大物实验 - 误差与有效数字练习基本测量

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实验基础知识——误差和有效数字

第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。

1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。

2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。

一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。

这种差异就叫做误差。

从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。

1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。

其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。

要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。

②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。

偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。

[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。

B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。

华理大物实验标准答案（误差与有效数字,基本测量）

1 / 6误差与有效数字练习题答案1.1.有甲、有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.00030.0003））cm ，d 乙 =（1.2831.283±±0.00030.0003））cm ，d 丙 =（1.281.28±±0.00030.0003））cm ，d 丁 =（1.31.3±±0.00030.0003））cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？答：甲对。

其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。

2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示，数据如下表所示： Δ仪 =0.0002g 次数次数次数 1 2 3 4 5 6m /g 3.61243.61273.61223.61213.61203.6125请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。

3.61232im m g nS ==A 类分量： ()()()20.683-1 1.110.0001080.000120-1i m mS t n g n n S =-=´=B 类分量：0.6830.6830.00020.00u g =D =´=仪合成不确定度：22220.001200.0001370.000182U S u g =+=+==0.00018g取0.00018g ，测量结果为：，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=±( P=0.683 ) 相对误差相对误差:: 0.000180.005%3.61232U E m === 3.3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为用米尺测量一物体的长度，测得的数值为次数次数次数 1 2 3 4 5 678 9 10 L /cm 98.98 98.94 98.96 98.97 99.00 98.95 98.9798.9698.9898.94试求其算术平均值，试求其算术平均值，A A 类不确定度、类不确定度、B B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。

大学物理实验—误差及数据处理

误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。

这节课我们学习误差及数据处理的知识。

数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。

一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。

测量值：数值+单位。

分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。

直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。

间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。

例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。

等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。

非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。

2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。

一般来说，真值仅是一个理想的概念。

实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。

误差ε：测量值与真值之间的差异。

误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。

绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。

为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。

绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。

相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。

（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。

2014高考物理一轮15误差和有效数字、实验：长度的测量课件

由(c)知：零误差0.030 mm，由(d)知：读数6.750 mm 被测物度度为：6.750 mm－(－0.030 mm)＝6.780 mm
3．使用螺旋测微器应注意以下几点：
(1)测量时，在测微螺杆快靠近被测物体时应停止使用旋钮，而改用微调旋钮，避免产生过大的压力，既可使测量结果精确，又能保护螺旋测微器．
我们在实验测量中，要按有效数字规则读数，必须弄清下列三个问题：
1．哪些测量工具不要估读？
游标卡尺、附有游标的水银气压计、机械秒表、电阻箱、欧姆表、数字显示器仪表等，都不要估读，用这些测量工具得到的测量值，最后一位数字通通是准确数．
2．要估读的测量工具，应该估读到哪一位？解决这个问题的方法是：取最小分度的一半，看这．一．半．中．，第一位有效数字出现在哪个数位上，就估读到
下一位，下一位按“110”估读．如量程 0～3 A 的电流表，最小分度是 0.1 A，以 A 为单位记录数据，测量误差出现在百分位上，百分位上的估读数就应该是
0.110A的 0 倍、1 倍、2 倍、……9 倍．又如最小分度 1 mm(0.1 cm)的刻度尺，以 cm 为单位记录数据，测量误差出现在百分位上，百分位上的估读数字就应该是
由(a)知：零误差0.020 mm，由(b)知：读数6.370 mm 被测物长度为：6.370 mm－0.020 mm＝6.350 mm ②校零时，可动刻度E的左边缘位于固定刻度B的0刻线左边，(可动刻度的0刻线在固定刻度上的水平线的上方) 此时零误差为负值，测量结果等于读数减去零误差．如图所示：
度
0.1克 0.02克
测量数据
36.50克 36.50克
有效数
字位数
4
4
机械秒表

实验1误差、有效数字、长度的测量

实验一1．关于测量，下列说法错误的是() A．测量长度要有估计数字，估计数字的位数越多，误差就越小B．在记录测量结果时，只写数值，不写单位是毫无意义的C．记录测量的结果，所用单位不同时，不会影响测量结果的准确程度D．为了减小误差，进行任何一个测量，都要采取多次测量求平均值的方法【解析】估计数字只有一位，故选项A错．【答案】 A2．用某刻度尺测得的某物体的长度为0.623m，则该工具的精确度为() A．1m B．0.1m C．0.01m D．0.001m【解析】据读数规则，最后一位为估读，可知精确度为0.01m.【答案】 C3．准确度为0.1mm的游标卡尺，游标卡尺刻度总长度为9mm，若其最末一个刻度线与主尺的44mm刻度线对齐，则游标尺的第5条刻度线所对着的主尺刻度为() A．35.0mm B．39.5mm C．43.4mm D．35.4mm【解析】游标尺上每刻度为0.9mm，第5条刻线与最末一条刻线的距离为0.9×5＝4.5mm，所以第5条刻线对齐的是与44mm差4.5mm的刻度，故为39.5mm.【答案】 B4．(2009·江苏苏州中学测试)用某精密仪器测量一物件的长度，得其长度为1.63812cm.如果用最小刻度为mm的米尺来测量，则其长度应读为________cm，如果用50分度的卡尺来测量，则其长度应读为________cm.【解析】最小刻度为mm的米尺精确到1mm，即0.1cm，但有一位估读，因此读数为1.64cm；50分度的卡尺没有估读，精确到0.02mm，即0.002cm，故其长度应为1.638cm.【答案】 1.64 1.6385．一游标卡尺的主尺最小分度为1毫米，游标上有10个小等分间隔，现用此卡尺来测量工件的直径，如图所示．该工件的直径为________mm.【解析】29mm＋8×0.1mm＝29.8mm.【答案】29.86．(2007·天津卷)一种游标卡尺，它的游标尺上有50个小的等分刻度，总长度为49mm，用它测量某物体长度，卡尺示数如图所示，则该物体的长度是________cm.【解析】41mm＋10×0.02mm＝4.120cm.【答案】 4.1207．现用最小分度为1mm的米尺测量金属丝长度，如图所示，图中箭头所指位置是拉直的金属丝两端在米尺上相对应的位置，测得的金属丝长度为________mm.在测量金属丝直径时，如果受条件限制，身边只有米尺1把和圆柱形铅笔1支．如何较准确地测量金属丝的直径？请简述测量方法：【解析】本题主要考查毫米刻度尺的读数；放大法测量物体的长度．本题是一道考查考生基本素质的基础题目．观察本题图示，注意金属丝的起点不在“0”处，所以测得金属丝的长度为：982.0mm －10.0mm＝972.0mm由于一根金属丝的直径太小，用mm刻度尺不易测量，故采用放大法测量：在铅笔上紧密排绕N匝金属丝，用毫米刻度尺测出该N匝金属丝的长度D.由此可以算出金属丝的平均直径为D/N.【答案】见解析8．图中给出的是利用游标卡尺测量某一物体长度时的示数，此示数应为________．【解析】29mm＋14×0.05mm＝29.70mm，最后一位数字虽然是零，但它代表精确程度，是计算中得出的，不能省略不写．【答案】29.70mm9．(2009·河北石家庄)(1)测量玻璃管内径时，应该用如图(甲)中游标卡尺的A、B、C三部分的________部分来进行测量(填代号)．(2)图(乙)中玻璃管的内径d＝________mm.【解析】(2)5mm＋5×0.05mm＝5.25mm.【答案】(1)A(2)5.2510．(2008·高考海南物理卷)某同学用螺旋测微器测量一金属丝的直径，测微器的示数如图所示，该金属丝直径的测量值为________mm.【答案】 2.793(在2.791～2.795mm之间都可以)11．(1)用刻度尺和直角三角板测量一圆柱体的直径，方法如右图所示，此圆柱体的直径为()A．2.5cm B．2.0cmC．2.00cm D．2.05cm(2)用游标为50分度的游标卡尺测定某圆筒的内径时，卡尺上的示数如图所示，可读出圆筒的内径为________mm.【答案】 (1)C (2)53.1012．(2008·高考四川理综卷)一水平放置的圆盘绕过其圆心的竖直轴匀速转动，盘边缘上固定一竖直的挡光片．盘转动时挡光片从一光电数字计时器的光电门的狭缝中经过，如图甲所示．乙为光电数字计时器的示意图．光源A 中射出的光可照到B 中的接收器上，若A 、B 间的光路被遮断，显示器C 上可显示出光线被遮住的时间．挡光片的宽度用螺旋测微器测得，结果如图丙所示．圆盘直径用游标卡尺测得，结果如图丁所示，由图可知(1)挡光片的宽度为________mm ；(2)圆盘的直径为________cm ；(3)若光电数字计时器所显示的时间为50.0ms ，则圆盘转动的角速度为________弧度/秒(保留3位有效数字)．【解析】 (1)螺旋测微器的固定尺上读数为10mm.可动尺上的读数为24.3，其中最后一位是估读数字，其大小读2、3、4都正确．螺旋测微器的精确度为0.01mm ，则挡光片宽度为L ＝10mm ＋24.3×0.01mm ＝10.243mm.(2)游标卡尺为20分度，其精确度为0.05mm.固定尺读数为242mm.游标尺读数为4，圆盘直径R ＝242mm ＋4×0.05mm ＝242.20mm ＝24.220mm.(3)因显示时间t ＝50.0ms ，则转动角速度ω＝v R ＝L tR≈1.69rad/s. 【答案】 (1)10.243 (2)24.220 (3)1.6913．在一些实验中需要较准确地测量物体转过的角度，为此人们在这样的仪器上设计了一个可转动的圆盘，在圆盘的边缘标有刻度(称为主尺)，圆盘外侧有一个固定不动的圆弧(称为游标尺)．如图所示(图中画出了圆盘的一部分和游标尺)．圆盘上刻有对应的圆心角，游标尺上把与主尺9°对应的圆心角等分为10格．试根据图中所示的情况读出此时游标上的零刻度与圆盘的零刻线之间所夹的角度为________．【解析】因为游标尺上把与主尺上9°对应的圆心角等分为10格，所以，将精确度为0.1mm 的游标尺的原理和读数方法迁移到这里，就可得到该游标尺的精确度为d ′＝(1/10)°＝0.1°，主尺上的整数部分为19°，游标尺上的第7条刻度线与主尺上的26条刻度线相重合，则其小数部分为7×0.1°＝0.7°，故总的读数为19°＋0.7°＝19.7°.【答案】 19.7°14．有一根横截面为正方形的薄壁管(如图所示)，现用游标为20分度(测量值可准确到0.05mm)的游标卡尺测量其外部的边长l，卡尺上部分刻度的示数如下图甲所示；用螺旋测微器测得其壁厚d的情况如下图乙所示．则此管外部横截面边长的测量值为l＝________cm；管壁厚度的测量值为d＝________mm.【答案】 2.440 1.00015．某同学使用20分度的游标卡尺测量一物体的尺寸，而另一同学却故意遮挡住了一部分刻度，使其只能看到游标卡尺的后半部分，如图所示，问该同学还能得到的物体的尺寸大小吗？说说你的观点．【答案】能得到物体的尺寸大小．由图可知，游标尺的第7条刻度线与主尺上2.7cm的刻度线正好对齐，而20分度游标尺每一刻度的长度为0.95mm，故7个刻度的总长度为7×0.95mm＝6.65mm，游标尺上“0”刻度线所对主尺的长度即为测量值，l测＝27mm－6.65mm＝20.35mm.。

第2章匀变速直线运动第3节实验中的误差和有效数字第4节科学测量：做直线运动物体的瞬时速度

类型二实验原理与操作【典例 2】打点计时器是高中物理中重要的物理实验仪器，图中甲、乙两种打点计时器是高中物理实验中常用的，请回答下面的问题。
甲
乙
(1)甲图是________打点计时器，电源采用的是________。 (2)乙图是______打点计时器，电源采用的是_______________ _____________________________________________________。
阻力来源
打点周期记录信息
220 V 交流电源
4～6 V 交流电源
周期性产生电火花振针周期性上下振动
纸带与限位孔、复写纸纸带与限位孔、墨粉纸
的摩擦，纸带与振针的盘的摩擦，摩擦力较小
摩擦，摩擦力较大
0.02 s
0.02 s
位置、时刻或位移、时间
2．练习使用电磁打点计时器 (1)把电磁打点计时器固定在桌子上，纸带穿过限位孔，把复写纸套在定位轴上，并且压在纸带上面。 (2)把电磁打点计时器的两个接线柱接到 4～6 V 的低压交流电源上。 (3)先接通电源开关，开始打点再用手水平拉动纸带，使它在水平方向上运动，纸带上就打下一系列点，随后立即关闭电源。
(3)频闪照片：利用频闪灯照明，照相机可以拍摄出运动物体每隔相等时间所到达的位置，通过这种方法拍摄的照片称为频闪照片。
(4)记录信息：物体运动的时间和位移。
(三)测量小车的瞬时速度 1．实验原理与设计实验装置如图所示。
测小车瞬时速度的实验装置
下图是小车下滑过程中打点计时器打出的纸带。
打点计时器打出的纸带在纸带上，选取便于测量的某点作为计时的起点，记为点 0，依次向后每 5 个点选取一个计数点，分别记为 1,2,3，…用刻度尺量出相邻计数点间的长度，分别记为 s1，s2，s3，…由前述可知，若打点计时器的工作周期为 0.02 s，那么相邻计数点间隔的时间 T＝5×0.02 s＝0.10 s。

大物实验数据处理

2 2 2
x Y ax c e f x3 x 4
b 1
总不确定度
d 2
Y YE(Y )
间接测量量的不确定度的计算过程分三步
1、先估计个直接测量量 X i 的不确定度 X i 2、写出不确定度的传递公式； 3、结果
Y Y Y Y 1 E (Y ) (单位）
M 例: V
(Y1 Y2 Y3 ) Y n
M V
Y的计算：
1、和差形式的函数
2
(如Y ax1 bx2 )
2
f f 2 2 Y x1 x2 x1 x2
2、乘积商形式的函数
测量结果x＝
x
Δ （单位）
不确定度Δ值可以通过一定的方法估算。

2、测量结果的表达（报告）方法测量结果的科学表达方法：
X X
（单位）
表达式的物理意义（ X , X ）

恒为正，不确定度与误差是完全不同的概念。
相对不确定度： E 100%
x
置信度
不确定度包括两方面：
仪器误差（限）举例
a:游标卡尺，仪器示值误差一律取卡尺分度值。
b:螺旋测微计，量程在0—25mm及25—50mm的一级千分尺的仪器示值误差均为仪 0.004mm。 c:天平的示值误差，本书约定天平标尺分度值的一半为仪器的示值误差。 d:电表的示值误差， m 量程准确度等级%。
(0 8)
（6）求总不确定度
A B
2
2
（7）写出最终结果表示： x x
S 2 B n
E 100% x
(单位）

误差与有效数字练习答案(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑误差与有效数字练习题答案1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d 乙 =（1.283±0.0003）cm ，d 丙 =（1.28±0.0003）cm ，d 丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？答：甲对。

其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。

2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示： Δ=0.0002g结果表达式。

3.61232im m g n∑==A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=⨯=B 类分量： 0.6830.6830.00020.000137u g =∆=⨯=仪合成不确定度：0.000182U g ==0.00018g 取0.00018g ，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0.683 )相对误差:0.000180.005%3.61232U E m === 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为度及相对误差，写出结果表达式。

cm nL L i965.98=∑=， A 类分量:(0.6831S t n =-=1.06⨯0.006=0.0064cmB 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =∆=⨯=仪合成不确定度: 0.035U cm ====0.04cm相对误差:%04.096.9804.0===L U E ( P=0.683 )结果: cm U L )04.096.98(±=±4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。

定量分析中的误差及有效数字练习题

答案:对照、回收,重复试验次数
11误差表示分析结果的_______;偏差表示分析结果的_______。
答案:准确度好坏；精密度高低
12多次分析结果的重现性愈好,则分析的精密度愈_______。
答案:高
13用相同的方法对同一个试样平行测定多次，得到的n次测定结果相互接近的程度，称为_______。测定值与真值之间接近的程度，称为_______。
答案: A, C, E
2提高分析结果准确度的方法是（）。
A:做空白试验B:增加平行测定的次数C:校正仪器D:使用纯度为98%的基准物
E:选择合适的分析方法
答案: A, B, C, E
3系统误差产生的原因有（）。
A:仪器误差B:方法误差C:偶然误差D:试剂误差E:操作误差
答案: A, B, D, E
4准确度的高低用（）大小来表示。
9不加试样，按照试样分析步骤和条件平行进行的分析试验，称为_______。通过它主要可以消除由试剂、蒸馏水及器皿引入的杂质造成的_______。
答案:空白试验。仪器和试剂误差
10系统误差的减免是采用校正仪器以及做_______试验、试验和空白试验等办法减免的，而偶然误差则是采用增加_______的办法，减小偶然误差。
19下列一组分析结果的平均偏差为( )。55.51 55.50 55.46 55.49 55.51
A: 55.49B: 0.016C: 0.028D: 0.008
答案: B
20托盘天平读数误差在2克以内，分析样品应称至( )克才能保证称样相对误差为1%。
A: 100克B: 200克C: 150克D: 50克
答案: B
6测定精密度好，表示（）.
A:系统误差小B:偶然误差小C:相对误差小D:标准偏差小

大学物理实验测量误差及数据处理

E N 100% N测 N 真 100%
N真
N真
结果表示：
N真 N测 N
N
E 100% N真
问:有了绝对误差，为什么还要引入相对误差呢？
答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但它不能反映误差的严重程度。
例:两个绝对误差如下，哪个大，哪个严重？
2m
20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的，所以难以回答。
（2）指数函数的有效数字，可与指数的小数点后的位数（包括紧接在小数点后的零）相同；
二、标准偏差的传递公式（方和根合成）
N
(f )2
x
2 x

(f )2
y
2 y

( f z
)2
2 z
(1.4-6)
N
N
( ln x
f
)2
2 x

(
ln y
f
)2
2 y

(
ln z
f
)2
2 z
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度
uN
(
f x
ins
合成不确定度
置信系数
仪器的极限误差
u
u2 A

u2 B

2( N
)

u
2 j
或

2(
N
)
u2 j
测量结果表示为： N u
相对不确定度： E u 100%
N
§1.3直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定单次测量结果的误差估算常以测量仪
器误差来评定。仪器误差：

大学物理实验报告数据处理及误差分析

在不同测量条件下进行的一系列测量，例如不同的人员，使用不同的仪器，采用不同的方法进行测量，则各次测量结果的可靠程度自然也不相同，这样的测量称为不等精度测量。处理不等精度测量的结果时，需要根据每个测量值的“权重”，进行“加权平均”，因此在一般物理实验中很少采用。
等精度测量的误差分析和数据处理比较容易，下面所介绍的误差和数据处理知识都是针对等精度测量的。
按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。
直接从仪器或量具上读出待测量的大小，称为直接测量。例如，用米尺测物体的长度，用秒表测时间间隔，用天平测物体的质量等都是直接测量，相应的被测物理量称为直接测量量。
如果待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算后才获得的，则称为间接测量。例如，先直接测出铁圆柱体的质量m、直径D和高度h，再根据公式??4m计算出铁的的密度2?Dh
3实验报告
实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。
完整的实验报告应包括下述几部分内容：数据表格在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。数据处理根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。结果表达按下面格式写出最后结果：
仪器因素由于仪器本身的固有缺陷或没有按规定条件调整到位而引起误差。例如，仪器标尺的刻度不准确，零点没有调准，等臂天平的臂长不等，砝码不准，测量显微镜精密螺杆存在回程差，或仪器没有放水平，偏心、定向不准等。

大学物理实验误差理论习题答案(单面)

第一章误差估算与数据处理方法课后习题答案1．指出下列各量有效数字的位数。

(1)000.1=U kV 有效位数：4 (2)000123.0=L mm 有效位数：3 (3)010.10=m kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位2．判断下列写法是否正确，并加以改正。

(1)0350.0=I A 35=mA错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为0350.0=I A 11050.3⨯=mA 。

(2)()3.0270.53+=m kg错，测量结果(即最佳估计值270.53=m )有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。

测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“±”的形式。

故应将上式改成()3.03.53±=m kg 。

(3)()2000103.274±⨯=h km错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。

因此，上式应改为()km h 4102.03.27⨯±=。

(4)()004.0325.4±=x A 正确。

3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。

3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.26383.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.264．按有效数字的确定规则，计算下列各式。

(1)?6386.08.7537.343=++解：原式8.41981.41964.08.7537.343==++= (2)?543.76180.845.88=--解：原式73.3727.3543.76180.845.88==--= (3)?5.20725.0=⨯解：原式18.05.20725.0=⨯= (4)()?001.247.0052.042.8=÷-+解：原式()00.4001.200.8001.247.0052.042.8=÷=÷-+=5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。

大物实验4有效数字

2 C

2 A

2 C
( 0.1 )2 ( 0.06 )2 0.1cm2
（2） N 62.5 1.234 5.43 58.304( cm 2 )
（3）用误差（估计误差范围的不确定度）决定结果的有效数字
N 58.3 0.1cm2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
5.不确定度的结果表达式
N N (单位)
σ取一或两位可疑数字，σ与N的末位一致
a 10.02 0.17cm2或 a 10.0 0.2cm2
b 204.62 0.95cm 或 b 2051cm 3
4
3
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则：
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法
3.乘方与开方
4.函数运算
(1)对数函数
lgx的尾数与x的有效位数相同
例 7 lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”
数学上：2.85 2.850 2.8500 物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小数点后面的“0”不算作有效数字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
第四节
有效数字及运算法则
一例、：有用效米数尺字测的量一物体般的概长念度

物理实验考试题及答案

测量、误差与数据处理测试题一、改正下列错误，写出正确结果。

（本题20分，每小题4分）（1）0.01082的有效数字为5位；（2）1.80⨯104 g=0.18⨯105 g ；（3）用最小分度值为1'的测角仪，测得某角度刚好为60︒整，则测量结果表示为：60︒±1'；（4）P =3169±200 kg ；（5）h =27.3⨯104±2000 km 。

二、试用有效数字运算法则计算出下列结果，式中有效数字下面加横线表示为估读值。

（本题10分，每小题2分）（1）=2)532.7( （2）=8.32 （3）=⨯9.235.834 （4）=+246.32.478 （5）=⨯⨯⨯=-21053.2142.32L三、指出测量下列各物理量时，所选用的仪器与其最小分度值是多少？（本题10分，每小题2分）（1）63.74 cm; （2）0.302 cm; （3）0.0100 cm ; （4）12.6 s ;（5）0.2030 s; 四、用仪器误差限为±0.004 mm 的螺旋测微器测量小钢球的直径，在不同方向测得以下数据，请进行数据处理并写出测量结果。

（本题20分）五、求出下列函数的标准不确定度表达式，已知x ,y ,z 的不确定度分别为∆x ,∆y ,∆z ，k 、m 、n 为常数。

（每小题5分，共20分）（1）W =x -y ；（2）W =yx；（3）W =nm k z y x ⋅ （4）w =sin x 六、经测量，金属环的内径D 1=2.880±0.004 cm ，外径D 2=3.600±0.004 cm ，厚度为2.575±0.004 cm ，求金属环体积V 的不确定度及相对不确定度。

（本题20分）物理实验考试试卷说明：先按下列格式填写好卷头，字迹务必清楚、工整，不准在此页留任何标记。

系名：实验分组号：姓名：试卷代号：11001成绩：操作（）卷面（）合计（）测评教师签字（）一. 在“电位差计”实验中，用滑线电位差计测1#电池的电动势。

大物实验第一课测量误差分析

5第一章测量、误差和数据处理1．测量与误差1.1 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的．所谓测量，就是用一定的工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地与被测对象进行比较．著名物理学家伽利略有一句名言：“凡是可能测量的，都要进行测量，并且要把目前无法度量的东西变成可以测量的”．物理测量的内容很多，大至日、月、星辰，小到原子、分子．现在人们能观察和测量到的范围，在空间方面已小到10-14～10-15 cm ，大到百亿光年，大小相差在1040倍以上．在时间方面已短到10-23 ～10-24 s 的瞬间，长达百亿年，两者相差也在1040倍以上．在定量地验证理论方面，也需要进行大量的测量工作．因此可以说，测量是进行科学实验必不可少的极其重要的一环．测量分直接测量和间接测量．直接测量是指把待测物理量直接与认定为标准的物理量相比较，例如用直尺测量长度和用天平测物体的质量．间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量，例如测物体密度时，先测出该物体的体积和质量，再用公式算出物体的密度．在物理实验中进行的测量，大多属于间接测量．一个测量数据不同于一个数值，它是由数值和单位两部分组成的．一个数值有了单位，才具有特定的物理意义，这时它才可以称之为一个物理量．因此测量所得的值（数据）应包括数值（大小）和单位，两者缺一不可．1.2 误差从测量的要求来说，人们总希望测量的结果能很好地符合客观实际．但在实际测量过程中，由于测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员的水平以及种种因素的局限，不可能使测量结果与客观存在的实际值（真值）完全相同，我们所测得的只能是某物理量的近似值．也就是说，任何一种测量结果的量值与真值之间总会或多或少地存在一定的差值，将其称为该测量值的测量误差，简称“误差”，误差的大小反映了测量的准确程度．测量误差的大小可以用绝对误差表示，也可用相对误差表示绝对误差＝测量值－真值，100%真值绝对误差相对误差⨯=E ．测量总是存在着一定的误差，但实验者应该根据要求和误差限度来制订或选择合理的测量方案和仪器．不能不切合实际地要求实验仪器的精度越高越好；环境条件总是恒温、恒湿、越稳定越好；测量次数总是越多越好．一个优秀的实验工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的实验结果．要做到既保证必要的实验精度，又合理地节省人力与物力．误差自始至终贯穿于整个测量过程之中，为此必须分析测量中可能产生各种误差的因素，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差做出评价．1.3 误差的分类6误差的产生有多方面的原因，从误差的来源和性质上可分为“偶然误差”和“系统误差”两大类．1.3.1 系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差．系统误差的来源大致有以下几种：（1）理论公式的近似性：例如单摆的周期公式g l T π2 成立的条件之一是摆角趋于零，而在实验中，摆角为零的条件是不现实的．（2）仪器结构不完善：例如温度计的刻度不准，天平的两臂不等长，示零仪表存在灵敏阈等．（3）环境条件的改变：例如在20℃条件下校准的仪器拿到－20℃环境中使用．（4）测量者生理心理因素的影响：例如记录某一信号时有滞后或超前的倾向，对准标志线读数时总是偏左或偏右、偏上或偏下等．系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小．在实验中发现和消除系统误差是很重要的，因为它常常是影响实验结果准确程度的主要因素．能否用恰当的方法发现和消除系统误差，是测量者实验水平高低的反映，但是又没有一种普遍适用的方法去消除误差，主要靠对具体问题作具体的分析与处理，要靠实验经验的积累．1.3.2 偶然误差偶然误差是指在相同条件下，多次测量同一物理量，其测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化．这种误差是由实验中多种因素的微小变动而引起的，例如实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动，测量仪器指示数值的变动，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动等等．这些因素的共同影响就使测量值围绕着测量的平均值发生涨落，这变化量就是各次测量的偶然误差．偶然误差的出现，就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不能预知的，但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的偶然误差是按一定的统计规律分布的，常见的分布有正态分布、均匀分布、t 分布等．常见的一种情况是：正方向误差和负方向误差出现的次数大体相等，数值较小的误差出现的次数较多，数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现．这一规律在测量次数越多时表现得越明显，它就是一种最典型的分布规律——正态分布规律．1.3.3 系统误差和偶然误差的关系系统误差和偶然误差的区别不是绝对的，在一定条件下，它们可以相互转化．比如称量的砝码误差，对于制造厂家来说，它是偶然误差，对于使用者来说，它又是系统误差．又如测量对象的不均匀性（如小球直径、金属丝的直径等），既可以当作系统误差，又可以当作偶然误差．有时系统误差和偶然误差混在一起，也难于严格加以区分．例如测量者使用仪器时的估读误差往往既包含有系统误差，又包含有偶然误差．这里的系统误差是指他读数时总是有偏大或偏小的倾向，偶然误差是指他每次读数时偏大或偏小的程度又是互不相同的．2．测量的不确定度和测量结果的表示2.1 测量的不确定度测量误差存在于一切测量中，由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度即为测量的不确定度，它给出测量结果不能确定的误差范围．一个完整的测量结果不仅要标明7其量值大小，还要标出测量的不确定度，以表明该测量结果的可信赖程度．目前世界上已普遍采用不确定度来表示测量结果的误差．我国从1992年10月开始实施的《测量误差和数据处理技术规范》中，也规定了使用不确定度评定测量结果的误差．通常不确定度按计算方法分为两类，即用统计方法对具有随机误差性质的测量值计算获得的A 类分量∆A ，以及用非统计方法计算获得的B 类分量∆B ． 2.2 偶然误差与不确定度的A 类分量 2.2.1 偶然误差的分布与标准偏差偶然性是偶然误差的特点．但是，在测量次数相当多的情况下，偶然误差仍服从一定的统计规律．在物理实验中，多次独立测量得到的数据一般可近似看作为正态分布，正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如图1所示．当测量次数n 趋于∞时，测量值x 将成为连续型随机变量，其概率密度分布为正态函数，形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221exp 21)(σμπσx x f （1）其中，µ 表示x 出现概率最大的值，在消除系统误差后，µ为真值．σ 称为标准偏差，它反映了测量值的离散程度．定义21()d xx f x x ξ=⎰，表示变量x 在(x 1，x 2)区间出现的概率，称为置信概率．x 出现在（µ－σ，µ＋σ）之间的概率为()d 0.683f x x μσμσξ+-==⎰（2）说明对任一次测量，其测量值出现在（µ－σ，µ＋σ）区间的可能性为0.683．为了给出更高的置信水平，置信区间可扩展为（µ－2σ，µ＋2σ）和（µ－3σ，µ＋3σ），其置信概率分别为22()d 0.954f x x μσμσξ+-==⎰和 33()d 0.997f x x μσμσξ+-==⎰（3）2.2.2 多次测量平均值的标准偏差和算术平均值标准误差尽管一个物理量的真值µ是客观存在的，但由于随机误差的存在，企图得到真值的愿望仍不现实，我们只能估算µ值．根据偶然误差的特点，可以证明如果对一个物理量测量了相当多次后，分布曲线趋于对称分布，其算术平均值就是接近真值µ的最佳值．如对物8理量x 测量n 次，每一次测量值为x i ，则算术平均值x 为nxx ni i∑==1（4）x 的标准偏差（Standard Deviation)可用贝塞尔公式估算为1)(12--=∑=n x xni ix σ （5）其意义为任一次测量的结果落在)(x x σ-到)(x x σ+区间的概率为0.683．由于算术平均值是测量结果的最佳值，最接近真值，因此我们更希望知道x 对真值的离散程度．误差理论可以证明x 的标准误差（Standard Error)为()()nn n x x xix σσ=--=∑12（6）上式说明，平均值的标准差是n 次测量中任意一次测量值标准差的n /1，显然x σ小于x σ．x σ的意义是待测物理量处于x x σ±区间内的概率为0.683．从上式中可以看出，当n为无穷大时，0=x σ，即测量次数无穷多时，平均值就是真值．2.2.3 有限次测量的情况和t 因子值得注意的是测量次数相当多时，测量值才近似为正态分布，上述结果才成立．在测量次数较少的情况下，测量值的概率密度曲线将呈t 分布（图2）．测量次数较少时，t 分布相比正态分布变得平坦，当测量次数较多时（例如多于10次）t 分布趋于正态分布，当测量次数趋于无限时，t 分布过渡到正态分布．对有限次测量的结果，要保持与正态分布同样的置信概率，显然要扩大置信区间，将置信区间乘以一个大于1的t 因子，则)/(n t x t x x x x σσξξ±=±=的置信概率与正态分布的置信概率ξ相同．在物理实验中，我们建议置信概率采用0.95，因子95.0t 和n t /95.0的值见表1．表1 95.0t 和n t /95.0与n 的关系92.2.4 不确定度的A 类分量不确定度的A 类分量∆A 是重复测量时用统计学方法计算的分量，当重复测量次数为n 时, n t t x x A /Δξξσσ⋅==．当实验中取置信概率为0.95，且n ＝6时，有x A σ05.1=∆．通常在大学物理实验中，当n ＝6时，由于有1/95.0≈n t ，取∆A = σx ，即在置信概率为0.95的前提下，A 类不确定度∆A 可用测量值的标准偏差σx 估算．2.3 不确定度的B 类分量不确定度的B 类分量∆B 是用非统计方法计算的分量，如仪器误差等．一般而言，不确定度的B 类分量∆B 记为仪器标定的最大允差∆仪/C ，其中C 为置信系数，通常情况下C 取1，即∆B = ∆仪．某些常用实验仪器的最大允差∆仪见表2．表2 常用实验仪器的最大允差102.4 测量结果的表示 2.4.1 测量结果的表示若用不确定度表征测量结果的可靠程度，则测量结果需写成下列标准形式⎪⎩⎪⎨⎧⨯=±=%100x u u u x x xx r x （7）式中x 为多次测量的平均值，u 为合成不确定度，u r 为相对不确定度．合成不确定度u 由A 类不确定度∆A 和B 类不确定度∆B 采用均方根合成方式得到22B A x u ∆+∆=（8）若A 类分量有n 个，B 类分量有m 个,那么合成不确定度为∑∑==∆+∆=mi B ni A x i iu 1212（9）2.4.2 直接测量的不确定度计算过程（1）单次测量时，通常有三种情况：（a ）仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必进行多次测量；（b ）对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了；（c ）因测量条件的限制，不可能多次重复测量．单次测量的结果也用（7）式表示测量结果．这时u 常用极限误差∆表示．∆的取法一般有二种：一种是仪器标定的最大允差∆仪；另一种是根据不同仪器、测量对象、环境条件、仪器灵敏阈等估计一个极限误差．两者中取数值较大的作为∆值．（2）多次测量时，不确定度以下面的过程进行计算：（a ）修正已知的系统误差，得到测量值（如螺旋测微器必须消除零误差）；（b ）求测量数据的算术平均值：nxx i∑=；（c ）用贝塞尔公式计算标准偏差：()12--=∑n x x ixσ；（d ）标准偏差乘以一置信参数n t /95.0，求得∆A ；（e ）根据仪器标定的最大允差∆仪确定∆B ： ∆B = ∆仪；（f ）由∆A 、∆B 计算合成不确定度：22B A x u ∆+∆=；11（g ）计算相对不确定度：%100⨯=xu u xr x ；（h ）给出测量结果:⎪⎩⎪⎨⎧⨯=±=%100x u u u x x xr x x ．例：在室温23℃下，用共振干涉法测量超声波在空气中传播时的波长λ，数据见表：试用不确定度表示测量结果．解：波长λ的平均值为()mm 64.46161==∑=i i λλ任意一次波长测量值的标准偏差为()()mm)(03.0510109164612≈⨯=--=-∑iλλσλ实验装置的游标示值误差为：∆仪 = 0.02 mm波长不确定度的A 类分量为：∆A =1.05σλ ≈σλ = 0.03mm B 类分量为：∆B = ∆仪 = 0 .02 mm 于是，波长的合成不确定度为()()04.002.003.02222≈+=∆+∆=B A u λ(mm )相对不确定度为 %9.0%100=⨯=λλλu u r测量结果表达为：()⎩⎨⎧=±=%9.004.064.4λλr u cm122.4.3 间接测量不确定度的计算间接测量量是由直接测量量根据一定的数学公式计算出来的．这样一来，直接测量量的不确定度就必然影响到间接测量量，这种影响的大小也可以由相应的数学公式计算出来．设间接测量所用的数学公式可以用如下的函数形式表示),,,( z y x F N = （10）式中的N 是间接测量量，x ，y ，z ，…是直接测量量，它们是互相独立的量．设x ，y ，z ，…的不确定度分别为u x ，u y ，u z ，…，它们必然影响间接测量量，使N 值也有相应的不确定度u ．由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同．不同之处是：1.要用不确定度u x 等替代微分dx 等；2.要考虑到不确定度合成的统计性质，一般是用“方和根”的方式进行合成．于是，在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确定度+∂∂+∂∂+∂∂=222222)()()()()()(z y x u zFu y F u x F u （11）+∂∂+∂∂+∂∂==222222)()ln ()()ln ()()ln (z y x N r u zF u y F u x F N u u （12）（11）式适用于N 是和差形式的函数，（12）式适用于N 是积商形式的函数．用间接测量不确定度表示结果的计算过程如下：（1）先写出（或求出）各直接测量量的不确定度．（2）依据),,,( z y x F N =的关系求出x F ∂∂，y F ∂∂…，或x F ∂∂ln ，yF ∂∂ln …．（3）用(11)式或(12)式求出u 和u r ，亦可用传递公式直接用各直接测量量不确定度进行计算u 和u r （见表3）．（4）给出实验结果⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=%100N uu uN N r，其中),,,(⋅⋅⋅=z y x f N ．例：已知金属环的内径D 1 = 2.880±0.004 cm ，外径D 2 = 3.600±0.004 cm ，高度 H = 2.575±0.004 cm ，求金属环的体积，并用不确定度表示实验结果．解：求金属的体积()()3222122cm 436.9575.2880.2600.344=⨯-⨯=-=ππH D DV求偏导：13H H V D D D D V D D D D V 1ln ,2ln ,2ln 212211212222=∂∂--=∂∂-=∂∂%8.0008.0)(22222122122122212===⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==代入数据H u D D u D D D u D V u u H D D VrV求3cm 08.0008.0436.9≈⨯==rV V u V u实验结果：⎩⎨⎧=±=%8.0cm 08.044.93rV u V ．表3 常用函数的不确定度传递公式3．有效数字及其运算规则3.1 有效数字的概念任何一个物理量，其测量结果既然都包含误差，那么该物理量数值的尾数不应该任意取舍．在进行具体的数字运算前，按照一定的规则确定一致的位数，然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程被称为数字修约，指导数字修约的具体规则被称为数字修约规则．根据数值修约规则（按国家标准文件：GB8170-87），测量结果只写到开始有误差的那一或两位数，以后的数按“4舍6入5看右，5后有数进上去，尾数为0向左看，左数奇进偶舍弃”修约．对于“5”后尾数都为0的情况，则看“5”前一位，前一位是奇数，则将5进上，使有误差末位为偶数，若5的前一位是偶数则将5舍去．我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一到两位数字称为测量结果的有效数字．或者说，有效数字中最后一到两位数字是不确定的．显然，有效数字是表示不确定度的一种粗略的方法，而不确定度则是对有效数字中最后一到两位数字不确定程度的定量描述，它们都表示含有误差的测量结果．有效数字的位数与小数点的位置无关．如1.23与123都是三位有效数字．关于“0”是不是有效数字的问题，可以这样来判别：从左往右数，以第一个不为零的数字为起点，它左边的“0”不是有效数字，它右边的“0”是有效数字．例如0.0123是三位有效数字，0.01230是四位有效数字．作为有效数字的“0”，不可以省略不写．例如，不能将1.3500 cm 写作1.35 cm，因为它们的准确程度是不同的．有效数字位数的多少，大致反映相对误差的大小．有效数字位数越多，则相对误差越小，测量结果的准确度越高．3.2 数值书写规则测量结果的有效数字位数由不确定度来确定．由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字位数只取一到两位．测量值的末位须与不确定度的末位取齐．在初学阶段，可以认为有效数字只有最后一位是不确定的，相应地不确定度也只取一位有效数字，例如L =（1.00±0.02）cm．一次直接测量结果的有效数字，由仪器极限误差或估计的不确定度来确定．多次直接测量算术平均值的有效数字，由计算得到平均值的不确定度来确定．间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定．当数值很大或很小时，用科学计数法来表示．如：某年我国人口为七亿五千万，极限误差为二千万，就应写作：(7.5±0.2)×104万，其中(7.5±0.2)表明有效数字和不确定度，104万表示单位．又如，把(0.000623±0.000003) m写作(6.23±0.03)×10-4 m，看起来就简洁醒目了．3.3 有效数字的运算规则在有效数字运算过程中，为了不致因运算而引进“误差”或损失有效位数，影响测量结果的精度，统一规定有效数字的近似运算规则如下：（1）诸量相加（或相减）时，其和（或差）数在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同；（2）诸量相乘（或除）后保留的有效数字，只须与诸因子中有效数字最少的一个相同．（3）乘方与开方的有效数字与其底的有效数字位数相同．（4）一般来说，函数运算的位数应根据误差分析来确定．在物理实验中，为了简便和统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数作如下规定：对数函数运算后的尾数取得与真数的位数相同；指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）；三角函数的取位随弧度的有效数字而定；（5）在运算过程中，我们可能碰到一种特定的数，它们叫作正确数．例如将半径化为直径d = 2r时出现的倍数2，它不是由测量得来的．还有实验测量次数n，它总是正整数，没有可疑部分．正确数不适用有效数字的运算规则，只须由其他测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字；（6）在运算过程中，我们还可能碰到一些常数，如π、g之类，一般我们取这些常数与测量的有效数字的位数相同．例如：圆周长l ＝2πR，当R＝2.356 mm时，此时π应取143.142．在实际运算过程中，为减少舍入误差，其数值的修约可以暂时多保留一位，但运算得到最后结果时，再根据有效位数弃去多余的数字。

大学物理实验长度测量[方案]

长度的测量和基本数据处理【实验目的】1、理解游标卡尺、螺旋测微计和读数显微镜的原理，掌握它们的使用方法；2、练习有效数字运算和误差处理的方法。

【实验仪器和用品】游标卡尺（0—125mm，0.02mm）、螺旋测微计（0—25mm，0.01mm）、读数显微镜（JCD3，0.01mm）、空心圆管、小钢球等。

【实验原理】1、游标卡尺的构造原理及读数方法游标卡尺分主尺和游标（副尺）两部分。

主尺上刻有标准刻度125mm。

游标上均匀刻有50个分度，总长度为49mm，游标上50个分度比标准的50mm短1mm，1个分度比标准的1mm短150mm，即0.02mm，这0.02mm就是游标卡尺的最小分度值（即精度）。

游标卡尺的卡口合并时，游标零线与主尺零线恰好对齐。

卡口间放上被测物时，以游标零线为起点往前看，观察主尺上的读数是多少。

假设读数是ｘmm多一点，这“多一点”肯定不足1mm，要从游标上读。

此时，从游标上找出与主尺上某刻度最对齐的一条刻度线，设是第n条，则这“多一点”的长度应等于0.02nmm，被测物的总长度应为L=(x+0.02n)mm。

用这种规格的游标卡尺测量物体的长度时，以“mm”为单位，小数点后必有两位，且末位数必为偶数。

游标上每5小格标明为1大格，每小格读数作0.02mm，每大格就应读作0.10mm。

从游标零线起往后，依次读作0.02mm，0.04mm，0.06mm，……直至第5小格即第1大格读作0.10mm。

再往后，依次读作0.12mm，0.14mm，0.16mm，……直至第2大格读作0.20mm。

后面的读数依此类推。

游标卡尺不需往下估读。

如图1-5应读作61.36mm或6.136cm2、螺旋测微器的构造原理及读数方法螺旋测微计主要由弓形体、固定套筒和活动套筒（微分套筒）三部分构成。

螺旋测微计的测微原理是机械放大法。

固定套筒上有一条水平拱线叫读数基线。

基线上边是毫米刻度线，下边是半毫米刻度线。

螺旋测微计的螺距是0.5mm，活动套筒每转动一周，螺杆就前进或者后退0.5mm。

实验误差与有效数字(精)

力
物体的平衡
基础知识回顾 1．测量利用计量仪器对被测物理量进行度量的过程叫测量。分为两类：直接测量和间接测量。 2．测量值用测量仪器测定待测物理量所得到的数值。 3．真实值物理量的客观数值叫真实值，简称真值。 4．误差测量值与真实值的差异叫做误差。误差可分为系统误差和偶然误差两种
基础知识回顾 4．系统误差（1）系统误差在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。当条件发生变化时，系统误差也按一定规律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。（2）系统误差的来源 ①仪器误差这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。如仪器的零点不准，仪器未调整好，外界环境（光线、温度、湿度、电磁场等）对测量仪器的影响等所产生的误差。
例题讲解 1、游标尺的读数 2、游标尺的原理 3、变形游标尺
按照有效数字规则读出以下各游标尺的测量值.
读数为_______cm.
读数为________mm.
读数为_________m.
读数为______cm.
读数为________cm.
准确度为0.1mm的游标卡尺,游标尺刻度总长度为9mm,若游标尺的第六条刻度线与主尺上12.5cm 刻度线对齐,则此时物体长度为多少? 答案:125-0.9×6=119.6mm
基础知识回顾 6．绝对误差和相对误差（1）绝对误差测量值与被测量真值之差，与被测量真值具有相同的单位，反映测量值偏离真值的大小. 在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度. （2）相对误差测量值的绝对误差与测量值之比叫做相对误差，通常用百分比来表示。相对误差更能反映测量的可信程度。例如用外径千分尺测量两个物体的长度分别是10.00mm和0.10mm，两次测量的绝对误差都是0.01mm，从绝对误差来看，对两次测量的评价是相同的，但是前者的相对误差为0.1%，后者则为10%，后者的相对误差是前者的一百倍。