函数高考综合题(含答案)

函数高考综合题(含答案)

（２１）（本小题满分12分)

设函数2()ln x f x e a x =-。 (Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数;

ﻩ（Ⅱ)证明:当0a >时,2()2ln

f x a a a

≥+。

21．(本小题满分14分）

设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a ．

(1）若1)0(≤f ,求a 的取值范围；

(2）讨论()f x 的单调性;

(3）当2≥a 时,讨论4()f x x

在区间),0(+∞内的零点个数. ）222(0)||(1)

||||f a a a a a a a a a a

=+--

=+-+=+

10,21,21

02

0,1,01

2

a a a a a a a a R a a ≥≤≤

∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述：

（２）22()()(1)()

()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩

22(12)()()(12)2()

x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122

a x a a +==+> ∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增

(3）由(2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-. ①当2a =时，-22()(m in

==）f x f ,⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+x x f 时,即)0(4)(>-=x x

x f ． 因为()f x 在(0,2)上单调递减,所以()(2)2f x f >=- 令x

x g 4)(-=,则)(x g 为单调递增函数,所以在区间（0,２)上，2)2()(-=

当2x ≥时,令x x x x f 43)(2-

=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x

综上所述，当2a =时,x

x f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点ｘ=2. ②当2a >时,2min ()()f x f a a a ==-,

当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ,0)(2<-=a a a f , 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=x

x g

故判断函数)()(x g x f 与是否有交点,需判断2)(a a a f -=与a

a g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232

<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以24()f a a a a

=-<-，即）a g a f ()(< 所以,当),0(a x ∈时,)()(x g x f 与有一个交点；

当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=x

x g 恒成立 而令a x 2=时,02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时,有)2()2(a g a f >,

所以当),(+∞∈a x 时,)()(x g x f 与有一个交点;

故当2>a 时,()y f x =与x x g 4)(-

=有两个交点． 综上,当2a =时,4()f x x

+有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x

+有两个零点。