冀教版九级数学下册练习：29.3 切线的性质和判定

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冀教版九年级数学下课堂内外同步课时训练29.3切线的性质和判定(含答案)

切线 , 连接 O 若 øB 则 øA °㊀． C, C D＝５０ ʎ, O C 的度数为㊀８０
第６题图
于 B, 则 ∠O °． ∵ ⊙O 与 B P ＝９０ ∴ ∠O °, PM 相切于点 A , A P＝９０ ∴ ∠O 又 ∵ ∠O A P＝ ∠O B P． P A＝ ∠O P B，O P ＝O P， ∴ △A O P≌ △B ）． ∴O O P（ A A S B＝O A, ∴P N 是⊙O 的切线．
５㊀
２９．３㊀切线的性质和判定
１ �� 圆的切线㊀垂直于㊀过切点的半径．
经过切点且垂直于切线的直 �� 经过圆心且垂直于切线的直线必经过㊀切点㊀ , ㊀如图, P A 是 ☉O 的２切线, 切点是 A, 过点 A 作线必经过㊀圆心㊀． , AH ʅO P 于点 H 交 ☉O 于点３ �� 经过半径的㊀外端㊀并且㊀垂直于㊀这条半径的直线是圆的切线．求证 : B． P B 是 ☉O 的切线．连接 B 若 øA １ �� 如图 , A B 是 ☉O 的直径 , A C 是 ☉O 的切线 , A 为切点 , C, B C＝则下列结论正确的是４５ ʎ,
பைடு நூலகம்
学生解答 : 作O 连接O A, B⊥P N
解：∵C 点 O 在高C A＝C B, H 上, ∵O D⊥C A, O E⊥C B, ∴⊙O 与C B 相切于E 点．
第７题图
点 E 为☉ 已知 A １３ �� 如图所示, B 为☉ O 的直径, O 上任 , , 平分于点意一点, 交过点 ø A C B A E O C C作 ☉ , 于点与的延长线交于点且 C DʅA E D D C A B P．如图, 已知 әA 以８ �� ( ２０１５年衢州市) B C, A B ＝B C, ( ) 求证 : P C 是 ☉O 的切线 ; １过点 D 的 ☉O 的切 A B 为直径的圆交 A C 于点D, ( ) 若ø 求线段 P ２ B A E＝６０ ʎ, B 与A B 的数量关系．线交 B 若C 则 ☉O 的半径 C 于点 E ． D ＝５, C E＝４, 解：（１）连接 O C，∵O C＝O A，∴ (D ) 是 ∠O A C ＝ ∠O C A，又 ∠O A C＝２５２５ ∠ ，∴ ∠ ∠ C A D O C A ＝ C A D， A �� ３ B �� ４ C �� D �� ６８ ∴O C∥A D．又∠D ＝９ °, °, ∴ ∠O ０ C P＝９０第１３题图 ∴P C 为⊙O 的切线；１（２） P B＝ A B，连接 B C，先证 △B O C 为正三２１ , １ , °, 角形，∠P＝３ ∴O 第８题图第９题图０ C＝ P O ∴O B＝ P O ２２如图所示 , ９ �� ( ２０１５年黄冈市 ) A B 为 ☉O 的直径 , PD １ ∴P B＝O B, P B＝ A B．切 ☉O 于点C , 交A 且C B 的延长线于D, O＝C D, ２ (D ) 则 øP C A＝ A �� ３０ ʎ B �� ４５ ʎ C �� ６０ ʎ D �� ６７．５ ʎ 如图, １０ �� ( ２０１５年长春市) P A , １４ �� 综合拓展已知在平面直角坐标系中 , B( －３, ０) 为 ☉O 的切线 , A 为切点, B 半径为５的 ☉A 交 y 是O 若 øP A 为y 轴正半轴上一动点 , P 与 ☉O 的交点 , ２︵则A ＝２０ ʎ, O A ＝３, B的长为 , 点 G 在点 H 的上方) 交轴于点G ㊁连接 B H( G, 第１０题图７π ( 于点 ☉ A C ． ) ㊀．㊀结果保留 π ６ A B 是 ☉O 的直径 , P A 切 ☉O 于点 A , １１ �� 如图所示 , , , 连接若求 øB 交于点 O P ☉O C B C ０ ʎ, øP ＝３的度数．解：∵A P 切⊙O 于A ，又∠P＝３ °． °, ∴∠A＝９００又O °, ∴∠A O C＝６０ B ＝O C，１ ∴∠ ° B＝∠ O C B＝ ∠ A O C＝３０．第１１题图 ( ) 如图 ①, 当 ☉A 与 x 轴相切时 , 求直线 B ２ G的１解析式 ; ( ) 如图, 已知 B 求O 如图 ② , 若C １２ �� ( ２０１５年湖州市) C 是 ☉O 的直径 , G＝２ B C, A 的长．２ , , 切于点交于点为的（，），（解：（）由题意知 A C ☉O CA B ☉O D E A C G ０５ B －３，０）．１中点 , 连结 D 设直线的解析式为：， E． B G k x＋ b y＝ ( ) 求切线 A 若 AD＝D B, O C＝５, C 的长 ; １５ k＝ , ５＝ b, 解得则 ( ) 求证 : ３ E D 是 ☉O 的切线．２０＝－３ k＋ b, b＝５．５ ∴直线 B G 的解析式为： y＝ x＋５; ３ ( ) 解：连接 C １ D，如图（ °, ∵ ∠C ２）连接 H C，得 ∠H C G＝９０ G H 是公 C G G H ，共角，∴△G C H ∽△G O B，∴ ＝ O G G B ∵B C 是 ⊙O 的直径，∴ ∠B D C＝第１２２题图 ∴C ∵C G·G B＝O G ·G H． G ＝２ B C，∴C G＝ , 即 ° ⊥ ，∵ ，∴ ９０ C D A B A D ＝D B C D 是A B 的垂３直平分线，∴A C＝B C＝２ O C＝１０；２２ ∴ B 在R △B B G． G ＝５ O G． t O G 中，由勾股定３２２２ , 理得 B 设O 则５ G ＝O B ＋O G G 的长为m, m× ３２２２（）证明：连接，如图 ∵ ∠ ２ O D A D C＝整理得２解得＝３＋m , m －１５ m ＋１８＝０．２ m１＝６, ３ ( 舍去 ) ∴O ． G 的长为６．３ ∵ ＜５２１ m ．２＝ °, ９０ E 为A C 的中点，∴D E ＝E C＝ A C，∴ ２２５７ ∠１＝ ∠２，∵O ∴O D ＝O C，∴ ∠３＝ ∠４，∵A C切 A＝O G－A G＝６－＝．２２ ⊙O 于点 C，∴A C⊥O C，∴ ∠１＋ ∠３＝ ∠２＋ ∠４＝９ °, 即D ０ E⊥O D，∴E D 是⊙O 的切线．

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已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O
为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。
B D
证明：过O作OE⊥AC于E。
A
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
O E
C
∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
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因此,当半径长为2 3 cm时,AB与⊙C相切.
练一练
驶向胜利的彼岸
1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm A
为半径作两个圆,这两个圆与AB分
D
别有怎样的位置关系?
┐
解:(2)由(1)可知,圆心到AB
C
B
的距离d= 2 3cm,所以
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离 ;当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
议一议
探索切线性质
驶向胜利的彼岸
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD 有怎样的位置关系?说说你的理由.
直径AB垂直于直线CD.
B
小颖的理由是:
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°. C
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半的直线是圆的切线. 证明一条直线是圆的切线时
（1）直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直；
（2）直线与圆“无”交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.
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翼教版九年级数学下册切线的性质和判定测试题

29.3 切线的性质和判定知识点一切线的性质1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（）A．20° B．25° C．40° D．50°第1题图第2题图第3题图2.如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28° B．33° C．34° D．56°3..如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=8，OA=6，sin∠APO的值为（）A.34 B.35C.45D. 434.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=_________.第4题图第5题图第6题图5.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为_________.6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sinE 的值为_________.7.如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．求证：AE平分∠CAB；8.已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．知识点二切线的判定1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定7．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能8．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．9．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；，求⊙O的直径．（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，∠D=30°．11．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．12．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=1OB．2（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．13．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．14．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法12】( )A ．3B ．2C ．1D ．－13．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值． ◆类型二限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】( )A ．0，－4B ．0，－3C ．－3，－4D ．0，05．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y＝2x2－3的图像上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5 C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤19．(贵阳中考)已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是( )A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜310．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图像如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值CA．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13. 4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5. 8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a4.∵a≥4，∴x＝3a4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。

冀教版数学九年级下册同步训练：29.3 第2课时切线的判定

第2课时切线的判定知识点切线的判定1.如图29-3-15,直线l上有A,B,C,D四点,以点P为圆心,分别以线段P A,PB,PC,PD的长为半径作圆,所得的圆与直线l相切的是()A.以P A的长为半径的圆B.以PB的长为半径的圆C.以PC的长为半径的圆D.以PD的长为半径的圆2.矩形的两邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作圆,则矩形与圆相切的边共有()A.4条B.3条C.2条D.1条3.在△ABO中,OA=OB=2 cm,☉O的半径为1 cm,当∠AOB=°时,直线AB与☉O 相切.图29-3-15 图29-3-164.如图29-3-16,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为时,AC才能成为☉O的切线.5.如图29-3-17,D是∠AOB的平分线OC上任意一点,过点D作DE⊥OB于点E,以DE为半径作☉D.求证:OA是☉D的切线.图29-3-176.[2019·乐山]如图29-3-18,直线l与☉O相离,OA⊥l于点A,与☉O相交于点P,OA=5.C 是直线l上一点,连接CP并延长交☉O于另一点B,且AB=AC.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若☉O的半径为3,求线段BP的长.图29-3-187.如图29-3-19,AB是☉O的直径,☉O交BC于点D,且D为BC的中点,DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结论正确的有()①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.A.1个B.2个C.3个D.4个图29-3-19 图29-3-208.如图29-3-20,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P 且与☉O相切的直线,其作法如下.甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.乙:过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP长为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是()A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.两人都正确D.两人都错误9.[2018·石家庄桥西区一模]如图29-3-21,AB是☉O的直径,P是☉O外一点,PO交☉O 于点C,连接BC,P A.若∠P=40°,则当∠B等于时,P A与☉O相切()A.20°B.25°C.30°D.40°图29-3-21 图29-3-2210.[2019·宁波]如图29-3-22,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 ,点D在边BC 上,CD=5,BD=13.P是线段AD上的一个动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为.11.已知:如图29-3-23,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆☉O与CD相切于点D,交AC 于点E.(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若CE=2,求☉O的半径r.图29-3-2312.如图29-3-24,半圆O的直径AB=2,P(不与点A,B重合)为半圆上一点,将图形沿BP折叠,分别得到点A,O的对称点A',O',设∠ABP=α.(1)当α=15°时,过点A'作A'C∥AB,如图①,判断A'C与半圆O的位置关系,并说明理由.(2)如图②,当α=时,BA'与半圆O相切;当α=时,点O'落在上.图29-3-2413.如图29-3-25,☉O的半径为1,直线CD经过圆心O,交☉O于C,D两点,直径AB⊥CD,M 是直线CD上异于点C,O,D的一个动点,AM所在的直线交☉O于点N,P是直线CD上另一点,点P在☉O外,且PM=PN.(1)当点M在☉O内部时,如图①,试判断PN与☉O的位置关系,并写出证明过程;(2)当点M在☉O外部时,如图②,其他条件不变,(1)的结论是否还成立?请说明理由;(3)当点M在☉O外部时,如图③,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.①②③图29-3-25教师详解详析【备课资源】点A ,∠A=20°,则∠DBE=55°如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC是☉O的切线吗?为什么?[答案] 是.可用切线的定义来判断【详解详析】1.C[解析] ∵PC⊥直线l,∴以点P为圆心,PC长为半径作圆,所得的圆与直线l相切.2.B[解析] 根据题意画出图形,如图所示.AB=DC=2.5,AD=BC=5.∵O为直径AD的中点,∴OA=OD=2.5.又∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴AB与圆O相切,DC与圆O相切.过点O作OE⊥BC,交BC于点 E.∵∠A=∠B=90°,∠OEB=90°,∴四边形OABE为矩形,∴OE=AB=2.5,∴BC与圆相切,则矩形与圆相切的边共有3条.3.120°4.60°5.证明:如图,过点D作DF⊥OA于点F.∵D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB,∴DF=DE,即D到直线OA的距离等于☉D的半径DE,∴OA是☉D的切线.6.解:(1)证明:如图,连接OB,则OP=OB,∴∠OBP=∠OPB=∠CP A.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,而OA⊥l,即∠OAC=90°,∴∠ACB+∠CP A=90°,即∠ABP+∠OBP=90°,∴∠ABO=90°,∴OB⊥AB,故AB是☉O的切线.(2)由(1)知∠ABO=90°,而OA=5,OB=OP=3.由勾股定理,得AB=4.过点O作OD⊥PB于点D,则PD=DB.在△ODP和△CAP中,∵∠OPD=∠CP A,∠ODP=∠CAP=90°,∴△ODP∽△CAP, ∴=.又∵AC=AB=4,AP=OA-OP=2,∴PC==2,∴PD==,∴BP=2PD=.7.D[解析] 因为AB是☉O的直径,所以∠ADB=90°,所以AD⊥BC.又因为D为BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以AB=AC=2AO,所以∠B=∠C.由DE⊥AC,可以求得∠C=∠EDA,所以∠EDA=∠B.连接OD,则∠BDO=∠B=∠EDA,所以∠ODE=∠ODA+∠ADE=∠ODA+∠ODB=∠ADB=90°,所以DE是☉O的切线.故共有4个正确.8.C[解析] 对于甲的作法:连接OB,如图①.∵OA=AP,∴OP为☉A的直径,∴∠OBP=90°,∴OB⊥PB.∵点B在☉O上,∴PB为☉O的切线,所以甲的作法正确.对于乙的作法:如图②,∵MN⊥OP,∴∠OAB=90°.在△OAB和△OCP中,∴△OAB≌△OCP,∴∠OAB=∠OCP=90°,∴OC⊥PC,∴PC为☉O的切线,∴乙的作法正确.9.B[解析] ∵P A是☉O的切线,∴∠P AO=90°,∴∠AOP=90°-∠P=50°.∵OB=OC,∴∠AOP=2∠B,∴∠B=∠AOP=25°.10.或3[解析] 在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=12,CD=5,∴AD=12.又∵BD=B,∴AD=BD,∴∠DAB=∠B.半径为6的☉P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:①当☉P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处,为5,故这种情况不存在;②当☉P与BC相切时,点P到BC的距离为6,如图①,PE=6,PE⊥BC,∴PE为△ACD的中位线,P为AD的中点,∴AP=AD=;③当☉P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF=6,PF⊥AB,如图②,过点D作DG⊥AB于点G,∴△APF∽△ADG∽△ABC,∴=.其中,PF=6,AC=12,AB==6,∴AP=3.综上所述,AP的长为或3.11.解:(1)BC与☉O相切.理由如下:如图,连接OD,OB.∵☉O与CD相切于点D,∴OD⊥CD,∠ODC=90°.∵四边形ABCD为菱形,∴AC垂直平分BD,AD=CD=CB.∴△ABD的外接圆☉O的圆心O在AC上.∵OD=OB,OC=OC,CD=CB,∴△ODC≌△OBC.∴∠ODC=∠OBC=90°.又∵☉O为OB的半径,∴☉O与BC相切.(2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD.又∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠CAD,∴∠COD=2∠ACD.又∵∠COD+∠ACD=90°,∴∠ACD=30°.∴OD=OC,即r=(r+2).∴r=2.12.解:(1)相切.理由如下:如图,过点O作OD⊥A'C于点D,交A'B于点E.∵α=15°,由折叠性质可得∠A'BA=2α=30°,A'B=AB,A'C∥AB, ∴∠ABA'=∠CA'B=30°,∴DE=A'E,OE=BE,∴DO=DE+OE=(A'E+BE)=A'B=AB=OA,∴A'C与半圆O相切.(2)当BA'与半圆O相切时,则OB⊥BA',∴∠OBA'=2α=90°,∴α=45°.当O'在上时,连接OO',则可知OO'=OB=O'B,∴△OO'B为等边三角形,∴∠OBA'=2α=60°,∴α=30°.故答案为45°,30°.13.解:(1)PN与☉O相切.证明:如图①,连接ON.∵OA=ON,∴∠ONA=∠OAN.∵AB⊥CD,∴∠AOM=90°,∴∠AMO+∠OAN=90°.∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO.∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°.∵点N在☉O上,∴PN与☉O相切.(2)成立.理由:如图②,连接ON.∵OA=ON,∴∠ONA=∠OAN.∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.在Rt△AOM中,∠OMA+∠OAM=90°,∴∠PNM+∠ONA=90°.∴∠PNO=180°-90°=90°.∵点N在☉O上,∴PN与☉O相切.图①图②图③(3)如图③,连接ON.由(2)可知∠ONP=90°.∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°,∴∠OPN=30°,∴∠PON=60°,∠AON=30°.过点N作NE⊥OD,垂足为E,则NE=ON·sin60°=1×=.∴S阴影=S△AOC+S扇形AON-S△CON=OC·OA+×π×12-CO·NE=×1×1+π-× 1×=+π-.。

九年级数学下册29、3切线的性质和判定第2课时切线的判定教案新版冀教版

29.3 切线的性质和判定┃教学整体设计┃【教学目标】1.探究切线与过切点的半径之间的关系和切线的判定方法,会判断一条直线是否为圆的切线.2.积极引导学生从事观察、探究、推理证明等活动,提高学生的推理判断能力.3.经历探究圆的切线的性质和判定的过程,发展学生的数学思考能力；通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,丰富学生对现实空间及图形的认识,增强运用数学的意识.【重点难点】重点：圆的切线的性质定理和判定定理.难点：圆的切线的性质定理和判定定理的应用.教学过程设计意图一、创设情境,导入新课蒸汽机车的车轮在铁轨上滚动,铁轨可以看成直线,它与车轮所对应的圆是相切的.车轮上过切点的那根辐条所对应的直线与表示铁轨的直线有怎样的位置关系呢？二、师生互动,探究新知探究点1：如图,直线AB是⊙O的一条切线,点T是切点,连接OT.问题：(1)这个图是轴对称图形吗？如果是,找出它的对称轴.(2)测量∠OTA和∠OTB的度数,并与同学交流测量的结果.(3)猜想：切线AB与过切点的半径OT有怎样的位置关系,你能证明这个结论吗？总结：圆的切线垂直于过切点的半径.定理中题设和结论中涉及三个要点：切线、切点、垂直,已知三个要点的两点是否可以推出另一点？由学生分析写出结论并证明.证明过程参考教材第8页.教师总结证明过程中需注意的地方,提出问题：(1)如图(1),如果一条直线过圆心O,并且与切线AB垂直,那么这条直线过切点T吗？为什么？(2)如图(2),如果一条直线经过切点T,并且与切线AB垂直,那么这条直线过圆心O吗？为什么？总结：推论(1)：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论(2)：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究点2：“圆的切线垂直于过切点的半径”的逆命题成立吗？试验：如图,OA为⊙O的半径,过A作l⊥OA.可以发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径OA.总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.思考：现在,任意给定一个圆,你能不能作出圆的切线？应该如何作？请学生说明作图过程,切线l是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径.请学生继续思考,这两个条件缺少一个行不行？(学生画出反例图)图(1)中直线l经过半径外端,但不与半径垂直；图(2)、(3)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端.从以上反例可以看出只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.最后引导学生分析,切线的判定定理实际就是由“圆心到直线的距离等于半径时,直线与圆相切”这个结论直接得出来的,只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.三、运用新知,解决问题教材第9页练习第1,2,3题.四、课堂小结,提炼观点说说本节课的收获.总结切线的性质和判定方法及由此得出的两个常用辅助线的作法.五、布置作业,巩固提升教材第10页A组第2,3题.┃教学小结┃。

2020年春冀教版九年级数学下册学案29.3 切线的性质和判定

29.3 切线的性质和判定［学习目标］1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；切线的性质定理及推论，能正确区分判定和性质的题设和结论；2．会用圆的判定定理进行简单的证明. 3.掌握圆的判定和性质的综合应用. ［学法指导］本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理、性质及其应用；学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.［学习流程］一、导学自习⒈切线的定义：直线与圆有公共点时，这条直线叫做圆的切线. 2.切线的判定方法：（1）和圆有公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义） (2)到圆心的距离半径的直线是圆的切线. 二、研习展评活动1：（1）做一做：如图1，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作直线l OA ,则圆心O 到直线l 的距离是多少？直线l 和⊙O 有什么位置关系？为什么？ (2)从作图中得到切线的判定定理：经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的直线是不是圆的切线.定理的几何语言：如图2，________________,_________ ∴直线l 是⊙O 的切线（3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！活动2: 如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.（分析：已知AB 经过圆上的点C ，要用上面的判定定理，应该连接，证明）证明：小结：当直线与圆有公共点，常连接和公共点得半径，证明直线垂直于 .活动3: 已知：如图4，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，（图1）（图2）（图3）PE 长为半径作⊙P ．求证：⊙P 与OB 相切．（分析：OB 与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？）小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的，证明圆心到直线的距离等于 . 活动4：（1）想一想：如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，那么直线l 与半径OA 是否一定垂直呢？（可以用反证法证明，选学） (2)切线的判定定理：圆的切线_________经过切点的 .定理的几何语言：如图1，直线l 是⊙O 的切线 ______________.∴由性质定理，容易得到下面的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的条，就必然满足条.活动5: 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC .若30P ∠=︒，求B ∠的度数.活动6: 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =,O 是底边BC的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切.小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点. ［课堂小结］1.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？2.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：（1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”； (2) 当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.3.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）［当堂达标］1.下列说法正确的是（）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.已知:如图5,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C ,点B 在圆上,且AB BC =,30A ∠=︒.求证:直线AB 是⊙O 的切线.［课后作业］已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE =∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．已知：如图7，P A 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．（图6）（图7）。

2019精选教育冀教版九年级下册数学课件29.3切线的性质和判定 (共23张PPT).ppt

(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
例1、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O 的切线，切点为B，OC平行于弦 AD．
求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD． ∵OA=OD，∴∠1=∠2， ∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4 ∴∠3=∠4 在△OBC和△ODC中， OB=OD，∠3=∠4，OC=OC ， ∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC． ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，
切线需满足两条： ①经过半径外端；②垂直于这条半径．
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行? 定理中的两个条件缺一不可．
O l
O
l
O
l A
A
A
图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线 l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
切线的性质和判定
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
O
O
O
图（１）
图（２）
图（３）
２、观察、提出问题、分析发现
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB.
证明：连结0C
O
∵0A＝0B，CA＝CB，
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC．

春冀教版九年级下册数学第29章习题专训课件：切线的判定和性质的四种应用类型 (共16张PPT)

习题课阶段方法技巧训练（一）
专训2 切线的判定和性质的四种应用类型
圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．
类型 1 应用于求线段的长
1．【中考·咸宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F .
∴OF＝ OE2＋EF2＝13.
∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.
∴tan∠ABC＝
பைடு நூலகம்
A B
E E
3. 2
类型 3 应用于求圆的半径
3．【中考·凉山州】如图，已知AB为⊙O的直径， AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；证明：如图，连接DO.
(1)求证：DF是⊙O的切线；证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G.
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∴DF是⊙O的切线．
(2)若AE＝4，cos A＝
2 5
∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO. ∴∠COD＝∠COB.
在△COD和△COB中， ∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°. ∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．解：设⊙O的半径为r，

冀教版九年级下册29.3切线的性质和判定 (无答案)

29.3切线的性质知识点一：切线的定义：当直线与圆有一个公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个共点叫做切点。

切线的性质定理及推论：性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点推论2:经过切点且垂直于切线的直线必过圆心图例：（1）有一个公共点A(2)OA=r(3)直线l是切线,OA是半径,OA⊥l.(4)圆心为O,直线l是切线,OA⊥l,则OA必过切点A(5)直线l是切线,A为切点,OA⊥l,则OA必过圆心O互动练习：1、如图所示,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙C的半径为A.2.3B.2.4C.2.5D.2.62、如图,AB与⊙O相切于点A,BO与⊙O相交于点C,点D是优弧AC上一点,∠CDA=27°,则∠B的大小是（）A.27°B.34°C.36°D.54°3、如图以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D.,若OD=2,an∠OAB=立,则AB的长是(）A.42B.3C.84D.34、如图AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,连接PO并延长交⊙O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是（）5A.35B.2C.55D.25、如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD 的度数为A.70B.35°C.20°D.40°6、如图,BC是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,切点为D,AD与CB的延长线交于点A,∠C=30°,给出下面四个结论:图29-3-1①AD=DC;②AB=BD;③AB=5BC;④BD=CD.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个7、如图△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙0的半径为（）8、线段AB与⊙O相切于点B,线段AO与⊙O相交于点C,AB=12,AC=8,则⊙O的半径长为（）9、如图所示,C为⊙O外一点,CA与⊙O相切,切点为A,AB为⊙O的直径,连接CB.若⊙O的半径为2,∠ABC=60°,则BC=（）10、在周长为26 的⊙O中,CD是⊙O的一条弦,AB是⊙O的切线,且AB∥CD,若AB和CD之间的距离为18,则弦CD的长为（）11、如图，菱形ABOC的边AB,4C分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=（）12、在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E求证:∠A=∠ADE13、如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连接BD(1)求证:∠A=∠BDC;(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD,BD于点M,N.当DM=1时,求MN的长14、如图，AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点B作⊙O的切线DE,与AC的延长线交于点D,作AE⊥AC交DE于点E(1)求证:∠BAD=∠E;(2)若⊙O的半径为5,AC=8,求BE的长15、如图,点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD(1)求证:AD平分∠BAC(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面系(结果保留）16、如图,AB=16,0为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点0逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于P、Q两点,且点P,Q 在AB异侧,连接OP(1)求证:AP=BQ(2)当B0=43时,求QD的长(结果保留m)3)若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围17、如图,已知AB是⊙0的直径,PC切⊙O于点P,过A作直线AC⊥PC交⊙0下另一点D,连接PA、PB1)求证:AP平分∠CAB;(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点,⊙O的半径为2,则①当弦AP的长是时,以A,O,P,C为顶点的四边形是正方形②当P的长度是时,以A,D,O,P为顶点的四边形是菱形18、钓鱼岛历来是中国的领土,以它为圆心,在周围12海里范围内均属于禁区,不允许其他国家的船只进入如图29-3-1-5,今有一中国海监船在位于钓鱼岛A 正南方向距岛60海里的B 处海域巡逻,值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C 处有一艘日本渔船,正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛中方立即向日本渔船发出警告,并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截,中间多次发出警告.2小时后,海监船到达D 处,与此同时日本渔船到达E 处,此时海监船再次发出严重警告。

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