高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结(完整资料)

第四章 圆 与 方 程

★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }

★2、圆的方程

（1

点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的位置关系：

当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2

r ，点在圆上 当2200()()x a y

b -+-<2

r ，点在圆内; （2 （x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 （042

2

>-+F E D ）

当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=

当0422

=-+F E D

时，表示一个点；

当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：

①待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为

，则有相离

与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，

②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）

：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为

★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()2

2

12

11:r b y a x C =-+-，()()2

2

22

22:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。（即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 ★5、.圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0 联立圆C 1的方程与圆C 2的方程得到一个二元一次方程

① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C 1与圆C 2公共弦所在的直线方程； ② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C 1与圆C 2的公切线的方程；

③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）

★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度

①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）

③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |ＡＢ|＝21k +•|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝2

11k +•|y 1-y 2|）求解

★7、已知两圆相交，求公共弦的长度

①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 ②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A 、B ）；公共弦直线方程 与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |ＡＢ|＝21k +•|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝2

11k +•|y 1-y 2|）求解

③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）

④几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）

★8、圆系与圆系方程

(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 (2) 圆系方程：

（一）.圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0

圆系方程：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0 (λ≠-1) -- （Ⅰ） ①若圆 C 1与圆C 2交于P 1、P 2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P 1、P 2两点的圆的方程。

②若圆 C 1与圆C 2交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ1 、圆Ｃ2相切于Ｐ点的圆的方程。

（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与圆Ｃ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交或相切 则过它们的交点的圆系方程为：x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝0

★9、直线与圆的方程的应用

用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论

x

轴对称

例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。

解：如图，

设点C(x,y)是点B 关于直线L 对称点，则由

得：3

1

-=BC k

3=l k ， ，

方程为：43

1

+-=x y ，将其与直线y=3x-1联立，

∴直线BC 的

解得：D ⎪⎭

⎫

⎝⎛27,23,其中D 为BC 中点，利用中点坐标公式，得C （3,3）。

显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A 、C 、P 三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC 方程为：092=-+y x ，与L 方程联立解得P 的坐标为（2,5）。 例2、光线由点C （3，3）出发射到直线L ：y=3x-1上，已知其被直线L 反射后经过

点A(4,1)，求反射光线方程。

解：设点B 是点C 关于L 的对称点，则由光线反射的知识易知：点B 在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB 所在的直线方程。

由例1知点C 关于L 的对称点为B （0,4），故直线AB 的方程易求得为：44

3

+-=x y 。

它即为反射光线方程。

直线和圆

1．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．

解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1。

设光线L 所在直线方程是：y －3＝k(x ＋3)。

由题设知对称圆的圆心C ′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2

=++=

k

k d ．

整理得,01225122=++k k 解得3

4

43-=-=k k 或．故所求的直线方程是