排列组合典型类型题总结
排列组合十种解题技巧与易错题归纳总结
排列组合问题十种题型及其解题技巧、易错归纳（一）至少变恰好例题1 某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36B ．72C ．108D ．144【解析】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况，②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案，选D巩固1 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84B ．48C ．36D ．28【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. （二）插空法例题2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅C ．4267A A ⋅ D ．4267C C ⋅【解析】先排4个商业广告，有44A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广告，有25A 种排法，根据分步计数原理，所以共有5424A A ⋅种排法，选A.巩固2 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知，共有不同的排列法33424A ⨯=种结果，所以选B（三）特殊元素优先例题3 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=种，则一共有8种，选B.（四）捆绑法例题4 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法，第二步，丙、丁内部排列用22A 种方法，第三步，其他三人共33A 种方法，共23234A A 42648=⨯⨯=种方法；第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共23233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=，故选D.巩固3 某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，选A. （五）不在问题的间接法例题5 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．320B ．313C ．79D ．1778【解析】设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B ：化学排第四节.()41134333555578A C C A P A A A +==，()31123222555514A C C A P AB A A +==，故满足条件的概率是()()739P AB P A =.故选C.巩固4 某公司安排五名大学生从事A B C D 、、、四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ） A ．96B ．120C ．132D ．240【解析】若甲同学在A 项工作，则剩余4人安排在B 、C 、D 三项工作中，共有1211342136C C C C =种 若甲同学不在A 项工作，，则在C 或D 工作，共有111112423323()96C C C C C C ++=种，共36+96=132种，选C 巩固5 某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种【解析】由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， 这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，选B ．（六）走街道问题例题6 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【解析】因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C （七）隔板法例题7 设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种B ．()1!n n ⋅+种C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n n C n n +=+ 选D巩固6 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种． A ．7B ．10C ．14D ．20【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C 42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，选B ． （八）回归原始的方法例题8 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种B ．144种C ．48种D ．96种【解析】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.巩固7 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。
高考数学最新题型归纳——排列组合12种题型汇总（值得学习）
⾼考数学最新题型归纳——排列组合12种题型汇总（值得学习）【题型⼀】⼈坐座位模型1：捆绑与插空
【题型⼆】⼈坐座位模型2：染⾊（平⾯）
【题型三】⼈坐座位模型3：染⾊（⽴体空间）
【题型四】书架插书模型：定序
【题型五】球放盒⼦模型1：球不同，盒⼦也不同
【题型六】球放盒⼦模型2：球相同，盒⼦不同
【题型七】相同元素排列模型1：数字化法
【题型⼋】相同元素排列模型2：空车位停车等
【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等
【题型⼗】多事件限制重叠型题
【题型⼗⼀】多重限制分类讨论型
【题型⼗⼆】综合应⽤
⾼考⼀般只考⼀个选择题，难度不⼤，把这些题型吃透，基本没有问题，同学们加油。
(完整版)排列组合典型类型题总结
2.基本的分配的问题(1)定向分配问题例5 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲两本、乙两本、丙两本.(2)甲一本、乙两本、丙三本.(3)甲四本、乙一本、丙一本.(2)不定向分配问题例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每人两本.(2) 一人一本、一人两本、一人三本.(3) 一人四本、一人一本、一人一本.例7 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？3.分配问题的变形问题例9有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？例10设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B 的不同的函数有多少个？五.相同元素隔板法及应用:情形1：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），允许若干个人或（位置）为空。
将n件物品和m-1个隔板排成一排，占n+m-1个位置，从n+m-1个位置选m-1位置放隔板，有种。
m1-C1-nm情形2：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），每个位置必须有物品，有种。
1-mC1-n把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有3个小球，有多少种不同方法？把20个相同的球放入编号为2，3，4，5的4个盒子，每个盒子的小球数不少于编号数，有多少种不同方法？把20个相同的球放入4个不同的盒子，盒子可以空，有多少种不同方法？1.指标分配问题。
例12、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？2.求n 项展开式的项数。
例13、求展开式中共有多少项？10521)(x x x +⋅⋅⋅++例14、求方程++…+=7的正整数解的个数。
1x 2x 5x五至多，至少问题排除法例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种例16.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种B、64种C、58种D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种6.综合问题先选后排例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？七 .对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例19.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的,,,,A B C D E B A ,A B 排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A 、36种B 、120种C 、720种D 、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？e i rb ei n 为海上四个岛，。
排列组合经典题型及解析
排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种 解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合12种题型归纳(解析版)
第30讲 排列组合12类【题型一】 人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，22423245C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理()n A B ⋃=()()()n A n B n A B +-⋂【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A ．30 B ．36 C ．60 D ．72【答案】C【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件:A 2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A 的排法种数为()242448n A A A ==，记事件:B 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B 的排法种数为()4424n B A ==，事件:A B ⋂女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件A B 的排法种数为232312A A =种，因此，出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦()12048241260=-+-=种，故选C ．2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．48【答案】B【分析】先求出只有3个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出3个歌舞类节目不相邻且2个小品类节目相邻的排法，相减可得．【详解】先考虑只有3个歌舞类节目不相邻，排法有3334144A A=种，再考虑3个歌舞类节目不相邻，2个小品类节目相邻的排法有：22322324A A A=，因此同类节目不相邻的排法种数是14424120-=．故选：B．3.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【答案】B【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.【详解】根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有132312C A=种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有22224A A=种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法；高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有1112 222216C C C A=种排法；综上：共有32种排法满足题意.故选：B.【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7 答案：D55315232553555351235125122404==4207;(2)4----+++2A C C A C C C C C ----⨯⨯涂色法：（1）用了几种颜色；（2）尽量先图相邻多的“三角形”：本题先把ABE 作为“三角形”1、用了5色：A 、用了4色：(1)先涂ABE:A 用第色：（3）D 用第4种：（相同）3、用了3色：同先涂ABE:A 结束。
排列组合难题题型总结(含答案)
排列组合难题题型总结（含答案）一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重复排列问题求幂策略(住店法)解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例5.把6名实习生(元素)分配到7个车间(位置)实习,共有多少种不同的分法练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有(即有且只有!!)两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种 十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ (注意有9个空隙,6个隔板!) 练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______ 十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i ）的不同坐法有多少种？ 二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法参考答案例1.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C54321BA然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:解：分两步完成．第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有A53=60种排法 第二步排其余的位置：有A44=24种排法 所以共有60×24=1440种排法． 二.相邻元素捆绑策略例2. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析(11大题型)(原卷版)
微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）题型一：特殊元素与特殊位置优待法解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
【精选例题】【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．412题型二：分类讨论思想解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算【精选例题】【例1】（2023全国卷乙卷真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）【例3】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（ ）A．60B．40C．30D．80【题型专练】1.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A．20种B．16种C．12种D．8种2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．题型三：插空法（不相邻问题）解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a ，b 两段，使得长线段a 与原线段a b +的比等于短线段b 与长线段a 的比，即()::a a b b a +=，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）A ．180B ．210C ．240D ．360【例2】把5件不同产品A ，B ，C ，D ，E 摆成一排，则（ ）A ．A 与B 相邻有48种摆法B ．A 与C 相邻有48种摆法C ．A ，B 相邻又A ，C 相邻，有12种摆法D ．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24种摆法【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）A ．12B ．48C ．72D ．96【题型专练】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ）A ．120种B ．32种C ．24种D ．16种题型四：捆绑法（相邻问题）解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。
高中数学排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B、83 C、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合知识总结经典题型
(1)知识梳理1．分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事，有几类方法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
2．分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类〞有关，要注意“类〞与“类〞之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步〞有关，要注意“步〞与“步〞之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进展正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：〔1〕规定0! = 1〔2〕含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =n1+n2+……nk , 那么S的排列个数等于.例如：数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.7．组合数公式：8．两个公式：①②特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排〞，后者是“并成一组〞，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？〔1〕甲不站两端；〔2〕甲、乙必须相邻；〔3〕甲、乙不相邻；〔4〕甲、乙之间间隔两人；〔5〕甲、乙站在两端；〔6〕甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2. 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？〔1〕男运发动3名，女运发动2名；〔2〕至少有1名女运发动；〔3〕队长中至少有1人参加；〔4〕既要有队长，又要有女运发动.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.〔1〕恰有1个盒不放球，共有几种放法？〔2〕恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？〔3〕恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是〔〕A.360B.288C.216D.96参考答案：例1 解：〔1〕方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三：假设对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：〔2〕方法一：先把甲、乙作为一个“整体〞，看作一个人，和其余4人进展全排列有种站法，再把甲、乙进展全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有〔3〕因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法〞，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档〔含两端〕中，有种站法，故共有站法为也可用“间接法〞，6个人全排列有种站法，由〔2〕知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有.〔4〕方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大〞元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进展排列，有种方法，故共有站法.〔5〕方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.〔6〕方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种，故共有站法.例2 解〔1〕第一步：选3名男运发动，有种选法.第二步：选2名女运发动，有种选法.共有种选法.〔2〕方法一至少1名女运发动包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二“至少1名女运发动〞的反面为“全是男运发动〞可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法，其中全是男运发动的选法有种.所以“至少有1名女运发动〞的选法为.〔3〕方法一：可分类求解：“只有男队长〞的选法为；“只有女队长〞的选法为；“男、女队长都入选〞的选法为；所以共有种选法. 9分方法二：间接法：从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长〞的选法为种. 9分〔4〕当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种，所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运发动的选法共有种.例3 解〔1〕为保证“恰有1个盒不放球〞，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？〞即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有〔2〕“恰有1个盒内有2个球〞，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球〞与“恰有1个盒不放球〞是同一件事，所以共有144种放法.〔3〕确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成〔3，1〕、〔2，2〕两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.当堂检测答案1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。
第4讲排列组合常见11种题型总结分析(原卷板)
第4讲 排列组合常见11种题型总结分析【题型目录】题型一：特殊元素与特殊位置优待法题型二：分类讨论思想题型三：插空法（不相邻问题）题型四：捆绑法（相邻问题）题型五：平均分组问题除法策略题型六：分配问题先分组再分配题型七：正难则反题型八：定序问题（消序法）题型九：相同元素隔板法题型十：涂色问题题型十一：与几何有关的组合应用题【典型例题】题型一：特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）（A ） 280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种【例2】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个A ．242610AB ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A【例3】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法有______种.【例4】用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．2．某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（）.A．10种B．12种C．15种D．16种3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．4124．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（）A．120个B．192个C．252个D．300个题型二：分类讨论思想【例1】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（）A．60B．40C．30D．80【例2】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“≡”，26可以表示为“=⊥”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为_________.⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写【例3】将1，2，3填入33方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种【题型专练】1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．题型三：插空法（不相邻问题）对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
排列组合知识点总结典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？ 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题的题目类型及解答汇总
排列组合问题是数学和计算机科学中常见的一类问题，涉及对元素进行有序或无序的选择和排列。
这类问题在实际生活中也有广泛应用，如时间表的制定、密码的组合、电路的设计等。
下面，我们将对排列组合问题的常见题目类型及其解答进行汇总。
一、题目类型1. 基本排列问题描述：给定n个不同的元素，求取出m个元素的所有可能排列。
示例：从3个字母A, B, C中取出2个字母的所有排列。
2. 基本组合问题描述：给定n个不同的元素，求取出m个元素的所有可能组合。
示例：从3个字母A, B, C中取出2个字母的所有组合。
3. 排列组合混合问题描述：在一个问题中同时涉及到排列和组合的概念。
示例：从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，并求所有可能的三位数之和。
4. 有限制条件的排列组合问题描述：在排列或组合时，元素之间有一定的限制条件。
示例：在5个不同的数字中选出3个数字进行排列，但要求其中必须包含数字1。
5. 重复元素的排列组合问题描述：元素集合中存在重复的元素，求取排列或组合。
示例：从3个A，2个B，1个C中选出3个字母的所有排列。
二、解答方法1. 基本排列问题解答：使用排列公式P(n, m) = n! / (n - m)!，其中n是总元素数量，m是选择的元素数量。
示例解答：P(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 6（AB, AC, BA, BC, CA, CB）2. 基本组合问题解答：使用组合公式C(n, m) = n! / [m!(n - m)!]，其中n 是总元素数量，m是选择的元素数量。
示例解答：C(3, 2) = 3! / [2!(3 - 2)!] = 3（AB, AC, BC）3. 排列组合混合问题解答：首先使用排列或组合公式求出所有可能的选择，然后根据题目要求进行进一步处理。
示例解答：首先从5个数字中选出3个数字进行排列，得到P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种排列。
然后求所有可能的三位数之和。
排列组合题型归纳
排列组合题型总结一．直接法1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。
练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？七．合并单元格解决染色问题练习1将3种作物种植1 2 3 4 5在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．图3 图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种图5 图65．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种十二．转化命题法例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？十三．概率法例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？十四．除序法例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？巩固练习1.相邻问题捆绑法1.六名同学站成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有（）A.720 ；B.360 ；C.240 ；D.120。
排列组合主要题型及解答方法
一、相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ )种Ａ。
７20 B。
３6０ C. 240 D。
12０解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。
由分步计数原理可知，共有=２40种不同排法，选C。
评注:从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”,就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大"元素。
二、相离问题插空法例2 要排一张有６个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?（只要求写出式子，不必计算）解:先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法．由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种.评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。
此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法.三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号.现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是___＿_＿_＿（用数字作答）.解:５面旗全排列有种挂法，由于３面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种)．评法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。
这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）种A. 6种 B。
９种 C. 11种Ｄ. 2３种解：此题可以看成是将数字1，２,3，4填入标号为1，2，3,４的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。
所以先将１填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它３个方格,又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法.故共有3×３×１＝9种填法，而选Ｂ．评注:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
排列组合总结(含答案)
1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合典型类型题总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
排列组合
一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有
A 、60种
B 、48种
C 、36种
D 、24种
二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A 、1440种
B 、3600种
C 、4820种
D 、4800种
元素相同问题隔板策略
例3 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
例4把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法。
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C --
三.特殊元素或特殊位置优限法：优先解决带限制条件的元素或位置，或说“先解决特殊元素或特殊位置”
例5.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
四.分组分配：
1基本的分组的问题
例4 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
2.基本的分配的问题
(1)定向分配问题
例5 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)甲两本、乙两本、丙两本.
(2)甲一本、乙两本、丙三本.
(3)甲四本、乙一本、丙一本.
(2)不定向分配问题
例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
例7 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
3.分配问题的变形问题
例8 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
例9有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
例10设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B 的不同的函数有多少个？
五.相同元素隔板法及应用:
情形1：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），允许若干个人或（位置）为空。
将n件物品和m-1个隔板排成一排，占n+m-1个位置，从n+m-1个位置选m-1位置放隔板，有1-m
C种。
m
n
1-
情形2：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），每个位置必须有物品，有1-m
C
1-n 种。
例11. 把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子都不空，有多少种不同方法？
把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有3个小球，有多少种不同方法？
把20个相同的球放入编号为2，3，4，5的4个盒子，每个盒子的小球数不少于编号数，有多少种不同方法？
把20个相同的球放入4个不同的盒子，盒子可以空，有多少种不同方法？
1.指标分配问题。
例12、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
2.求n 项展开式的项数。
例13、求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？
例14、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。
五 至多，至少问题排除法
例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
A 、140种
B 、80种
C 、70种
D 、35种
例16.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A 、70种
B 、64种
C 、58种
D 、52种
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A 、150种
B 、147种
C 、144种
D 、141种
六.综合问题先选后排
例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
七 .对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例19.,,,,
A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是
A、24种
B、60种
C、90种
D、120种
十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种
B、120种
C、720种
D、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
复杂的排列组合问题
例23 上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？
例24 如图1中A，B，C，D为海上四个岛，
要建三座桥，将这四个小岛连接起来，
则不同的建桥方案共有（）
A.8种
B.12种
C.16种
D.20种
例25 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有种不同的放法。
例27.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？。