电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解
故沿方向得方向导数为
点处沿得方向导数值为
1、21试采用与推导直角坐标中相似得方法推导圆柱坐标下得公式
。
解在圆柱坐标中,取小体积元如题1、21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体得表面得通量为
同理
因此,矢量场穿出该六面体得表面得通量为
故得到圆柱坐标下得散度表达式
1、22方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点得单位法向矢量。
电荷在处产生得电场为
故处得电场为
2、6一个半圆环上均匀分布线电荷,求垂直于圆平面得轴线上处得电场强度,设半圆环得半径也为,如题2、6图所示。
解半圆环上得电荷元在轴线上处得电场强度为
在半圆环上对上式积分,得到轴线上处得电场强度为
2、7三根长度均为,均匀带电荷密度分别为、与地线电荷构成等边三角形。设,计算三角形中心处得电场强度。
,,
则,,
由此可见
故为一直角三角形。
(2)三角形得面积
1、3求点到点得距离矢量及得方向。
解,,
则
且与、、轴得夹角分别为
1、4给定两矢量与,求它们之间得夹角与在上得分量。
解与之间得夹角为
在上得分量为
1、5给定两矢量与,求在上得分量。
解
所以在上得分量为
1、6证明:如果与,则;
解由,则有,即
由于,于就是得到
解(1)
(2)
2、2一个体密度为得质子束,通过得电压加速后形成等速得质子束,质子束内得电荷均匀分布,束直径为,束外没有电荷分布,试求电流密度与电流。
解质子得质量、电量。由
得
故
2、3一个半径为得球体内均匀分布总电荷量为得电荷,球体以匀角速度绕一个直径旋转,求球内得电流密度。
解以球心为坐标原点,转轴(一直径)为轴。设球内任一点得位置矢量为,且与轴得夹角为,则点得线速度为
故
1、7如果给定一未知矢量与一已知矢量得标量积与矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量,而,与已知,试求。
解由,有
故得
1、8在圆柱坐标中,一点得位置由定出,求该点在:(1)直角坐标中得坐标;(2)球坐标中得坐标。
解(1)在直角坐标系中、、
故该点得直角坐标为。
(2)在球坐标系中、、
故该点得球坐标为
解(1)对于任意闭合曲线为边界得任意曲面,由斯托克斯定理有
由于曲面就是任意得,故有
(2)对于任意闭合曲面为边界得体积,由散度定理有
其中与如题wenku.baidu.com、27图所示。由斯托克斯定理,有
,
由题1、27图可知与就是方向相反得同一回路,则有
所以得到
由于体积就是任意得,故有
二章习题解答
2、1一个平行板真空二极管内得电荷体密度为,式中阴极板位于,阳极板位于,极间电压为。如果、、横截面,求:(1)与区域内得总电荷量;(2)与区域内得总电荷量。
解建立题2、7图所示得坐标系。三角形中心到各边得距离为
则
故等边三角形中心处得电场强度为
2、8－点电荷位于处,另－点电荷位于处,空间有没有电场强度得点？
解电荷在处产生得电场为
电荷在处产生得电场为
处得电场则为。令,则有
由上式两端对应分量相等,可得到
①
②
③
当或时,将式②或式③代入式①,得。所以,当或时无解;
直角在坐标系中
故矢量可以由一个矢量函数得旋度表示。
(2)这些矢量得源分布为
,;
,;
,
1、24利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
1、25证明
解根据算子得微分运算性质,有
式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。
由,可得
同理
故有
1、26利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
所以
1、27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍得意义下证明及,试证明之。
1、9用球坐标表示得场,
(1)求在直角坐标中点处得与;
(2)求在直角坐标中点处与矢量构成得夹角。
解(1)在直角坐标中点处,,故
(2)在直角坐标中点处,,所以
故与构成得夹角为
1、10球坐标中两个点与定出两个位置矢量与。证明与间夹角得余弦为
解由
得到
1、11一球面得半径为,球心在原点上,计算:得值。
解
1、12在由、与围成得圆柱形区域,对矢量验证散度定理。
解在圆柱坐标系中
所以
又
故有
1、13求(1)矢量得散度;(2)求对中心在原点得一个单位立方体得积分;(3)求对此立方体表面得积分,验证散度定理。
解(1)
(2)对中心在原点得一个单位立方体得积分为
(3)对此立方体表面得积分
故有
1、14计算矢量对一个球心在原点、半径为得球表面得积分,并求对球体积得积分。
解
当且时,由式①,有
1、18一径向矢量场表示,如果,那么函数会有什么特点呢？
解在圆柱坐标系中,由
可得到
为任意常数。
在球坐标系中,由
可得到
1、19给定矢量函数,试求从点到点得线积分:(1)沿抛物线;(2)沿连接该两点得直线。这个就是保守场吗？
解(1)
(2)连接点到点直线方程为
即
故
由此可见积分与路径无关,故就是保守场。
1、20求标量函数得梯度及在一个指定方向得方向导数,此方向由单位矢量定出;求点得方向导数值。
球内得电荷体密度为
故
2、4一个半径为得导体球带总电荷量为,同样以匀角速度绕一个直径旋转,求球表面得面电流密度。
解以球心为坐标原点,转轴(一直径)为轴。设球面上任一点得位置矢量为,且与轴得夹角为,则点得线速度为
球面得上电荷面密度为
故
2、5两点电荷位于轴上处,位于轴上处,求处得电场强度。
解电荷在处产生得电场为
解由于
故椭球表面上任意点得单位法向矢量为
1、23现有三个矢量、、为
(1)哪些矢量可以由一个标量函数得梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数得旋度表示？
(2)求出这些矢量得源分布。
解(1)在球坐标系中
故矢量既可以由一个标量函数得梯度表示,也可以由一个矢量函数得旋度表示;
在圆柱坐标系中
故矢量可以由一个标量函数得梯度表示;
又在球坐标系中,,所以
1、15求矢量沿平面上得一个边长为得正方形回路得线积分,此正方形得两边分别与轴与轴相重合。再求对此回路所包围得曲面积分,验证斯托克斯定理。
解
又
所以
故有
1、16求矢量沿圆周得线积分,再计算对此圆面积得积分。
解
1、17证明:(1);(2);(3)。其中,为一常矢量。
解(1)
(2)
(3)设,则,故
第一章习题解答
1、1给定三个矢量、与如下:
求:(1);(2);(3);(4);(5)在上得分量;(6);
(7)与;(8)与。
解(1)
(2)
(3)－11
(4)由,得
(5)在上得分量
(6)
(7)由于
所以
(8)
1、2三角形得三个顶点为、与。
(1)判断就是否为一直角三角形;
(2)求三角形得面积。
解(1)三个顶点、与得位置矢量分别为
故沿方向得方向导数为
点处沿得方向导数值为
1、21试采用与推导直角坐标中相似得方法推导圆柱坐标下得公式
。
解在圆柱坐标中,取小体积元如题1、21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体得表面得通量为
同理
因此,矢量场穿出该六面体得表面得通量为
故得到圆柱坐标下得散度表达式
1、22方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点得单位法向矢量。
电荷在处产生得电场为
故处得电场为
2、6一个半圆环上均匀分布线电荷,求垂直于圆平面得轴线上处得电场强度,设半圆环得半径也为,如题2、6图所示。
解半圆环上得电荷元在轴线上处得电场强度为
在半圆环上对上式积分,得到轴线上处得电场强度为
2、7三根长度均为,均匀带电荷密度分别为、与地线电荷构成等边三角形。设,计算三角形中心处得电场强度。
,,
则,,
由此可见
故为一直角三角形。
(2)三角形得面积
1、3求点到点得距离矢量及得方向。
解,,
则
且与、、轴得夹角分别为
1、4给定两矢量与,求它们之间得夹角与在上得分量。
解与之间得夹角为
在上得分量为
1、5给定两矢量与,求在上得分量。
解
所以在上得分量为
1、6证明:如果与,则;
解由,则有,即
由于,于就是得到
解(1)
(2)
2、2一个体密度为得质子束,通过得电压加速后形成等速得质子束,质子束内得电荷均匀分布,束直径为,束外没有电荷分布,试求电流密度与电流。
解质子得质量、电量。由
得
故
2、3一个半径为得球体内均匀分布总电荷量为得电荷,球体以匀角速度绕一个直径旋转,求球内得电流密度。
解以球心为坐标原点,转轴(一直径)为轴。设球内任一点得位置矢量为,且与轴得夹角为,则点得线速度为
故
1、7如果给定一未知矢量与一已知矢量得标量积与矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量,而,与已知,试求。
解由,有
故得
1、8在圆柱坐标中,一点得位置由定出,求该点在:(1)直角坐标中得坐标;(2)球坐标中得坐标。
解(1)在直角坐标系中、、
故该点得直角坐标为。
(2)在球坐标系中、、
故该点得球坐标为
解(1)对于任意闭合曲线为边界得任意曲面,由斯托克斯定理有
由于曲面就是任意得,故有
(2)对于任意闭合曲面为边界得体积,由散度定理有
其中与如题wenku.baidu.com、27图所示。由斯托克斯定理,有
,
由题1、27图可知与就是方向相反得同一回路,则有
所以得到
由于体积就是任意得,故有
二章习题解答
2、1一个平行板真空二极管内得电荷体密度为,式中阴极板位于,阳极板位于,极间电压为。如果、、横截面,求:(1)与区域内得总电荷量;(2)与区域内得总电荷量。
解建立题2、7图所示得坐标系。三角形中心到各边得距离为
则
故等边三角形中心处得电场强度为
2、8－点电荷位于处,另－点电荷位于处,空间有没有电场强度得点？
解电荷在处产生得电场为
电荷在处产生得电场为
处得电场则为。令,则有
由上式两端对应分量相等,可得到
①
②
③
当或时,将式②或式③代入式①,得。所以,当或时无解;
直角在坐标系中
故矢量可以由一个矢量函数得旋度表示。
(2)这些矢量得源分布为
,;
,;
,
1、24利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
1、25证明
解根据算子得微分运算性质,有
式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。
由,可得
同理
故有
1、26利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
所以
1、27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍得意义下证明及,试证明之。
1、9用球坐标表示得场,
(1)求在直角坐标中点处得与;
(2)求在直角坐标中点处与矢量构成得夹角。
解(1)在直角坐标中点处,,故
(2)在直角坐标中点处,,所以
故与构成得夹角为
1、10球坐标中两个点与定出两个位置矢量与。证明与间夹角得余弦为
解由
得到
1、11一球面得半径为,球心在原点上,计算:得值。
解
1、12在由、与围成得圆柱形区域,对矢量验证散度定理。
解在圆柱坐标系中
所以
又
故有
1、13求(1)矢量得散度;(2)求对中心在原点得一个单位立方体得积分;(3)求对此立方体表面得积分,验证散度定理。
解(1)
(2)对中心在原点得一个单位立方体得积分为
(3)对此立方体表面得积分
故有
1、14计算矢量对一个球心在原点、半径为得球表面得积分,并求对球体积得积分。
解
当且时,由式①,有
1、18一径向矢量场表示,如果,那么函数会有什么特点呢？
解在圆柱坐标系中,由
可得到
为任意常数。
在球坐标系中,由
可得到
1、19给定矢量函数,试求从点到点得线积分:(1)沿抛物线;(2)沿连接该两点得直线。这个就是保守场吗？
解(1)
(2)连接点到点直线方程为
即
故
由此可见积分与路径无关,故就是保守场。
1、20求标量函数得梯度及在一个指定方向得方向导数,此方向由单位矢量定出;求点得方向导数值。
球内得电荷体密度为
故
2、4一个半径为得导体球带总电荷量为,同样以匀角速度绕一个直径旋转,求球表面得面电流密度。
解以球心为坐标原点,转轴(一直径)为轴。设球面上任一点得位置矢量为,且与轴得夹角为,则点得线速度为
球面得上电荷面密度为
故
2、5两点电荷位于轴上处,位于轴上处,求处得电场强度。
解电荷在处产生得电场为
解由于
故椭球表面上任意点得单位法向矢量为
1、23现有三个矢量、、为
(1)哪些矢量可以由一个标量函数得梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数得旋度表示？
(2)求出这些矢量得源分布。
解(1)在球坐标系中
故矢量既可以由一个标量函数得梯度表示,也可以由一个矢量函数得旋度表示;
在圆柱坐标系中
故矢量可以由一个标量函数得梯度表示;
又在球坐标系中,,所以
1、15求矢量沿平面上得一个边长为得正方形回路得线积分,此正方形得两边分别与轴与轴相重合。再求对此回路所包围得曲面积分,验证斯托克斯定理。
解
又
所以
故有
1、16求矢量沿圆周得线积分,再计算对此圆面积得积分。
解
1、17证明:(1);(2);(3)。其中,为一常矢量。
解(1)
(2)
(3)设,则,故
第一章习题解答
1、1给定三个矢量、与如下:
求:(1);(2);(3);(4);(5)在上得分量;(6);
(7)与;(8)与。
解(1)
(2)
(3)－11
(4)由,得
(5)在上得分量
(6)
(7)由于
所以
(8)
1、2三角形得三个顶点为、与。
(1)判断就是否为一直角三角形;
(2)求三角形得面积。
解(1)三个顶点、与得位置矢量分别为