多变量线性控制系统引论 微分算子多项式矩阵法思维导图
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微分方程 09.6.15
上
下
停
积分因子： ( x, y) 0, 使
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
为恰当方程.
找 的方法：① 分项组合法
② 公式法
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0 有积分因子 ( x)
1 (M N ) ( x), 且 ( x) e ( x)dx .
第十二章
微分方程
一、知识网络关系图
一阶方程
类型 1.可分离 变量方程 2.齐次方程 3.线性方程 4.伯努利方程 5.全微分方程
基本概念
高阶方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根
定 系
及其对应项
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
可降阶方程
线性微分 方程
解的结构
欧拉方程
目
回
上
下
停
一阶显示微分方程的初等积分法
(若已知其一个特解 y1( x)) (令 z y y1( x)，化为z的n 2的伯努利方程)
目
回
上
下
停
5º全微分方程： M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
( 恰当)
u u( x, y), 使
d u(x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy (x, y) G
N y x
目
回
上
下
停
可降阶微分方程
1. y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z y(n1),
因此
z f ( x)dx C1
即
同理可得 y(n2) f ( x)dx C1dx C2 f ( x)dx dx C1x C2
第2章控制系统的数学模型(4)
Y ( s ) P ∆1 + P2 ∆ 2 = 1 R( s) ∆ G1G2G3G4 (1 − L3 − L4 ) + G5G6G7 G8 (1 − L1 − L2 ) = 1 − ( L1 + L2 + L3 + L4 ) + ( L1 L3 + L1 L4 + L2大连民族学院机电信息工程学院 L3 + L2 L4 )
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第二章 控制系统的数学模型
G3 R(s) G1 H G2 Y(s)
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第二章 控制系统的数学模型
G3 R(s) G1 H G2 Y(s)
P1=G1 G2 P2= - G3
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第二章 控制系统的数学模型
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第二章 控制系统的数学模型 H2 H3
例1
G1
L1
R(s)
L2
G3 G4 G8
1
G2
1
Y(s)
G5
G6
G7
L3
L4
H7
P = G1G2G3G4 1
L1 = G2 H 2
L3 = G6 H 6
P2 = G5G6G7G8
L2 = G3 H 3
H6
L4 = G7 H 7
G (s) = G1G2 G3 + G1G4 1 + G1G2 H 1 + G2 G3 H 2 + G1G2 G3 + G1G4 + G4 H 2
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第二章 控制系统的数学模型
G3 R(s) G1 H G2 Y(s)
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第二章 控制系统的数学模型
G3 R(s) G1 H G2 Y(s)
P1=G1 G2 P2= - G3
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第二章 控制系统的数学模型
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第二章 控制系统的数学模型 H2 H3
例1
G1
L1
R(s)
L2
G3 G4 G8
1
G2
1
Y(s)
G5
G6
G7
L3
L4
H7
P = G1G2G3G4 1
L1 = G2 H 2
L3 = G6 H 6
P2 = G5G6G7G8
L2 = G3 H 3
H6
L4 = G7 H 7
G (s) = G1G2 G3 + G1G4 1 + G1G2 H 1 + G2 G3 H 2 + G1G2 G3 + G1G4 + G4 H 2
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六西格玛管理第三版思维导图
六西格玛管理与财务收益 基本财务类型
财务收益
质量成本和不良质量成本
1.2、六西格玛与过程管理
质量概念的演进与质量管理的发展 六西格玛管理的起源和发展
六西格玛管理的发展
概念 作用
六西格玛的概念与作用
高层领导在六西格玛管理中的作用
核心理念和组织文化 六西格玛管理的领导、文化和战略
六西格玛管理与企业战略
六西格玛管理组织结构 六西格玛的推进步骤
预控制
精益控制工具
防错 标准化作业
六西格玛项目总结与成果评审
六西格玛项目总结 六西格玛项目成果评审与分享
测量 改进
流程图
过程分析及文档 因果图与因果矩阵
其他过程分析工具与文档
概率论基础知识
随机变量及分布
数学期望、均值及方差
概率与数理统计基础 常用的离散分布
常用的连续分布
中心极限定理
统计量与抽样分布
数据类型与测量尺度
概述
项目规划工具 六西格玛项目立项表和计划
项目文档
团队的组建和授权
团队发展阶段 团队动力与绩效
六西格玛项目团队建设
团队工具
项目跟踪和监控 促进变革
六西格玛项目监控与促进变革
亲和图
关联图
树图
矩阵图 六西格玛项目管理与策划工具
优先矩阵图
过程决策程序图
网络图
项目总结 项目成果评审与分享
六西格玛项目总结与成果评审
响应曲面设计的分析及实例
混料设计概述
混料设计与分析 混料试验计划
混料试验的分析
调优运算
调优运算概论 调优运算方法
看板可视化管理、5S与定制化管理
常用的精益改进工具
第二章 系统的数学模型
Example 2 电气 解：1.系统的输入量u (t)，输出为电容器的电量q (t)。 网络系统
三、系统微分方程列写示例
2.列写微分方程：
根据欧姆定律有 u L
i
di dt
iR
idt C
1
dq dt
3. 消去中间变量并整理得：
di
Lq Rq 1 C q u (t )
dt
0 ( s a )t
e 1
( s a )t
dt
0
1
0
t
f (t ) e
at
sa
0
sa
L[ e ]
at
1 sa
2.2
拉普拉斯变换
5. 正弦函数
3、典型函数的 拉氏变换
根据欧拉公式：
e e
j j
cos j sin cos j sin
d f (t ) L sF ( s ) f ( 0 ) dt
d f (t ) dt
e
st
dt
0
e
st
d f (t )
0
e
st
f (t )
0
s f ( t )e
0
st
d t sF ( s ) f ( 0 )
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
相似物理系 统
2.1
系统的微分方程
三、系统微分方程列写示例 解：1.系统的输入量u1 (t)，输出为u2 (t) 2.列写微分方程：
Example 3 两 级RC网络 。
系统结构图及等效变换梅森公式
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 画出图所示电路的动态结构图。
R1
+
U1(s)
R2
ur
-
i1
C1
i1-i2
i2
C2
+
uc
-
解：
Ur(s) _
U1(s)
2(s) I1(s) I_ U1(s) 1 1 C1S _ R1
1 R2
I2(s)
1 C2S
UC(s)
UC(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
不是串联！ 也不是串联！ C1(s)=R(s)G1(s)
C(s)=C1(s)G2(s) =R(s)G(s)1G2(s) C(s) =G (s)G (s) 等效 G(s)= R 2 (s ) 1 n G(s) =ΠGi (s) n个环节串联 i=1
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
(2) 并联
两个环节的并联等效变换：
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
（4）综合点和引出点的移动
1) 综合点之间或引出点之间的位置交换
综合点之间交换： 不改变数学关系 引出点之间的交换： b 不改变数学关系
a
±
c b a aa b c
aa ± cb ± bc ± ± ± a a a
综合点与引出点之间不能交换！
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
U ( s ) – U ( s ) r c 系统动态结构图由四种基本符号构成： Ur(s)=RI(s)+Uc(s) =I(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
绘制动态结构图的一般步骤:
（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。 （2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。 （3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。
线性代数思维导图全6页及其总结
| B)
有向量组A和向量组B
若B可由A线性表示，则 rank(B)小于等于rank(A)
齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的 向量组成
注意这条例题的思想 相册内有清晰版
有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性 无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关
组
第四章
先用行初等变换简化系数矩阵 得到同解方程组
仅含一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 a=0
若n维向量组线性无关，那么把每个向量任意添 加s个分量后，所得向量组也线性无关
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向 量可由向量组织其他向量线性表示
若n维向量组线性相关，那么取这些向量的前r个 分量(r<n)组成的向量组也是线性相关的
向量组线性相关
b
A
1
r(A)=n r(A)<n
+
A
=1
=0
|A|=1
|A|=-1
1 23
4
=1
䞣ぎ䯈.mmap - 2009-11-12 -
~
n n
n+1
n
n
r
V
n+1
若行列式的两行（列）想同,行列式的值为零
若行列式的某两行（列）成比例，行列式的值为 零
交换行列式的两行（列），行列式的值变号
把行列式的某行（列）乘以一个数加到行列式的 另一行（列），行列式的值不变
注意将其与非齐次线性 方程组联系起来
线性表示
与齐次线性方 程组联系起来
线性相关
相册中有清晰版
A1是A的最大线性无关组的充要条件 rank(A)=rank(A1)=r 任意A1包含r个向量 r同时称为向量组A的秩
有向量组A和向量组B
若B可由A线性表示，则 rank(B)小于等于rank(A)
齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的 向量组成
注意这条例题的思想 相册内有清晰版
有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性 无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关
组
第四章
先用行初等变换简化系数矩阵 得到同解方程组
仅含一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 a=0
若n维向量组线性无关，那么把每个向量任意添 加s个分量后，所得向量组也线性无关
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向 量可由向量组织其他向量线性表示
若n维向量组线性相关，那么取这些向量的前r个 分量(r<n)组成的向量组也是线性相关的
向量组线性相关
b
A
1
r(A)=n r(A)<n
+
A
=1
=0
|A|=1
|A|=-1
1 23
4
=1
䞣ぎ䯈.mmap - 2009-11-12 -
~
n n
n+1
n
n
r
V
n+1
若行列式的两行（列）想同,行列式的值为零
若行列式的某两行（列）成比例，行列式的值为 零
交换行列式的两行（列），行列式的值变号
把行列式的某行（列）乘以一个数加到行列式的 另一行（列），行列式的值不变
注意将其与非齐次线性 方程组联系起来
线性表示
与齐次线性方 程组联系起来
线性相关
相册中有清晰版
A1是A的最大线性无关组的充要条件 rank(A)=rank(A1)=r 任意A1包含r个向量 r同时称为向量组A的秩
第九章(多变量的图示法)
2017/3/14
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
12
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§9.2 脸谱图
例9.2以我国35个上市公司的八大评价指标为例说明(数据 略)见参考文献[20]。S—Plus软件收入了脸谱图的作图方法， 下面我们举例说明如何用S—Plus软件画脸谱图。S—Plus画 脸谱图的方法非常简单，只要调用faces函数就可以实现了。 将前面的资料的数字部分输入S—Plus，并令文件名为 gongsi.sdd，在命令窗口调用下面的函数： faces(data.matrix(gongsi), fill = T, which = 1:8, head = "Faces of 35 ompanies",ncol=5,scale=T,byrow=T) 回连运行就可以生成35个公司的脸谱图，每一个公司用一 张脸谱表示出来，但是，此时生成的脸谱图不好与公司名对应， 可将35个公司名放入一个向量a中，然后在上面的命令中加入 选项labels=a，即可生成如下脸谱图：
§9.2 脸谱图
脸谱图分析法的基本思想是由15—18个指针决 定脸部特征，若实际资料变量更多将被忽略（有新的 画图方法取消了脸的对称性并引入更多脸部特征从而 最多可以用36个变量来画脸谱），若实际资料变量较 少则脸部有些特征将被自动固定。统计学曾给出了几 种不同的脸谱图的画法，而对于同一种脸谱图的画法， 将变量次序重新排列，得到的脸谱的形状也会有很大 不同。此处我们不对脸谱的各个部位与原始变量的数 学关系作过多探讨，而只说明其作图的思想及软件实 现方法。
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§9.2 脸谱图
按照H.Chernoff 于1973年提出的画法，采用15个指标， 各指标代表的面部特征为：1表示脸的范围，2表示脸的形状， 3表示鼻子的长度，4表示嘴的位置，5表示笑容曲线，6表示 嘴的宽度，7~11分别表示眼睛的位置，分开程度，角度，形 状和宽度，12表示瞳孔的位置，13~15分别表示眼眉的位置， 角度及宽度。这样，按照各变量的取值，根据一定的数学函 数关系，就可以确定脸的轮廓、形状及五官的部位、形状， 每一个样本点都用一张脸谱来表示。而脸谱容易给人们留下 较为深刻的印象，通过对脸谱的分析，就可以直观地对原始 资料进行归类或比较研究。
线性系统理论全讲课文档
若表征系统的数学描述为L
系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统
x t A tx t B tu t
yt C txt D tu t
x Rn, u R p, y Rq
第十三页，共309页。
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运
动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、
L(R1 R2)
(R1RR1RR122)CuiLc
(R1
1 RR2 2)Ce
L(R1 R2)
L(R1 R2) e(t )
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc iL
R1R2R2
e
x1 x2
(R1
1
R2)C R1
L(R1 R2)
线性系统理论全PPT课件
第一页，共309页。
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分
线性系统的复第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第二页，共309页。
第一章 绪论
(R1RR1RR122)Cxx12
线性代数各章知识及脉络图
M M
0 0
0
,n 3
Dn
A
B
a1
b1
,n 1
a1 a2 b1 b2 , n 2
-5-
○2 加边法专辑
加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，
从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用 Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更 易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。
1 n2
○3 爪型行列式专辑
爪型行列式形如：
方法：将 D 的第 i+1 列乘以 ci i 1, 2,L , n都加到第 1 列，得
ai
有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。
a1 x x L x a2 x L 【例】： Dn x x a3 L M M MO
x x xL
【例】：计算行列式
令 Dn C C AB ，
a2 1 0 L
a2 1 0 L
C
M
MM
a2 1 0 L
a2 1 0 L
0 1 1 L 0b1 b2 L M 0 0 L 0 M M 0 0 0 L
1 1
bn1 bn
0
0
【例】：
1、设行列式 det A 的元素为 aij ，行列式
n
试证： det D det A x Aij ，其中 Aij 为 aij 在 det A 中的代数余子式。 i, j1
证明：把 det D 升阶得到
n
n
n
微分方程解的结构记忆技巧
微分方程解的结构记忆技巧小伙伴们！今天咱们来唠唠微分方程解的结构记忆技巧。
这事儿啊，听起来可能有点头疼，但只要掌握了些小窍门，就没那么难啦。
首先呢，对于一阶线性微分方程。
咱们得知道它的通解结构是由两部分组成的。
一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是一个特解。
这齐次方程的通解就像是基础框架一样。
我跟你说，这步可不能小瞧了，虽然感觉好像挺简单的，但要是这没搞清楚，后面整个理解起来就费劲了。
就像盖房子，地基没打好，那房子能稳吗？对吧！那怎么找齐次方程的通解呢？这里面有个小方法。
一般来说，咱们可以通过分离变量法来做。
这一步我通常会做得比较仔细，因为很容易在计算过程中出错呢。
把变量分离好之后，再两边积分就好了。
不过，积分的时候可要看准了，有时候那些符号啥的一不小心就弄错了，我就经常犯这种小错误，哎！接着就是找特解啦。
特解这个东西呢，有点像给这个基础框架添砖加瓦。
找特解的方法有不少，比如常数变易法之类的。
这时候你可能会想，这么多方法，怎么选呢？其实这得根据具体的方程形式来定。
你看，有些方程的形式一看就适合用某种特定的方法去找特解。
这就需要咱们多做几道题，找找感觉啦。
再说说二阶常系数线性微分方程吧。
它的通解结构也是有规律可循的。
它是由齐次方程的通解加上一个特解组成的。
这个齐次方程的通解呢，和特征方程有关。
求特征方程这一步真的很重要，我通常会再检查一次，真的，确认无误是关键！根据特征方程的根的情况，咱们就能确定齐次方程的通解形式了。
你是不是觉得有点绕？刚开始我也这么觉得，但多做几次就明白啦。
找二阶常系数线性微分方程的特解呢，这得看方程右边的那个函数形式。
如果是多项式形式咱们就可以设一个类似形式的特解。
这里有个小提示哦，设特解的时候要注意次数，千万别设错了！要是设错了，后面算半天都是白搭呢。
还有啊，对于一些特殊类型的微分方程，像可降阶的微分方程。
这种方程的解法有点像走迷宫，要找到那个正确的入口。
一般来说，我们会根据方程的特点进行变量代换。
传函阵
15
u x1(t) x(t) = x2(t)
G1 y1 y2
G2
x1(t) = A1 0
x2(t)
0 A2
x1(t) x2(t)
+ B1 B2
u
y(t) = [C1 C2 ]
x1(t) x2(t)
y
16
3. 具有输出反馈的闭环系统
u
e
y
G
H
Y(s) = G(s) E(s) E(s) = U(s) H(s)Y(s) [1 + G(s)H(s)]Y(s) = G(s) U(s)
3
设系统有r个输入变量，m个输出变量。
则传递矩阵的形式为：
G11(s) L
G(s)
M
O
Gm1(s) L
G1r (s)
M
ห้องสมุดไป่ตู้
Gmr (s)mr
若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为
对角形，称为传递矩阵的解耦形式。
G11(s)
G(s)
G22 (s) O
0
0
Gmm (s)
可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第 i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。4
G11
Y U2
G2 1 G1G2
G12
Y (s) G11
G12
U1
U
2
G(s) G11 G12
8
1.7.3 由状态空间表达式求传递函数阵
x Ax Bu
y
Cx
Du
sX (s) AX (s) BU(s)
Y
(s)
CX
(s)
DU (s)
X (s) sI A 1 BU (s)
u x1(t) x(t) = x2(t)
G1 y1 y2
G2
x1(t) = A1 0
x2(t)
0 A2
x1(t) x2(t)
+ B1 B2
u
y(t) = [C1 C2 ]
x1(t) x2(t)
y
16
3. 具有输出反馈的闭环系统
u
e
y
G
H
Y(s) = G(s) E(s) E(s) = U(s) H(s)Y(s) [1 + G(s)H(s)]Y(s) = G(s) U(s)
3
设系统有r个输入变量，m个输出变量。
则传递矩阵的形式为：
G11(s) L
G(s)
M
O
Gm1(s) L
G1r (s)
M
ห้องสมุดไป่ตู้
Gmr (s)mr
若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为
对角形，称为传递矩阵的解耦形式。
G11(s)
G(s)
G22 (s) O
0
0
Gmm (s)
可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第 i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。4
G11
Y U2
G2 1 G1G2
G12
Y (s) G11
G12
U1
U
2
G(s) G11 G12
8
1.7.3 由状态空间表达式求传递函数阵
x Ax Bu
y
Cx
Du
sX (s) AX (s) BU(s)
Y
(s)
CX
(s)
DU (s)
X (s) sI A 1 BU (s)
专题4-结构图与信号流图(2章)
例
试绘制图所示系统结构图对应的信号流图.
解 首先在系统结构图的信号线 上，用小圆圈标注各变量对应 的节点，如图(a)。其次将各节 点按原来顺序自左向有排列， 将结构图中的方框用具有相应 增益得支路代替，连接节点得 到信号流图。
作业：P79 2-11，(c), (d), (e)
C (s)
G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) ( s ) 1 G2 ( s)G3 ( s) H 2 ( s) G3 ( s)G4 ( s) H 3 ( s) G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) H1 ( s)
例 试简化下图结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).
前向通路增益 p1 = abc
前向通路增益
p2 = d
【回路】【单独回路】：起点和终点在同一节点，而且信号通过每个节
x2 x3 x2
回路1增益
l1 = ae
l2 = bf 回路2 x3 x4 x3 回路2增益 l3 = g 回路3 x5 x5 回路3增益 【不接触回路】：回路之间没有公共节点。 回路2和回路3 回路1和回路3
信号流图的基本性质
(1) 节点标志系统的变量。自左向有顺序设置，每个节点标志的变 量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路 的信号均用该节点的变量表示。 (2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时被乘以支路增益。 (3) 信号在支路上只能沿箭头单向传递,且信号流图不惟一。
常用术语
【源节点】【输入节点】:只有信号输出支路，没有信号输入支路。
解： 在图中由于G1(s)与G2(s)之间有 交叉的比较点和引出点，不能直接进 行方框运算，但也不可简单地互换其 位置。最简便方法是分别将比较点前 移,引出点后移；然后进一步简化直至 求得系统传递函数。
武汉大学《现代控制理论》数学知识回顾 第一章 动态系统与控制的介绍
现代控制理论讲义第一章线性代数回顾1.1 引言动态系统是随着时间而变化的系统。
动态系统模型通常用一对差分方程来描述。
研究内容包括：系统的内部变量和输出对输入和初始状态的响应；如何通过系统的输入/输出（I/O）测量值来推断系统的内部特性；如何控制系统输入得到期望的系统性能，等等。
重点关注的是线性模型（在这类模型里，主要是定常模型，即线性定常模型），原因如下：z线性模型描述了微小操作导致的小扰动，多数的控制设计也是为了调节这种扰动。
z线性模型比非线性模型容易处理，可以找到系统、详细的设计方法。
z通过适当选取位置和形式，工程系统通常由工作在线性状态的模块组成，避免了非线性环节的引入。
线性代数是描述线性系统中多变量间相互作用的基本工具。
在本课程的最初部分（第4或5讲），通过研究几个最小二乘的问题，来回顾线性代数中“Ax=y”或线性方程的相关知识。
同时也有助于引入一些与动态系统相关的思想方法——例如：通过有限脉冲响应（FIR）线性时不变（LTI）离散时间（DT）系统I/O量测的回归处理，得到脉冲响应系数的估计。
之后，我们会详细讲解多输入多输出线性定常系统的表达形式、结构和特性。
线性代数中的特征值－特征向量（Aυ=λυ）是重点，会花费较多时间。
按照这种方法，在课程结尾，通过检查多输入多输出线性定常系统的控制设计、鲁棒性等方面的内容将学过的东西贯穿起来。
对于将来在系统、控制、估计、识别、信号处理和通信方面的工作来说，本课程的内容是有价值的基础知识。
下面列出了需要回顾的一些重要概念，请查阅你所熟悉的线性代数课本。
有一些思想可能是全新的（例如分块矩阵）。
1.2向量空间回顾向量空间的定义：向量，标量域，向量加法（满足结合律和交换律），标量乘法（满足结合律和分配律）；存在零向量0，使得对于任意的x有x＋0＝x，以及标准化条件0x＝0，1x＝x。
用定义判断下面前四个例子是向量空间，而第五、第六个不是向量空间：z。
z实数域上的实连续函数f（t），以及向量加法（将函数按对应点相加，f（t）＋g（t））和数乘（将函数乘上一个常数，a*f（t））的定义。
现控(刘豹第四版)知识点总结
)
T
(t0
,
t
)dt
(t0 ,t) 与(t,t0 ) 一样么？
这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，则失去工程意义。
２．使用 A(t) B(t) 信息
Qc (t) (B1(t), B2 (t),, Bn (t)) ，其中 B1(t) B(t) ， Bi (t) A(t)Bi1(t) Bi1(t)
如果存在某个时刻 t f 0 ，使得 rankQc (t f ) n ，则系统在[0,t f ] 上是状态完全能控的。
３．能观性判别与能控性类似，也可以使用格拉姆矩阵 Wo (t0 ,t f ) ，但工作量太大。可使用 A(t) C(t) 信息：
C1 (t)
R(
能控性充要条件 N
CG
CG
n 1
的秩为
n。
五．时变系统的能控性与能观性（与定常系统不同）
１． x A(t)x B(t)u 在[t0 ,t f ] 上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵Wc (t0 ,t f ) 非奇异。
Wc (t0 ,t f )
tf t0
(t
0
,
t
)B(t)B
T
(t
)
，其中 C1(t)
C(t) ，
Bi
(t)
A(t )Ci1 (t )
Ci1 (t)
如果存在某个时刻 t f 0 ，使得 rankR(t f ) n ，则系统在[0,t f ] 上是状态完全能观测的。
六．能控性与能观性的对偶原理
１．若 A2 A1T ， B2 C1T ， C2 B1T ，则 1 ( A1, B1,C1 ) 与 2 ( A2 , B2 ,C2 ) 对偶。
特征矢量 pi 的求解：也就是求 (i I A)x 0 的非零解。
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