二次根式的运算
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是指含有根号的代数表达式，通常是一种简化和运算方式，可以将复杂的表达式化简为简单的形式，并进行加减乘除等基本运算。
本文将介绍二次根式化简与运算的基本方法和技巧。
一、二次根式的化简1. 同底数的根式相加减：当根式的底数相同且指数相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持根号不变。
例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的有理化：当二次根式的底数是一个整数，但含有一个或多个根号时，可以通过有理化的方法化简。
例如：√(2/3) = (√2)/(√3) = (√2)/(√3) × (√3)/(√3) = √6/33. 二次根式的合并：当二次根式的底数相同，但系数不同时，可以合并为一个根式，将系数加在一起，并保持底数不变。
例如：3√2 + 2√2 = 5√24. 二次根式的分解：当二次根式的底数是一个整数，且无法进行合并时，可以进行分解，并找出其中可以合并的部分。
例如：√12 = √(4 × 3) = 2√3二、二次根式的运算1. 加减运算：当二次根式的底数和指数都相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持底数和指数不变。
例如：2√5 + 3√5 = 5√52. 乘法运算：当二次根式相乘时，可以将根式的系数分别相乘，并保持底数和指数不变。
例如：2√3 × 3√2 = 6√63. 除法运算：当二次根式相除时，可以将根式的系数分别相除，并保持底数和指数不变。
例如：6√8 ÷ 2√2 = 3√24. 乘方运算：当二次根式进行乘方运算时，可以将指数分别应用到系数和根号上，并保持底数不变。
例如：(2√3)^2 = 2^2 × (√3)^2 = 4 × 3 = 12总结：二次根式的化简与运算是一种常见的数学操作，在代数表达式的计算中经常会遇到。
通过适当的化简和运算，可以简化复杂的根式，得到更加简单和规范的表达形式。
熟练掌握二次根式的化简和运算方法，有助于提高数学计算的效率和准确性。
二次根式及其运算
(2)原式＝( 10－3)2016×( 10＋3)2016×( 10－3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2016×( 10－3) ＝[( 10)2－32]2016×( 10－3) ＝(10－9)2016×( 10－3)＝1×( 10－3) ＝ 10－3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次 根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和 x2－y2，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式．应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数， 因式和项有区别．
易错点3
二次根式的性质
＝|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值：a＋ a ＋ 2－2，其中 a＝ . a 5 12 a － 1 1 1 【错解】 原式＝ ＋ a ＝ ＋a－ ＝a. a a a 1 1 当 a＝ 时，原式＝a＝ . 5 5 12 a － 1 【析错】 化简 a2＋ 2－2＝ 根据 a2＝|a|， a 时， a 可知结果一定是非负数． 12 1 a－ a－ 1 1 1 ∵当 a＝ 时，a－ <0，∴ a ＝ a ＝ －a， 5 a a 1 而不是 a－ . a
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x≤ 9
x－ 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y＝ 中， 自变量 x x－ 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x＞1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件，得 x－1≥0，由 分式有意义的条件，得 x－2≠0， ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2．(2016· 自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
二次根式的公式
二次根式的公式
二次函数的求根公式：x=［—b±√（b2—4ac）]/（2a）。
二次根式计算方法：
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结
果必须是分母有理化的）。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时
可以考虑提带根号的公因式。
一般地，形如Va的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，Va表示a的算术平方根；当a小于0时，Va的值为纯虚
数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共
轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
二次根式混合计算
二次根式混合计算二次根式，也叫做二次方根，是指一个数的平方等于给定数的根。
在数学中，二次根式是一个被开方的数，根号下面是一个整数或分数。
二次根式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们分别来看一下这四种运算。
1.二次根式的加法和减法：当两个二次根式具有相同的根指数，并且根数相同，可以进行加法和减法运算。
例如，√2+√3=√2+√3(二次根式不能进行化简，所以直接相加)√2+√2=2√2(相同数的根数相加)√2+√8=√2+2√2=3√2(相似的根数相加)2.二次根式的乘法：二次根式的乘法需要使用到公式：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd例如，(√3+√2)×(√3+√2)=(√3)²+√3×√2+√3×√2+(√2)²=3+2√6+2√6+2=5+4√63.二次根式的除法：二次根式的除法需要使用到有理化的方法。
具体步骤如下：Step 1: 计算除数和被除数的积Step 2: 将除数和被除数的积化简为一个二次根式Step 3: 用化简后的积除以除数，得到结果例如，计算(√6+√2)÷√2Step 1: (√6 + √2) ×√2 = 2√3 + 2Step 2: 化简为2√3 + 2Step 3: (2√3 + 2) ÷√2 = (2√3 ÷√2) + (2 ÷√2)=2√2+√2=3√2这就是二次根式的加法、减法、乘法和除法的基本运算方法。
除此之外，二次根式还有很多特殊的性质和运算规律，如指数法则、化简法则、合并根的法则等。
在实际的数学问题中，需要根据具体的题目来运用这些性质和规律进行计算。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是数学中的一个重要概念，它与根式和平方根密切相关。
在本文中，我们将介绍二次根式的定义、运算法则以及一些常见的例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
二次根式有以下几个基本特点：1. 当被开方数a为非负实数时，二次根式有意义，结果为一个实数；2. 当被开方数a为负实数时，二次根式无意义，即不存在实数解。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的相加减法则：对于两个二次根式，若它们的被开方数相同，则它们可以直接相加或相减。
例如：√2 + √2 = 2√2；5√3 - 2√3 = 3√32. 二次根式的乘法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行乘法运算，并将结果相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行除法运算，并将结果相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的化简在进行二次根式的运算过程中，我们常常需要对二次根式进行化简，使得结果更简洁。
在化简二次根式时，可以利用以下的方法：1. 因式分解法：将被开方数进行因式分解，然后利用乘法法则将二次根式化简。
例如：√(8) = √(2 × 2 × 2) = 2√22. 合并同类项法：对于具有相同根号下的数的二次根式，可以合并为同一个二次根式。
例如：5√3 + 3√3 = 8√3四、二次根式的应用举例下面我们来举一些常见的二次根式的应用例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式的概念和运算法则。
例题一：计算下列各式的值，并化简结果：√12 + 2√3解：首先对被开方数进行因式分解：√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3将化简后的结果代入原式：2√3 + 2√3 = 4√3例题二：化简下列各式：5√6 - √24解：对被开方数进行因式分解：√24 = √(2 × 2 × 2 × 3) = 2√6将化简后的结果代入原式：5√6 - 2√6 = 3√6总结：本文介绍了二次根式的定义、运算法则，以及二次根式的化简方法。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算1、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．2、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．一、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
二、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：1a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
2、两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．三、二次根式的乘除1、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
a≥0，b≥0）2、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a≥0，b≥0）注意：1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解；3、c＝abc（ a ≥0，b≥0，c ≥03、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例1．=，且x为偶数，求（1+x的值．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．例2=成立的的x的取值范围是（）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解例3、·（m>0，n>0）解： 原式＝=-22n n m m =-例4、（a>0）解：原式规律公式：1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-同理可得：计算代数式（+）的值．解：原式=（……）=（） =2002-1=20012、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用a(a>1的整数)表示的等式，并给出验证过程.（aa>1））。
二次根式的化简与运算方法
二次根式的化简与运算方法二次根式是指含有根号的算式，可以看作是根数和字母的组合。
化简二次根式是对根式进行简化，使得根号下的数变得更简洁。
而运算二次根式则是对含有二次根式的算式进行加减乘除等数学运算。
一、二次根式的化简方法二次根式的化简涉及到有理化的概念，有理化即通过变形将根式转换成有理数的操作。
下面将分别介绍三种常见的二次根式的化简方法。
1. 同底同指并简化当二次根式的根号下的数相同，指数相同时，可以进行合并并简化。
例如：√8 + √8 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 有理化分母对于分母含有根号的二次根式，可以通过有理化的方法将其转化为有理数。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/33. 用有理数乘以二次根式可以使用有理数乘以二次根式进行化简。
例如：2√5 × 3√5 = 6√25 = 30二、二次根式的运算方法二次根式的运算涉及到加减乘除等数学运算，下面将分别介绍这几种运算方法。
1. 加减运算二次根式的加减运算需要先找到根号下的数相同的根式，然后根据正负号进行合并。
例如：√5 + √8 = √5 + 2√2 （不能合并）2√3 + 3√3 = 5√32. 乘法运算二次根式的乘法运算可以直接相乘。
例如：√5 × √2 = √103√3 × 2√3 = 6√9 = 6×3 = 183. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法转化为乘法。
例如：(√10) / (√5) = (√10) / (√5) × (√5) / (√5) = (√50) / 5 = 10/5 = 24. 指数运算对于含有二次根式的指数运算，可以将根式拆解成两个因数相同的根式。
例如：(√2) ^ 3 = (√2) × (√2) × (√2) = (√8) = 2√2结论二次根式的化简与运算方法在数学的学习中经常会用到，掌握了这些方法能够帮助我们更好地解决问题。
二次根式加减运算法则公式
二次根式加减运算法则公式1. 什么是二次根式？二次根式是指某个数的平方根，其中这个数可以是整数、分数或者解析式的形式。
例如√16、√(4/9)、√(x+1) 都是二次根式。
2. 二次根式加减法则对于二次根式的加减运算，需要遵循一定的法则，以下是二次根式加减法则：1. 对于同类项的二次根式，即根号里面的数相同的根式，可以直接合并，例如√2+√2=2√2。
2. 对于不同类项的二次根式，则不能直接合并，需要进行化简，即将其转化为同类项的形式后再合并。
3. 化简的方法一般有提公因式、有理化分母等，但需要保证等式两边的值相等。
3. 实例分析为了更好地了解二次根式加减法则，下面举几个例子进行分析：1. 化简√10+2√5-√80将√10 和√5 提取公因式得到√10+2√5-√80=√2(5+10-40)=√2(-25)=-5√2。
因此，√10+2√5-√80=-5√2。
2. 化简√(2/5)+√(3/20)先将分母提出来，即√(2/5)+√(3/20)=√(2)/√(5)+√(3)/√(20)。
然后将分母有理化，即分别用√(5) 和√(20) 乘以相应分子分母。
化简后的结果是：√(2)/√(5)+√(3)/√(20)=√(40)/5+√(15)/10。
3. 化简√3-√7+√12将√3和√12提取公因式，得到√3-√7+√12=√3+2√3-√7-2√3+√12=(√3+2√3+√12)-(2√3+√7)因此，√3-√7+√12=3√3-√7-2√3+√12=√3-√7+√12。
4. 总结二次根式是基础数学中的重要概念，对于二次根式的加减运算，也有一定的规则和方法。
只有掌握了二次根式的加减法则，才能更好地处理涉及到二次根式的问题。
二次根式运算法则
二次根式运算法则
二次根式运算法则是一种常见的数学运算方法，主要用于计算二次根式的值。
它基于二次根式的定义，即一个数的平方根就是这个数的二次根式。
二次根式运算法则的步骤如下：
1.将被开方数分解成两个数的乘积，即a=b×c，其中b和c 是整数且互质。
2.将a带入平方根式中，得到一个形如√(a)的表达式。
3.对√(a)进行开方，得到a的值。
简单来说，二次根式运算法则就是通过分解被开方数，来求得它的值。
需要注意的是，二次根式只适用于被开方数非负的情况。
如果被开方数是负数，那么它的平方根也是负数。
此外，由于二次根式中涉及到根号，因此只有当被开方数非负时，才有意义。
如果被开方数是负数，那么它的平方根也是负数，这时候就不能再对它进行开方了。
总之，二次根式运算法则是一种非常有用的数学运算方法，它在各个领域都有广泛的应用，特别是在数学、物理、化学等领域。
掌握它可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。
二次根式
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
满足两个条件：一、有二次根号；二、被开方数是非负实数 2.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a23.二次根式的四则运算：（1）乘法：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） （2）除法：ba b a=（a ≥0，b ≥0） 若除得的商的被开方数中含有完全平方数（式），应对其进行化简成最简二次根式，即1、被开方数中不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）加减：先将二次根式化成最简二次根式，对被开方数相同的的二次根式进行相加减（合并同类项）4、常见考点：求平方根、立方根；二次根式的定义；二次根式的性质；二次根式的运算法则；二次根式的化简；二次根式的运算考点1： 平方根、立方根 相关知识：1．任何非负数都有平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a 的平方根表示为a ±；0的平方根为0；负数没有平方根.2．非负数a 的非负平方根叫做算术平方根，表示为a .3．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0. 任何数a 的立方根表示为3a .相关试题1. （2011内蒙古乌兰察布，1，3分）4 的平方根是（ ） A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 【答案】C2 .（2011湖南怀化，1，3分）49的平方根为A ．7 B.－7 C.±7 D.±7 【答案】Ca （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；3 （2011山东日照，1，3分）(－2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）－2 （D ）2 【答案】A4. （2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是 ． 【答案】45. （2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ． 【答案】36. (2011江苏南京，1，2分)9的值等于A ．3B ．－3C ．±3D ．3【答案】A7 .（2011江苏南通，3，3分）计算327的结果是 A ．±33 B. 33 C. ±3 D. 3【答案】D.8. （2011江苏无锡，11，2分）计算：38 = ____________． 【答案】29 .（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（ ）A ． 2(3)3-=-B ．233-=-C ．2(3)3±=±D ．233=± 【答案】B10. （2011广东茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．【答案】2考点2： 二次根式的定义相关知识：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在数学中，我们常常遇到二次根式的概念与运算，本文将详细介绍二次根式的概念与运算方法。
一、二次根式的概念及表示二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号（√）作为符号，其表示如下：√a其中，a表示被开方数，且a必须是非负实数。
如果a为正实数，则二次根式具有两个相等的实数解；如果a为0，则二次根式等于0；如果a为负实数，则二次根式无实数解，但可以表示为复数形式。
二次根式可以进一步扩展，形式如下：b√a其中，b为系数，a为被开方数，同样要求a为非负实数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法：当二次根式的被开方数相同，即√a与√a相加或相减时，可以直接对系数进行加减运算。
例如：2√3 + 3√3 = 5√34√5 - √5 = 3√5当二次根式的被开方数不同，即√a与√b相加或相减时，无法简化为一个二次根式，需要保持原样。
例如：2√3 + 3√53√7 - 5√22. 二次根式的乘法：二次根式相乘时，可以分别对系数和被开方数进行乘法运算，并合并结果。
例如：2√3 * 3√2 =6√64√5 * 2 = 8√53. 二次根式的除法：二次根式相除时，可以分别对系数和被开方数进行除法运算，并合并结果。
例如：3√6 / √2 = 3√(6/2) = 3√34√10 / 2 = 2√10三、二次根式问题的简化与应用在实际问题中，我们常常需要对二次根式进行简化，使其表达更加简洁和明确。
1. 简化二次根式：当二次根式的被开方数可以被分解为完全平方数与非完全平方数的乘积时，可以进行简化。
例如：√18 = √(9 * 2) = 3√22. 二次根式的应用：二次根式在几何学、物理学等领域具有广泛应用。
例如，计算三角形的边长、面积等问题中常常涉及到二次根式的运算。
四、总结本文对二次根式的概念与运算进行了详细的介绍。
二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号作为符号。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算是指两个二次根式进行加法或减法运算。
要
进行二次根式的加减运算，需满足被开方数相同，且根号内的数也相同。
即若两个二次根式为√a和√b，则可进行加减运算的前提是a＝b。
具体操作时，对于加法运算，将两个二次根式的系数相加，并保
持根号内的数不变。
例如：√a + √a = 2√a。
对于减法运算，将两个二次根式的系数相减，并保持根号内的数
不变。
例如：√a - √a = 0。
需要注意的是，除非被开方数相同，否则两个二次根式不能进行
加减运算。
二次根式计算方法
二次根式计算方法
1 二次根式计算法
二次根式是一种求解多项式两个解的算法。
它的公式是：x的二次根式=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a}，其中a、b、c分别是一
元二次方程中的三个系数。
二次根式属于代数方面的基本运算，其用法极其简单。
在求解一
元二次方程时，只需要将当前的问题代入公式中，并将所有系数带入
公式中，就可以得到方程的两个解。
其计算过程仅仅需要使用最简单
的四则运算和开方运算，因此也是一种暴力破解的计算方法，而且可
以说是一种非常有效的破解方法。
在这里，当使用二次根式的时候要注意的有几点：首先，要确保
系数的准确性，否则会出现无法解决的错误；其次，开方过程中有些
系数会导致不等式的开方结果大于0，此时要检查不等式范围是否正确；最后，二次根式在求解一元二次方程时，会出现一项叫做“原式”的
数据，有时会因为这个“原式”数据而导致最后结果出错。
二次根式式一种求解一元二次方程两个解的暴力破解计算方法，
用户只需要正确输入方程系数和“原式”，就可以得到这个方程的两
个解，简单易用又精准。
二次根式的计算
二次根式的计算二次根式是指形式为√b的算式，其中b为一个正数。
在数学中，计算二次根式是一项基础的数学运算。
本文将介绍二次根式的计算方法，并通过例题展示具体操作步骤。
一、二次根式的定义和性质二次根式的定义：对于任意一个非负实数b，如果存在一个非负实数a，满足a^2=b，则称根号b为二次根式，记作√b。
二次根式的性质：1. 非负数的二次根式一定存在，且有两个相等的值。
2. 负数的二次根式在实数范围内无意义。
3. 二次根式的和差可以通过分解因式的方法进行简化。
二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减运算当两个二次根式的被开方数相同时，可以直接进行加减运算，保留相同的根号并按照正常的加减法规则进行操作。
例如：计算√2 + √2。
解：√2 + √2 = 2√2。
2. 二次根式的乘法运算当两个二次根式相乘时，可以按照一般的乘法规则进行展开和简化。
例如：计算√2 × √3。
解：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算当两个二次根式相除时，可以将分子和分母都分解为素因数相同的部分，并互相约去。
例如：计算√12 ÷ √4。
解：√12 ÷ √4 =√(12 ÷ 4) = √3。
三、例题解析1. 计算√18 - √8。
解：√18 - √8 = √(9 × 2) - √(4 × 2) = 3√2 - 2√2 = √2。
2. 计算5√27 × 2√12。
解：5√27 × 2√12 = 5 × 3√3 × 2 × 2√3 = 30√3 × 2√3 = 60。
3. 计算√(25 ÷ 49)。
解：√(25 ÷ 49) = √(1 ÷ 7) = √(1 × 7) = √7。
四、总结本文介绍了二次根式的定义和性质，包括二次根式的加减、乘除运算方法，并通过例题进行了具体解析。
二次根式运算
②合并同类二次根式与整式中的合并同类项类似，只需把同类二次根式前面的有理数(或有理式)相加减就行了。
题型1：题型2：二次根式的性质及简单运算例1：化简 （1（2 （3 （4.11)1(到根号里面中的根号外面的因式移将aa --例2：计算 （1）2（x ≥0） （2）2（3）2 （4））2题型3：最简二次根式和同类二次根式 例1： 把下列两组中的各二次根式分别化为最简二次根式，并指出哪些是同类二次根式。
（1） （2）例2：已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，求a 与n 的值。
题型4：二次根式的运算例1：101531251812775，，，-3453x x y x y x y x y，，-7--a n a 328n (.)()052131875---例2：把下列各式分母有理化（1） （2）例3：(1)(+)×(2) (4632)22-÷.例4：19961997(3(3+-三、课堂达标检测 1. ，则（ ）A ．a ＜B . a ≤C .a ＞ D . a ≥ 2.已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 3.当实数x 的取值使得有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ） A .y ≥-7 B . y ≥9 C . y >9 D . y ≤94. 有意义，则的取值范围是 。
5. 在实数范围内分解因式：。
5. 当1≤x<5。
1945-322322-+12a -121212123y =2xy 15-15152-1522-x 11m +m 429__________,2__________x x -=-+=5_____________x -=6. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
7.成立的条件是 。
8. 若互为相反数，则。
9.，求x 、y 的值。
10. 已知的值。
11.数轴上与1，2对应的点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，设点C 表示的数为x ，则=+-xx 22 .12.计算：21-2-38232-+⨯+13.已知3232-=+=b a ，，试求a b b a -的值.1x =+1x+1a b -+()2005_____________a b -=2440y y -+=2310x x -+=。
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
二次根式的运算(含答案)
二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。
也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。
精典例题： 【例1】计算：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322212143222； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--31221821812；（3）()()()200215415215200020012002++-+-+；（4）()()235235-++-；（5）()1211321231260sin -⎪⎭⎫⎝⎛-+---++。
答案：（1）3324-；（2）24332-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a bab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+分析：将ba b a +和ba b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变为乘以ab1，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：原式＝ba b ba a ++-+1＝1-++ba b a ＝0【例3】已知131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a ab 的值。
分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。
解：由已知得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。
分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。
∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414 ∴23-＜12-同理：34-＜23-，45-＜34-根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n证明：n n -+1＝()()n n nn nn ++++-+111＝()()nn n n ++-+1122＝nn ++111--n n ＝()()111-+-+--n n n n n n＝()()1122-+--n n n n＝11-+n n又∵nn ++11＜11-+n n∴n n -+1＜1--n n【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 322442+--（b a 20<<）解：原式＝a b ab a b b a a )44(222+-- ①＝22)2(2a b a ab b a a -- ②＝ab ab a b a a⋅-⋅-22 ③＝ab aba b a a ⋅-⋅-22 ④＝ab问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。
二次根式的运算规则
二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。
二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。
首先，我们来讨论二次根式的加减运算。
对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。
但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。
例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。
接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。
对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。
例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。
除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。
对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。
有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。
例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。
此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。
对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。
例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。
在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。
例如，√4 = 2，√9 = 3等。
最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。
对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。
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二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1.学习目标(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.3.难点(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.思路点拨：直接利用计算即可．解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy；(5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01) 解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=+=+=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C．D．2. 下列各式不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列根式中，与是同类二次根式的为（）A． B．C．D．4.(江苏省无锡市)下列各式中，与是同类根式的是（）A． B． C．D．5.若最简二次根式与是同类二次根式，则a=（）A．1 B．2 C．D．–26. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 与是同类二次根式C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式7. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.8. 若，则化简的结果是（）A. B. C. 3 D. -39. 若，则的值等于（）A. 4B.C. 2D.10.(辽宁省大连市) 计算的结果是（）A．B．2 C．D．1.411.(四川省攀枝花市) 下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．12.(山东省东营市)下列计算正确的是( )A．B．==1 C． D．13. 下列式子中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题1.若最简根式与根式是同类二次根式，则a = ____________.2. 计算：.3. 计算：.4.(广东省) 化简= ____________.5.(安徽省) 计算的结果是___________.6.(南昌) 计算：___________.7.(重庆市) 化简： = ___________.8.计算：___________.9.计算：=___________.10.计算：=___________.11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是_________cm.12.已知，则.三、解答题1. 计算：2. 计算：⑴⑵⑶⑷3.计算：(1)；(2).能力提升一、选择题1. 已知，化简二次根式的正确结果为（）A. B. C. D.2. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（）A. B.C. D.3. 和的大小关系是（）A. B. C. D. 不能确定4.(山东省济南市)已知，则代数式的值为（）A．B． C．D．5.(山东省临沂市) 计算的值为( )A．2 B．-2 C．-2-2D．-2＋26.化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. 1 D. 3二、填空题1. 当，时，.2.若，则___________.3.若最简二次根式与是同类二次根式，则.4. 已知，则.5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.01）.6.(天津市)已知x＝，则的值等于____________.7.计算：___________.三、解答题1. 把根号外的因式移到根号内：；.2.计算：3.(辽宁省锦州市)计算：.4.(广西省贺州市) 计算：.5.(江苏省南通市) 计算：.6. 计算及化简：⑴；⑵；⑶；⑷.7. 已知：，求的值.综合探究先观察下列等式，再回答问题：①=②=③=(1) 根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；(2) 请按照上面几个等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.答案与解析基础达标一、选择题1.B2.D3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.C 10.C 11.B 12.A 13.C二、填空题1.2；2.，18；3.-5；4.；5.-1；6.；7.；8.；9.-1；10.；11.；12..三、解答题1. ；2. ；3.解：(1)原式(2)原式能力提升一、选择题1.D2.C3.A4.A5.B6.A7.C二、填空题1.；2.3.1，1；4.10；5.2.83；6.4；7..解：原式三、解答题1.2.解：3.解：4.解：5.解：6. ；7.解：综合探究解：(1)结果为.，验证：；(2).。