第七节 Stokes 公式 环流量与旋度

= ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
三、物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) = X ( x, y, z )i + Y ( x, y, z ) j + Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 Γ = ∫ A ⋅ ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz
环流量 Γ = ∫ A ⋅ ds = ∫∫ r ⋅ dS
C Σ
= ∫∫
Σ
i ∂ ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ ⋅ dS ∂z Z
旋度的定义: 2. 旋度的定义:
i ∂ 称向量 ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ 为向量场的旋度 (rotA) . ∂z Z
j ∂ ∂y Y k ∂ ∂z Z
i ∂ 旋度 rotA = ∂x X
C C
称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 .
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X r = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
i ∂ = ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ ∂z Z
利用stokes公式, 利用stokes公式, 有 stokes公式
2 2 L
y + z = 2与柱面x + y = 1的交线,
2 2
若从z轴的正向看, L取逆时针方向。
2、Γ 为柱面 的交线, 与平面 y = z 的交线
轴正向看为顺时针, 从 z轴正向看为顺时针 计算
例3.Γ 为柱面 轴正向看为顺时针, 轴正向看为顺时针 计算
与平面 y = z 的交线,从 z 的交线 从
Σ Σ
= 3 ∫∫ 1 + 1 + 1dxdy
Dxy
y
1 Dxy 如图
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
3 = 2
o
Dxy
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
− z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表z , Y = x, Z = y
x
0
D xy
1
1
根据stokes公式, 根据stokes公式, 有 stokes公式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz = ∫∫ ∂x ∂y ∂z Σ X Y Z cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ = ∫∫ ds ∂x ∂y ∂z Σ X Y Z
Z(x, y, z) 在包含曲面 Σ在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 有一阶连续偏导数, 则有公式
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
斯托克斯公式
向量场 A 产生的旋度 场穿过 S 的通量
令 S 收缩到点 M ( x,y,z ), 则 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z )
1 故有 lim ∫ Ad l = (rot A⋅ n0 ) ( x, y,z) S →0 S L
环量对面积的变化率最大， 的同向时， 环量对面积的变化率最大， 当 n0 与 rotA 的同向时， 最大值 rotA .
rotA = 模：环量对面积变化率的最大值
方向： 环量对面积变化最快的方向 方向：
若rotA ≡ 0, 则对于空间中任一闭曲线 L,
∫ Ad l
曲线积分与路径无关. 曲线积分与路径无关
L
≡0
斯托克斯公式的又一种形式
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫[( ∂y − ∂z ) cosα + ( ∂z − ∂x ) cos β + ( ∂x − ∂y ) cosγ ]dS Σ
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
的方向选取! 旋度的物理意义： 旋度的物理意义： 注意 S 与 L 的方向选取!
∫ Adl = ∫∫ rot A⋅ n d S
0 L S
为向量场 A 沿 L的环量 1 1 由此得 ∫ Adl = S ∫∫ rot A⋅ n0 d S SL S 由中值定理， 由中值定理，得 1 ∫ A d l = (rot A ⋅ n0 ) (ξ ,η ,ζ ) S L
说明
应用: 应用
转化 相应的简单曲 曲线积分 面上的曲面积分
对象： 对象：空间曲线的第二类曲线积分∫ Xdx +Ydy + Zdz L
曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计 曲 积 ∫ zdx + xdy + ydz , 算 线 分
Γ
其中Γ 是平面x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则 z
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
Dxy
x+ y= 1 2
4 =− ∫∫ ( x + y + z )dS 3 Σ
3 (∵ 在Σ上x + y + z = ) 2
9 4 3 =− ⋅ ∫∫ dS = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D xy
练习
1、计算 ∫ − y dx + xdy + z dz ,L 是平面
另一种形式
cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z ds = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
其中n = {cosα,cos β ,cosγ }
若记
A = ( X , Y , Z ),
∂ Z ∂Y ∂ X ∂ Z ∂Y ∂ X r =( − , − , − ) ∂ y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y
其中
或∫∫ (rotA)n dS = ∫Γ At ds
Σ
(rotA)n = rotA ⋅ n ∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X = ( − ) cosα + ( − ) cos β + ( − ) cosγ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
At = A ⋅ n = X cos λ + Y cos µ + Z cosν
公式： 第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 公式（斯托克斯公式） 公式 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 物理意义： 小结
一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
为分段光滑的空间有向闭曲线, 定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ是以 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与Σ 的侧符合右手规则, 函数 X (x, y, z) , Y(x, y, z) , 的侧符合右手规则,
i
解:
q
j ∂ ∂y
qy r3
k ∂ = (0, 0, 0) (除原点外) ∂z
qz r3
∂ rot E = ∂x
qx r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
例5. 设
n 为Σ 的外法向量,
i
解:
计算 I = ∫∫ rot A ⋅ ndS . Σ
k
j
∂ ∂ ∂ rot A = ∂x ∂ y ∂z = (0, 0 , 1)
平面方程：x + y + z = 1
3 3 3 法向量：,1,1); cos α = (1 , cos β = , cos γ = 3 3 3
∫
Γ
zdx + xdy + ydz = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
Σ
= ∫∫ cos α + cos β + cos γdS = 3 ∫∫ dS
= ∫ ( X cos λ +Y cos µ + Z cos )ds ν
Γ
其中
Σ的单位法向量为 n = cosα i + cos β j + cos γ k , Γ的单位切向量为 t = cos λ i + cos µ j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA⋅ ndS = ∫ΓA⋅ t ds Σ
2y
3x
z2
∴ I = ∫∫ cosγ d S = 2∫∫
Σ
Σ
更正： 更正：
z x2 + y2 + z2
ds = 0
四、小结
斯托克斯公式
cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z dS = Σ P Q R
Γ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z Σ P Q R
Γ
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ rotA⋅ ndS = ∫ A⋅ t ds
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
Σ
作业
• P213 • 1、(2)(4)(5) 、 • 3
练 习 题
一、 计 算
∫
轴正向看去, x 2 + y = 2 z , z = 2 若从z 轴正向看去, 这圆周是 逆时针方向 . 二、 计 算
解: 设 S 为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得
I = ∫∫
S
z
S
Γ
y
d yd z d z d x d xd y ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z
y
S
2
xy
xz
o x
2
= ∫∫ 0 ⋅ d y d z − ( z − 0) ⋅ d z d x +( y − 2 y ) d x d y
A⋅ dl =∫∫ r ⋅ d S = ∫∫ rn d S ∫
L
S
S
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当 是xoy面 平 闭 域 ) Σ 的 面 区 时
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
轴的正向看去,取逆时针方向. 轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ为平面 x + y + z = 2 所围成的部分. 的上侧被Γ 所围成的部分. 1 则 n= {1,1,1} 3
z
Σ
n
o
Γ
y
x
1 , 即 cosα = cos β = cos γ = 3
1 3 ∂ ∂x y2 − z2 1 3 ∂ ∂y z2 − x2 1 3 ∂ dS ∂z x2 − y2
Γ 2
3 ydx − xzdy + yz 2 dz , 其 中 Γ 是 圆 周
∫
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 和 园 柱 面 x 2 + y 2 = ax 的 交 线 轴正向看去, (a > 0 , z ≥ 0) ,从 x 轴正向看去, 曲线为逆时针方 向 .
三、 求向量场 A = ( z + sin y )i − ( z − x cos y ) j 的旋度 .
∴环流量 Γ = ∫∫ rotA⋅ dS = ∫ At ds
Σ Γ
Stokes公式的物理解释 公式的物理解释: 公式的物理解释 向量场 A 沿有向闭曲线Γ 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过Γ 所张的曲面的通量.( Γ 的正 所张的曲面的通量.( 的侧符合右手法则) 向与Σ 的侧符合右手法则)
例4. 求电场强度 E = 3 r 的旋度 . r