斯托克斯公式环流量与旋度

P( x(t ),
y(t), z(x(t),
y(t)))xt
dt
C P(x, y, z(x, y))d x
z

Dx
y
P(x, y
y,
z(
x,
y))
d
(利用格林公式)
xd y
O
Dx y
P P z y z y
d x d y
x




(
P y
dxd y 3

利用对称性Dx y
2
10
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
Γ
利用斯托克斯公式得
cos cos cos

I
x y z dS
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0
(2)
对G内任一分段光滑曲线 ,
PdxQd y Rdz

与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
一点, 设其方程为
: z f (x, y), (x, y) Dx y
O
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
x
有向曲线C是在xOy平面上的 投影.
n


Dxy C y
3
分析 :
只证


P z
dzdx P dxdy y

Pdx


P z
cos

dS
C P( x, y, z( x, y))dx
x
三式相加, 即得斯托克斯公式. 7 定理1
注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
Stokes 公式 表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
8
定理1
P y
dxdy

cos
1,
1
f
2 x

f
2 y
cos
fy ,
1
f
2 x

f
2 y

fy

cos cos

P P y z
fy
d x dy
6
因此
P
P
P d x z d z d x y d x d y
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可


P z
cos cos
cos
dS


P[ x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy y

(
P y

P z
z y
)dxdy
4
设 C 的参数方程为: x x(t), y y(t), t .
则
P x, y, zd x


P(x, y, z(x, y))dx
3
x y1

2
dS
z
x2 y2

4 3

S
(
x

y z)dS
(在S上x y z 3) 2

4 3

3 2

S
dS

2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
13
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R 在G内
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取 S 为平面 x y z 3 2
z
n
S
的上侧被 所围Leabharlann Baidu的部分.

则 n 1 {1,1,1}
o
y
x
3
12
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
x y3
Dxy
2
3

I
S
x
y2 z2
3
y z2 x2
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
1
一、 斯托克斯(Stokes)公式
双侧曲面的侧与其边界曲线的方向
设 为双侧曲面, 为其边界曲线,
则 在
的取侧定和的侧的,取方一向代之表间法满向足量右n,手法则n .
若右手大拇指指向n 的方向,
则四指所指的方向就是 的
S
方向.
2
简介
定理1. 设分片光滑曲面 的边界 是分段光滑闭曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在曲面 (包括边界)
上具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
证: 情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 z
R
9
定理1
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个边界, 方向如图所示.
z 1
解: 记三角形域为 , 取上侧,则
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
z
x
y
O
1
1y
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
y2 xy xz

O x
2y
0
11
公式其他形式
例 3 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
其中是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立.
同理可证

Qd
y


Q x
d
xd
y

Q z
d
yd
z

Rd
x


R d y
yd
z
Rd zd x

P z
f y )dxdy
定理1
n

Dxy C y
5
而


P z
dzdx

P y
dxdy



P z
cos

dS



P y
dxdy



P z
cos cos

cos

dS

P y
dxdy
P cos

z
cos
dxdy



为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y


x
y

z P d x Q d y R d z
PQ R
或用第一类曲面积分表示:
cos

x

P
cos

y Q
cos
z
d S P d x Q d y R d z