集合的表示方法
集合的三种表示法
集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合之间的表示法
1.1.2 集合的表示法
例6 分别用列举法和描述法表示方程x²-9=0的解集. 解 解方程x²-9=0,得x1=-3, x2=3.故方程的解组成的集合 用列举法表示为 {-3，3} ， 用描述法表示为 {x|x=-3或 x=3} .
1.1.2 集合的表示法
解 (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合用列举法表示为 ｛《水浒传》,《三国演义》,《西游记》,《红楼梦》｝ (2)大于-3且小于10的所有偶数为-2,0,2,4,6,8它们组成的 集合用列举法表示为{-2,0,2,4,6,8}.
1.1.2 集合的表示法
比3大的实数组成的集合能用列举法表示出来么？
小于6的正整数组成集合如何用列举法表示？ 四大发明组成的集合如何用列举法表示？ 太阳系八大行星组成的集合如何用列举法表示？ 由 “study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？ 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合么？
1.1.2 集合的表示法
例3 用列举法表示下列集合. (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合； (2) 大于-3且小于10的所有偶数组成的集合．
有些集合只能用列举法或描述法 表示,有些集合两种方法都适用,要根 据需要具体问题进行具体分析.
1.1.2 集合的表示法
练习 1. 用列举法表示下列集合：
(1)大于-5且小于9的所有奇数组成的集合；
(2)方程x²-2x-3=0的解集. 解：（1）用列举法表示为 {-3，-1，1，3，5，7}
（2）用列举法表示为 {--1，3} 2. 用描述法表示下列集合．
1.1.2
集合的表示法
1.1.2 集合的表示法
小于6的正整数组成一个集合, 大于3的实 数也组成一个集合.那么, 除了用这种自然语言 表示集合, 还可以用数学语言表示集合呢？
集合的概念与表示方法
集合的概念与表示方法集合是数学中一个基本概念，它是将具有共同特征的对象组合在一起形成的整体。
在实际生活中，我们经常会接触到各种各样的集合，比如家庭成员的集合、学生的集合、数字的集合等等。
本文将介绍集合的概念以及常见的表示方法。
一、集合的概念集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号或者其他对象。
集合中的元素没有顺序之分，每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
集合的表示还可以使用描述法或特征法。
描述法是通过描述集合的元素属性或条件来表示集合。
例如，表示由奇数组成的集合可以写为{ x | x∈N, x是奇数 }，其中符号“|”表示“属于”，“∈”表示“是集合”的元素，N表示自然数集。
特征法是通过列举出集合的元素来表示集合。
例如，表示由元音字母组成的集合可以写为{ a, e, i, o, u }。
二、集合的表示方法在数学中，常见的集合表示方法包括列表法、描述法、数学公式表示法等。
1. 列表法列表法是一种简单直观的表示方法，在其中直接列举出集合的元素。
例如，表示所有人的集合可以写为{ 张三, 李四, 王五 }，表示由自然数组成的集合可以写为{ 1, 2, 3, ... }。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或满足的条件来表示集合。
例如，表示大于0且小于10的整数集合可以写为{ x | 0 < x < 10 }，表示由英文字母组成的集合可以写为{ x | x 是英文字母 }。
3. 数学公式表示法数学公式表示法是一种更具抽象性的表示方法，可以用数学符号和公式来表示集合。
例如，表示由数字1和2组成的集合可以写为{ x ∈N | x ≤ 2 }，表示由正整数构成的集合可以写为{ x ∈ Z+ | x > 0 }。
三、集合的运算在集合论中，还存在着一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
集合的表示方法
1.1.2集合的表示方法学习目标：1、掌握集合的表示方法，集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）2、用列举法、描述法表示一个集合.知识要点:集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）能不能表示无限集？（只能表示存在规律的集合）{0,2,4,6,8,}A n =3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.① {(,)x y y =中的元素是点。
满足条件的二元方程的解集，是成对出现的。
② {x y = {y y = {y 表示单元素集合，方程的解。
4、维恩(Venn)图（文氏图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.学习中应注意的问题：①注意a 与{}a 的区别，②注意Φ与{0}的区别， {0}是含有0一个元素的集合。
集合的表示方法
(3) 小于 8 的素数组成的集合 ；
(4) 一次函数 = + 3 与 = −2 + 6 的图象的交点组成的集合 。
9. 用描述法表示下列集合：
(1) 函数 = −22 + 图象上的所有点组成的集合；
(2) 不等式 2 − 3 < 5 的解组成的集合；
讲义模板
C. { = 2, = 3}
第2页
共2页
D. (2, 3)
(3) 方程组 {
2 + = 8
− = 1
的解组成的集合；
(4) 15 的正约数组成的集合 .
8. 用列举法表示下列集合：
(1) 大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 ；
(2) 方程 2 − 9 = 0 的实数根组成的集合 ；
讲义模板
第1页
共2页
D. {1, 2, 3, 4, 5}
D. = {2, 3} , = {(2, 3)}
15. 已知集合 = {4, }, = {2, }, 若 和 的元素相同, 则 + =
16. 将集合 { (, ) ∣ {
A. {2, 3}
+ = 5
2 3)}
取值范围;
(2) 已知集合 = { ∈ |2 − 2 + 3 = 0, ∈ } , 若 中元素恰有一个, 求 的取值
范围;
(3) 已知集合 = { ∈ |2 − 2 + 3 = 0, ∈ } , 若 中元素至少有一个, 求 的取
值范围。
四. 跟踪训练, 巩固双基
(1) 一个集合可以表示为 {, , , }
(
)
(2) 集合 { 5, 8} 和 {( 5, 8)} 表示同一个集合
集合关系的表示形式
集合关系的表示形式
集合关系通常有以下几种表示形式：
1. 包含关系：表示一个集合是另一个集合的子集，或者两个集合相等。
符号表示为“⊆”或“=”。
例如，A ⊆ B 表示A是B的子集，A = B表示两个集合相等。
2. 互斥关系：表示两个集合没有共同元素，即它们互不包含任何相同的元素。
符号表示为“Φ”，表示空集。
例如，A ∩B = Φ表示A和B没有共同元素。
3. 子集关系：表示一个集合是另一个集合的真子集，或者两个集合相等。
符号表示为“⊂”或“=”。
例如，A ⊆ B 表示A是B的真子集，A = B表示两个集合相等。
4. 元素与集合的关系：表示一个元素属于一个集合，或者不属于一个集合。
符号表示为“∈”或“∉”。
例如，a ∈A 表示a是A中的元素，a ∉A 表示a 不属于A。
这些符号和表示方法可以用来表示各种集合关系，包括子集、相等、互斥、真子集、元素与集合的关系等。
常见集合的字母表示方法
常见集合的字母表示方法常见集合的字母表示方法在数学中，集合是由一组具有共同性质的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
为了方便表示和描述集合，人们使用了一种字母表示方法。
本文将介绍常见集合的字母表示方法，并探讨一些与之相关的概念和应用。
一、整数集合（Z）整数集合是所有整数的集合。
通常用大写字母Z表示整数集合，其中Z的定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}其中"..."表示整数集合的无穷延伸。
整数集合是一个无限集合，包括负整数、零和正整数。
二、自然数集合（N）自然数集合是所有正整数的集合。
通常用大写字母N表示自然数集合，其中N的定义如下：N = {1, 2, 3, ...}自然数集合是一个无穷集合，包括所有大于等于1的整数。
三、实数集合（R）实数集合是包括有理数和无理数的集合。
通常用大写字母R表示实数集合，其中R的定义如下：R = {x | x是一个实数}实数集合是一个连续的集合，包括所有实数，无论是有理数还是无理数。
四、有理数集合（Q）有理数集合是可以表示为两个整数之比的数的集合。
通常用大写字母Q表示有理数集合，其中Q的定义如下：Q = {p/q | p和q是整数，且q≠0}有理数集合包括所有整数和所有可以表示为两个整数之比的数，如分数等。
五、正整数集合（Z+）正整数集合是所有大于零的整数的集合。
通常用大写字母Z+表示正整数集合，其中Z+的定义如下：Z+ = {1, 2, 3, ...}正整数集合是一个无穷集合，只包括大于零的整数。
在数学中，集合的字母表示方法不仅能够方便地表示和描述集合，还能够帮助我们更好地理解和应用集合的概念。
通过对常见集合的字母表示方法的介绍，我们可以更清楚地了解整数、自然数、实数、有理数和正整数等集合之间的关系和特点。
总结回顾：- 整数集合Z是包括负整数、零和正整数的集合。
- 自然数集合N是所有大于等于1的整数的集合。
集合的表示方法
用列举法表示下列集合
（1）我国古代四大发明组成的集合； （2）大于2且小于15的所有素数组成的集合； （3）方程x2=4的所有实数解组成的集合； （4）所有正偶数组成的集合
（1）{造纸术，印刷术，指南针，火药}； （2）{3，5，7，11，13，}； （3）{2，-2}； （4）{2，4，6，…，2n，…}
（1）[-1，3]; （2）（0，1]; （3）[2，5）； （4）（0，2）； （5）（-∞，3）； （6）[2，+∞）；
（2）{x|0<x≤1}; （4）{x|0<x<2}; （6）{x|x≥2};
小结
（1）列举法表示集合； （2）描述法表示集合； （3）运用区间表示集合；
Thank s
ห้องสมุดไป่ตู้
区间及其表示2
（5）集合{x|x≥a}可以简写为[a，+∞）； （6）集合{x|x>a}可以简写为(a，+∞）； （7）集合{x|x≤a}可以简写为（-∞，a]； （8）集合{x|x<a}可以简写为（-∞，a)；
用区间表示下列集合
（1）{x|-1≤x≤3} ; （3）{x|2≤x<5}; （5）{x|x<3};
（1）∉； （2）∉； （3）∉； （4）∉；
例1：用适当的方法表示下列集合
（1）方程x（x-1）=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B；
解：（1）因为0和1都是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个 解，所以A={0，1}； （2）因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 B={（x，y）|x>0，y>0};
描述法
（1）格式1：{x|p（x）}，p（x）称为集合A的一个特征性质。如： 所有平行四边形组成的集合可以表示为：{x|x是一组对边平行且相等的 四边形}； 所有能被3整除的整数组成的集合可以表示为：{x|x=3n，n∈Z}； 所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}； （2）格式2：{x∈I|p（x）}，表示在集合I中，具有特征p（x）的所有 元素组成的集合。如： 所有被3除余1的自然数组成的集合既可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}， 也可以表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z}。
用列举法表示集合
用列举法表示集合集合是数学中的一个基本概念，用于表示具有共同特征或满足特定条件的对象的整体。
在数学中，我们常常使用列举法来表示集合。
列举法是一种直观且简单的表示方法，通过列举集合中的元素来描述集合的内容。
下面我将用中文来描述一些常见的集合，并使用列举法来表示它们。
1. 自然数集合（N）：自然数集合是由所有正整数组成的集合。
它可以用列举法表示为：N={1, 2, 3, 4, 5, ...}，其中省略号表示集合中的元素是无穷多的。
2. 整数集合（Z）：整数集合是由所有整数组成的集合。
它可以用列举法表示为：Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}，其中省略号表示负无穷到正无穷的整数。
3. 有理数集合（Q）：有理数集合是由所有可以表示为两个整数的比值的数构成的集合。
它可以用列举法表示为：Q={1/2, 3/4, -2/5, 0, ...}，其中的分数表示所有整数之间的比值。
4. 实数集合（R）：实数集合是由所有可以用小数或分数表示的数构成的集合。
它包括了整数和有理数集合，以及那些无理数（如π、√2）和无限不循环小数（如1.23456789...）等。
由于实数是无穷多的，所以不能通过列举法来表示实数集合。
5. 空集合（∅）：空集合是一个不包含任何元素的集合。
它可以用列举法表示为：∅={}。
6. 单元素集合：单元素集合是指只包含一个元素的集合。
例如，{1}表示包含元素1的集合。
7. 两个元素的集合：两个元素的集合可以有多种情况。
例如，{1, 2}表示包含元素1和2的集合；{a, b}表示包含元素a和b的集合。
8. 多个元素的集合：多个元素的集合可以列举其中的一部分元素，然后用省略号表示省略的部分。
例如，{1, 2, 3, ...}表示包含所有自然数的集合。
9. 等差数列集合：等差数列是由一个初值和公差确定的数列。
例如，{1, 3, 5, 7, ...}表示以初值1，公差为2的等差数列。
高中数学之集合的表示方法
课后作业
课本p5 ５：（1）、（3）、（6）、(7) ６：（３）、（４） ７： （2）、（4）、（5）
Exit
Exit
2.性质描述法：
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的 集合。
P（x）叫做集合A的特征性质
Exit
例: 集合A={x∈R | x2-1=0}, 表示在实数范围内，所有满足方程 x2-1=0的x的集合。
例2
方程x2+5x+6=0的解集 方程x3-88x2+5x=0的解集 大于3的全体实数构成的集合 不等式2x-3>0的解集 绝对值为8的实数的全体 等腰三角形 矩形
用性质描述法表示下列集合：
Exit
做一做
方程x2-5x+6=0的解集 方程x3-99x2+6=0的解集 方程x6-x+6x2=0的解集 不等式5x+9>0的解集 大于3且小于10的取值集合可省 略不写。如在实数R中取值，集合 A={x∈R | x2-1=0}中 x∈R省略不写，写作 {x|x2-1=0} （2）在不致混淆的情况下，可以省去竖 线及左边部分。 如：{直角三角形}；{平行四边形}
集合及其表示方法
1. 集合的概念
2.集合的表示方法
Exit
集合的表示方法
1.列举法：把集合中的元素一 一列举出来，写在大括号{} 例如，中国的四大发明 {造纸术、活字印刷术、火药、 指南针}
Exit
当有些集合元素较多时, 亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合： {51，52，53，…，100} 自然数集N: {0，1，2，3，…，n，…}
Exit
集合表示的三种方法
集合表示的三种方法集合表示是数学中非常重要的概念之一，它指的是将各个元素集合在一起表示的一种方法。
在数学中有多种方式来表示一个集合，其中最常见的有三种，分别是列举法、描述法和绘图法。
一、列举法列举法是通过将集合中的元素列举出来来表示集合的方法。
例如，集合A={1,2,3}就是一种列举法表示的集合。
这种表示法通常使用大括号{}来表示集合，括号中列举出的元素间用逗号隔开。
当集合中的元素比较少时，使用列举法是非常方便和直观的。
二、描述法描述法是通过依据集合所具有的某种规律或特征来描述集合中所有的元素。
例如，集合A={x|x是2的倍数}就是一种描述法表示的集合。
这种表示法通常使用大括号{}来表示集合，括号中的“|”符号表示“满足某种条件的元素”，而“x”则是变量名，代表集合中的元素。
描述法比起列举法更加灵活，适用于集合元素比较多或者元素规律较为复杂的情形。
三、绘图法绘图法是通过画出一个图形或者图表来表示集合的方法。
例如，集合A={(x,y)|x^2+y^2≤1}就是一种绘图法表示的集合，该集合表示了一个圆形区域。
这种表示法通常使用限制条件来描述集合中元素的限制条件，然后在坐标系上画出对应的图形，以表达出集合中元素的区域范围。
绘图法适用于比较复杂的样式和图形的集合的表示，同时能够直观、清晰地表达出集合的范围和特征。
在数学中，三种集合表示方法各有优劣，需要根据具体情况选择合适的表示方法，以确保集合的表示准确、简便和直观。
在实际应用中，三种集合表示方法的优势互补，可以根据需要巧妙地使用它们，以表达出复杂、多样化的集合信息。
集合的表示方法
重不漏,切记相同的元素不能出现两次。（无序性）
2.特征性描述法（描述法）
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而 不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个 特征性质。于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为 {x∈I| p(x)}, 它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)得所有元素构成的，这一表示 方法，叫做特征性质描述法。 注意：若元素取值范围为R，一般不需再注明。
例1：分别用列举法表示下列集合
（1）我国现有的直辖市组成的集合；
（2）小于40的所有质数组成的集合； （3）前100个自然数组成的集合；
（4）正的奇数集。
答：（1）北京、天津、上海、重庆
（2）{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}
（3）{0,1,2,3，…，99}
（4）{1,3,5,7,9，…，2n+1，…} 注意：用列举法表示集合时，不必考虑元素的前后顺序，要注意不
Байду номын сангаас 例2：分别判断下列各组集合是否为同一个集合
（1）A={x|x+3>2}，B={y|y+3>2}
（2）A={（1,2）}，B={1,2}
（3）M={（x，y）|y=x2+1}，N={y|y=x2+1} （4）R，实数集，{x|x是实数集}
例3：用列举法表示下列集合
（1）A={x∈N|0<x≤5} （2）B={x|x2-5x+6=0}
1.1.2集合的表示方法
复习回顾
集合、空集、有限集和无限集分别是怎样定义的？ 集合中的元素与集合的关系是什么？ 集合的元素具有哪些特征？ 常用集合的记法是什么？
集合的介绍与表示方法
集合的介绍与表示方法集合在数学中是一种基本的概念，广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、物理学等。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及几种常见的表示方法。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含了元素1、2和3的集合。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用x∈A表示。
集合的特点是无序性，即集合中的元素没有先后之分；独一性，即集合中的元素不会重复出现。
二、集合的性质1. 子集关系：如果集合B的所有元素都属于集合A，则称B是A的子集，用B⊆A表示。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 3}，则B是A的子集。
2. 并集和交集：并集即两个集合合并在一起，交集即两个集合共有的元素。
如果A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}表示A和B的并集，A∩B={3}表示A和B的交集。
3. 补集：对于给定的一个集合A和所在的全集U，集合A对于U的补集即U中不属于A的元素构成的集合。
用A'表示，例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2和3的集合。
2. 描述法：通过给出集合中元素的属性或特征来表示集合。
例如，A={x | x是偶数，x>0}表示由所有大于0的偶数构成的集合。
3. 结论法：通过得出一些结论，将满足条件的元素组成集合。
例如，设集合A={x | x^2=1}，则A={-1, 1}表示满足平方等于1的元素构成的集合。
4. 包含法：通过规定元素属于某个集合，定义包含关系。
例如，全集为U，集合A={x | x∈U, x是奇数}表示U中的奇数构成的集合。
集合的两种表示方法
集合的两种表示方法数学中，集合是一类重要的概念，它用来对对象进行描述、抽象和研究。
集合有多种表示方法，本文将综述集合的两种表示方法：列表表示法和函数表示法，以及比较它们之间的异同。
列表表示法是最普遍的表示方法，侧重于集合的元素。
这种表示方法包括两个部分，一个是集合的具体内容，即元素，另一个是对应的记号。
用一般符号，可以把某个集合表示为，A={x1,x2,x3,…,xn}，其中A为集合的名称，x1,x2,x3,…,xn是集合A的元素。
而函数表示法是写出集合的定义。
这种表示方法把集合看作是一个映射关系，也就是说，集合就是一类特定的函数，它将某个集合的元素映射到一个特殊的对象上。
用普通符号，可以把某个集合表示为：A={x|P(x)}，其中A为集合的名称，P(x)是关于x的为真命题，即集合中的元素x满足P(x)条件，而x则为元素变量。
列表表示法和函数表示法都可以作为集合的表示方法，但它们各有优势和劣势。
列表表示法简单明了，容易理解，但无法表达集合中的元素个数；而函数表示法灵活多变，容易表达集合中元素的个数，但抽象性强，容易枯燥难懂。
总之，列表表示法和函数表示法是表示集合的两种有效方法，但并不是绝对的，最终选择应当根据具体任务的要求而定。
正如上面提到的，集合对于对象的描述、抽象和研究非常重要。
它们能够帮助我们更好地理解和处理客观事物或问题。
理解集合的表示方法，能够有效提高我们的分析能力，并为推理提供依据。
因此，了解集合的表示方法，对于数学学习者来说非常重要。
综上所述，集合的表示方法有两种：列表表示法和函数表示法，他们各有优势和劣势，并且都具有重要的意义。
最后，了解集合的表示方法，能够帮助提高我们的数学能力，为其他数学应用提供技术支持。
集合的三种表达方式
集合的三种表达方式
1、列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法。
2、描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。
3、图示法：是在所谓的集合论数学分支中，且在不太严格的意义下用以表示集合的一种草图。
这些表达方式可以根据具体的情况选择使用。
使用列举法可以清晰地列出集合中的所有元素；使用描述法可以通过一个条件来描述集合的特征；使用元素间隔法可以简洁地表示一定规律的元素。
根据需要选取适合的表达方式可以更好地描述集合的内容。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
课件2-集合的表示方法
习
(5)方程 x2 4 3 的解集；
(6)不等式组
3x+3>0 x-6<0
的解集．
强化练习
1．用列举法表示下列各集合： （1）方程 x2 3x 4 0 的解集； （2）方程 4 x 3 0 的解集； （3）由数 1，4，9，16，25 组成的集合； （4）正奇数的集合． 2．用描述法表示下列各集合： （1）大于 3 的实数所组成的集合； （2）方程 x 4 0 的解集；
动脑思考
探索新知
列举法．把集合的元素一一列举出来，写在大括号 1 内，元素之间用逗号隔开 . 例:由小于5的自然数所组成的集合表示为：
.
{0,1, 2,3, 4};
集合的表示方法——列举法
有些无限集也可用列举法表示
N=｛1，2，3，4，……｝
动脑思考
探索新知
2
描述法．把集合中元素的公共属性描述出来，写在{ }内表
示集合的方法。
例：{直角三角形}
.
文字描述法
动脑思考
探索新知
符号描述法
大括号内画一条竖线，竖线的左侧为集合的代表
元素，竖线的右侧为元素所具有的特征性质.
. 例：小于 5 的所有实数组成的集合：
{x | x 5, x R}
动脑思考
探索新知
例1 不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素?
小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?
.
巩固知识 典型例题
例4 用适当的方法表示下列集合： （1）方程x+5=0的解集； （2）不等式3x-7>5的解集；
解 {-5}
解 {x|x>4}
（3）大于3且小于 11的偶数组成的集合； 解 {4,6,8,10} .
集合的表示方法
例3 用列举法表示下列集合. （1）A={x N|0<x≤5}； （2）B={x|x2-5x+6=0}. 例4 用描述法表示下列集合. （1）{-1,1}； （2）大于3的全体偶数组成的集合； （3）在平面α内，线是有限集，元素又不太多， 常常把集合的所有元素都列举出来，写在 花括号“{ }”内表示这个集合，这种表示集 合的方法叫做列举法.
使用列举法时应注意的问题
（1）适用情况： ①集合是有限集，元素又不太多. ②集合是有限集，元素较多，有一定的规律， 可列出几个元素作为代表，其他元素用省略 号表示. ③有规律的无限集.
使用描述法时应注意的问题
（1）特征性质必须明确. R”可以省略 （2）若元素范围为R，“ 不写. （3）有的集合也可以直接写出元素名称， 并用花括号括起来表示这类元素的全体.
例2 分别判断下列各组集合是否为同一个集合. （1）A={x|x+3>2} B={y|y+3>2} （2）A={(1，2)} B={1，2} （3）M={(x，y)|y=x2+1} N={y|y=x2+1} （4）R，实数集，{实数集}，{R}
（2）用列举法表示集合时，不必考虑元素的 前后顺序，要注意不重不漏.
例1 分别用列举法表示下列集合： （1）我国现有的直辖市组成的集合A； （2）小于40的所有质数组成的集合B； （3）前100个自然数组成的集合C； （4）正的奇数集D.
描述法:
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不 具有性质p(x），则性质p(x)叫做集合A的一 个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为：__________ 他表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有 元素构成的.这一表示方法，叫做特征性质描 述法，简称描述法.
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1.1.2 集合的表示方法自主学习学习目标1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合． 2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究 意识和自学能力．自学导引1．列举法把集合的元素 _________________ 出来，并用 ____________ 括起来表示集合的方法．2．描述法I 中，属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x) ，而不属于集 p(x)的所有元素构成的.般地，如果在集合合 A 的元素都不具有性质 p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个 于是，合A 可以用它的特征性质 p(x)描述为 ____________，它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质对点讲练知识点一■用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：6⑴已知集合M= x€ N|齐X Z，求M ;x+y=2,(2)方程组的解集；x—y= 0⑶由^+訥，b€ R)所确定的实数集合.规律方法(1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.⑵列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.变式迁移1用列举法表示下列集合：(1)A = {x|XS2, x€ Z}；(2)B = {x|(x—1)2(x—2) = 0}；* 十*(3)M = {(x, y)|x+ y = 4, x€ N , y€ N }；6⑷已知集合C =祐€Z|x€ N，求C.知识点—二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；⑵方程x2+ 2= 0的解的集合；⑶不等式4x —6<5的解集；⑷函数y= 2x+ 3的图象上的点集规律方法用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么同时要注意代表元素所具有的性质.变式迁移2用描述法表示下列集合：(1)函数y= ax2+ bx+ c (a丰0)的图象上所有点的集合；⑵一次函数y= x+ 3与y =—2x+ 6的图象的交点组成的集合;(3)不等式x—3>2的解集.知识点三列举法和描述法的灵活运用例3用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；⑵方程x2+ y2—4x+ 6y+ 13= 0的解集；⑶二次函数y= x2—10图象上的所有点组成的集合.规律方法用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.变式迁移3用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；⑵由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；y= x,(4)二元二次方程组2的解集.y= x21.在用列举法表示集合时应注意以下四点:⑴元素间用“，”分隔；⑵元素不重复；⑶不考虑元素顺序；(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.2.使用描述法时应注意以下四点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号);(2)说明该集合中元素的特征；(3)不能出现未被说明的字母；⑷用于描述的语句力求简明、确切•课时作业一、选择题1•集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )A . {x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|xw 9, x€ N}C.{x|1< xw 9, x€ N}D.{x|0< x<9, x€ Z}2.在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )A. {(x, y)|x= 0, yz0} B . {(x, y)|xz 0, y= 0}C. {(x, y)|xy= 0} D . {(x, y)|x= 0, y= 0}3.下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x —1)2(x—2)2= 0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.正确的是( )A. 只有①和④B. .只有②和③C. 只有② D .以上语句都不对4. 6 *已知集合A= a 5—a€ N则A为( )A. {2,3}B. {1,2,3,4}C. {1,2,3,6} D .{—1,2,3,4}5. 下列集合中表示冋一集合的是( )A. M= {(3,2)} , N = {(2,3)}B. M = {3,2} , N= {2,3}C. M = {(x, y)|x+ y= 1}, N={y|x + y= 1}D. M= {1,2} , N= {(1,2)}二、填空题x+ y= 3,6.下列可以作为方程组__ 的解集的是(填序号).x —y=— 1①{x= 1, y= 2}；②{1,2}；③{(1,2)}；④{(x, y)|x= 1 或y= 2}；⑤{(x, y)|x= 1 且y= 2}；⑥{(x, y)|(x—1)2+ (y—2)2= 0}.7.已知 a € Z, A= {(x, y)|ax—yw 3}且(2,1) € A, (1, —4)?A，则满足条件的 a 的值为&已知集合M = {x€ N|8—x€ N}，贝U M中的元素最多有________ 个.三、解答题9.用另一种方法表示下列集合.(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除，且小于10的正数};(3){ x|x= |x|, x<5 且x € Z};* *(4){( x, y)|x+ y= 6, x€ N , y€ N };(5){ —3,—1,1,3,5}.10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.【探究驿站】11.对于a, b € N +,现规定：a +b a与b的奇偶性相同a* b=a xb a与b的奇偶性不同集合M = {(a, b)|a*b= 36, a, b€ N +}(1)用列举法表示a, b奇偶性不同时的集合M;⑵当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素1 . 集合的表示方法答案自学导引1.一一列举花括号“ { } ”2.特征性质{x€ l|p(x)}对点讲练例 1 解(1) N，且€ Z ,1 + x•'•1 + x= 1,2,3,6,•'x= 0,1,2,5,「.M = {0,1,2,5}.x+ y= 2 x= 1⑵由，得，x—y= 0 y= 1故方程组的解集为{(1,1)}.(3)要分a>0且b>0, a>0且b<0, a<0且b>0, a<0且b<0四种情况考虑，故用列举法表示为{ —2,0,2}.变式迁移1 解(1) v|x|< 2, x€ Z ,•—2W x< 2, x€ Z ,•*x =—2, —1,0,1,2.••A = { —2, —1,0,1,2}.(2)V1 和 2 是方程(x—1)2(x —2) = 0 的根，••B = {1,2}.(3)Tx+ y= 4, x€ N*, y € N*,x=1, x= 2, x= 3,•或或y = 3, y= 2, y= 1.••M = {(1,3) , (2,2), (3,1)}.6⑷结合例1(1)知，=6,3,2,1,1 + x••C = {6,3,2,1}.例2解(1)文字描述法：{x|x是正偶数}.符号描述法：{x|x= 2n, n€ N*}.(2){x|x2+ 2 = 0, x€ R}.(3){x|4x—6<5, x € R}.(4){( x, y)|y= 2x+ 3, x€ R, y€ R}.变式迁移 2 解(1){( x, y)|y= ax2+ bx+ c, x€ R , 0}.y= x+ 3 x= 1(2)x, y | = x, y | .y=—2x + 6 y= 4(3){x € R|x—3>2}.例3解(1)比5大3的数显然是8,故可表示为{8}.(2)方程x2+ y2- 4x+ 6y+ 13= 0 可化为(x- 2)2+ (y+ 3)2= 0,x = 2… ,y =-3•••方程的解集为{(2 , - 3)}.(3)“二次函数y= x2- 10的图象上的点”用描述法表示为{(x, y)|y= x2- 10}. 变式迁移3解⑴列举法：{3,5,7}.⑵描述法：{周长为10 cm的三角形}.(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321}.⑷列举法：{(0,0) , (1,1)}.课时作业I. A6 *4. D [由€ N可知，5- a为6的正因数，所以5 —a可以等于1,2,3,6，相应的a5- a分别等于4,3,2,—1,即A= { —1,2,3,4}.]5. B6.③⑤⑥7.0,1,2解析•••(2,1) € A 且(1 , - 4)?A ,「.2a — 1 < 3 且 a + 4>3 ,•••—1<aw2, 又a€ Z,「・a 的取值为0,1,2.8.99.解(1){ —2,- 1,0,1,2}(2){3,6,9}(3)Tx= |x|,-x> 0，又• x€ Z 且x<5,••x= 0或1或2或3或4.•••集合可以表示为{0,1,2,3,4}.(4){(1,5) , (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}.(5){x|x= 2k-1, - 1 < kw3, k€ Z}.10.解用描述法表示为(即用符号语言表示)：3 1 口x, y —1w xw 2, - y w X 且xy》0 .II.解(1)当a, b奇偶性不同时，a*b= ax b= 36,则满足条件的(a, b)有(1,36), (3,12), (4,9), (9,4) , (12,3), (36,1)，故集合M 可表示为：M = {(1,36) , (3,12), (4,9) , (9,4), (12,3), (36,1)}.(2)当a与b的奇偶性相同时a*b = a+ b = 36 ,由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36= 1 + 35= 2 + 34= 3 + 33=- = 17+ 19= 18 + 18= 19+ 17= -= 35 + 1, 所以当a , b奇偶性相同时这样的元素共有35个.。