【费马大定理】
高等数学费马定理
高等数学中费马定理是指当n>2时，方程x^n+y^n=z^n无整数解。
这个定理是费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时提出的，但他没有给出证明。
随后，1678年G·W莱布尼兹证明了n=4时定理成立；1770年C·欧拉证明了n=3和4的情形；P·G狄利克雷和G·拉梅分别证明了n=5和7的情形；1884年E·E库默尔创立了理想数，从而证明了当n是介于2与100之间的奇数p（除去（p=37,59和67）时，定理成立。
1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。
费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。
世界上最复杂的数学方程
世界上最复杂的数学方程数学作为一门科学，旨在研究和探索数字、形状、结构以及变化等之间的关系。
在数学的领域中，有一个备受关注的话题就是复杂的数学方程。
这些方程通常具有许多未知数和变量，并且涵盖着广泛的数学概念和方法。
然而，在所有复杂的数学方程中，有一个备受研究和讨论的方程特别引人注目，那就是费马大定理。
费马大定理是一个有关整数解的数学问题，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马首次提出。
费马大定理相对简洁，可以用以下形式描述：对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个方程看起来可能相对简单，但实际上它隐藏着巨大的数学难题。
费马大定理的证明耗时多年，直到1994年安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）才最终证明了费马大定理的正确性。
这一成就使怀尔斯成为数学界的英雄。
费马大定理的证明过程充分体现了数学对于逻辑推理、抽象思维和创新的要求。
它涉及了许多高级数学工具和概念，如群论、椭圆函数和模形式等。
怀尔斯的证明过程被认为是数学史上最复杂和最重要的证明之一。
费马大定理的证明不仅深化了人们对数学领域的理解，同时也为其他数学问题的解决提供了启示。
它推动了数学界对于整数解相关问题的更深入研究，促进了数论这一分支学科的发展。
尽管费马大定理已经得到证明，但它依然存在着许多有关整数解的未解之谜。
数学家们仍然在研究费马大定理的相关问题，试图揭示更多的奥秘。
总结而言，费马大定理被认为是世界上最复杂的数学方程之一。
它需要使用高级的数学工具和概念进行证明，并且其解决对于数学发展具有重要意义。
费马大定理的证明与研究不仅推动了数论的发展，而且深化了我们对于整数解问题的理解。
费马大定理的故事
费马大定理的故事费马大定理又称费马最后定理，是一个著名的数学问题，由法国数学家费马在17世纪提出。
该定理是指当n大于2时，a^n+b^n=c^n 在自然数域上不存在正整数解。
这一数学问题曾经让无数数学家投入其中，费尽心血，最终由英国数学家安德鲁•怀尔斯（Andrew Wiles）在1994年证明，为数学领域的一次重大成果。
费马大定理在数学史上是一个极其重要、充满传奇色彩的故事。
费马大定理的由来可以追溯到17世纪法国数学家费马，这位数学家最初并没有正式证明这个定理，他只是在本人的笔记上留下了一条拮据的注释，即“我确有此定理，但未留下足够证明之处”。
虽然在费马时期，一位科学家提出了定理并没有能够证明它并不是一个令人意外的事情，但费马所描述的定理的刻度、广泛和普适性使它成为举世公认的神秘谜题。
费马定理产生了许多的猜想和臆想，多少数学学者拿出了他们那杰出的才智试图解决这一难题，但是直到19世纪中叶，没有人在证明费马大定理上取得成功，因此，也让费马大定理成为全球数学界的“最有待证明的数学猜想之一”。
1920年代，数学家Mordell发现了一种取值比较特殊的情况，该情况下费马大定理是成立的。
他的发现引起了许多数学家对费马大定理的关注。
从那个时候起，全球范围内的数学家们无数次的试图去挖掘和探究费马大定理，并希望能够在正确的路径上找到费马大定理的答案。
随着数学的发展，人们采用了更先进的数学方法和优化了定理的证明方法。
1960年代，Isodore Singer和Sir John Coates等数学家利用1960年代的新技术和先进的数学方法建立起了类似于费马所使用的方法的一系列代数曲线工具，这种工作为证明费马大定理打下了良好的基础。
直到1993年，全球精英数学家的数学学界中一名来自普林斯顿大学的安德鲁•怀尔斯（Andrew Wiles）根据自己的三万页研究成果给出了渐行渐近的倾向性证明，该证明被认为是非常广泛的且非常精确的证明。
数论中的费马大定理
费马大定理源于法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪中叶提出的一道问题，该问题在当时成为了数学界的一大难题。
费马在他的笔记中写道：“我想证明a^n + b^n = c^n在自然数域上无解，当n大于2时。
”然而，他并未提供证明，仅仅是指出这一猜想，并写下了“这个笔记的边缘太小，空间不够证明它”的话。
费马大定理的问题形式简单明了，但长期以来却无法得到证明。
这一定理是关于整数解的，而费马之所以假设大于2的情况下无解，是因为他发现了如果对于a，b，c三个数都赋予一个听起来很自然的取值，那么方程必然无解。
然而，费马却没有提供一个证明来支持他的猜想。
此后，数学家们纷纷努力追寻解决这个问题的线索，但多年来一直没有找到令人满意的证明。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯突破了费马大定理的难题。
当时，他发布了一篇名为《碰巧的奇迹》的论文，证明了费马大定理的存在中了一小部分情况。
怀尔斯为了证明该定理，先后运用了众多数学工具，如模形式、椭圆曲线和Galois表达式等等。
他所使用的数学方法和工具涉及了多个跨学科的领域，在数学界引起了巨大的轰动。
然而，即使怀尔斯证明了一小部分情况，即n大于2时无整数解，但完全的证明却依然需要数学家们进一步努力。
费马大定理的证明对于数论领域的研究具有重要意义。
这个定理所涉及的数学问题在某种程度上反映了数学发展的演变。
此外，费马大定理的解决还带动了一系列的数学推论和发现。
怀尔斯的证明方法为其他半个多世纪来一系列数学难题的解决提供了思路。
因此，费马大定理的研究也可以看作是数学家们不懈探索、追求真理的重要成果之一。
尽管费马大定理在数学界已经迎来突破，但它依然留下了一些悬而未决的问题。
其中最为著名的便是费马最后定理的证明问题。
研究人员一直努力寻找一个简洁而优雅的证明方法，但至今仍然没有找到完美的解决方案。
因此，费马大定理的研究依然是数学领域一个重要的热点。
总之，费马大定理作为数论中的一道难题，一直以来都牵动着数学家们的心。
费马大定理 27
费马大定理简介费马大定理（Fermat’s Last Theorem）是数学史上一项重要的未解问题，它由法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在17世纪提出。
该定理表述为：对于任何大于2的正整数n，不存在整数解使得a^n + b^n = c^n成立。
费马大定理是数论中的一个著名猜想，也是一个关于整数解的不定方程问题。
这个问题困扰了许多伟大的数学家长达几个世纪之久，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明。
历史背景费马大定理最早由皮埃尔·德·费马在1637年提出，并写在他的笔记中，称其证明过于复杂无法容纳边缘。
这个猜想成为了一个盛行的传说，引起了无数数学家们的兴趣和努力。
众多著名数学家都试图证明费马大定理，包括欧拉、拉格朗日、高斯等。
然而，他们都未能找到令人满意的证明。
这个问题成为了数学界的一个难题，备受关注。
安德鲁·怀尔斯的证明费马大定理的证明是一项极其复杂和困难的任务。
直到1994年，安德鲁·怀尔斯才成功地给出了一种证明方法。
他在数学界引起了轰动，并获得了菲尔兹奖（Fields Medal）——数学界最高荣誉。
怀尔斯的证明基于现代代数几何中的椭圆曲线和模形式理论。
他首先提出了一个名为“Taniyama-Shimura-Weil猜想”的假设，该假设将椭圆曲线与模形式建立了联系。
然后，他利用这个假设将费马大定理转化为一个更易于处理的问题。
在接下来的几年里，怀尔斯和其他数学家们共同努力，逐步完善这个证明。
最终，在1994年，怀尔斯在一场会议上正式宣布他已经找到了费马大定理的证明。
这个消息震惊了整个数学界，并被广泛报道。
影响与意义费马大定理的证明对数学界来说具有重要意义。
首先，它解决了一个长期以来困扰数学家们的难题，填补了数学史上的一大空白。
其次，证明过程中涉及到的数学理论和方法也为后续研究提供了重要的启示和借鉴。
数学世界的谜题 - 数学知识点
数学世界的谜题 - 数学知识点数学作为一门严谨而深邃的学科，充满了各种神奇而令人着迷的谜题。
这些谜题既考验我们的智力，又启发我们的思维。
让我们一起探索数学世界中的一些著名谜题，了解其中的数学知识点。
1. 费马大定理（Fermat's Last Theorem）费马大定理由法国数学家费马于17世纪提出，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明。
该定理表明当n大于2时，对于任意正整数x、y、z，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个问题困扰了数学界几个世纪，直到怀尔斯利用了前人的研究成果，成功地给出了证明。
2. 四色定理（Four Color Theorem）四色定理是数学地图理论中的一个著名问题。
它表明任何平面上的地图，只需四种颜色就能够使相邻的区域彼此区分开来。
这个问题最早由英国数学家弗朗西斯·格思（Francis Guthrie）提出，并在1976年由美国数学家肯尼斯·阿普尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）通过计算机验证得到解决。
3. 庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）庞加莱猜想是拓扑学领域中的一道难题。
它提出了一个问题：是否存在一个没有洞的三维球体？也就是说，对于不带洞的闭曲面，是否一定可以分解成一个球面？这个问题由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出，直到2003年由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）给出了完整的证明。
4. 正整数的奇怪性（Weirdness of Positive Integers）正整数的奇怪性是指正整数的一个特性：每个正整数都可以表示为其他正整数的和，而且每个正整数的这种表示方式都是唯一的。
例如，6可以表示为1+2+3，而且这是唯一一种表示方式。
这个问题的证明需要运用数论的知识和对数学运算的深入理解。
高中数学知识点精讲精析 费马大定理
1 费马大定理费马大定理：（1）当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0,且xyz≠0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
（2）证明方法五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。
在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。
不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。
1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。
1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。
当年的十万马克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
费马大定理及其适用范围
费马大定理及其适用范围费马大定理是代数数论中最著名的问题之一，这个问题是名为皮耶尔·德·费马的法国数学家在17世纪提出的。
这个问题一直成为数学家研究的一个热点，而这个问题的复杂度也使得该问题成为了被证明的最晚的数学难题之一。
在18世纪到19世纪之间，这个问题发生了非常激烈的研究，并且牵扯到了许多传奇人物的身影。
最终，这个问题在20世纪得到了完整的解决。
费马大定理的陈述非常简单：对于任何大于2的正整数n，不存在整数x, y, z满足方程x^n + y^n = z^n。
也就是说，德·费马在研究古希腊时发现了一个证明方法，证明了对于方程x^2+y^2=z^2是对于整数没有解的，而他在研究x^n+y^n=z^n时，声称也存在没有算法能够确定它是否有解，但他却证明不出来。
因此这个问题被称为费马大定理。
费马大定理是一个非常重要的问题，它揭示了数学中有趣的问题和困难的理论。
在数学的整个历史上，费马大定理一直是数学家们最想要解决的问题之一。
尽管问题被提出了大约400多年，直到20世纪才有了完整的解决。
解决这个问题主要是因为数学家发展了一个新的分支，称为算术几何学，这使得人们能够对大多数情况下的费马大定理进行证明和分析。
费马大定理的适用范围是非常广泛的，除了消除了有关同余数的问题之外，在代数几何学中，它提供了两个数域K上的椭圆曲线的同构问题的一个形式解答。
在代数数论中，费马大定理的证明为一些形式上相似的问题提供了启示，例如证明我们可以在任何域上扩张，这是一种类似于费马大定理的数学推理方法。
此外，费马大定理的适用范围也扩展到计算机科学中。
它可以在算法分析和计算复杂度领域中提供重要的数据。
一些复杂的算法，例如密码学中的RSA算法和椭圆曲线加密，可以通过费马大定理和相关证明加强安全性。
在算法设计的过程中，我们也可以使用费马大定理来提供一些有用的策略和思路。
总的来说，费马大定理是一个富有洞见和挑战性的问题。
笛莎哥定理
笛莎哥定理1. 简介笛莎哥定理，也被称为费马大定理，是数学中的一个重要定理，于17世纪由法国数学家皮耶尔·德·费尔马提出。
这个定理的形式是：当整数n大于2时，凡是满足a n+b n=c n的整数解a、b、c必然不存在。
这个问题经历了近400年的努力与探索，直到1994年，英国数学家安德鲁·莱尔斯（Andrew Wiles）最终给出了完整的证明，这一卓越的成就震惊了整个数学界。
2. 历史背景费马大定理的历史可以追溯到17世纪。
当时，费马提出了一个关于勾股定理特例的问题，即令n=2，求满足a2+b2=c2的整数解。
费马声称他有一种非常优雅的证明方法，然而他没有公开展示出来。
这一问题就成为了数学领域的一个悬案，被人们称为费马最后定理。
3. 笛莎哥的猜想基于费马的勾股定理问题，笛莎哥猜想了一个更为普遍的问题，即是否存在一个整数n大于2，使得方程a n+b n=c n在整数域内没有解。
他声称找到了一种简单的证明方法，但并未给出详细的证明。
4. 开普勒、克劳斯和维尔斯特拉斯费马的猜想激发了许多数学家的兴趣，其中包括开普勒、克劳斯和维尔斯特拉斯等人。
他们都尝试着解决这个问题，但都没有成功。
这个问题成为了数学史上的一个盲区，没有人能够找到一个一般的解决方法。
5. 莱尔斯的证明费马大定理的证明过程极其复杂和艰难，花费了安德鲁·莱尔斯长达7年的时间。
他运用了众多数学领域的前沿理论和技术，包括椭圆曲线和模形式等。
最终，莱尔斯于1994年给出了一份长达100页的证明，填补了费马大定理400年的空白。
6. 证明的重要意义费马大定理的证明对数学界的意义重大。
首先，它表明一个数学问题可能需要数百年的时间才能得到解决，甚至无法在一个人的有生之年完成。
其次，莱尔斯的证明借助了众多数学领域的知识，展示了数学领域对于这个问题的深入探索。
最后，费马大定理的证明也为其他数学问题的解决提供了启示，例如物理学中的弦论和数论中的其他猜想。
简述费马大定理的内容、发现过程以及证明状况。
费马大定理的内容、发现过程以及证明状况费马大定理是数学中一个非常重要的定理，其内容是：如果一个数n大于2，且n不是素数，则存在两个整数a和b使得a^n+b^n=n。
费马大定理是由德国数学家费马在1742年发现的。
当时，费马正在研究一个函数f(x)=x^n+1，并想要证明其对于所有的正整数n都存在一个数x使得f(x)=0。
他发现，当n=4时，存在数x=2使得f(x)=0，但是当n=5时，就不存在这样的数x了。
这个结论使费马意识到，对于不同的n，存在的数x是有限制的，并且这些限制是由n的值决定的。
随后，费马将这个结论表述为费马大定理，并进行了证明。
他证明了，如果n是素数，则必定存在数x使得f(x)=0；如果n不是素数，则必定不存在这样的数x。
费马的证明方法是使用反证法。
他假设n不是素数，并试图证明存在数x 使得f(x)=0。
他发现，如果存在数x使得f(x)=0，则必定有a^n=n-b^n，其中a和b都是正整数。
他又发现，如果a和n互质，则a和b一定也是互质的，这与费马大定理的假设矛盾。
因此，费马认为a和n一定不互质。
接着，费马进一步讨论了a和n的关系。
他发现，如果a和n有公因数d，则必定有d^n|a^n，因此d^n|n-b^n。
这意味着d^n也是n和b^n的公因数，因此d|b。
但是，如果a和b有公因数d，则d|a和d|b，因此d|(n-b^n)。
这与前面的结论矛盾，因此a和b一定互质。
费马得出的结论是，如果n不是素数，则a和b一定互质，这与假设矛盾。
因此，费马得出结论：如果n不是素数，则必定不存在数x使得f(x)=0。
费马的证明方法被称为反证法，即假设某种情况不成立，然后试图证明这种假设会导致矛盾，从而得出结论。
费马的证明方法被广泛使用，并在数学界中产生了深远的影响。
费马大定理的证明在当时并没有得到完全的证明，直到19世纪末，才有人用分类讨论的方法对费马大定理进行了证明。
这种方法的思想是，对于n的不同取值，分别考虑费马大定理是否成立。
费马大定理
“唯一分解定理” 唯一分解定理” 唯一分解定理
在一般的整数中，每一个合成数都只可能被分 在一般的整数中，每一个合成数都只 解成一种“质因数连乘式” 解成一种“质因数连乘式” 但在某些“复整数” 但在某些“复整数”中，情况未必相同 6 例如： 例如： = 2 × 3 = (1 + − 51
n = 7 的证明
Lamé 拉梅 Gabriel Lam (1795 - 1870) 8法国人 法国人 81839年，证明了n = 7 1839年 1839
3月1日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理”： 月 日 拉梅宣布他已证明了“费马最后定理” 拉梅将x 分解成(x+y)(x+ζ y)(x+ζ2y)…(x+ζn−1y) 拉梅将 n+y n分解成 ζ ζ ζ− 其中ζ 其中ζ=cos(2π/n)+isin(2π/n)，即方程 r n=1的复根 π π ， 的复根 如果x 如果 n+y n=z n ，那么拉梅认为每一个 (x+ζk y)都 ζ 都 次幂乘以一个单位， 会是n次幂乘以一个单位 会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾 但是，拉梅的好友刘维尔 但是，拉梅的好友刘维尔Liouville 指出， 指出，拉梅的证明中有很大的漏洞 拉梅忽略了“唯一分解定理” 拉梅忽略了“唯一分解定理”的考 虑
附加的评注： 附加的评注： “我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里 我有一个对这个命题的十分美妙的证明， 空白太小，写不下。” 空白太小，写不下。
两个问题
为什么费马猜想叫做费马定理呢？ 费马猜想叫做费马定理呢 （1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？ 因为经过三百多年，都没有人能作出反例， 因为经过三百多年，都没有人能作出反例， 经过三百多年 所以人们相信是它是正确的，是一个定理。 所以人们相信是它是正确的，是一个定理。 （2）费马提出这命题后三十年才去世，为什 ）费马提出这命题后三十年才去世， 命题做“费马最后定理 最后定理” 么会把这个命题做“费马最后定理”呢？ 费马曾经提出过的命题， 因为费马曾经提出过的命题，都已经被证 实或否定， 剩下这一题，未能获证。 实或否定，只剩下这一题，未能获证。
费马大定理的证明过程
费马大定理的证明过程费马大定理（FermatLastTheorem）是17世纪古希腊数学家费马提出的一个有趣的数学定理，它的正确性尚未被完全证明，但在1994年英国数学家安德鲁威廉森通过运用数论知识和希尔伯特-福楼拜定理的方法，最终将费马大定理的证明过程完成。
费马大定理的形式是：“任何大于2的正整数的n次方（n>2），不可能由任何两个整数的n次积构成。
”它最初被提出于费马在1637年著作《神学问题》中提出的一个问题，这个问题激发了无数数学家的研究，更多的数学家们也发现了费马大定理的更多证明过程。
此外，为了更好地理解费马大定理，我们也首先要了解它的前提条件，它们是：1. n在费马大定理中是指一个大于2的正整数2.定理只适用于n>2时，因为当n=2时，费马大定理就不成立，即任何一个质数都可以由两个整数的2次积构成由于费马大定理本身较复杂，需要认真研究才能证明它的正确性，有关费马大定理证明的步骤也很复杂。
首先，安德鲁威廉森对费马大定理的前提条件进行了深入的分析，要求n>2，所以他将其分解为n=3、n=4、n=5、n=6等等。
之后，他选择了n=3作为研究对象，以证明费马大定理。
接着，安德鲁威廉森开始使用周边性法证明费马大定理，以此来研究证明费马大定理的基本方法。
他首先对该问题的解析解进行了深入分析，并运用了拉格朗日分解法，将原本复杂的问题分解为更容易推导的问题，从而简化了证明的步骤；之后，安德鲁威廉森又证明了大数定理，将费马大定理的证明归纳为一个更大的定理；最后，安德鲁威廉森运用了埃文斯定理，将该问题缩小并最终证明了费马大定理。
通过以上步骤，安德鲁威廉森最终完成了费马大定理的证明，证明了该定理最终是正确的，这也是费马大定理证明过程中数学家们多年来艰苦努力的结果。
费马大定理的证明过程中，安德鲁威廉森深入分析了原本的的难以解决的问题，运用了多种数学方法，将原来的复杂问题简化，最终证明了费马大定理的正确性。
数学中的费马大定理证明
数学中的费马大定理证明费马大定理是一道历经三百多年被不断探索的数学难题。
它的问题形式为：对于任意大于2的自然数n，不存在正整数x，y，z，使得x^n+y^n=z^n成立。
它的证明也经历了历史上众多数学家的探索和研究。
本文将介绍一些著名的费马大定理证明及其思路，并从中观察到数学证明的魅力和思想。
一、费马大定理的历史背景费马大定理是法国数学家费马在1637年提出的一道难题。
费马将其证明留给后人，并写在了《进阶算术》的扉页上：“至多只有解，此书余未有与此余哉！”。
在接下来的几百年间，众多著名数学家为证明费马大定理而不断追寻。
法国数学家欧拉和瑞士数学家欧拉分别在18世纪和19世纪时提出的证明都存在漏洞。
到20世纪初，英国数学家哈代提出的证明在一定程度上被认可，但其思想仍有争议。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理的正确性，开创了一个新的数学时代。
二、费马大定理证明思路费马大定理的证明思路可以分为两类，一类是“模重理论”，一类是“椭圆模形式”。
1.模重理论“模重理论”又称“代数几何理论”，是20世纪初哈代提出的证明思路。
它是利用了“代数几何”这一工具，将数学中重要的概念如“正则映射”、“仿射概形”等理论套用到费马大定理的证明中去。
哈代的证明奠定了代数几何的基础，但其证明缺乏直观性，易于出错。
此后许多数学家在基于哈代证明的基础上进行优化改进，但仍未完全解开费马大定理的疑云。
2.椭圆模形式“椭圆模形式”是针对费马大定理提出的另一种证明思路。
它是与“模重理论”有所不同的一种思路，是利用数学中最重要的分析工具“傅里叶分析”，将椭圆形式展开得到一组傅里叶系数，再利用数学中的分析技巧，奠定了实证了证明费马大定理的理论基础。
此种思路的优越性在于其具有直接性、可视性和良好的数学技巧。
三、数学证明的魅力数学证明是一项艺术而又科学的探索，它不仅是一种工具性的技能，更是一种人类智航的象征。
数学家运用最基础的逻辑和数学技巧，通过推理证明而获得对世界的认识和理解。
费马大定理—数学史上著名的定理
— 数学史上著名的定理
中文名： 外文名： 费马大定理 Fermat’ s Last Theorem
别 称： 表达式：
费马最后的定理 x n y n z n (n 2时， 无正整数解)
提出者： 皮耶 • 德 • 费马(法国) 提出时间： 1637年左右 证明者： 安德鲁 • 怀尔斯(英国) 证明时间： 1995年彻底证明
历史研究
莫德尔猜想
1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫 做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、 有理系数的二元多项式，当它的 “亏格” 大于或等于 2 时，最 多只有有限个解。记这个多项式为f ( x ， y )，猜想便表示：最 多存在有限对数偶 xi ， yi Q ，使得 f ( xi ， yi ) 0。后来，人们 把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象 代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。 ( n 1)( n 2) n n 而费马多项式 x y 1没有奇点，其亏格为 。 2 当 n ≥ 4 时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如 果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 x n y n z n 本质上最多有有限多个整数解。
历史研究
接力证明
1844年，库默尔提出了 “理想数” 概念，他证明了：对于 所有小于100的素指数 n ，费马大定理成立，此一研究告一阶 段。但对一般情况，在猜想提出的头两百年内数学家们仍对 费马大定理一筹莫展。 1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家 拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称 证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔 则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯 入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了 德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数 系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅 和柯西的证明都是错的。
关于费马大定理
关于费马大定理费马在数论方面的有几个猜想，除了他关于素数的猜想，费马大定理是费马的所有猜想中最困难、最有影响的一个，从1637年提出直到1994年有怀尔斯（A.Wiles ）解决，整整经历了357年，费马大定理的证明是20世纪诸多重大数学成就之一。
1. 什么是费马大定理？费马大定理又称费马最后一个定理（Fermat ’ Last Theorem ），简记成FLT ，据说是由于到19世纪初期，除了这个定理以外，费马的所有其他猜想均以被解决而得名。
1637年费马在阅读古希腊数学家丢番图著的《算术》的拉丁文译本中第二卷第八个命题：“把一个平方数写成两个平方数之和”时，在书的填白处写道：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方表成两个四次方之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂次之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。
”这就是数学史上著名的费马大定理，用现代术语可表述如下：对每个正整数3≥n ，方程n n n z y x =+均没有正整数解),,(z y x 使得0≠xyz 。
对于2=n 的情况，早在三千多年前，即公元前1100年，我国西周的商高就提出了“勾3股4弦5”的结论，在几何上讲，这是勾股定理的特例，从代数角度看，就是方程222z y x =+有一组整数解)5,4,3(。
费马大定理一提出就立即引起了数学界的兴趣，特别是数学家们都在寻找他说的“奇妙证明”。
多数数学家对此说持怀疑态度。
至少可以说，方程n n n z y x =+对于费马并不是典型的，他所研究的绝大多数方程的指数均小于等于4。
此外，他在与朋友的通信中只叙述了3=n 的情形。
对4=n 时，他采用无穷下降（推）的技巧给出了证明。
虽然后人一直未找到他的证明细节，但对此却确信无疑，因为这可由费马的另一个定理推出。
这个定理是：“三边为整数的直角三角形的面积不能为平方数”。
而后者的证明，费马写在空白处。
高斯对费马大定理的评价
高斯对费马大定理的评价
一、费马大定理的背景及内容
费马大定理，又称费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马于1637年提出的一个著名数学猜想。
该定理的内容是：对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n 不存在正整数解。
二、高斯对费马大定理的评价
作为数学史上的一位杰出人物，高斯（Carl Friedrich Gauss）对费马大定理的评价是非常高的。
他认为费马大定理是一个极具挑战性的问题，并提出了一些有关该问题的研究思路。
然而，高斯并没有在其一生中证明费马大定理。
三、费马大定理的影响及意义
费马大定理的提出，激发了无数数学家对其进行研究。
在长达300多年的历史中，费马大定理成为数学史上最著名的未解问题之一。
它的影响不仅在于激发了数学家们对于数论、几何、代数等领域的研究热情，更在于推动了许多数学方法的创新发展。
终于在1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）成功证明了费马大定理。
这一成果不仅标志着一个数学史上悬而未决的难题得到解决，还揭示了许多数学理论之间的深刻联系。
四、结论
费马大定理的证明，为数学家们提供了一个宝贵的启示：在数学研究中，不畏艰难，勇于挑战，往往能取得突破性的成果。
同时，费马大定理的证明也彰显了数学家们严谨治学、追求真理的精神。
费马 定理
费马定理
费马定理，也称为费马大定理或费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的一个数论问题。
该定理的原始陈述是：对于任何大于2的整数n，不可能找到三个正整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。
费马在其手稿中提出了这个猜想，并表示自己有证明，但未给出具体证明。
这个猜想在数学界引起了长期的关注和研究，成为数论中的一个重要问题。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马定理的一个特例，即当n大于2时，方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。
这一证明被广泛认可并获得了费尔马奖。
然而，怀尔斯的证明并不能推广到一般情况，即对于所有大于2的整数n。
至今，费马定理在一般情况下仍然是一个未解决的问题。
数学家们一直在寻找一个通用的证明方法，但目前还没有找到。
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【费马大定理】彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官.费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美.著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的.在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来."用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程:x2+y2=z2的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程x n+y n=z n不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来.尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性.从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程:x4+y4=z4有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有:ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的.对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种"新数",即形如a+b√-3的数系,这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数环.但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如a+b √-5,则唯一因子分解定理就不成立了.关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的理论叫做示性类理论.接着,1825年,20岁的狄利赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明:若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费马大定理成立.1839年,拉梅证明了n=7.取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证明了对于小于100的除了37,59和67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明过程中,库莫尔的最重要贡献不在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念-----理想数,这是一种特别有用的涉及范围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------理想,以及整个新的数学分支-----理想论,后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马方程x n+y n=z n至多有有限多个解.这一证明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性降低到最多只可能有有限多个解,这确实是一个巨大的成就.但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人出乎意外,最后的攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提出一个猜想:有理数域上的每条椭圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-志村猜想).所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:y2=Ax3+Bx2+Cx+D而模形式是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而摸形式是处处全纯的摸函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆曲线与摸形式联系在一起.从60年代开始,有人将费马方程x n+y n=z n和形如y2=x(x+A)(x+B) (1)的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的结论.1984年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波沃尔法赫小城举行的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零整数a,b,c使得a n+b n=c n(n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=a n, B=-b n,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山-志村猜想矛盾.如果弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,"假定费马大定理不成立"是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥远的事情,但是,年轻的英国数学家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这个猜想.经过7年的艰苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学讨论会上,报告了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭圆曲线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得到确认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993年12月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对待证明的态度是十分严肃的,不容半点含糊.1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以电子邮件的形式向数学界的朋友发出了谨慎而乐观的消息:"今天早上,有两篇论文已经发表,他们是:"椭圆模曲线和费马大定理",作者是安德鲁.怀尔斯;"某些赫克代数的环论性质",作者是R.泰勒和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一步依赖于第二篇短文...."1995年7月号的"美国数学会通告"上发表了G.法尔廷斯的文章,题为"R.泰勒和A.怀尔斯对费马大定理的证明".他开宗明义,以肯定的语调宣称:"在本文题目中所提到的猜想于1994年9月终于被完整地证明了."至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成为了一条定理!虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明谷山-志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高深的群论思想.那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的"奇妙的证明"到底存在吗?无独有偶,我国的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大定理,并且得到了我国数论专家乐茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是费马本人想到的那种"奇妙的证明"呢?对于这个问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇文章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.获奖和评论1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享，于1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元.沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想上得到的巨大进展，由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想"影响深远，博大精深.沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家，如盖尔丰德，西格尔，韦伊，嘉当，陈省身，小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖，由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.（沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961年起任古巴驻以色列大使，后留居以色列.与德国专门为费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.）.怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦--戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴. 结果当怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."怀尔斯的生平安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993年6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所”研究员. 1982年成为普林斯顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员，他1985--86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年，是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和[美国]国家科学院奖.部分专为费尔马大定理而设的web网址:/mathweb/mi-mathbytopic.html#fermat/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.htmlhttp://ix.urz.uni-heidelberg.de/~hb3/fermat.html/Science/Mathematics/Problems/Fermat_s_Last_Theorem/http://daisy.uwaterloo.ca:80/~alopez-o/math-faq/mathtext/node9.html从奖励和评论以下部分摘自清华大学张贤科教授的网页: /faculty/~xzhang/。