概率的定义和计算方法。
2. 相关概念：随机事件、独立事件、互不影响事件等相关概念。
3. 统计图表的制作和读取：折线图、条形图、饼图等常见图表的制作和读取方法。
以上是八年级上册数学知识点的汇总，这些知识点是数学学习中的基础，各位同学需要熟练掌握，才能更好地应对数学考试，完成数学作业。
平移变换的复合与逆变换
平移变换的复合与逆变换平移变换是计算机图形学中常用的一种基本变换，它能够将图形在平面上沿着指定的方向移动一定的距离。
在平移变换中，我们可以通过复合多个平移变换来实现更加复杂的移动效果，同时也可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置。
本文将探讨平移变换的复合与逆变换的原理和实践。
一、平移变换的复合平移变换的复合指的是将多个平移变换依次进行，从而实现一次性的复杂平移效果。
假设已知图形需要先沿着x轴正方向平移a个单位，再沿着y轴正方向平移b个单位，则我们可以将这两个平移变换进行复合，得到一个新的平移变换矩阵。
设T1为沿x轴平移a个单位的变换矩阵，T2为沿y轴平移b个单位的变换矩阵，则T1和T2的复合矩阵为T=T2*T1。
其中，*表示矩阵相乘的运算符。
通过复合矩阵T，我们可以将平移效果合并为一次平移变换，从而减少了计算的复杂度和代码的冗余性。
二、平移变换的逆变换平移变换的逆变换指的是将已经发生过平移的图形恢复到原来的位置。
使用逆变换可以在保留图形形状的同时，还原其位置信息。
在平移变换中，逆变换可以通过将平移向量取相反数来实现。
设已知一个图形沿着x轴正方向平移a个单位，再沿着y轴正方向平移b个单位，我们可以通过逆向平移将其恢复至原来的位置。
首先，将平移距离向量取相反数，即得到(-a,-b)。
然后，将图形顶点的坐标分别加上向量(-a,-b)，即可将图形恢复至原来的位置。
三、平移变换的应用示例下面通过一个具体的应用示例，详细介绍平移变换的复合和逆变换。
假设我们有一个矩形图形ABCD，其中A点的坐标为(0,0)，B点的坐标为(2,0)，C点的坐标为(2,1)，D点的坐标为(0,1)。
现在我们需要将该矩形图形先沿着x轴正方向平移3个单位，再沿着y轴正方向平移2个单位。
首先，我们计算出平移变换矩阵T1和T2。
由于沿x轴平移3个单位的矩阵为：T1 = [1 0 3][0 1 0][0 0 1]沿y轴平移2个单位的矩阵为：T2 = [1 0 0][0 1 2][0 0 1]计算复合矩阵T=T2*T1，得到：T = [1 0 3][0 1 2][0 0 1]接下来，我们将矩形图形的坐标点与变换矩阵T相乘，得到新的坐标点。
形的变换与组合进行形的旋转翻转和组合操作
形的变换与组合进行形的旋转翻转和组合操作形的变换与组合：进行形的旋转、翻转和组合操作形的变换与组合是几何学中重要的概念，它涉及到对物体的旋转、翻转以及组合等操作。
通过这些操作，我们可以改变物体的外观和位置，从而使之更加多样化和适应不同的需求。
本文将详细探讨形的旋转、翻转和组合操作的原理和应用。
一、形的旋转形的旋转是指将一个物体绕着中心轴旋转一定角度，从而改变物体的位置和方向。
在二维几何中，我们可以通过一些简单的方法来进行形的旋转操作。
1. 点的旋转当我们要对一个点进行旋转时，我们可以以某点为中心，按照一定角度将该点绕中心点旋转，然后确定旋转后的新位置。
2. 图形的旋转对于一个图形，我们可以选择一个点作为旋转中心，然后以旋转中心为轴，按照一定角度将整个图形旋转。
通过旋转，图形的位置和方向都会发生变化，但其形状和大小保持不变。
二、形的翻转形的翻转是指将一个物体按照一定轴线进行对称翻转，从而改变物体的位置和方向。
在二维几何中，我们通常有以下两种常见的翻转方式。
1. 水平翻转当我们将一个物体按照水平轴线进行翻转时，物体上方的部分将会变成下方，下方的部分将会变成上方。
这种翻转会改变物体的左右位置关系。
2. 垂直翻转当我们将一个物体按照垂直轴线进行翻转时，物体左侧的部分将会变成右侧，右侧的部分将会变成左侧。
这种翻转会改变物体的上下位置关系。
三、形的组合形的组合是指将两个或多个图形进行连接或重叠，从而形成一个新的形状。
在几何学中，我们经常使用组合来创建更复杂的形状，并且可以通过组合操作来改变形状的大小、方向和位置。
1. 图形的连接当我们将两个图形的边缘或顶点相连接时，它们将形成一个整体，我们可以将其视为一个新的图形。
通过连接，我们可以创建出更长、更大的图形，进而拓展原有图形的形状和结构。
2. 图形的重叠当我们将两个图形放置在同一平面上时，它们可能会相互重叠。
通过重叠，我们可以改变图形的外观和位置，从而创建出更加丰富多彩的图形。
第七章 图形变换
窗口和视区两者关系
窗口和视区可以是多个 不一定非要矩形，但通常是矩形区域 若要指定一个窗口或视区，只要给出矩形两顶点 的坐标值 观察变换（窗口-视区的坐标变换 窗视变换） 视区的坐标变换， 观察变换（窗口 视区的坐标变换，窗视变换） 窗口（WC）和视区（DC）分别处在不同的坐 标系内，所用的长度单位及大小、位置等均不同 将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过 将窗口到视区的坐标变换处理（视见变换）（观察 变换：世界坐标系=>设备坐标系）
本章基本内容
图形变换的数学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.1 图形变换的数学基础
点可以用位置向量（矢量 矢量）表示 矢量 二维空间点的坐标可以用行向量[X，Y]或 列向量[X，Y]T 表示 三维空间点的坐标可以用行向量[X，Y，Z] 或列向量表示 用具有一定关系的点的集合（点集 点集）来表示一 点集 个平面图形学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.2 窗口视图变换
• 世界坐标系 世界坐标系(WC : World Coordinates) • 设备坐标系 • 规格化设备坐标系
1、世界坐标系(WC : World Coordinates) 、世界坐标系
用户定义的图形从窗口到视区的输出过程
从应用程序得到的图形的世界坐标 ↓WC 对窗口进行裁减 ↓NDC 窗口到视区的规格化变换 ↓DC 视区从规格化坐标系到设备坐标系的变换 ↓ 在图形设备上输出图形
从应用 程序得 到图形 的用户 坐标
对窗口区 进行裁剪
窗口区到 视图区的 规格化变换
视图区从规 格化坐标系 到设备坐标 系的变换
1 i i 0 1
视区 viewport
数学平移与旋转的复合变换教案
数学平移与旋转的复合变换教案引言：数学中的平移和旋转是非常基础且重要的概念，它们在几何学、代数学以及计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本教案将介绍数学平移与旋转的复合变换，通过实际例子和练习，帮助学生深入理解和掌握这一内容。
一、平移变换的概念及性质1. 平移变换的定义：平移变换是指将图形按照指定的方向和距离进行移动的变换。
2. 平移变换的表示：平移变换可以用向量表示，平移矢量就是移动的方向和距离。
3. 平移变换的性质：平移变换保持图形的大小、形状和方向不变，只改变图形的位置。
二、旋转变换的概念及性质1. 旋转变换的定义：旋转变换是指将图形按照指定的中心和角度进行旋转的变换。
2. 旋转变换的表示：旋转变换可以用旋转矩阵表示，旋转矩阵由旋转角度确定。
3. 旋转变换的性质：旋转变换保持图形的大小和形状不变，只改变图形的方向和位置。
三、平移与旋转的复合变换1. 复合变换的定义：复合变换是指将多个变换按照一定的顺序进行组合的变换。
2. 平移与旋转的复合变换：将平移变换和旋转变换按照一定的顺序进行复合，可以得到新的变换。
3. 复合变换的性质：复合变换满足结合律，即无论变换的顺序如何，最后得到的结果是相同的。
四、实例演示与练习1. 实例演示：通过实际的图形示例，展示平移与旋转的复合变换的效果和性质。
2. 练习题：提供一些练习题，要求学生根据给定的平移和旋转变换，计算复合变换的结果。
五、应用领域及拓展1. 应用领域：介绍平移与旋转的复合变换在几何学、代数学和计算机图形学等领域的应用。
2. 拓展知识：引导学生进一步思考和探索复合变换在其他数学领域的应用，并提供相关的拓展资料和学习资源。
结语：通过本教案的学习，学生将深入了解平移与旋转的复合变换的基本概念、定义和性质。
同时，在实例演示和练习中，学生将能够运用所学知识解决问题，并拓展应用到其他领域。
希望本教案能够帮助学生更好地理解和掌握数学平移与旋转的复合变换，为他们今后的学习打下坚实的基础。
图像叠加的工作原理是
图像叠加的工作原理是图像叠加是一种图像处理技术，通过将多个图像相互叠加显示，从而实现图像的合成和融合。
在计算机图形学、计算机视觉和图像处理领域有着广泛的应用，例如合成虚拟现实场景、照片融合、图像增强等。
图像叠加的工作原理包括以下几个方面。
首先，图像叠加需要将参与合成的图像转换为相同的坐标空间。
一般来说，图像叠加是在屏幕上进行显示的，因此需要将待合成的图像转换为屏幕坐标空间。
这可以通过图像变换方法，如仿射变换或透视变换，将图像的像素坐标映射到屏幕坐标系中。
其次，图像叠加需要考虑图像的透明度。
透明度是指图像中每个像素的不透明度程度，取值范围一般为0到255。
当透明度为0时，表示完全透明，该像素不会对最终合成图像产生影响；当透明度为255时，表示完全不透明，该像素的颜色将完全显示在最终合成图像中。
对于中间值的透明度，图像叠加需要对不同透明度的像素进行加权叠加，以确保最终合成图像显示出合理的透明效果。
常用的加权方法有线性叠加、平均叠加等。
透明度信息可以从图像的alpha通道中获取，也可以通过算法计算得到。
然后，图像叠加需要考虑不同图像之间的混合模式。
混合模式决定了叠加时不同像素的混合规则。
常见的混合模式包括叠加（Overlay）、正片叠底（Multiply）、滤色（Screen）等。
叠加模式通过调整像素的亮度和对比度来混合图像；正片叠底模式通过像素的乘法运算来混合图像；滤色模式通过像素的加法运算和取反运算来混合图像。
不同的混合模式将产生不同的合成效果，可以根据实际需求选择合适的混合模式。
最后，图像叠加需要考虑图像的边界处理。
当叠加的图像尺寸与合成图像尺寸不一致时，需要进行边界处理，以确保叠加图像的边界与合成图像的边界相协调。
一般来说，边界处理可分为拉伸填充和剪切填充两种方法。
拉伸填充将叠加图像按照比例进行拉伸，使其尺寸与合成图像相同；剪切填充将叠加图像按照比例进行剪切，使其尺寸与合成图像相同。
边界处理方法的选择取决于实际需求和应用场景。
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图形复合变换的原理
复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。
任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
复合变换具有形式：
在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换。
相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：
(1) 平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合。
(2) 针对原点进行二维几何变换。
(3) 反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。
例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换
相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下：
相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：
(1) 旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。
(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；
(3) 反向旋转。
例. 将正方形ABCO各点沿(0, 0)→(1, 1)方向进行拉伸，结果如图所示，写出其变换矩阵和变换过程。
解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有：
坐标系之间的变换
问题：x'o'y'坐标系是在xoy坐标系中定义的局部坐标系，已知x'o'y'坐标系中的点P，求P点在xoy坐标系中的坐标值。
图6-12 坐标系间的变换
分析：假设在xoy坐标系中，有一点P*，使P*点的坐标与P点在x'oy'坐标系中的坐标一致，这样问题就转化为求P*点的坐标，由图中可以看出，将p 点与x'oy'坐标系一起通过变换使x'oy'坐标系与xoy坐标系重合，此时P点将变换到P*点，即P*点的坐标是P点变换后P'点的坐标。
图6-13 坐标系变换的变换原理
故此坐标系间的变换可以分以下两步进行：
(1)通过平移变换将x'o'y'坐标系的原点与xoy坐标系的原点重合。
(2)通过旋转变换使x'轴与x轴重合。
图6-14 坐标系变换的过程
于是有：
光栅变换
直接对帧缓存中像素点进行操作的变换称为光栅变换。
1. 光栅平移变换
光栅平移变换的过程：通过像素块的移动来完成，即首先从光栅帧缓存中读出指定的像素块的内容，然后将像素块的内容复制到另一光栅区域，随后擦除原光栅区域中的像素块内容。
读出像素块的内容复制像素块的内容擦除原像素块的内容
图6-15 光栅平移变换
2. 90°、180°和270°的光栅旋转变换
利用像素块的移动还可容易地完成90°、180°和270°的光栅旋转变换，如下图所示。
逆时针旋转90°逆时针旋转180°
图6-16 光栅旋转变换
3.任意角度的光栅旋转变换
如下图所示，像素点A的亮度由其在旋转像素阵列中区域1，2和3上
的覆盖量来决定，即将区域1，2和3的亮度加权平均可以求得像素A的亮度值，其中权值就是区域A在区域1，2，3上的覆盖量。
图6-17 任意角度的光栅旋转变换
4. 光栅比例变换
根据Sx和Sy的大小取出原图中的相应像素区域，对应变换后图像中的一个像素点，将原图中的相应像素区域的像素点的亮度值进行加权平均即可得到变换后像素点的亮度值，其中权值为原图中的相应像素区域在像素点上的覆盖量，如下图所示。
图6-18 光栅比例变换
变换的性质
二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：
仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性。
平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。
二维几何变换具有如下一些性质：
(1)直线的中点不变性；
(2)平行直线不变性；
(3)相交不变性；
(4)仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；
(5)比例变化可改变图形的大小和形状；
(6)错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。