[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
斯托克斯公式——换流量与旋度
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
下页 返回 结束
= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
机动 目录 上页
∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度格林公式揭示了平面上的二重积分与第二类曲线积分之间的关系，下面我们再介绍一个公式，它揭示了空间中第二类曲面积分与第二类曲线积分的关系，是格林公式的推广．一、 斯托克斯（S.G.G.Stokes ）公式设∑是具有边界曲线的定向曲面，我们规定其边界曲线∑∂的正向与定向曲面的∑法向量符合右手法则．记作+∂∑．比如，若∑是上半球面221y x z --=的上侧，则+∂∑是xOy 面上逆时针走向的单位圆周．定理1（斯托克斯公式） 设∑是一张光滑或分片光滑的定向曲面，∑的正向边界+∂∑为光滑或分段光滑的闭曲线．如果函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在曲面∑上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q yR ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰+∂++=∑Rdz Qdy Pdx为便于记忆斯托克斯公式可以用如下形式表示⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂=++∑RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 显然格林公式是斯托克斯公式的特殊情况．和平面上的曲线积分与路径无关的条件一样，有如下定理定理2 设G 是空间的一个一维单连通区域，z y x R z y x Q z y x P z y x ),,(),,(),,(),,(++=则),,(z y x F沿G 内定向曲线的积分与路径无关的充分且必要条件是yPx Q x R z P z Q y R ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,, 则曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路径无关，只与起、终点有关．例1 计算⎰++++Lz y x ydzxdy zdx ，其中L 为平面1=++z y x 被坐标面所截下的三角形的整个边界，正向与三角形上侧的法向量之间符合右手规则．解 由曲面积分定义可知⎰⎰++=++++LL ydz xdy zdx z y x ydzxdy zdx利用斯托克斯公式2333===++=∂∂∂∂∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD L dxdy dxdy dxdy dzdx dydz y x z z y x dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx ∑∑∑例2 计算dz y x dy x z dx z y I )()()(222222-+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体]1,0[]1,0[]1,0[⨯⨯的表面所得的截痕，若从z 轴的正向看去，Γ取逆时针方向．解 取∑为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分，∑的单位向量)31,31,31(=n e ，由斯托克斯公式及第二类曲面积分的定义得dS y x x z z y z y x y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰⎰⎰---∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂=∑∑222222222222313131 29)(63322334)(34-=-=-=-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑的面积xy D D d dS dS z y x xyσ例3 求⎰-+-+-Ldz xy z dy zx y dx yz x )()()(222，L 为螺旋线)20( ,sin ,cos πθθθθ≤≤===b z a y a x ，θ增大的方向为正向．解 由于在3R 中，有x z Q y R -=∂∂=∂∂，y xRz P -=∂∂=∂∂，z y P x Q -=∂∂=∂∂ 该积分与路径无关，可取积分路径为直线AB ，其中)0,0,(a A ，)2,0,(b a B π，所以AB ：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒==-tz y ax t z y a x 000 38)()()(33202222b dt t dz xy z dy zx y dx yz xb Lππ==-+-+-⎰⎰ 二、 旋度 对于)1(C向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=称下述向量y P x Q x R z P z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Q y ∂∂= 为向量场F 的旋度（rotation ）记为rot ，即Q y rot ∂∂=有了旋度的概念，斯托克斯公式可以写为⎰⎰⎰⋅=⋅Ld d rot ∑当=rot 时，⎰⋅Ld 与路径无关．下面解释一下旋度的物理意义．第二类曲线积分⎰⋅=Ld Γ称为向量场)(M F 沿L 正向的环流量．为了说明环流量的意义，我们以河流中的旋涡这样一个特殊的流速场)(M F 为例，⎰⋅Ld M ∆)(表示沿曲线L ∆正向的速度的环流量．为形象起见，不妨设L ∆是一个圆，我们设想作一个与该圆同样大小的小圆叶轮，叶轮的轴的方向与小圆正向符合右手规则，若将此叶轮放至旋涡中某点M 处，叶轮开始转动，根据经验，转动的快慢与轴的方向和叶轮大小有关，即与转动的快慢取决于曲线积分⎰⎰⋅=⋅=LLds r d ∆τ∆∆Γ的大小，当轴垂直于旋涡表面（此时e 的方向与V 一致）时，转动较快，当轴与旋涡表面有倾角时，叶轮转动较慢，可见环流量⎰⋅=Ld ∆∆Γ表示叶轮沿周界L ∆正向转动趋势的大小．这个量表示了速度场)(M F 相对于有向闭曲线L ∆的一种总体形态，但是不能反映出场内某点处的转动趋势的大小．为此，作∆Γ与小圆叶轮面积S ∆（也表示叶轮面）之比，称为环流量平均面密度⎰⋅=Ld S S ∆∆∆∆Γ1当S ∆缩向点M 时，若极限⎰⋅=→→LM S M S d S S ∆∆∆∆∆∆Γ1lim lim存在，该极限值表示位于点M 处的小水滴沿叶轮轴的方向转动趋势的大小，这就是环流量面密度的概念根据积分中值定理，存在S M ∆∈*，使得nM n MS M S M S rot rot dS e rot S d rot S dS d =⋅=⋅=⋅=→→→⎰⎰⎰⎰*][lim 1lim 1lim ∆∆∑∆∆∑∆∆∆Γ． 一个旋度处处为零的向量场称为无旋场，无旋无源场称为调和场，调和场是物理学中一类重要的场，这种场和调和函数间有着密切的联系．本章的几个主要公式都是微积分学基本公式在二维和三维空间中的推广．微积分基本公式⎰-=ba a Fb F dx x F )()()('曲线积分基本公式))(())((a r f b r f d f -=⋅∇⎰Γ格林公式⎰⎰⎰+∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D DQdy Pdx dxdy y P x Q 斯托克斯公式⎰⎰⎰+∂⋅=⋅∑∑r d F S d F rot高斯公式S d F dV F div ⎰⎰⎰⎰⎰+∂⋅=ΩΩ三、 向量微分算子为方便记，在场论中经常运用一个运算符号，它称为∇（Nabla ）算子，其定义为k zj x i y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 这个算子可以作用到数量值函数上，也可以像通常的向量一样，与向量值函数作数量积和向量积，从而得出新的函数，其规定如下：1）设),,(z y x u u =，则u zux u y u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2）设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=，则。
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。
高等数学《斯托克斯公式与旋度》
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法向 量符合右手法则.
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时, 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同.
2、斯托克斯(stokes)公式 定理 设 是一张光滑或分片光滑的定向曲面, 正向 边界 +为光滑或分段光滑的闭曲线.若函数P(x,y,z)、 Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有：
则沿场
F
F中 某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲 线Rdz
上的曲线积分
称为向量场F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
drLeabharlann dSx y zPQR
2. 旋度的定义:
设向量场 F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) i jk
上，最大环量密度为|rotF |.
如果rot
F
(
M
)在场内处处为零,
称F为无旋场.
如果divF(M )在场内处处为零,称F为无源场.
一个无旋无源场称为调和场 .
调和场是物理学中的一类重要的场 , 与调和函数有着密切联系 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
则F ( x, y, z)沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的
充分且必要条件是 rot F 0
课本Page 222的5个公式.
四、小结
1、斯托克斯公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
9-7斯托克斯公式旋度
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
8-7斯托克斯公式与旋度
则沿场F中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
称 为C向F量 dr场 F沿C P曲dx线CQ按dy所取R方 dz 向的环流量 .
2. 旋度的定义:
称向量( R y
Q
r )i
z
(
P z
R
r )j
x
(
Q x
P )kr y
r
r
为向量场F的旋度,记为rotF .
ijk
r rotF
x
y
. z
PQR
rr 无旋场:rotA 0
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz, 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正，
dydz dzdx dxdy 3 d
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n是 的单位法向量.
五、求向量场 A ( x z)i ( x 3 yz) j 3 xy2 k 沿闭曲 线 为圆 周z 2 x 2 y 2 , z 0 (从z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
大学高数课件 8.7 第七节 斯托克斯公式与旋度
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
一个无旋无源场称为调 和场 .
调和场是物理学中的一 类重要的场 , 与调和函数有着密切联 系.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
i 环流量 F dr x P
利用stokes公式, 有
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义: i j k 称向量 为向量场的旋度 (rot F ) . x y z P Q R
2
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中 是 球 面
三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲
A 线积分,并计算积分值,其中 , 及n 分别如下: 为上半个球面 A y 2 i xy j xz k , 的单位法向量. z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy . 3 2 2 D
4.7Stokes公式 环量与旋度
1 1 3 = ∫∫ 3 ⋅ dS = ∫∫ 3 ⋅ ⋅ 3dxdy = 2 3 3 Σ Dxy
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
− z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
r n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
r n
Γ是有向曲面 Σ的
∑ :z =
Γ
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 相交不多于一点 , 并 Σ 取 上侧, 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
这时原函数u 这时原函数u可用下列公式求出
u=∫
( x, y, z )
( x0 , y 0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
其中 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ G , M ( x, y, z ) ∈ G , 通 常取折线路径求u用下列公式计算 常取折线路径求 用下列公式计算
同理可证 ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy − ∂z dydz = ∫ΓQ(x, y, z)dy, Σ ∂R ∂R ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx = ∫Γ R(x, y, z)dz, Σ
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x)dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
第七节 Stokes公式 环流量与旋度.
x y 1 2 x y 3 2
I
4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy 6 dxdy . 3 2 2 D D
xy xy
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利 用 sto k e s 公 式 计 算 曲 线 积 分
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
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z
n
o
y
x
12
1 , 即 cos cos cos 3
1 1 1 3 3 3 ds x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
At A n P cos Q cos R cos
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环流量 rotA ds At ds
的环流量等于向量场 A 沿有向闭曲线 向量场 所张的曲面的通量.( 的正 A 的旋度场通过 向与 的侧符合右手法则)
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一 问题的提出
Stokes 公式是Green公式的推 广.后者表达了平面闭区域二重 积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系，而前者则表达了曲 面积分与曲面边界曲线的曲线积 分之间的联系.
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2
二 斯托克斯(stokes)公式(Stokes formula)
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线 , 是以
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其中
j cos k , j cos k
17
斯托克斯公式的向量形式
ห้องสมุดไป่ตู้
第七节：斯托克斯公式
（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则
z 0, cos cos 0, cos 1
0 Pdx Qdy x P 0 y Q 1 Q P dS ( ) dxdy z y D x R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos Pdx Qdy Rdz x P cos y Q cos dS z R
Pdx Qdy Rdz
该等式称为斯托克斯公式
R Q P R ( )dydz ( )dzdx ( Q P )dxdy z z x x y y
（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则 （2）为帮助记忆，引入如下行列式记号
P 由格林公式 P[ x , y , f ( x , y )]dx (0 )dxdy y D xy C
C
( Py Pz z y )dxdy
D xy
P ( x , y , z )dx ( Py Pz z y )dxdy
D xy
在 xoy 面上的投影区域记为 Dxy
相应地， 在 xoy 面上的投影为 C C 的方向为逆时针方向。
x
0 C
y
Dxy
（1） 取上侧。 首先，可以证明 P ( x , y , z )dx P[ x , y , f ( x , y )]dx 因为若 ( x , y ) C , ( x , y , z ) 是 上对应的点， 则必有 P ( x , y , z ) P[ x , y , f ( x , y )] 且对于 上的一个小弧段 ds 它在 xoy 面上的投影记为 ds 则 ds C , ds 和 ds 在 x 轴上的投影 完全一样，都为 d x 所以上面等式两边的被积表达 式相等。
第七节%20%20斯托克斯(stokes)公式%20%20环流量与旋度ppt
解 1 2 3 4 其中1：z 0, 2：x 0, 3：y 0, 4：z 1 x y
ds 1 则 dxdy 2 2 1(1+x+y) Dxy (1+x+y) 1 1 x 1 1 dx dy ln 2 2 0 0 (1+x+y) 2
j y Q
k z R
x P
因此，stokes公式可以写成向量形式 rot A nds A ds(3) 或 (rot A ） n ds A ds 公式（3）可叙述为：向量场 A沿有向闭曲线的环流量等于 向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量。
设向量常 A( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k , 则
i R Q P R Q P 1)rot A { , , } y z z x x y 称为向量场 A的旋度。 2) ( P cos Q cos R cos )ds 称为向量场 A沿闭曲线的环流量。
第七节 斯托克斯（stokes）公式 环流量与旋度
一 斯托克斯公式
stokes公式是Green公式的推广，它将曲面上的曲面 积分与沿的边界曲线积分联系起来。 定理1
设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有向曲 面，正向与的侧符合右手规则。 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 曲面(连同边界)上具有一阶连续 偏导数，则
例4 求面密度为0的均匀半球壳x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 对于z轴的转动惯量。
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曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
9 4 3 dS 2 3 3dxdy . 3 2 2 D xy
练习
1、计算 y dx xdy z dz ,L 是平面
Dxy
y
1 D xy如图
zdx xdy
3 ydz 2
o
D xy
1
x
例 2 计算曲线积分
( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明
Z Y X Z Y X ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Xdx Ydy Zdz
思路
曲面积分
二重积分 1 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy Xdx Ydy Zdz x y z X Y Z
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
o
y
x
1 , 即 cos cos cos 3
1 3 x y2 z2 1 3 y z2 x2 1 3 dS z x2 y2
利用斯托克斯公式得
I
S
z
S
y
d yd z d zd x d xd y x y z
y
S
2
xy
xz
o x
2
0 d y d z ( z 0) d z d x ( y 2 y) d x d y
zdzdx ydxdy
S
I zdzdx ydxdy
2 2 L
y z 2与柱面x 2 y 2 1的交线, 若从z轴的正向看, L取逆时针方向。
2、 为柱面 与平面 y = z 的交线,
从 z轴正向看为顺时针, 计算
例3. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设 S 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
Z ( x, y, z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
Z Y X Z Y X ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Xdx Ydy Zdz
斯托克斯公式
n
3 3 3 法向量： (1,1,1); cos , cos , cos 3 3 3
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy
cos cos cosdS 3 dS
3 1 1 1dxdy
另一种形式
cos cos cos ds Xdx Ydy Zdz x y z X Y Z 其中n {cos , cos , cos }
若记
A ( X , Y , Z ),
Z Y X Z Y X r ( , , ) y z z x x y
x
1
0
D xy
1
根据stokes公式, 有
dydz dzdx dxdy Xdx Ydy Zdz x y z X Y Z cos x X cos y Y cos ds z Z
平面方程： x y z 1
L
A d l r d S rn d S
S S
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
说明
应用:
转化 相应的简单曲 曲线积分 面上的曲面积分
对象：空间曲线的第二类曲线积分 Xdx Ydy Zdz L