有理数的巧算
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数巧算裂项法
有理数巧算裂项法
有理数是数学中一类重要的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。
在进行有理数加减乘除运算时，需要用到裂项法，这是一种巧妙的方法，可以将有理数化简，以方便进行运算。
裂项法的基本思想是将一个分数拆分成多个分数之和或之差，这样就能够消去一些因数，从而使计算更为简便。
以下是一些常见的裂项法示例：
1. 裂项法求和
例如，计算2/3 + 7/9
首先，我们找到这两个分数的公共分母，即9，然后将分母拆分成3×3，得到：
2/3 + 7/9 = 2/3×3/3 + 7/9×3/3
= (2×3)/9 + (7×1)/9
= 13/9
= (5×1)/(2×2×3) - (1×3)/(2×2×3)
= 5/12 - 3/12
我们可以将3/4和5/6都分别拆分成若干个分数之积，然后再合并起来，得到：
= 5/4
2/3÷4/5 = 2/3×5/4
总之，裂项法是一种十分常用且实用的方法，可以帮助我们更加方便地进行有理数的计算，提高计算效率。
第一讲有理数的巧算1
第一讲有理数的巧算1有理数运确实是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在明白得有理数的有关概念、法则的基础上，能依照法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于依照题目条件，将推理与运算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，进展思维的灵敏性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，能够依照运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1运算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，专门是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，如此便于运算．例2运算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直截了当运算专门苦恼，依照运算规则，添加括号改变运算次序，可使运算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来运算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一样思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3运算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出那个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．假如按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式运算，就能得到一系列的“-1”，因此一改“去括号”的适应，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，因此有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，因此有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，因此在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，可不能改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，因此任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．因此，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使运算大大简化．2．用字母表示数我们先来运算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．因此我们得到了一个重要的运算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①那个公式叫平方差公式，以后应用那个公式运算时，不必重复公式的证明过程，可直截了当利用该公式运算．例5运算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6运算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7运算：分析与解直截了当运算繁．认真观看，发觉分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，因此分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，因此原式=24 690．例8运算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数差不多上前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就能够连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9运算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．那个公式也能够反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题确实是一个例子．通过以上例题能够看到，用字母表示数给我们的运算带来专门大的益处．下面再看一个例题，从中能够看到用字母表示一个式子，也可使运算简化．例10运算：我们用一个字母表示它以简化运算．3．观看算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请运算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直截了当把20个数加起来，明显运算量较大，粗略地估量一下，这些数均在90上下，因此可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，如此会大大简化运算．因此总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 运算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观看发觉：第一算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，因此可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一样地，一列数，假如从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都能够用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13运算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观看发觉，上式从第二项起，每一项差不多上它前面一项的5倍．假如将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，因此两式相减将使差易于运算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①因此5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明假如一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 运算：分析一样情形下，分数运确实是先通分．本题通分运算将专门繁，因此我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再运算，这种方法叫做拆项法．解由于因此说明本例使用拆项法的目的是使总和中显现一些能够相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中专门常用．练习一1．运算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试运算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。
有理数简便运算方法
有理数简便运算方法一、有理数的加减运算方法：1.同号相加减法：将相同符号的有理数的绝对值相加（减），并保持原来的符号。
例如：(+3)+(+5)=+8，(-4)+(-2)=-62.异号相加减法：先取绝对值较大的数，再用它减去绝对值较小的数，运算结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。
例如：(+7)+(-3)=+4，(-5)+(+8)=+33.加减混合运算法则：将混合运算式转化为整数与有理数相加减的运算。
先将有理数的加法运算和减法运算分别进行，再按照不同符号的数向各自所在的方向合并。
例如：(-4)+(+6)-(-2)=(-4)+(+6)+(+2)=+4，(-7)+(+5)-(+3)=(-7)+(+5)+(-3)=-5二、有理数的乘除运算方法：1.同号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是正号。
例如：(+2)×(+3)=+6，(-6)÷(-2)=+32.异号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是负号。
例如：(+4)×(-3)=-12，(-8)÷(+2)=-43.乘除混合运算法则：将乘法和除法运算的优先级区别对待，首先进行除法运算，然后再进行乘法运算。
例如：(-12)÷(+3)×(-2)=-24，(+36)÷(-6)×(+5)=-30。
三、有理数的化简方法：1.化简法则：当有理数表达式中存在多个加法或减法时，可根据运算法则将其化简为一个数。
例如：(+5)+(-3)+(+2)=(+5)+(-1)=+42.去括号法则：当有理数表达式中存在括号时，利用分配率将括号中的运算进行展开。
例如：(+3)×[(+4)+(-2)]=(+3)×(+4)+(+3)×(-2)=+12+(-6)=+63.合并同类项法则：当有理数表达式中存在多个同类项时，可将同类项合并。
例如：(+3)+(+4)-(+2)+(-3)=(+3-3)+(+4-2)=+0+(+2)=+2有理数的简便运算方法可以帮助我们快速准确地计算各种有理数的加减乘除运算，化简有理数表达式，掌握这些方法有助于提高数学计算的效率。
有理数的巧算含答案
2
=
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2
11
=2( - )
(3)
52003 5
4
提示:设 s=5+52+53+…+52002,则 5s=52+53+…+52003.
【例 4】(1)若按奇偶分类,则 22004+32004+72004+92004 是________数; (2)设 a=355,b=444,c=533,则 a、b、c 的大小关系是_______(用“>”号连接); (3)求证:32002+42002 是 5 的倍数. 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算有关问题常用到以下知 识:①乘方意义;②乘方法则;③a2n≥0;④an 与 a 的奇偶性相同;⑤在 n4k+r 中(k,r 为非负整 数,n≠0,0≤r<4),当 r=0 时,n4k+r 的个位数字与 n4 的个位数字相同;当 r≠0 时,n4k+r的个 位数字与 nr 的个位数字相同. 解:(1)奇;(2)a>b>c. (3)因为 32002=34×500+2,42002=44×500+2,所以 32002 与 42002 的个位数字分别与 32、42 的个数 数字相同,即 9、6,从而 32002+42002 的个位数字为 5,因此,32002+42002 是 5 的倍数. 【例 5】有人编了一个程序:从 1 开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可 以是乘法),每次加法,将上次运算结果加 2 或加 3;每次乘法,将上次运算结果乘 2 或乘 3,
例题求题
【例 1】现有四个有理数 3,4,-6,10,将这 4 个数(每个数用且只用一次)进行加、减、
有理数的巧算(含答案)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算 3001×2999的值．练习1 计算 103×97的值． 练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算： )1011()311)(211(222-⋯⋯--3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯第一讲有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3 计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1． ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解 设S=1+5+52+…+599+5100， ①所以5S=5+52+53+…+5100+5101． ②②—①得4S=5101-1，例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解 由于所以原式=)2010120091()3121()211(-+⋯⋯+-+-=20102009 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。
初中数学拔尖材料02有理数的巧算
初中数学拔尖材料02 有理数的巧算初中代数的第一个任务是：引进负数，成立有理数．有理数是代数的根底，必需要学好它．本讲内容要紧介绍有理数的巧算的各类方式．1．凑整法：一样凑成整一、整十、整百、整千等数．例1．计算：89899899989999899999++++．例2．计算：13312155132642586538++++++． 例3．正整数1，2，3，…，9998，9999所有数码之和是多少？例4．计算：100100100999999+1999⨯个个个．2．应用运算定律：为了简化运算，通常改变运算顺序，互换律、结合律与分派律并举．例5．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？例6．计算：1311132148()48868-+-⨯-． 例7．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++． 3．应用添〔去〕括号：为了提示规律，适当添或去括号．例8．计算：12345678979899100+--++--+++--． 例9．计算：1111111()()()22448819216384-------． 例10．计算：162500012560425÷-⨯．4．拆项法：为了运算简捷，常常需要将一个数学拆成两个数或几个数． 例11．计算：552757275628⨯+⨯． 例12．计算：179111315131220304256-+-+-． 例13．求111112233420132014++++⨯⨯⨯⨯的值． 例14．计算：11113771111155559++++⨯⨯⨯⨯． 例15．计算：10123410248162+++++． 5．应用幂的性质：对幂的指数较大的，依照数的特点及其关系，运用幂的性质能够简化运算．例16．计算：12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-． 例17．计算：76777241(1001)(0.125)()()()71311-⨯-⨯-⨯-⨯-．6．倒序相加法：将式子倒过来，对应相加后，和一样．例18．求和：1234100+++++．例19．求一列数的各项之和：1，3，5，7， (2021)例20．求10099989796959493929110987654321++--+++--++++--+++--之和． 例21．计算：11111212312341232013++++++++++++++． 7．错位相减法：为了简化运算，乘一个数，将式子错位，相减相消．例22．求23201312222S =+++++． 例23．计算：233572112222n n S +=+++++． 8．观看找规律：为了简化运算，观看式子，寻觅规律．例24．试写出34⨯，3334⨯，333334⨯，…的一样规律，并进展证明．例25．现有数组：〔1，1，1〕；〔2，4，8〕；〔3，9，27〕；…；求第100组的三个数之和． 例26．有一串数：11，12-，22，12-，13，23-，33，23-，13，14-，24，34-，…； 〔1〕711是第几个数？〔2〕第400个数是多少？ 综合练习 1．298720002000200029872987⨯-⨯=_____________________2．1001(((1))------=重括号_____________________3．194144336+630.125+63+63=2323223238⨯⨯⨯_____________ 4．1111++++=144771097100⨯⨯⨯⨯_____________ 5．2235353599=999999n n ⨯个个_____________ 6．：1231055++++= …………猜想：12310m ++++=_____________7．设200400a ≤≤，6001200b ≤≤，那么b a 的最大值是_____________ 8．假设33331231514400++++=，那么333324630++++=_____________9．把分子为一、分母大于1的自然数的分数称为单位分数；假设把单位分数16表示成份母不同的两个单位分数之和，试求出所有可能的表示．10．一串数：11，11，12，12，22，22，13，13，23，23，33，33，……；〔1〕115是第几个数？〔2〕第2021个分数是多少？。
有理数巧算“十字诀”
有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。
有理数简便运算方法
有理数简便运算方法理数是可以表示为整数或者有限小数的数。
有理数的运算可以通过将有理数转化为分数来进行简化。
以下是有理数的简便运算方法。
一.有理数的加法和减法运算1.同号有理数相加：若两个有理数同为正数或同为负数，则只需将它们的绝对值相加，然后给结果加上相同的符号。
例如：2+3=5，(-2)+(-3)=-52.异号有理数相加：若两个有理数一个为正数，一个为负数，则只需将它们的绝对值相减，然后给结果取两个数绝对值较大的符号。
例如：3+(-2)=3-2=1，(-3)+2=2-3=-13.有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法运算，即将减数变为其相反数，然后进行加法运算。
例如：2-3=2+(-3)=-1二.有理数的乘法运算1.同号有理数相乘：若两个有理数同为正数或同为负数，则只需将它们的绝对值相乘，然后给结果加上相同的符号。
例如：2×3=6，(-2)×(-3)=62.异号有理数相乘：若两个有理数一个为正数，一个为负数，则只需将它们的绝对值相乘，然后给结果加上负号。
例如：2×(-3)=-(2×3)=-6，(-2)×3=-(2×3)=-6三.有理数的除法运算有理数的除法可以转化为乘法运算，即将被除数乘以除数的倒数，即除数的倒数是除数分子与分母交换位置得到的分数。
例如：2÷3=2×(1/3)=2/3，(-2)÷(-3)=(-2)×(1/(-3))=2/3四.有理数的混合运算有理数的混合运算可以按照四则运算的顺序进行：先进行括号内的运算，然后进行乘除法运算，最后进行加减法运算。
例如：2+(3×4)=2+12=14，3-(2+1)×4=3-3×4=3-12=-9以上是有理数的简便运算方法，通过将有理数转化为分数进行运算，可以简化计算的步骤，方便快捷地进行有理数的加减乘除运算。
中考数学专题讲练 有理数的巧算(解析版)
有理数的巧算一．结合律加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变．二．分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.三．裂项法在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．常用拆项公式：（1）()11111n n n n =-++； （2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，或()()()()()21112112n n n n n n n =-+++++；（4）11a ba b a b+=+⨯，11b aa b a b-=-⨯．四．换元法我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律；（2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题．一．考点：结合律、分配律、裂项法、换元法．二．重难点：裂项法、换元法．三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少．题模一：结合律例1.1.1151515 8124292929⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【解析】该题考查的是有理数巧算．观察该题，发现都含有共同的因数1529-．因此先提取公因数 原式()15812429⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭， 15029⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 0=例1.1.2 计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯【答案】 49.5- 【解析】 ()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯5.59=-⨯49.5=-．题模二：分配律例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣311836+-）． 【答案】 6．【解析】 原式=1+9﹣8+4=6．例1.2.2 阅读下列材料： 计算（﹣130）÷（23﹣110+16﹣25） 解法①：原式=（﹣130）÷23﹣（﹣130）÷110+（﹣130）÷16﹣（﹣130）÷25=﹣120+13﹣15+112=16解法②：原式=（﹣130）÷[（23+16）﹣（110+25）]=（﹣130）÷（56﹣12）=﹣130×3=﹣110 解法③：原式的倒数为（23﹣110+16﹣25）÷（﹣130）=（23﹣110+16﹣25）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣110（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．（2）请计算：（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）． 【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣18【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．（2）∵（16﹣314+23﹣37）÷（﹣142） =（16﹣314+23﹣37）×（﹣42） =16×（﹣42）﹣314×（﹣42）+23×（﹣42）﹣37×（﹣42） =﹣7+9﹣28+18=﹣8 ∴（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）=﹣18题模三：裂项求和例1.3.1 已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】 20142015【解析】 由220ab a -+-=知，2a =，1b =． 原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 例1.3.2 计算：15791113151261220304256-+-+-+ 【答案】 98 【解析】 15791113151261220304256-+-+-+ 1223344556677812233445566778+++++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111112233445566778⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111112233445566778=+--++--++--++ 118=+ 98=． 题模四：换元法例1.4.1 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】 12012【解析】 设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练1.1 计算：()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯ 【答案】 15-【解析】 提取公因数．()()()32419324191515151515171717171717⎛⎫-⨯+-⨯--⨯=-⨯+-=- ⎪⎝⎭． 随练1.2 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 【解析】 该题考查的是实数的混合运算． 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 357364912⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭()395473=-⨯-⨯+⨯272021=--+26=-随练1.3 计算：1517()(36)126369-+--⨯- 【答案】 2【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．原式()()()()151736363636126369=-⨯-+⨯--⨯--⨯- 330128=-++=2随练1.4 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】 91216- 【解析】 ()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 91216=-．随练1.5 阅读材料：计算：12112()()3031065-÷-+- 解法1：原式＝1211215111()()()()()3303610530623010⎡⎤-÷++--=-÷-=-⨯=-⎢⎥⎣⎦； 解法2：原式的倒数为：()21121211230310653031065⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20351210=-+-+=-， 故原式＝110-。
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法重难点题型
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913.【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【题型2 凑整法】【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4； （2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4） （2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5；（2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)；【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【变式4-2】计算：﹣991517×34．【变式4-3】计算：399498399×(−6)【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【题型6 裂项相消法】【例6】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值． （3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝ ，1772= ＝ ．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【变式6-3】阅读理解题 第1个等式：12=2−12×1=1−12； 第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式： ； （2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．。
有理数运算技巧十五招
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数的巧算
有理数的巧算有理数运算中的几个技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127] = 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)] = 11＋(－73) = 1074．二、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例4 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．三、凑整求和例5 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1= (20＋300＋4000＋50000)－4= 54320－4= 54316．例6 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．四、逆用运算律有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例7 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44= 17.48×(37＋19＋44)= 1748．五、巧拆项例8 计算2005×20042003－1001×10021001．解：2005×20042003－100210011001? = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001 = (2003－1001)＋(20042003＋10021001) =100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、换元法通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例9 计算512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-)．解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则 512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-) = cab a +×(b ＋a c ) =c ab a +×a c ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ，② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256 171．七、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例11 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)，② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885．评析：此题运等比数列求和也行有理数的巧算与速算有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。
初一数学讲座——有理数的巧算
初一数学讲座——有理数的巧算班级姓名座号常用公式：（1）等差数列求和公式：和=()2+⨯首项末项项数，项数=1-+末项首项公差．（2）裂项公式：111(1)1n n n n=-++；1111()(2)22n n n n=-++；1111()()n n a a n n a=-++.1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；…常用方法：倒序相加法(等差数列求和公式)、错位相减法、换元法、裂项相消法、基准数法. 应用举例：1．倒序相加法例：计算：(1)1 + 2 + 3 +…+ 2003 + 2004；(2)1 – 2 + 3 – 4 +…+ 2003 – 2004.解析：(1)设S = 1 + 2 + 3 +…+ 2003 + 2004 ○1则S = 2004 + 2003 +…+ 3 + 2 + 1 ○2○1+○2，得：2S = (1 +2004) + (2 + 2003) +…+ (2004 + 1)=2005 +2005 +…+ 2005（共2004个2005）=2005×2004∴S =2005200420090102⨯=即：原式=2009010.(2)原式= (1 – 2) + (3 – 4) +…+ (2003 – 2004)=－1－1－…－1（共1002个－1）=－1002.练习：计算(1) 1 + 3 + 5 + 7 + …+ 2013 + 2015（2）– 1 + 3 – 5 + 7 –…– 2009 + 20112．错位相减法例：计算：5 + 52 + 53 + (5)解析：设S = 5 + 52 + 53 +…+5n ○1则5S =52 + 53 +…+5n+1○2○1－○2，得4S = 5n+1－5，S =n+1554-即，原式=n+1554-.练习：计算（1）1 + 3 + 32 + 33 + …+399 + 3100 (2) 2 – 22– 23–…– 218– 219 + 2203．裂项法例：计算：11111212312100++++++++++解：原式=11111112222334100101⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111122334100101⎛⎫+-+-++-⎪⎝⎭=11122101⎛⎫+-⎪⎝⎭=200101.练习：计算（1）111112233420112012-----⨯⨯⨯⨯…；（2）()()111114477103231n n++++⨯⨯⨯-+…；4．换元法例：计算：111111111111313741475369293137414753⎛⎫⎛⎫++++++++++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭111111111111293137414753693137414753⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭解析：设111111129313741475369m++++++=，111113137414753n++++=，则原式=21111()69696969n m mn mn m n mn⎛⎫⎛⎫+--=+---⎪⎪⎝⎭⎝⎭=21111116969296969292001⎛⎫+-==⎪⨯⎝⎭.练习：计算–1111111111()(1)(1)()2320142201322014232013++++++++++++…………．5. 基准数法某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．6. 其他方法. 例：化简：393939899899377377939393⨯⨯解析：3939393900003900393910101=++=⨯，9393939310101=⨯.8998998990008998991001=+=⨯， 3773773771001=⨯ 原式=3910101899100131331291377100193101013311329⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.练习：200720062006200820072007200620072007200720082008⨯+⨯-⨯-⨯ 知能演练1．计算：（1）1132.6129998164.6 1.1258⎛⎫⨯--⨯+⨯ ⎪⎝⎭； （2）()()()2312930283223223+⨯-+⨯；（3）75178.556(18) 1.4569618⎛⎫-⨯+-+⨯--⨯ ⎪⎝⎭； (4)12320002001200120012001++++.2．计算(2001 – 1) + (2000 – 2) + (1999 – 3) +…+ (1002 – 1000).3．计算：1131351397244666989898⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4．2004⨯20032003+2005⨯20042004－2003⨯20042004－2004⨯200520055．计算：200112001220013111122223333÷个个个.6．计算：200020002000200020002000200020002000200120012001200120012001200120012001++++++7．已知1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+大于19212001，试求：自然数n 的最小值是多少？。
有理数的巧算
有理数的巧算1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．例6计算103×97×10 009的值．例7计算：例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．例9计算：通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10 计算：3．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．例14 计算：30129811071741411⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯练习1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。
有理数巧算
第八节 有理数巧算【知识纵横】1．乘法分配律法2．约分法3．倒写相加法4．裂项相消法有些求若干个分数之和的计算题，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．下面给出五类常见的裂项公式：(1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 （3）)(k n n k +型裂项公式：k n n k n n k +-=+11)(． （4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式： )2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k （5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n k 211)2)((2++-+=++ 5. 错位相减法6．整体换元法【经典例题】1．乘法分配律法例1．计算：①．.21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯答案：2②．103451194911994199411949145199414511949+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ 答案：02．约分法*例2． ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+171911619131912191191191711817131712171171 答案：13．倒写相加法例3．设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++ .1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++ 答案：2)1(+n n4．裂项相消法例4、计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-*例5、1111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯*例6、⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++199911411311211199914113112114131121131211215.错位相减法例7、求数列 ,81,41,21,1--的前8项的和.*例8、200743220071200712007120071200711++++++6．整体换元法例9、计算)20061......3121()20071......31211()20071......3121()20061......31211(+++⨯-----+++⨯----【练习与拓展】1．填空题（1） 4213012011216121-----=________________ （2） 20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值的整数部分是_________（3） 111111123456761220304256++++++=__________________ （4） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+-10001141131121110201970198019902000 =_____________ （5） ()()_____________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯； （6） ____________19197676767676191919=-； 2．计算：① 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯②⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-110031120021120031120041（3）.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯751517315151537319315151537319751517537319751517315151（5）311021983278%12541153881568825.1⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯（6）200020001999199919992000⨯-⨯2)6543187(36-+-⨯-（7）、求和20073277771+++++= S3．已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1， 求--21-51+81+111+201+411+110116401的值4、若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数5、217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-766554433276655443322116、2001200420002004200120012001200120012001200020002000200020002000个个+++++7、nn n n n n 93186293142842421⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯**8、求 ++++3227252321共2007项的和.作 业1．1436.171464.8295135159513518⨯+⨯+⨯-⨯2．求和199********+++++= S3201918143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++99113112119914113112114131121131211215、计算：.311212311999212000312001212002-++-+-。