圆与三角函数(解析版)

九年级数学下册解法技巧思维培优

专题16 圆与三角函数

题型一 利用锐角三角函数值求有关线段的长

【典例1】（2019•碑林区校级模拟）如图，已知△OAB 中，OA ＝OB ＝10，sin B =35

，以点O 为圆心，12为直径的⊙O 交线段OA 于点C ，交直线OB 于点E 、D ，连接CD ，EC ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线；

（2）在（l ）的结论下，连接点E 和切点，交OA 于点F ，求CF 的长．

【点拨】（1）过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，由条件求出OG ，根据切线的判定方法判断即可；

（2）先求出CE 长，证明OG ∥EC ，得到△FOG ∽△FCE ，根据相似三角形的性质定理得OF CF

=OG CE

，可

得OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则可得关于x 的方程，解方程即可得解． 【解析】（1）证明：如图，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，

∴∠OGA ＝∠OGB ＝90，

∵OA ＝OB ，sin B =3

5=OG

OB ， ∴OG =3

5×10=6，

∵⊙O 的直径为12， ∴半径r 为6，

∴OG ＝r ＝6，又OG ⊥AB ， ∴AB 为⊙O 的切线；

（2）解：∵DE 为⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDE ＝∠ABD ，

∴sin∠CDE =CE

DE =3

5， ∴

CE 12

=3

5，

∴CE =36

5，

∵OA ＝OB ，AG ＝BG ， ∴∠AOG ＝∠BOG ， ∵OE ＝OC ， ∴∠OEC ＝∠OCE ， ∵∠AOB ＝∠OEC +∠OCE ， ∴∠AOG ＝∠OCE ， ∴OG ∥EC ， ∴△FOG ∽△FCE ，

∴

OF CF

=OG CE

，

∴OF •CE ＝OG •CF ，

设CF ＝x ，则

365

×(6−x)=6x ，

解得：x =36

11． ∴CF =

3611

． 【典例2】（2019•碑林区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 是直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F ， （1）求证：EF ⊥CD ；

（2）若AC ＝10，cos A =5

6，求线段DF 的长．

【点拨】（1）连接DE ，OE ，由条件知DA ＝DC ，∠AED ＝90°，则AE ＝EC ，可证明OE ∥DC ，得出∠EFC ＝90°；

（2）可求出AE ＝5，求出DE ，在Rt △DEF 中，cos A ＝cos ∠DEF =5

6，可求出EF 长，则DF 长可求． 【解析】（1）证明：连接DE ，OE ， ∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴DA ＝DC ， ∵AD 是⊙O 的直径，

∴∠AED＝90°，

∴AE＝EC，

∵OA＝OD，

∴OE∥DC，

∵EF是圆的切线，

∴∠OEF＝90°，

∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∴EF⊥CD；

（2）解：∵AC＝10，

∴AE＝CE＝5，

∵cos A=5

6

=AE

AD，

∴AD＝6，

∴DE=√AD2−AE2=√62−52=√11，

在Rt△DEF中，cos A＝cos∠DEF=5 6，

∴EF=5

6√11，

∴DF=√DE2−EF2=√(√11)2−(5

6√11)2=

11

6．

【典例3】（2019•雨花区校级期中）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O经过线段AB的中点C与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若tan E=1

3，BD＝1，求⊙O半径的长度．

【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出OC⊥AB，即可解答本题；（2）根据三角形的相似可以求得BE的长，从而可以得到OD的长．【解析】（1）证明：如图，连接OC．

∵OA＝OB，C为AB的中点，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD＝90°．

∴∠E+∠ODC＝90°．

又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，

∴∠BCD＝∠E．

又∵∠CBD＝∠EBC，

∴△BCD ∽△BEC ．

∴BC BE

=BD BC

=CD EC

．

∴BC 2＝BD •BE ．

∵tan E =13

，

∴CD EC

=13

．

∵△BCD ∽△BEC ，

∴BC BE

=BD BC

=CD EC

=13

．

∴BC ＝3BD ＝3，BE ＝3BC ＝9， ∴ED ＝BE ﹣BD ＝9﹣1＝8，

∴OD =1

2ED ＝4， 即⊙O 半径的长度为4．

题型二 利用圆中已知条件求锐角三角函数值

【典例4】（2019•长春模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；