平面向量及其应用(一) 课件-2021届高三数学一轮复习

知识梳理
1.平面向量的概念
（7）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与 向量b相等，记作a = b．
（8）相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做向量a 的 相反向量，记作a ．
（9）向量的夹角：已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，
作OA=a，OB=b，则AOB (0 ≤ ≤ π)叫做a 与b的夹角．如果a 与b 的夹角是 ，我们说a 与b垂直，记作a b．
乘积
规定：零向量与任意向量的
数量积为 0
ab (a b) a (b)
(a b) c a c b c
知识梳理
3.平面向量基本定理及坐标表示
（1）平面向量基本定理 如果 e1， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任一向量a ，有且只有一对实数1，2，使 a = 1e1 2e2．
知识梳理
2.平面向量的运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的
结果仍是向量.
对任意向量a ，b，以及任意实数 ，1，2，恒有 (1a+2b) 1a+2b.
向量共线的定理： 向量a (a 0)与b共线的充要条件是：
存在唯一一个实数 ，使b = a.
知识梳理
2.平面向量的运算
上，且 AD=3AE，则用 AB， AC 表示CE为（ B ）.
（A） 2 AB 8 AC 99
（C） 2 AB 7 AC 99
（B） 2 AB 8 AC 99
（D） 2 AB 7 AC 99
A
E
BD
C
解： ∵CE AE AC 1 AD AC 1(AB + BD) AC ，又 BD 1 BC 1(AC - AB)，
基本定理可知，有且只有一对实数 x， y，使得 a xi yj ． 这样，平面内的任一向量a 都可由 x， y唯一确定，我们把有序数对
x，y叫做向量a 的坐标，记作a x，y①．
其中， x叫做a 在 x轴上的坐标， y叫做a 在 y轴上的坐标，①叫做向 量a 的坐标表示．
3.平面向量基本定理及坐标表示
平面向量及其应用（一）
高三年级 数学
知识结构
实际 向量的 向量的运算 背景 概念 及其几何意义
向量的加、减运 算及其几何意义
向量的数乘运算 及其几何意义
向量的数量积 及其几何意义
平面向量 基本定理 及坐标表示
知识梳理
1.平面向量的概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可以用a ，b，c ，…表示． （2）向量的几何表示：向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的 大小，有向线段的方向表示向量的方向．
（B）若向量 AB，CD满足| AB || CD |，且 AB与CD方向相同，则 AB CD
（C）若 a = b ，则a ，b的长度相等，方向相同或相反
（D）若向量a 与向量b不共线，则a 与b的方向一定不相同
例题讲解
2. 如图，在△ABC中，点 D 在 BC 边上，且 CD=2DB，点 E 在 AD 边
2
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2.平面向量的运算
向量运算
定义
法则（几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算叫做 向量的加法
三角形法则
（1）交换律 a+b = b+ a
（2）结合律
a+(b + c) = (a +b) c
减法
求两个向量差的运算叫做 向量的减法
平行四边形法则 三角形法则
a b = a +(b)
知识梳理
（3）向量的长度（模）：向量 AB的大小称为向量 AB的长度（或称模），记作| AB |．
（4）零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的，记作0 ． （5）单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量． （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． 平行向量也叫做共线向量．规定： 0 与任意向量平行．
向量运算
定义
几何意义
运算律
数量积 已知两个非零向量a 与b， 数量积a b 它们的夹角为 ，把数量 等于b的长度
ab ba
| a || b | cos 叫做向量a 与b | b |与a 在b的
的数量积(或内积)，记作a b，方向上的投影
即a b =| a || b | cos
| a | cos 的
已知a = x1，y1 ，b = x2 ，y2 ， 为a 与b的夹角，根据向量数量积的定
义和坐标表示可得
cos a b
x1x2 yBaidu Nhomakorabea y2
．
| a || b | x12 x22 y12 y22
例题讲解
1. 下列说法正确的是（ D ）.
（A）因为零向量的方向是任意的，所以零向量不能与任何向量平行
2.平面向量的运算
向量运算
定义
法则（几何意义）
数乘
规定实数 与向量a （1）| a || || a |；
的积是一个向量， （2）当 0时，a的方向
这种运算叫做向量 与a 的方向相同；当 0时，
的数乘，记作a
a的方向与a 的方向相反； 当 0时，a = 0
运算律
(a) ()a； ( )a a a； (a b) a b
（4）平面向量运算的坐标表示
已知a = x1，y1 ，b = x2 ，y2 ， 为实数， a + b x1 + x2 ，y1 + y2 ， a b x1 x2 ，y1 y2 ， a x1， y1 ．
向量a ，b 共线的充要条件是 x1y2 x2 y1 0． a b x1x2 + y1y2．
向量a ，b 垂直的充要条件是 x1x2 + y1y2 0．
知识梳理
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3.平面向量基本定理及坐标表示
（4）平面向量运算的坐标表示
若a = x，y，则| a | x2 y2 ． 若表示向量a 的有向线段的起点和终点坐标分别为 x1，y1 ， x2 ，y2 ， 那么 a x2 x1，y2 y1 ，| a | x2 x1 2 y2 y1 2 ．
若 e1，e2 不共线，我们把e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量的一个基底．
（2）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
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3.平面向量基本定理及坐标表示
（3）平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别
为i ， j ，取i，j作为基底．对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量