高数之斯托克斯公式、环流量、旋度

Dxy
= − ∫∫
∂ {P[ x, y, f ( x, y )]}dxdy y ∂ Dxy
C
Γ
Green v ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx = v ∫ P( x, y, z )dx ．
其余部分证明，自己看书．
5
v ∫
或
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z P Q R cos α ∂ ∂x P cos β ∂ ∂y Q cos γ ∂ dS ∂z R
（ 1′ ）
v ∫
G
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
（ 1′′ ）
其中 n = (cos α , cos β , cos γ ) 为有向曲面 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的单位法向量． 2、若 Σ 是 xOy 面上的一块平面闭区域，则 Stokes 公式就变为 Green 公式，即 Green 公式为 Stokes 公式的特例．
§11.7 斯托克斯(Stokes)公式
*
环流量与旋度
教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，了解环流量和旋度的概念及其求法 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学内容：
一、Stokes 公式
斯托克斯(Stokes)公式是 Green 公式的推广．Green 公式表达了平 面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而 Stokes 公式则把曲面 Σ 上的曲面积分与沿着 Σ 的边界曲线的曲线积分联系起 来．这个联系可陈述如下：
1 1 ． , cos γ = − 2 2
O x
1
2
y
0
原式 =
∫∫ ∂x
Σ
∂
y2
1 2 ∂ ∂y xy
−1 2 1 −1 ∂ dS = ∫∫ [0 − ( z − 0) + ( y − 2 y) ]dS ∂z 2 2 Σ xz
=
1 1 ( y − z )dS = 0dS = 0 ． ∫∫ 2 Σ 2 ∫∫ Σ
称为向量场 A 的旋度，记为 rotA ，即
K
K
G i J G J G ∂ rot A = ∇ × A = ∂x P
Stokes 公式的向量形式
G j ∂ ∂y Q
G k ∂ ． ∂z R
∫∫ rot A ⋅ ndS = v ∫ A ⋅τ ds
Σ Γ
J G G
G G
或
∫∫ ( rotA)
Σ
K
n
dS = v ∫ Aτ ds ，
例 3、利用 Stokes 公式计算曲线积分 I = 其中 Γ 为用平面 x + y + z =
v ∫
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ，
z 1
3 截立方体的表面所得的截痕， 2 3 被 Γ 所围部分的上侧， 2
若从 Ox 轴的正向看去，取逆时针方向． 解：如图所示，取 Σ 为平面 x + y + z =
o
1
y
= ∫ xdy + ∫ ydz + ∫ zdx
Γ1
Γ1
= ∫ (1 − y )dy + ∫ (1 − z )dz + ∫ (1 − x)dx
0 0 0
1 1 3 = 3∫ (1 − y )dy = 3(1 − ) = ． 0 2 2
1
1
1
2
例 2、求
v ∫
Γ
y 2 dx + xydy + xzdz ，
Γ1 : x + y = 1, z = 0 ； Γ 2 : y + z = 1, x = 0 ； Γ3 : x + z = 1, y = 0
则原式 =
1
∫
Γ1
zdx + xdy + ydz + ∫ zdx + xdy + ydz + ∫ zdx + xdy + ydz
Γ2 Γ3 Γ2 Γ3
Γ3
1
x
Γ2
z
G n
Σ
定理
设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线， Σ 是以 Γ 为
Γ
O x y
边界的分片光滑的有向曲面， Γ 的正向与 Σ 的侧符合 右手规则，函数 P( x, y, z )、Q( x, y, z )、R( x, y, z ) 在曲面 Σ
（连同边界 Γ ）上具有一阶连续偏导数，则有 Stokes 公式：
1 G ． 则 n = (1,1,1) ⇒ cos α = cos β = cos γ = 3
故由 Stokes 公式，有 1 1/2
Σ
O 1/2 1
y
I = ∫∫
Σ
1 3 ∂ ∂x 2 y − z2
1 3 ∂ ∂y 2 z − x2
x 1 3 ∂ 1 1 1 dS = ∫∫ [(−2 y − 2 z ) − (2 x + 2 z ) + (−2 x − 2 y ) ]dS ∂z 3 3 3 Σ 2 2 x −y
− − − ⎟ dydz + ⎜ ⎟ dxdy = v ⎟ dzdx + ⎜ ∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠
Σ
⎛ ∂R
∂Q ⎞
⎛ ∂P
∂R ⎞
⎛ ∂Q
∂P ⎞
Γ
Pdx + Qdy + Rdz
（1）
说明： 1、为了便于记忆，常将 Stokes 公式（1）简记为：
=−
4 4 3 ⋅ dS = −2 3 ∫∫ dS ( x + y + z )dS = − ∫∫ 3 Σ 3 2 ∫∫ Σ Σ
1 1 1 9 = −2 3 ∫∫ 3dxdy = −6 ∫∫ dxdy = −6(1× 1 − 2 × × × ) = − ． 2 2 2 2 Dxy Dxy
3
*二、环流量、旋度
Γ Σ
cos α ∂ ∂x P
cos β ∂ ∂y Q
cos γ ∂ dS ， ∂z R
或
v ∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ． ∂x ∂y ∂z P Q R
2、环流量和旋度．
作业：
P245 习题 11－7 ：2（1，3）
4
附录 Stokes 公式的证明思路：事实上，只须证明：
Γ
G G 其中 n = ( cos α , cos β , cos γ ) 为 Σ 的单位法向量， τ 为 Γ 的单位切向量．
v ∫ Aτ ds = v ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ Γ
称为向量场 A 沿有向闭曲线 Γ 的环流量．
G
小结：1、斯托克斯公式： v ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
2 2
z
Γ Σ
其中 Γ 为柱面 x + y = 2 y 与平面 y = z 的交线， 从 z 轴正向看去， Γ 按顺时针方向． 解：如图所示，取 Σ 为平面 y = z 被 Γ 所围部分的下侧， 则 n = (0,1, −1) ⇒ cos α = 0, cos β = 故由 Stokes 公式，有
G
1
例1
计算
v ∫
Γ
zdx + xdy + ydz ，其中 Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边
z
界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则． 解法一 如图取 Σ 为平面 x + y + z = 1 被 Γ 所围部分的上侧， 1
Σ
o
则由 Stokes 公式，有
Γ
x Dxy C y
1+ fx2 + f y2
⇒ ∫∫
Σ
∂P ∂P ∂P cos β ∂P − )dxdy dzdx − dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂y ∂z cos γ ∂y Σ ∂P ∂P ⋅ f y + )dxdy ∂z ∂y
= − ∫∫ (
Σ
= − ∫∫ {Py [ x, y, f ( x, y )] + Pz [ x, y, f ( x, y )] ⋅ f y ( x, y )}dxdy
z
G n
∫∫ ∂z dzdx − ∂y dxdy = v ∫
Σ
∂P
∂P
Γ
Pdx ．
Σ
如图所示，设 Σ 为曲面 z = f ( x, y ) 的上侧 （此时 Σ 与平行于 z 轴的直线相交不多于一点） ，则
G n = (− f x , − f y ,1)
⇒ cos α = − fx 1 + f x2 + f y2 , cos β = − fy 1 + f x2 + f y2 , cos γ = 1
1
Γ
1
y
1 3 dS = 1 + z x 2 + z y 2 dxdy = 1 + 1 + 1dxdy = 3dxdy 3 3dxdy = 3 ∫∫ dxdy = 3 × ×1× 1 = ． ∫∫ 2 2 Dxy Dxy
解法 III【参数法】如图所示， Γ = Γ1 + Γ 2 + Γ 3 ，其中
z
原式 =
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z z x y
Σ
1
x
Γ1Leabharlann y= ∫∫ (1 − 0)dydz − (0 − 1)dzdx + (1 − 0)dxdy = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
Σ
1 1 1 3 = ∫∫ dydz + ∫∫ dzdx + ∫∫ dxdy = ×1× 1 + × 1× 1 + × 1× 1 = ． 2 2 2 2 D yz Dzx Dxy
设有向量场
K K K K A ( x, y , z ) = P ( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x , y , z ) k ，
其中 P, Q, R 具有一阶连续偏导数．
G i
则向量 ⎜
G j ∂ ∂y Q
G k ∂ ∂z R
⎛ ∂R ∂Q ⎞ G ⎛ ∂P ∂R ⎞ G ⎛ ∂Q ∂P ⎞ G ∂ − − − ⎟i + ⎜ ⎟k = ⎟ j +⎜ ∂x ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ P
另解：如图取 Σ 为平面 x + y + z = 1 被 Γ 所围部分的上侧， 则 n = (1,1,1) ⇒ cos α = cos β = cos γ = 故由 Stokes 公式，有
z
G
1 ． 3
1
Σ
o
原式 =
∫∫
Σ
1 3 ∂ ∂x z
1 3 ∂ ∂y x
x 1 3 ∂ 1 1 1 dS = ∫∫ [(1 − 0) − (0 − 1) + (1 − 0) ]dS = 3 ∫∫ dS ∂z 3 3 3 Σ Σ y