岩石力学弹塑性分析

(on su )
(2) 应力边界条件(stress boundary conditions) 在下图(b) 中的AB表面取 point P . 这样 px and py 变成在P 点 f x and f y 的surface force components . 而σx,σy,τxy,τyx 变成在P 的 stress components 的boundary values, 则 Eqs.(2.3)
(b) (c )
若边界垂直于 y axis, 这时 l 0, m 1, the boundary conditions (2.15) 简化为:
( y ) s f y ( x) , ( xy ) s f x ( x) ( when m 1) ( y ) s f y ( x) , ( xy ) s f x ( x) ( when m 1)
1. 平衡微分方程
x xy Fx 0 x y yx y F y 0 x y
2. 几何方程
u x , x
v y y
xy
v u x yຫໍສະໝຸດ 3. 物理方程 （１）平面应力
1 x [ x y ] E 1 y [ y x ] E 1 xy xy G
x s x
Fig. 2.7
可见平面问题有八个方程, 八个变量, 其中应力分量有三个: x , y , xy 应变分量有三个 x , y , xy , 位移分量有两各 u, v 再加上边界条件，理论上也是可解的． 在岩石力学中, 大部分是平面应变问题, 所以下面以平面应变问 题为例, 说明弹性力学的分析方法. 二 弹性平面问题的解法
E 1 2
,将 μ换为
1 ,

就得到plane strain problems 的
physical equations (2.13). 其中第三式也不例外,因为
2 1 1 2(1 ) E E 1 2
4 边界条件(Boundary Conditions) The boundary conditions 表 示 位 移 与 约 束 (displacements and constrains), 应力与面力(stresses and surface forces)之间的关系式. 它 分为 (1) 位移边界条件(displacement boundary conditions) In a displacement boundary problem, 物体部分su表面位移是给定 的, 即有
位移解法 解析法应力解法 混合解法 弹性问题的解法 有限元法 数值法边界元法 块体元法
(1) 位移法(Displacement Method): 将 displacement components 作为 基本的unknown functions, 从方程和边界条件中消去应力分量和形变 分量, 导出只包含位移分量的方程和边界条件, 解这些方程得位移分 量, 然后再解应力分量和形变分量, 这样的办法就称为位移法. (2) 应力法(Stress Method) :将stress components as作为基本的 unknown functions,从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量, 导出只包含应力分量的方程和边界条件, 解这些方程得应力分量, 然 后再解形变分量和位移分量, 这样的办法就称为应力法. (3) 混合法(Mixed Method): 将一些displacement components and 一 些stress components作为unknown functions,导出只包含这些分量的方 程和边界条件,解这些方程得这些 unknown functions, 然后再求其它 的unknown functions.这样的办法就称为混合法.
这就是按位移求解平面问题的基本方程.. 而位移表示的应力边界条件:
(1 ) E u v 1 2 u v l( )m ( ) fx (1 )(!2 ) x 1 y 2(1 ) y x (1 ) E u 1 2 v u v m ( ) l ( ) f y (1 )(!2 ) y 1 x 2 ( 1 ) x y
v ) y u ) x
将上式代入平衡方程:
x yx f x 0 x y y xy f y 0 y x
得出
2 2 2 (1 ) E 1 2 u u 1 v f x 0 2 2 (1 )(1 2 ) 2(1 ) y 2(1 ) xy x 2 2 2 (1 ) E 1 u v 1 2 v f y 0 2 2 (1 )(1 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) x y y x
这里有十五个方程, 十五个变量 六个应力分量
x , y , z , xy , yz , zx
六个应变分量
x , y , z , xy , yz , zx
三个位移分量 u, v, w 再加上边界条件，理论上是可解的． （二）平面问题
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
u x , x
v y , y
xy
v u x y
得到
(1 ) E u x ( (1 )(1 2 ) x 1 (1 ) E v y ( (1 )(1 2 ) y 1 E v u xy ( ) 2(1 ) x y
（２）平面应变
1 2 x [ x y ] E 1 1 2 y [ y x ] E 1 1 xy xy G
由此可见, 这两个平面问题的 physical equations 是不一样的. 假如 我们将plane stress problems 的physical equations (2.12) 中的 E 换为
第二章 岩石力学弹塑性分析
2.1 线弹性分析 一、弹性力学的基本方程 （一）空间问题 1. 平衡微分方程(Differential Equations of Equilibrium)
x xy xz Fx 0 x y z yx y yz F y 0 x y z zx zy z Fz 0 x y z
(u) s u (s), (v) s v (s) (on su )
where (u)s and (v)s 是su surface上位移的边界值, u (s) and v (s) 是坐标
的已知函数. 对于完全固定边界 u ( s) v ( s) 0 有
(u) s 0,
(v) s 0
位移边界条件还用Eqs.(2.14):
(u) s u (s),
(v) s v (s)
(on su )
(二) 按应力求解平面问题, 相容方程(Solution of Plane Problem in Terms of Stresses. Compatibility Equation) 平面问题的geometrical equations 如Eqs.2.8
(一) 位移法: 从 physical equations
解出stress components, 得
1 2 x [ x y ] E 1 1 2 y [ y x ] E 1 1 xy xy G
2. 几何方程
u x , x
v w y , z y z
xy
v u v w w u , yz , zx x y z y x z
3. 物理方程(广义虎克定理)
1 x [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E 1 1 1 yz yz , zx zx , xy xy G G G
当边界与坐标轴垂直时, the stress boundary conditions 可以简化: 若边界垂直于 x axis, 这时 l 1, m 0, 则 boundary conditions (2.15) 可 简化为:
( x ) s f x ( y ) , ( xy ) s f y ( y ) ( when l 1) ( x ) s f x ( y ) , ( xy ) s f y ( y ) ( when l 1)
(d ) ( e)
(3) 混合边界条件( mixed boundary conditions) 若物体的一部分边界具有已知位移, 因而具有位移边界条件, 如 式(2.14)所示; 另一部分具有已知表面力,因而具有应力边界条件,如 式(2.15)所示, 则叫混合边界条件. 此外, 在同一部分边界上还可能出现混合边界条件, 即两个边 界条件中, 一个是位移边界条件, 另一个是应力边界条件. 如图2.7(a), 在 x direction 有displacement boundary condition (u) s u 0 , 在y direction 有 stress boundary condition ( xy ) s f y 0 . 在 Fig. 2.7b, 我 们有 stress boundary condition ( ) f 0 而在 y 方向, 有displacement boundary condition (v) s v 0
p x l x m xy , p y m y l xy