第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 一、斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、三元函数的全微分求积 四、环流量与旋度★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 五、斯托克斯公式的向量形式， 向量微分算子

内容要点

一、斯托克斯公式

定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式

dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=L

Rdz Qdy Pdx (7.1)

公式(7.1)称为斯托克斯公式.

为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：

⎰⎰⎰

Γ∑

++=∂∂

∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R

Q P z

y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成

.c o s c o s c o s ⎰⎰⎰

Γ∑

++=∂∂

∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS R

Q P z

y x γβα

二、环流量与旋度

设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A

++=

则沿场A

中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓC

Rdz Qdy Pdx

称为向量场A

沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot ，即

.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=

旋度也可以写成如下便于记忆的形式：

R

Q P

z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=

. 例题选讲利用斯托克斯公式计算

例1 (E01) 计算曲线积分,⎰Γ

++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截

成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.

解 按斯托克斯公式，有

,⎰⎰⎰∑

++=++Γ

dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx

由于

∑

的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:

,3⎰⎰⎰⎰=∑

++xy

D d dxdy dzdx dydz σ所以 .23

=++⎰Γydz xdy zdx 例 2 计算曲线积分

,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰

Γ

其中Γ是平面

2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向

看法，取逆时针方向.

解 取

∑

为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,

3}

3,1,1{=n

即,31

cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z

⎰⎰

∑

---∂∂

∂∂∂∂=

2

2

22

22

3

13131

⎰⎰∑++-

=dS z y x )(34

.29

3322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xy

D dxdy dS 例3 (E02) 计算,)()()(222222⎰+++++C

dz y x dy z x dx z y 式中C 是

).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x 此曲线是顺着如下方向前进的: 由它

所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方 解 由斯托克斯公式，有 原式⎰⎰∑

-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2

γβα

dS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=

)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2

22

2

R r

d R Rdxdy rx

y x πσ==∑

=

⎰⎰⎰⎰≤+

例4 求矢量场k z j xy i x A 2

22+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度. 解 A div z

A y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=

z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div

.4= A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂= k y j i

)02()00()00(--+-+-= .2k y -=故0

M A

rot .2k -=

例5 (E03) 设,32222yz xy y x u -+= 求grad u div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=

z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=

rot(gradu).,,222222⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u

因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故