高教社杯全国大学生数学建模竞赛大专组

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）
D 题（抢渡长江）参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x (t ), y (t )) 以速度 ()(cos ()sin ())u t u t u t θθ=，前进，其中游速大小u 不变。

要求参赛者在流速 )0,()(v t v =
给定的情况下控制 (t ) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H )，如图1。

这是一个最优控制问题:
H T y y t u dt dy
L T x x v t u dt dx t s T Min =====+=)(,0)0(),(sin )(,0)0(,)(cos ..θθ
可以证明，若 (t ) 为连续函数, 则 (t ) 等于常数时上述问题有最优解。

证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control , Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。

）
1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令 )sin cos ()(θθu u t u ，=
，而流速)0,()(v t v =
， 其中 u 和 v 为常数, 为游泳者和x 轴正向间的夹角。

于是游泳者的路线 (x (t ), y (t )) 满足
cos ,(0)0,()sin ,(0)0,()dx
u v x x T L dt
dy u y y T H dt
θθ⎧=+==⎪⎪⎨
⎪===⎪⎩ （1） T 是到达终点的时刻。

令θcos =z ，如果 (1) 有解, 则
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=2
21,1)()
(,)()(z
Tu H t z u t y v uz T L t v uz t x （2） 即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且
L T uz v ===+ （3） 若已知L, H, v, T , 由（3）可得
zT
vT
L u vT L H vT L z -=
-+-=
,)(2
2 （4） 图1
由（3）消去 T 得到
)(12v uz H z Lu +=- （5） 给定L, H, u , v 的值，z 满足二次方程
02)222222222=-+++u L v H uvz H z u L H （ （6）
（6）的解为
12z z ==， （7） 方程有实根的条件为
2
2
L
H H v
u +≥ （8）
为使（3）表示的T 最小，由于当L, u, v 给定时,
0<dz
dT
， 所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。

将（7）的z 1代入（3）即得T ，或可用已知量表为
2
222222)(v
u Lv
v H u L H T ---+= （9） 以H = 1160 m, L = 1000 m, v = 1.89 m/s 和第一名成绩T =848 s 代入（4），得z = -0.641, 即θ =117.50，u =1.54 m/s 。

以H = 1160 m, L = 1000 m, v = 1.89 m/s 和u =1.5 m/s 代入（7），（3），得z = -0.527, 即θ =1220，T =910s ，即15分10秒。

2. 游泳者始终以和岸边垂直的方向（y 轴正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v ≈529s, u= H/T ≈2.19 m/s 。

游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。

注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14分41秒66, 其平均速度为1.7 m/s 。

式（8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，对于2002年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v = 1.89 m/s ，需要u >1.43 m/s 。

假设 1934 年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则L =4864 m, 仍设v = 1.89 m/s ，则游泳者的速度只要满足 u >0.44 m/s ，就可以选到合适的角度游到终点.。

(游 5000米很多人可以做到)
3. 如图2，H 分为H =H 1+H 2+H 3 3段，H 1= H 3=200 m, H 2=760 m, v 1= v 3=1.47 m/s ，v 2=
2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数
u=1.5 m/s, 有v 1，v 3< u, v 2> u , 相应的游泳方
向θ1，θ2为常数。

路线为ABCD, AB 平行CD 。

L 分为L =L 1+L 2+L 3, L 1=L 3, 据（8），对于v 2> u , L 2应满足 )7522
2
222
2m u
u v H L ≈-≥（ （10）
图2
因为v 1< u, 故对L 1无要求。

对于确定的L 1，L 2，仍可用1中的公式计算游泳的方向和时间。

为确定使总的时间最小的路线ABCD, 注意到 L 1=L 3= ( L -L 2)/2，由 (9) 知所需要的总时间为
2
12222121222212
222
22222222222/))4/)(2)(v u v L L v H u L L H v u v L v H u L H T -----++---+=
（（ （11）
求L 2使T 最小。

编程计算可得：L 2= 806.33 m 时T = 904.02s ≈ 15 分 4 秒。

将得到的 L 2= 806 m ，L 1==L 3= 97 m 代入（7）可得θ1=1260，θ2=1180，即最佳的方向。

也可以用枚举法作近似计算：将L 2从760 m 到1000 m 每20 m 一段划分，相应的L 1，L 3从120 m 到0 m 每10 m 一段划分。

编程计算得下表，其中θ1, θ3, θ2 和T 1, T 3, T 2分别为3
132θ1=θ3=124.660，θ2=119.190。

4. H 仍分为3段，对于流速连续变化的第1段H 1=200 m ，方程（1）变为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=====+=111
11)(,0)0(,sin )(,0)0(,cos H T y y u dt
dy L T x x y H v u dt
dx
θθ （12） 其中v （=2.28m/s ）为常数, 仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，及θcos =z ，若(1) 有解，则
⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=
)(,
1)()(,21)(112
112
1
2T y H t z u t y T x L uzt t H z uv t x （13） 是一条抛物线。

类似于1中的作法得到，给定L, H, u , v 的值，z 满足二次方程
044)42
2122121222121=-+++u L v H uvz H z u L H （ （14）
取绝对值较小的根，为
u
L H v H u L H L v H z )(2)(42
12122122
121121+-++-= （15） 有实根的条件为
21
21
12L
H H v
u +≥ （16）
将（15）的z 代入（13）得第1段的时间
2
111z
u H T -=
（17）
因u >v /2，由（16）对L 1无要求。

对于第2段H 2=760 m ，仍用（9），（10），应有L 2> 870 m ，且第2段的时间
2
222
22222222)(v u v
L v H u L H T ---+=
（18）
注意到 L 1=L 3= ( L -L 2)/2，T 1=T 3, 得总的时间为
122T T T += （19）
将给定的L , H 1, H 2, u 和v =2.28 m/s 代入（15），（17），（18），（19），求L 2使T 最小。

编程计算可得：L 2= 922.9 m 时T =892.5s ≈ 14 分53 秒。

将L 2= 923 m ，L 1==L 3= 38.5 m 分别代入（7）和（15）可得θ1=127.70，θ2=114.50，即最佳的方向。

类似3，也可以用枚举法作近似计算：将L 2从880 m 到1000 m 每20 m 一段划分，相
应的L
，L 从60 m 到0 m 每10 m 一段划分，编程计算得下表。

可知L 1=L 3=40，L 2 =920时T =892.56(s)最小，即14分53秒， 1=3=126.87，2=115.04。

注 问题3中v 1= v 3=1.47 m/s ，v 2= 2.11m/s 及问题4中v =2.28 m/s 的确定，是考虑到使平均流速仍保持报载的1.89 m/s 。

学生可以合理地改变数据。