数值计算方法复习题9
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习题九
1. 取步长h = 0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题
(1);(2)
准确解:(1)
;(2);
欧拉法:,,,
改进的欧拉法:,,,
2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题,比较各法解的精度。
,,,
处的近似值。
3. 用欧拉法计算下列积分在点
0.5000,1.1420,2.5011,7.2450
4. 求下列差分格式局部截断误差的首项,并指出其阶数。
(1),2
(2),3;
(3),4
(4),4
5.用Euler法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.3(保留到小数点后4位).
解: 直接将Eulerr法应用于本题,得到
由于,直接代入计算,得到
6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长
h=0.1,计算到x=0.5,并与准确解相比较.
解:用改进Euler法求解公式,得
计算结果见下表
用梯形法求解公式,得
解得
精确解为
7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的,并求其局部截断误差主项.
证明根据局部截断误差定义,得
将右端Taylor展开,得
故方法是二阶的,且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。
8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长
h=0.2.
解直接用四阶R-K方法
其中
计算结果如表所示:
9.对于初值问题
解因f'(y)=-100,故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时,
(2)用梯形法解时,绝对稳定区间为,由因f
对y是线性的,故不用迭代,对h仍无限制。(3)用四阶R-K方法时,
10. (1) 用Euler法求解,步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解,对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解,步长h如何选取?
解:用四阶显式Adams公式先要算出,而,其余3点可用四阶R-K方法计算。由,得
由计算得
再由四步四阶Adams显式方法得
11.用四步四阶的Adams显式方法
求解初值问题取h=0.1.(1)用形如
的线性二步法解
(2)试确定参数,使方法具有尽可能高的阶数,并求出局部截断误差主项.
解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开,
要确定参数,可令
解得而方法得局部截断
故所求方法是二阶方法,局部截断误差主项为