6二次根式及其运算
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二次根式就是非负数的算术平方根
考点二
二次根式定义及意义
例2.1、下列各式是二次根式吗?
(1) 4 (4) xy
（X,y异号）
(2) 6 (5) a 1
2
(3) 12 (6)
3
5,
考点二
二次根式定义及意义
2、x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义
(1) 3 x x 2
(3) (3 x) 2
二次根式复习
考点一 平方根、算术平方根与立方根
平方根
平方 等于a，那么x叫做a的平方根， 一个数x的______ 记作± a
数
的 开 方
平方 算术平 一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平 方根 方根，记作 a .0的算术平方根是0
立方 等于a，那么x叫做a的立方根 立方根 一个数x的________
2
(2)
2x 1 x
2
x2
(3 x) (4) x2
0
考点二
二次根式定义及意义
训练2 2 无论 x取任意实数，代数式 x 6x m 都有意义，则m的取值范围是 。
考点三
最简二次根式和同类二次根式
a≥0 的式子叫做二次根式 形如 a (________)
a中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0
3.已知：y=
+
+
，求
﹣
的值．
考点一 平方根、算术平方根与立方根 例1 (1) 16的平方根是( A． 1 个 C． 3 个 训练1 ) B．2个 D． 4 个
(1)(－2)3的立方根是(
A． 2 C．－2 （2） 16的平方根是
)
B．±2 D. 。
2
考点二
二次根式定义及意义
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
（其中a叫被开方数）
（1） ( 3) 2 ____
( x 7) 1 ，则x的取值范围是＿＿ x7 （3） 若化简 1 x x 2 8 x 16 的结果为2x－5，
（2）若
2
求x取值范围.
4、已知
，则a的取值范围是：
。
5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，
化简|a|+
的结果是：
A. 2x
2
B. b 1
D. x 6 y 6
2
C. a 4 b 4
(2)若最简二次根式 a2 3 和 5a 3 是 同类二次根式,求a的值.
训练3
1、下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的 是（ ） 1 A. 18 B. C. 24 D. 0.3 3 2、若二次根式 18 和 11 a 是同类二次根 式,求正整数a的值.
Hale Waihona Puke Baidu
二 定义 次 根 式 防错提醒 最 简 二 次 根 式
同 类 二 次 根 式
同时满足下列三个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数不含分母 (3)分母中不含有根号
化简后被开方数相同的二次根式叫同类二次根式
考点三
最简二次根式和同类二次根式
例3.(1)下列根式中,不是最简二次根式是( )
(3 10)
2016
考点七 二次根式的化简求值
1 已知 : m , 例8、 2 3 1 2m m m 2m 1 求 的值. 2 m 1 m m 训练8
2 2
1 1 (1)已知 a 5 , 求a 的值. a a
2
1 （2）已知m是 2 的小数部分，求 m 2 2 的值 m
2、当a取什么值时， 3a 2 1 取值最小，并求 出这个最小值。
3、实数a、b满足
a 1 4a 4ab b 0 ，
2 2
则ba的值为：
。
考点四 二次根式的主要性质
a = ∣ a∣
2
a
=a
2
2 ( x 2) x 2 ，则x的取值范围是 例5、
＿。
训练5
商的算术 平方根
b b ＝ (a________ ，b________) ≥0 >0 a a
考点四 二次根式的主要性质
双重非负性 例4 若实数x，y满足|x－4|＋ y －＝ 8 0，则以x，
y的值为边长的等腰三角形的周长为_____． 训练4 1、已知a，b为实数且满足 求a＋2b 的平方根.
a 2b 1 1 2b 1
例6：把下列二次根式化为最简二次根式。
3 (1) 800 (2) 2
1 (3) 0.4 (4) 25 4
考点五
计算:
二次根式的混合运算
1 3 2 （1） 9 45 (3 ) 2 5 2 3
(2) (3 48 4 27) 2 3
(3)(3 2 4 5)
2
(4)(3 10)
2015
考点四 二次根式的主要性质
双重非负性） a ≥ 0 ，a ≥ 0 （ 2 ≥0 三个重要 ( a) ＝a(a________) 的性质 a （a≥0） 2 a ＝|a|＝ －a （a<0）
二 次 根 式 的 性 质
积的算术 平方根
ab＝ a· b(a________ ，b________) ≥0 ≥0
。
1 6、化简 (a 1) ，正确的是（ 1 a
A. 1 a B.
）
1 a
C. a 1 D.
a 1
7.已知xy＜0，化简二次根式 确结果为： 。
的正
8.化简 是：
﹣（
。
）2，结果
考点四 二次根式的主要性质
ab a b (a 0, b 0)
a a (a 0, b 0) b b
考点二
二次根式定义及意义
例2.1、下列各式是二次根式吗?
(1) 4 (4) xy
（X,y异号）
(2) 6 (5) a 1
2
(3) 12 (6)
3
5,
考点二
二次根式定义及意义
2、x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义
(1) 3 x x 2
(3) (3 x) 2
二次根式复习
考点一 平方根、算术平方根与立方根
平方根
平方 等于a，那么x叫做a的平方根， 一个数x的______ 记作± a
数
的 开 方
平方 算术平 一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平 方根 方根，记作 a .0的算术平方根是0
立方 等于a，那么x叫做a的立方根 立方根 一个数x的________
2
(2)
2x 1 x
2
x2
(3 x) (4) x2
0
考点二
二次根式定义及意义
训练2 2 无论 x取任意实数，代数式 x 6x m 都有意义，则m的取值范围是 。
考点三
最简二次根式和同类二次根式
a≥0 的式子叫做二次根式 形如 a (________)
a中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0
3.已知：y=
+
+
，求
﹣
的值．
考点一 平方根、算术平方根与立方根 例1 (1) 16的平方根是( A． 1 个 C． 3 个 训练1 ) B．2个 D． 4 个
(1)(－2)3的立方根是(
A． 2 C．－2 （2） 16的平方根是
)
B．±2 D. 。
2
考点二
二次根式定义及意义
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
（其中a叫被开方数）
（1） ( 3) 2 ____
( x 7) 1 ，则x的取值范围是＿＿ x7 （3） 若化简 1 x x 2 8 x 16 的结果为2x－5，
（2）若
2
求x取值范围.
4、已知
，则a的取值范围是：
。
5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，
化简|a|+
的结果是：
A. 2x
2
B. b 1
D. x 6 y 6
2
C. a 4 b 4
(2)若最简二次根式 a2 3 和 5a 3 是 同类二次根式,求a的值.
训练3
1、下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的 是（ ） 1 A. 18 B. C. 24 D. 0.3 3 2、若二次根式 18 和 11 a 是同类二次根 式,求正整数a的值.
Hale Waihona Puke Baidu
二 定义 次 根 式 防错提醒 最 简 二 次 根 式
同 类 二 次 根 式
同时满足下列三个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数不含分母 (3)分母中不含有根号
化简后被开方数相同的二次根式叫同类二次根式
考点三
最简二次根式和同类二次根式
例3.(1)下列根式中,不是最简二次根式是( )
(3 10)
2016
考点七 二次根式的化简求值
1 已知 : m , 例8、 2 3 1 2m m m 2m 1 求 的值. 2 m 1 m m 训练8
2 2
1 1 (1)已知 a 5 , 求a 的值. a a
2
1 （2）已知m是 2 的小数部分，求 m 2 2 的值 m
2、当a取什么值时， 3a 2 1 取值最小，并求 出这个最小值。
3、实数a、b满足
a 1 4a 4ab b 0 ，
2 2
则ba的值为：
。
考点四 二次根式的主要性质
a = ∣ a∣
2
a
=a
2
2 ( x 2) x 2 ，则x的取值范围是 例5、
＿。
训练5
商的算术 平方根
b b ＝ (a________ ，b________) ≥0 >0 a a
考点四 二次根式的主要性质
双重非负性 例4 若实数x，y满足|x－4|＋ y －＝ 8 0，则以x，
y的值为边长的等腰三角形的周长为_____． 训练4 1、已知a，b为实数且满足 求a＋2b 的平方根.
a 2b 1 1 2b 1
例6：把下列二次根式化为最简二次根式。
3 (1) 800 (2) 2
1 (3) 0.4 (4) 25 4
考点五
计算:
二次根式的混合运算
1 3 2 （1） 9 45 (3 ) 2 5 2 3
(2) (3 48 4 27) 2 3
(3)(3 2 4 5)
2
(4)(3 10)
2015
考点四 二次根式的主要性质
双重非负性） a ≥ 0 ，a ≥ 0 （ 2 ≥0 三个重要 ( a) ＝a(a________) 的性质 a （a≥0） 2 a ＝|a|＝ －a （a<0）
二 次 根 式 的 性 质
积的算术 平方根
ab＝ a· b(a________ ，b________) ≥0 ≥0
。
1 6、化简 (a 1) ，正确的是（ 1 a
A. 1 a B.
）
1 a
C. a 1 D.
a 1
7.已知xy＜0，化简二次根式 确结果为： 。
的正
8.化简 是：
﹣（
。
）2，结果
考点四 二次根式的主要性质
ab a b (a 0, b 0)
a a (a 0, b 0) b b