ARMA时间序列模型及SPSS应用
ARMA相关模型及其应用
ARMA相关模型及其应用一、本文概述随着科技的快速发展和数据分析技术的不断进步，时间序列分析在金融、经济、工程等领域的应用日益广泛。
其中，自回归移动平均模型（ARMA模型）作为一种重要的时间序列分析工具，其理论和实践价值备受关注。
本文旨在深入探讨ARMA模型的基本理论、性质及其在实际问题中的应用，旨在为读者提供一个全面而深入的理解和应用ARMA模型的参考。
本文将简要介绍ARMA模型的基本概念、发展历程及其在时间序列分析中的地位。
随后，重点阐述ARMA模型的数学原理、参数估计方法以及模型的检验与优化。
在此基础上，本文将通过具体案例，展示ARMA模型在金融市场分析、经济预测、工程信号处理等领域的实际应用，并探讨其在实际应用中的优势与局限性。
本文旨在为研究者、学者和实践者提供一个关于ARMA模型及其应用的全面指南，帮助他们更好地理解和应用这一重要的时间序列分析工具。
通过案例分析，本文旨在为相关领域的学者和实践者提供新的思路和方法，推动ARMA模型在实际问题中的更广泛应用。
二、ARMA模型基础ARMA模型，全称为自回归移动平均模型（AutoRegressive Moving Average Model），是时间序列分析中的一种重要模型。
它结合了自回归模型（AR，AutoRegressive）和移动平均模型（MA，Moving Average）的特点，能够更全面地描述时间序列数据的动态变化特性。
ARMA模型的基本形式为ARMA(p, q)，其中p是自回归项的阶数，q是移动平均项的阶数。
模型的一般表达式为：_t = \varphi_1 _{t-1} + \varphi_2 _{t-2} + \cdots +\varphi_p _{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} +\theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}) 其中，(_t)是时刻t的观察值，(\varphi_i)是自回归系数，(\epsilon_t)是时刻t的白噪声项，(\theta_i)是移动平均系数。
各个模型的作用
时间序列模型1.时间序列模型是用于做预测的，其中包含多种预测模型：1）加法模型2）乘法模型3）混合模型2.移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法（趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变）化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
2．指数平滑法：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等（在第7页）一次指数平滑法虽然克服了移动平均法的缺点。
但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法进行预测，仍存在明显的滞后偏差。
因此，也必须加以修正。
修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型。
这就是二次指数平滑法。
当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法3. 差分指数平滑法：一阶差分指数平滑法、二阶差分指数平滑模型（14）4.自适应滤波法：以时间序列的历史观测值进行某种加权平均来预测的，它要寻找一组“最佳”的权数，其办法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差5. 趋势外推预测方法，推测出事物未来状况的一种比较常用的预测方法。
利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：（a）选择应预测的参数；（b）收集必要的数据；（c）利用数据拟合曲线；（d）趋势外推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。
趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络曲线等。
（22）6. 平稳时间序列模型：自回归模型（Auto Regressive Model）简称AR 模型，移动平均模型（MovingAverage Model）简称MA 模型，自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving AverageModel）简称ARMA 模型（23）1.插值1、可用于预测问题，观察相应散点的变化，预测被插值点的函数值2、主要方法有：一维插值法，二维网格插值和散点插值（contour）3、要求所求通过所有给定的点拟合1、线性拟合：一般都先画出散点图，用plot命令，然后再进行观察拟合，polyfit得系数，polyval在相关点的值。
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
18
ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
19
ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
32
ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
33
ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
ARMA模型
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1 , X t 2 ,, X t k 1 的条件下，X t与 X t k 之间的条件相关关系。 其相关程度用
偏自相关系数 kk 度量，有 1 kk 1
1 k 1 k k 1, j k j kk j 1 k 1 1 k 1, j j j 1
1 12 q2 2 , k 0 k k 1 k 1 q k q 2 , 1 k q 0, k q Dut 2 是白噪声序列的方差
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2 M
2 kk
2 M
样本来自AR（
p
）模型 。
注：实际中，此判断方法比较粗糙，还不能定阶，目前流行的方法是H.Akaike 信息定阶准则（AIC）
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 二、随机时间序列的特性分析
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 X t , X t 1, X t 2 ,, X t k 之间的简单 相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数 k 度量， 表示时间序列中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
q
步截尾性；偏自相关函数
随着滞后期 k 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0， 这种特性称为偏自相关函数的拖尾性
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）AR（ p ）序列的自相关与偏自相关函数 偏自相关函数
k , 1 k p kk kp 0,
是 p 步截尾的 ； 自协方差函数 k 满足 ( B) k 自相关函数 k 满足 ( B) k
第十一章SPSS的时间序列分析
3.1 AR（自回归）模型
一般地，如果和p个过去值有关则是p阶自回归模型， 记为AR（p），表达式为： xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t
(B) xt t
或者
其中， (B) 1 1 B 2 B 2 p B p
1 - 12
第三节 时间序列的图形化观察
4、互相关图（CCF） 对两个互相对应的时间序列进行相关性分 析，检验一个序列与另一个序列的滞后 序列之间的相关性 Analyze>Forecasting>Cross Correlations 举例： GDP与通信业务收入，0阶滞后相关性最显 著
1 - 13
3.2 MA模型
（Moving Average Model）
3.3 ARMA模型
（Auto Regression Moving Average model）
3.4 ARIMA模型
（ Autoregressive Integrated Moving Average Model ）
1 - 22
3.1 AR（自回归）模型
1 - 15
第六节 ARIMA模型
ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克 思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的著名时间序列 预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
第十一章 SPSS的时间序列分析
1-1
第一节 时间序列分析概述
一、相关概念 时间序列：有序的数列：y1,y2,y3,…yt 理解： 1、有先后顺序且时间间隔均匀的数列； 2、随机变量族或随机过程的一个“实现” ，即在每一个固定时间点t上，现象yt看 作是一个随机变量， y1,y2,y3,…yt是一系 列随机变量所表现的一个结果。
SPSS时间序列分析spss操作步骤
17 习题
1、 时间序列的基本概念。 时间序列分析过程中有哪几种常用的方法？2、 对数据用时间序列模型进行拟合处理前，应做哪些准备工作？3、 在哪个过程中可进行缺失值的修补？修补缺失值的方法共有几种？4、 在哪个过程中可定义时间变量？5、 时间序列分析是建立在序列的平稳的条件上的，怎样判断序列是否平稳？6、为什么要建一个时间序列的新变量？在SPSS的哪个过程中来建时间序列的新变量？7、光盘中Data17-07.sav（Data17-07a.sav是Data17-07.sav使用中文标签名的同一个文件）记录了一个邮购公司在1989年1月至1998年12月间男、女服装产品的销售量情况以及一些可能影响服装销售的宣传、服务方面的变量。试用学过的时间序列方法对其进行分析，并预测1999年4月的男装的销售量。
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时间序列习题参考答案（5）
三、自相关分析
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时间序列习题参考答案（6）
表中显示的是自相关计算结果，从左向右，依次列出的是：滞后数、自相关系数值值、标准误差、Box-ljung统计量（值、自由度、原假设成立的概率值）。由于原假设（假设基本过程是独立的，也即假定时间序列所反映的随机过程是白噪声）成立的概率值都小于0.05，所以全部自相关均有显著性意义。
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时间序列分析实例输出(2)
模型统计数据
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时间序列分析实例输出(3)
预测部分结果
数据编辑器中的新变量
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应用时间序列模型
（Applies models对话框
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自相关
（Autocorrelations ）
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Autocorrelations对话框
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时间序列习题参考答案（17）
平稳时间序列的ARMA模型
第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型1 平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。
这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。
其统计规律不会随着时间的推移发生变化。
平稳的定义分为严平稳和宽平稳。
定义1（严平稳）设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量，在不同的时刻t 是不同的随机变量，任取n 个值1,,n t t K 和任意的实数h ，则1,,n x x K 分布函数满足关系式1111(,,;,)(,,;,)n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++L L L L则称{},t x t T ∈为严平稳过程。
在实际中，这几乎是不可能的。
由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。
定义2（宽平稳）若随机变量{},t x t T ∈的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：（1）任取t T ∈，有()t E x c =； （2）任取t T ∈，t T τ+∈，有[(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-=协方差是时间间隔的函数。
则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程，其中()R τ为协方差函数。
2 各种随机时间序列的表现形式白噪声过程（white noise ，如图1）。
属于平稳过程。
y t = u t , u t ~ IID(0, σ2)图1 白噪声序列（σ2=1）随机游走过程（random walk，如图11）。
属于非平稳过程。
y t = y t-1 + u t, u t~ IID(0, σ2)图2 随机游走序列（σ2=1）图3 日元兑美元差分序列图4股票综合指数图5随机趋势非平稳序列（μ= 0.1）图6 随机趋势非平稳序列（μ= -0.1）图7 对数的中国国民收入序列图8 中国人口序列3 延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B 为延迟算子，有,1p t p t x B x p -=∀≥。
时间序列ARMA模型及分析
ARMA模型及分析本次试验主要是通过等时间间隔，连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一个时间序列。
试对该时间序列进行ARMA模型拟合以及模型的优化，最后进行预测。
以下本次试验的数据：表1 连续读取70个化学反应数据47 64 23 71 38 64 55 41 59 48 71 35 57 4058 44 80 55 37 74 51 57 50 60 45 57 50 4525 59 50 71 56 74 50 58 45 54 36 54 48 5545 57 50 62 44 64 43 52 38 59 55 41 53 4934 35 54 45 68 38 50 60 39 59 40 57 54 23 资料来源：O’Donovan, Consec. Readings Batch Chemical Proces, ler et al.下面的分析及检验、预测均是基于上述数据进行的，本次试验是在Eviews 6.0上完成的。
一、序列预处理由于只有对平稳的时间序列才能建立ARMA模型，因此在建立模型之前，有必要对序列进行预处理，主要包括了平稳性检验和纯随机检验。
图1 化学反应过程时序图序列时序图显示此化学反应过程无明显趋势或周期，波动稳定。
见图1。
图2 化学反应过程相关图和Q统计量从图2的序列的相关分析结果:1. 可以看出自相关系数始终在0周围波动，判定该序列为平稳时间序列2.看Q统计量的P值：该统计量的原假设为X的1期，2期……k期的自相关系数均等于0，备择假设为自相关系数中至少有一个不等于0，因此如图知，该P值在滞后2、3、4期是都为0,所以拒接原假设,即序列是非纯随机序列,即非白噪声序列(因为序列值之间彼此之间存在关联,所以说过去的行为对将来的发展有一定的影响,因此为非纯随机序列,即非白噪声序列)。
二、模型识别由于检验出时间序列是平稳的，且是非白噪声序列，因此可以建立模型，在建立模型之前需要识别模型阶数即确定阶数。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法（1）()AR p 模型（AutoregressionModel ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的（2）q t e ，1t e -，2t e -均参数。
（3）归模型改进的（1（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。
（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。
模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。
借助于自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（PartialCorrelationFunction,PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。
自相关函数k r关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，2步时，差分选项选择1或2。
偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。
由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
ARMA模型应用
ARMA(p,q)模型 、 模型
X t = ϕ1 X t −1 + L + ϕ p X t − p + ε t − θ1ε t −1 − L − θ qε t −q
• ARMA(p,q)平稳性取决于 平稳性取决于AR(p)的平稳性。 的平稳性。 平稳性取决于 的平稳性 • 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 部分平稳时 ARMA(p,q) 稳的，否则，不是平稳的。 稳的，否则，不是平稳的。
2、MA(q)模型 MA(q)模型
X t = ε t − θ 1ε t −1 − L − θ q ε t −q E( X t ) = E(ε t ) − θ1E(ε t −1 ) −L−θq E(ε t −q ) = 0
γ 0 = Var ( X t ) = (1 + θ12 + L + θ q2 )δ ε2 γ 1 = Cov( X t , X t −1 ) = (−θ1 + θ1θ 2 + θ 2θ 3 + L + θ q −1θ q )δ ε2
自相关 1. 构成时间序列的每个序列值x1 , x2 , ,xn之间的简单相关 L 系数称为自相关，记为rk rk =
∑ ( x − x)( x
t =1 t n t =1
n−k
t +k
− x)
( xt − x) 2 ∑
式中，n是样本量，k为滞后期， x代表样本数据的算术平均值。
2.偏自相关 偏自相关是指对于时间序列xt，在给定xt −1 , xt − 2 , L, xt − k 的条件下，与之间的条件相关系数，记为φkk , r1 , k = 1 k −1 rk − ∑ φk −1, j ⋅ rk − j φkk = j =1 , k = 2,3, L k −1 1 − ∑ φk −1, j ⋅ rj j =1 式中，rk 是滞后期的自相关系数。
ARMA时间序列模型及其相关应用教材
路漫漫其悠远
AR模型
设 为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：
模型简记为 型。
，是时间序列 自身回归的表达式，所以称为自回归模
其中， 是独立同分布的随机变量序列，且满足
，
白噪声序列。
也称
为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
则自回归模型可写为： 其中：
路漫漫其悠远
AR模型的自相关函数
阶数为q的自相关模型定义为： 根据自相关函数的定义：
令k=1,2,…, p,得自相关系数：
从上述性质可以看出，AR(q)序列的自相关系数 随着k的增大始终不为0.这 种性质称为拖尾性，并且是呈负指数衰减。
路漫漫其悠远
ARMA模型的自相关函 数
ARMA(p, q)模型的自相关系数，可以看做AR(p)模型的自相关函数和 MA(q)模型的自相关系数的混合物。
用 乘上式两边，当给定
时，取条件期望得：
因为 k>0 时， 故
，且有
显然 即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(p)模型的最后一个回
归系数。当k>p时，有
，也即是截尾的。
路漫漫其悠远
ARMA模型偏相关函 数
ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用 对 做最小方差估计来求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例)
路漫漫其悠远
二、模型的识别
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函 数
阶数为q的滑动平均模型定义为： 根据自相关函数的定义：
因为 所以自相关函数变为三项：
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函数
对于： 分以下几种情况讨论： 1）当 k =0 时，有
ARMA模型和SAS求解
第6讲 时间序列分析教材：应用时间序列分析课件（中国人民大学 王燕），SAS 如何解及下载例程。
时间序列分析(Time series analysis)是一种动态数据处理的统计方法。
该方法基于随机过程理论和数理统计学方法，研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。
时间序列是把反映现象发展水平的统计指标数值，按照时间先后顺序排列起来所形成的一组统计数字序列。
时间序列又称动态数列或时间数列。
时间序列分析就是利用这组数列，应用数理统计方法加以处理，以预测未来事物的发展。
时间序列分析是定量预测方法之一，它的基本原理：一是承认事物发展的延续性。
应用过去数据，就能推测事物的发展趋势。
二是考虑到事物发展的随机性。
任何事物发展都可能受偶然因素影响，为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。
该方法简单易行，便于掌握，但准确性差，一般只适用于短期预测。
时间序列预测一般反映三种实际变化规律:趋势变化、周期性变化、随机性变化。
时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。
时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。
时间序列分析主要用途:①系统描述。
根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。
②系统分析。
当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解给定时间序列产生的机理。
③预测未来。
一般用ARMA 模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。
④决策和控制。
根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。
基本步骤:①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。
②根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。
ARMA模型
截尾性、拖尾性图示
判断ARMA(p,q)的阶
• 通过试验确定ARMA模型的阶数(p,q)：试取一组 (p,q)进行拟合估计(一般取(偏)自相关数明显非零 的延时期数k做p、q)，计算出残差序列，检验残 差是否为白噪声，若非白噪声仍有自相关性,则换 一组(p,q)继续试验。 • 另一种确定ARMA模型的阶数(p,q)的方法是：若 序列非AR(p)、MA(q)情况,则用AR(1)拟合序列{yt }, 再考察其残差序列的样本自相关函数是否截尾， 若q1步截尾,则模型为ARMA(1,q1),否则,再用AR(2) 拟合序列{yt},考察其残差序列的样本自相关函数 是否截尾,若q2步截尾,则模型为ARMA(2,q2);否则, 再继续增大p,重复上述的做法,直至残差序列的样 本自相关函数截尾为止。
ˆ t (k ) , k 1 y ˆ t (k ) 式中：y yt k , k 0
预测的置信区间
• 对于ARMA(p,q)模型，我们可以得到yt+l预测 的95%的置信区间: yt(l)1.96*se(l), 式中se(l)是误差标准差 .
R程序—预测
• • • • • • • • ufore = predict(usol, n.ahead =6) #预测未来6期 U = ufore$pred+1.96*ufore$se #算出95%置信上限 L = ufore$pred-1.96*ufore$se #算出95%置信下限 #下面作时序图,含原序列、拟合值预测值序列、95%置信区间 uuf=ts(c(u-usol$residuals,ufore$pred)) # 合并拟合值与预测值 ts.plot(u,uuf,col=1:2) # 画原序列、拟合值预测值序列时序图 lines(U, col="blue", lty="dashed") #在图中补充95%置信上限 lines(L, col="blue", lty="dashed") #在图中补充95%置信下限
时间序列：ARMA的应用
对正态零假设的拒绝意味着序列可能存在异常观测， 或误差过程不是同方差的。
模型的预测（见书p69）
1、对MA(q)过程的预测 一个移动平均只有q期的记忆，假定参数不
变，则q期以上的均退化为截距项；当模型 中没有常数项时，q期以上的均退化为零。 2、AR(p)过程的预测 自回归过程具有无穷的记忆。 3、ARMA(p,q)过程的预测 与自回归过程类似，较复杂。
n≥8时，SC准则的惩罚严于AIC准则。由SC准则选 择的阶数通常比应用AIC准则选择的模型的阶数要 小。
模型参数的估计
注意：移动平均项的参数估计相对困难，因此在模型中尽 量避免高阶的移动平均项。
模型的检验（一）
考核模型的优劣需对模型的残差序列e进行检验，检验其是否为 白噪声序列。若残差序列是白噪声则认为模型合理；否则进一步 改进模型。 1、直观判断—观察自相关图（简便，检验精度差） 残差序列的自相关与0无显著不同，或说基本落入随机区间，则 为白噪声；自相关有显著不为0，或者有较多的落入随机区间外， 则非白噪声。 m 2、X2检验 LB(m) n(n 2) (n k ) 1 rk 2 (e)
h 1
ARMA模型在eviews上的实现
7、模型的预测：动态预测与静态预测。
AIC和SIC
信息准则包括两项：残差平方和 和 增加额外参数 所损失的自由度。 目标：选择一定的参数使得信息准则的值最小。
ˆ 2 2 p q T 1 AIC p, q log
ˆ 2 p q T 1 log T SIC p, q log
模型的识别
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
安全生产标准化通用规范编制说明
r1
k 1
kk
rk
k 1, j
j 1
rk j
k 1
1
k 1, j
j 1
rk j
k 1 k 2,3,
偏自相关系数kk ，可看作自变量 k 的函数，即偏自相关函数， 1 kk 1。它用以测量当剔除其他滞 后期（ t 1, 2,3, , k 1）的干扰的条件下，Yt 与Ytk 之间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采 用偏自相关分析图来对模型进行识别。
安全生产标准化通用规范编制说明
1 适用于平稳时序的三种基本模型
BOX-JENKINS 预测法
（1） AR( p) 模型（Auto regression Model）——自回归模型 p 阶自回归模型：
式中， 为时间序列第 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量； ， 后序列，这里作为自变量或称为解释变量； 是随机误差项； ， ， ，
3.1 自相关函数
自相关是时间序列Y1,Y2, Yt 诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样， 只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数 rk 度量。
nk
( yt y)( ytk y)
rk t1 n
( yt y)2
t 1
式中， n 为样本数据的个数； k 为滞后期； y 为样本数据平均值。 自相关系数 rk ，可看作自变量 k 的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞后 k 个时间段的两项之间相 关的程度。如 r1 表示每相邻两项间的相关程度； r2 表示每隔一项的两个观察值得相关程度。 随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以 0 为均值，1 n 为标准差的正态分布。自相关系数的 95% 置信区间为 (1.96 ,1.96 ) ，此处 1 n 。如果一个时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则 认为该序列是纯随机序列。 将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用 2 倍标准差作为置信区间的两 个端点），被称作自相关分析图。
SPSS数据分析-时间序列模型
我们在分析数据时，经常会碰到一种数据，它是由时间累积起来的，并按照时间顺序排列的一系列观测值，我们称为时间序列，它有点类似于重复测量数据，但是区别在于重复测量数据的时间点不会很多，而时间序列的时间点非常多，并且具有长期性。
这种数据资料首先先后顺序不能改变，其次观测值之间不独立，因此普通的分析方法不再适用，需要专门的时间序列模型，这种时间序列分析关注的不再是变量间的关系，而是重点考察变量在时间方面的发展变化规律。
时间序列模型根据分析思想不同可以分为传统时间序列模型和现代时间序列模型 1.传统时间序列模型它分为时间序列由长期趋势、循环趋势、季节变化、不规则变化四部分组成，通过分析各部分如何结合以及如何相互作用来进行时间序列分析，代表模型有指数平滑模型 2.现代时间序列模型它把时间序列看做是一个随机概率过程，把任意时间内发生的事情看做是概率作用，由此进行分析，这种模型比传统时间序列模型计算量更大，代表模型有ARIMA模型时间序列模型对数据要求较高，并且不同的时间趋势有不同的分析方法，因此分析起来比较繁琐，在SPSS中使用的过程较多，主要有 1.数据预处理此过程包括填补缺失值、定义时间变量，时间序列平稳化，做一些分析前的准备 2.时间序列建模与预测此过程是选择合适的模型进行建模，并对模型进行各种检验和诊断，以达到最优效果 3.模型调优我们得出的模型只是针对这一段时间数据的预测，对于长期趋势是否适合还不得而知，随着时间推移，会有新的数据加入，因此需要对模型进行不断的调整校正。
下面我们看一个例子我们希望根据nrc的数据进行预测，收集了1947年1月至1969年12月的数据，希望据此预测1970年1-12月的数据，数据如下首先我们进行预处理的第一步：填补缺失值时间序列模型对数据完整性要求较高，并且对于缺失值，不能采取剔除的方法处理，因为这样会使周期错位，在SPSS中有两个过程可以对缺失值进行处理，分别是1.转换—替换缺失值2.分析—缺失值分析该过程专门用于分析并填充缺失值，比较全面，内容也包含上面的替换缺失值过程第二步：定义时间变量SPSS中需要专门设置时间变量，才可以进行后续的时间序列分析，否则即使直接输入时间数值，SPSS也无法自动识别数据—定义日期第三步：时间序列平稳化时间序列模型都是建立在序列平稳的基础上，一个平稳的随机过程有如下要求：均值、方差不随时间变化；自相关系数只与时间间隔有关，而与所处的时间无关。
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10
ARMA模型
设 X t 为零均值的实平稳时间序列，p阶自回归q阶滑动平均混合模型定义
为： X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
用X t -k 乘上式两边，当给定 X t 1 = x t 1 ,， X t k 1 x t k 1时，取条件期望得：
E [X tX t-k]k 1 x t 1 E [X t-k] k ,k 1 x t k 1 E [X t-k] k k E [X t-k 2 ] E [a tX t-k].
➢ ARMA 是一种单变量、同方差的线性模型，对于满足有限参数线形模型 的平稳时间序列，主要有以下三种基本形式：
自回归模型（ AR : Auto-regressive） 移动平均模型（ MA : Moving-Average） 混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）
ˆi2)
1 N
P|ˆk|
1 N
68.3%
或
P|ˆk|
2 N
95.5%
24
| ˆ k |
1 N
或
| ˆ k |
2 N
（3）ARMA(p, q)模型的阶数p和q难于确定，一般采用由低阶到高阶逐个试 探，如取(p, q)为(1,1)，(1,2)，(2,1)，…直到经验证认为模型合适为止。
25
四、模型参数的估计
k1
k
k1j kj 1
k
1
jkj
j1
j1
, k1,j
kj
k1,k1 k,k1j
j 1,2,L ,k.
当k>p时， kk 0
即ARMA模型和MA模型都是拖尾的。
19
平稳时间序列的类型识 别
类别 模型方程
AR(p)
(B)Xt at
模型 MA(q)
Xt (B)at
ARMA(p, q)
模型简记为M A (q ) 。同样为了方便表示，引进延迟算子的概念。令： at1 Bat at2Bat-1B2at atp Bpat
则滑动平均模型可写为：Xt (B)at
其中： (B ) 1 1 B 2 B 2 q B q .
若满足条件：(B) 0的根全在单位圆外，则称此条件为MA(q)模型的可逆 性条件，此时 -1 ( B ) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可写为：
M
p =1p1+2p2 +L +p;
写成矩阵式为
1 1 1 2 L
2
1
1
1 L
M M M M
p
p1
p2
p3
L
p
a2 0 j j （式3） j1
推导见课本P135
p11
p2
2
M M
1
p
（式2）Biblioteka 28模型参数的估计
➢AR(p)模型的参数估计
利用(式2)，(式3) 将参数换成它们的估计，
26
模型参数的估计
当选定模型及确定阶数后，进一步地问题是要估计出模型的未 知参数。参数估计方法有矩法、最小二乘法、极大似然法等。
27
模型参数的估计
➢AR(p)模型的参数估计
X t 1 X t 1 L p X t p a t
1=1+21+L +pp1, 2=11+2+31 L +pp2,
的偏相关函数定义为：
偏 相 关 函 数 =E [E X [tX 2]tE X [t X k]tk2]=E [X tX X 2tk]
注意：此时的期望指的是条件期望 。
17
AR模型偏相关函数
设 X t 为零均值的实平稳时间序列，设它满足AR(p)模型：
X t k 1 X t 1 k 2 X t 2 k k X t k a t .
i 1
i 1j 1
分以下几种情况讨论：
1）当 k =0 时，有
q
q
k=E [a t2]
i2E [a t i2]=a2
; 2 2
ia
i 1
i 1
2）当 1 k q 时，有
q
q
k = -k E [ a t k 2 ]
ii k E [ a t i2 ] = -ka 2
; 2
ii ka
根据自相关函数的定义：
k E(XtXtk) =E[Xtk(1Xt12Xt2pXtpat)] =1k12k2pkp
令k=1,2,…, p,得自相关系数：
1= 1 21 pp-1
2 = 11 2 31 pp-2
M
p = 1p-1 2p2 p
从上述性质可以看出，AR(q)序列的自相关系数 k 随着k的增大始终不为0.这
➢ 1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了 《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上， 系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成 为时间序列分析的核心，故ARMA 模型也称为Box-Jenkins模型。
5
ARMA模型的概 念
首先，利用（式4），将参数换成它们的估计
q
q1
M
qp1
q1 L q L
M
L qp2
(B) Xt
=
(B)at
模型简记为ARMA(p, q).
显然，当q =0时，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型； 显然，当p =0时，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；
ARMA(p, q)模型的平稳性只依赖于AR 部分； ARMA(p, q)模型的可逆性只依赖于MA 部分；
11
条件为AR(p)模型的平稳性条件。
B1
B2
R 1
B3 当模型满足平稳性条件时， -1 ( B ) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可 写为：
Xt -1(B)at
8
MA模 型
设 X t 为零均值的实平稳时间序列，阶数为q的滑动平均模型定义为：
X t a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
因为 k>0 时，E[atXt-k]0，且有
E [X tX t- k ]k k D [X t- k ]k kX 2 ,
故
kk=E[XtX 2tk], X
k1,2,L.
显然 k k 即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(p)模型的最后一个回
归系数。当k>p时，有 kk = 0 ，也即是截尾的。
16
偏相关函数
➢ 从上面的讨论可知，对于自相关函数，只有MA(q)模型是截尾的， AR(p) 和 ARMA(p, q) 模 型 是拖 尾 的 。 为了进一步区分 AR(p) 模型和 ARMA(p, q)模型，我们引入了偏相关函数的概念。
➢ 对于零均值的平稳时间序列中，给定 Xt1,L,Xtk1，则 Xt和Xtk 之间
i k 1
i k 1
3）当 k>q 时，有
k =0;
从上述性质可以看出，MA(q)序列的自相关系数 k 在 k>q 时全为0.这种
性质称为q步截尾性，表明序列只有q步相关性。
14
AR模型的自相关函数
阶数为q的自相关模型定义为： X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p a t.
二、模型的识别
12
MA模型的自相关函 数
阶数为q的滑动平均模型定义为：
X t a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
根据自相关函数的定义：
kE(XtXtk) =E[(at1at1qatq)(atk1atk1qatkq)]
q
q
=E[atatk] jE[atatkj] iE[atiatk]
白噪声序列。 为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
Xt1 BXt Xt2BXt-1B2Xt Xtp BpXt
则自回归模型可写为： (B)Xt at
其中： (B ) 1 1 B 2 B 2 p B p .
7
AR模型
对于模型：(B)Xt at
若满足条件：(B) 0的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此
ˆ1 1 ˆ1 ˆ2 L
ˆ2
ˆ1
1
ˆ1 L
M M M M
ˆp
ˆp1
ˆp2
ˆp3 L
ˆp1-1ˆ1
ˆp2
ˆ2
M M
1
ˆp
ˆa2ˆ0pˆjˆj=ˆ01pˆjˆj
j1
j1
29
模型参数的估计
➢MA(q)模型的参数估计
X t a t 1 a t 1 L q a t q
18
ARMA模型偏相关函 数
ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用 Xt1,L,Xtk 对 X t 做最小方差估计来求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例)
X t 的偏相关函数 k k ，同时推出偏相关函数与自相关函数的关系。
11=1,
k1,k1
at 1(B)Xt
9
AR与MA模型的比较
➢ 自回归模型： X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p a t.
意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测 目标的影响和作用，不一定平稳。
➢ 滑动平均模型：X t a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
将参数换成它们的估计，
ˆk ˆˆa a 2 2((1 ˆk ˆ1 2 ˆk L 1 ˆ 1 ˆq 2 L )， k ˆ qˆ0 q ， k)， 1kq.