经济数学课件 2-2函数的极限
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函数极限的基本性质PPT课件
又
lim
n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
0 xn x0 .
从而有 f (xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
第14页/共23页
假设 lim f ( x) A不成立，
x x0
则必 0
0,
对n
N*,
存在满足0
|
x
x0
|
1 n
的点xn，使得| f ( xn ) A | 0 0.
第6页/共23页
证明： 0,
1 0,当0 | x x0 | 1时, A g( x) A ; 2 0,当0 | x x0 | 2时, A h( x) A ;
取 min(1,2 ), 当0 | x x0 | 时 A g( x) f ( x) h( x) A ;
都有 f ( x1 ) f ( x2 ) .
证明： lim f (x) A, 0, 0, x x0 当0 x x0 时,| f ( x) A | 2 .
特别：取0 | xi x0 | , i 1,2 则
f ( x1 )
f (x2 )
f ( x1 ) A
f
(
x2
2( x)2
x2 ,
2
22
lim x 2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
limcos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
第8页/共23页
二、极限的四则运算性质
定理4.1（函数极限四则运算性质）
设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
高等数学 函数的极限课件
无穷小的运算性质
加法性质
两个无穷小的和仍然是无穷小 。
乘法性质
两个无穷小的乘积仍然是无穷 小。
幂运算性质
无穷小的幂仍然是无穷小，但 需要注意其阶数变化。
复合函数的无穷小
复合函数的无穷小可以通过链 式法则进行计算。
THANKS
感谢观看
函数极限的运算性质
和差运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)+g(x)]=A+B$。
乘积运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
利用函数极限求某些函数的值
求定积分
通过计算被积函数的上下限在积分区 间的极限，可以求得定积分的值。
求数列的通项公式
通过求解数列的递推公式的极限，可 以求得数列的通项公式。
利用函数极限研究函数的性质
函数的连续性
通过计算函数在某点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
函数的可导性
通过计算函数的导数在某点的极限，可以判断函数在该点是否可导。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B 。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) × g(x)] = A × B 。
函数极限的直观定义
如果当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的取值逐渐 接近某个确定的数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在 $xto x_0$时的极限。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
2.2函数的极限
0 | x x0 | 的x, 对 应 的 函 数 值 满
0.0001 0.000000010
足 | f (x) A | ，那 么 称 当x x0
时 ，f
(x)以A为 极 限. 记 为lim xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
例1： 证 明lim(3x 2) 4 x2
证 明 ： 0, 要 使 | (3x 2) 4 || 3x 6 | 3 | x 2 |
来 找M.
注：2. 定 义 中 刻 画 了f (x)与A的 接 近 程 度 ，M刻 画
了x充 分 大 的 程 度 。
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证 0, 取 M 1 , 则 当x M时 恒 有
sin x 0 1 1 ,
x
xx
故 lim sin x 0. x x
| f (x) A |
则 称 当x 趋 于 无 穷 时 ， 函 数f (x)以A为 极 限 。 记 为
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
x
证 明lim
sin
x
0.
证
x x 0,
取M 1,
则 当| x | M时 恒 有
sin x 0
1
1
,
x
x |x|
y sin x x
当x在x0的去心邻 A
域时,函数y f ( x)
A
A
图形完全落在以直
线y A为中心线,
o
宽为2的带形区域内.
y f (x)
x0 x0 x0
x
(2).单侧极限
左极限
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
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目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
函数的极限.ppt
例2.1.8．lim n
1 n2
0
例2.1.9．lim 2 n
1 n2
2
§2. 2
2.2 无穷小量与无穷大量
函数(包括数列)的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋 于0 的量叫无穷小量；一是趋于，趋于 的量叫无穷大量。对无 穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。
2.2.1 无穷小量
解： lim f (x) lim 2x2 2 10
x2
x2
例2.1.2． f (x) sin x , 求 lim f (x)。 x0
解：lim f (x) lim sin x 0
x0
x0
§2. 1
例2.1.2．f (x) c , 求 lim f (x) 。 x2
解： lim f (x) lim c c ,见图2.1-2。
=0
证毕
§2. 3
在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是
lim f (x) , lim g(x) 都存在，以及商的极限中，lim g(x) 0 。忽视
无穷小量的倒数，是无穷大量。
定理 2.2.3：
lim f (x) A lim f (x) A 0
xx0
xx0
符号“”读作“当且仅当”。
于是，若 lim f (x) A, 则
x x0
f (x) = A +
其中， = f (x) –A(当x x0时)为无穷小量。
利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的。
定义 2.1.3 若随着 | x | 无限变大，f (x)无限趋 于常数A，见图2.1-6。 则称当时，f (x)的极限是A，记为
当，f (x)A 或 lim f (x) A
《函数的极限》PPT课件
在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1)，(1,3]．
(4)由连续函数的定义可求得
＝f(2)＝0.
＝-12 ，
lim f(x)
x→2
• 点评：注意函数在某点处的极限存在与函数在 该点处连续之间的关系，假设函数在某点处连 续，那么必须保证函数在该点处有意义，且在 该点处极限存在且极限值为函数在该点处的函 数值．
4．函数极限的四那么运算法那么
如果xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b，那么 xl→imx0[f(x)±g(x)]=a+b xl→imx0[f(x)·g(x)]＝a·b； xl→imx0 gf((xx))＝ab(b≠0)．
5．函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义，而且xl→imx0f(x) ＝f(x0)，就说函数 f(x)在点 x0 处连续． (2)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其右侧(或左侧)有定义，而且 x→limx0＋f(x)＝f(x0)[或x→limx0－f(x)＝f(x0)]，就说函数 f(x)在点 x0 处右连 续(或左连续)． (3)若 f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在 a 点右连续，在 b 点 左连续，则称 f(x)在闭区间[a，b]上连续．
记作xl→imx0f(x)＝a ，也可记作当 x→x0 时，f(x)→a，xl→imx0f(x)也叫做
函数 f(x)在点 x＝x0 处的极限．
3．函数的左、右极限 如果当 x 从点 x＝x0 左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的左极限，记作 x→limx0－f(x)＝a . 如果当 x 从点 x＝x0 右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a 时，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的右极限，记 作x→limx0＋f(x)＝a . 且n→limx0－f(x)＝x→limx0＋ f(x)＝a⇔ xl→imx0f(x)＝a.
第二章 极限与连续 《经济数学》PPT课件
由函数连续的定义可知,如果函数f(x)在点x0处满足下列条件之一: • (1)函数f(x)在点x0处无定义; • (2)lim(x→x0) f(x)不存在; • (3)lim(x→x0 ) f(x)存在,但不等于f(x0). 则点x0就是函数f(x)的间断点. 如图2-13所示的是几种在点x=x0处不连续的函数.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
经济数学.微积分.朱来义.第二章.2.2 函数极限
右极限
左极限
简记为 x x0 ;
简记为 x ; 简记为 x ;
x 沿数轴正方向趋于无穷大,
x 沿数轴负方向趋于无穷大, x 趋于无穷大,
简记为 x ;
用记号 x X 统一表示 6 种极限过程 如果在极限过程 x X 下, f ( x ) 无限趋于
一个确定的数 A , 则称 x X 时, f ( x ) 收敛于 A ,
lim f ( x ) lim 2 x 1, 而 2 x 1 初等函数, x1
x 1
x 1 在其定义域内, 可得
lim f ( x ) lim 2 x 1 3 .
x1
x 1
x 0 时, f ( x ) 表达式不统一,
且 x 0 时, x 0 时,
x 0
x
三、由函数值认识函数的极限
x2 1 例6 由函数 y 的值的变化趋势考察极 限 2x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 lim , lim , lim , lim . x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1
x
例5 由 y sin x 的图形考察极限 lim sin x , lim sin x , lim sin x ,
x 0 x 0 x 0 x
lim sin x ,
x
lim sin x , lim sin x .
x
y
y sin x
π 2
解
x 0
由 y sin x 的图形我们得到
经济数学 微积分 朱来义主编
§2.2 函数极限
一、函数极限的记法
二、由函数图形认识函数极限 三、由函数值认识函数的极限
函数极限ppt课件
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
2
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❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
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自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
函数的极限课件
函数的极限课件函数的极限是微积分中的一个重要概念，它在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极限的概念、性质以及一些常见的计算方法。
一、函数的极限概念在微积分中，函数的极限描述了当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个确定的值。
形式化地说，对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、函数极限的性质函数的极限具有一些重要的性质，包括唯一性、局部性、保号性和四则运算性质。
1. 唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么它的极限值是唯一的，即极限值L是唯一确定的。
2. 局部性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么它在x=a的某个邻域内的取值都会趋近于该极限值L。
3. 保号性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在且大于0（或小于0），那么它在x=a的某个邻域内的取值都大于0（或小于0）。
4. 四则运算性质：对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在x=a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规律。
三、函数极限的计算方法在实际计算函数的极限时，可以利用一些常见的计算方法，包括代入法、夹逼准则、无穷小量比较法和洛必达法则等。
1. 代入法：当函数在某个点处有定义，并且该点是极限所在的点时，可以直接将该点代入函数中计算极限值。
2. 夹逼准则：如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)在x=a的某个邻域内成立，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么函数g(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
3. 无穷小量比较法：如果函数f(x)和g(x)在x=a的某个邻域内成立，并且lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0，并且存在一个正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|≤M|g(x)|成立，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于0。
高数课件-函数的极限
对任意给定的正数 ε（不论 ε 多么小），作两条水平直 线 y=A-ε，y=A+ε,则总存在一个正数 X，使得在区间 （-∞，-X）与(X，+∞)内，函数 f(x)的图形介于这两 条水平直线之间（见图）。
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
2-2函数的极限
第二节 函数的极限
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
定理5(保号性) 若 lim f (x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U (x0, )时, f (x) 0(或f (x) 0).
推论2
若 lim x x0
f (x)
A, 且
0,当x U (x0, )时,
f (x) 0(或f (x) 0),则A 0(或A 0).
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
例1 证明 lim sin x 0. x x
x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x
" X"定义
lim f ( x) A
x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
1.有界性
局部有界性
定理 2 若在某个过程下, f ( x)有极限,则存在
过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
定理5(保号性) 若 lim f (x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U (x0, )时, f (x) 0(或f (x) 0).
推论2
若 lim x x0
f (x)
A, 且
0,当x U (x0, )时,
f (x) 0(或f (x) 0),则A 0(或A 0).
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
例1 证明 lim sin x 0. x x
x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x
" X"定义
lim f ( x) A
x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
1.有界性
局部有界性
定理 2 若在某个过程下, f ( x)有极限,则存在
过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.