镜像法

Q 第一项为排斥力， 设 Q0 > 0 ， > 0 ，第一项为排斥力，第二项为 吸引力（ 无关， 正负无关） 吸引力（与 Q0无关，与 Q正负无关）。当 a → R0 时，F < 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时 会出现相互吸引。 会出现相互吸引。
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3．有一点电荷 Q 位于两个互相垂直的半无限大接 ． 位于两个互相垂直的半无限大 半无限大接 地导体板 所围成的直角空间内， 地导体 板 所围成的直角空间内 ， 它到两个平面的 距离为 a 和 b，求空间的电势。 ，求空间的电势。 解：（1）分析： ：（ ）分析： 假想电荷应在第 I 象限之外。 象限之外。 要保证互相垂直 的两个接地导体板 的电势同时为零， 的电势同时为零， 应当放几个电荷？ 应当放几个电荷？ y
（3）讨论 ）讨论： 因此Q发出的电力线一部分会聚到导 ① Q′ = Q ，因此 发出的电力线一部分会聚到导 因此 体球面上，剩余传到无穷远。 体球面上，剩余传到无穷远。 ② 球面感应电荷分布 2 R0Q a2 − R0 ∂ϕ Q Q′ = ∫σdS = − σ = −ε0 =− 2 2 3/ 2 R=R0 a ∂R R=R0 4π R0 (a − R0 − 2R0a cosθ ) 导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷
r′
Q
P
r
z
a
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左 从物理问题的对称性和边界条件考虑， 轴上。 半空间 z 轴上。 设电量为 Q′，位置为（0，0， ′ ） a 位置为（ ， ，
ϕ=
1 4πε0
[
Q x2 + y2 + (z − a)2
+
Q′
x2 + y2 + (z − a′)2
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P R
O
θ
Q′
r r′
Q
Z
Q Q′ ϕ= [ + ] 4πε0 r r′ 1
球坐标系
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（2）由边界条件确定 Q′ 和 ）
设 OQ′ = b
2
r′
2
r = R + a − 2Ra cosθ r′ = R2 + b2 − 2Rb cosθ
Q Q′ + =0 r r′ R=R0 Q2 r2 Q′2 = 2 r′
θ0
S1
θ=
π
n
象电荷数
2n −1
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4．另外几种容易求解又常见的情况： 另外几种容易求解又常见的情况：
ε
2
ε
1
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第二章第四节
镜象法
§2.4 镜 象 法
重点掌握： 重点掌握： 1、镜象法的基本概念 、 2、求解电势的基本方法 、
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一、电象法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
一般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。 但是， 得到电场 。 但是 ， 在许多情 况下非常困难。 例如， 况下非常困难 。 例如 ， 对于 介质中、 介质中 、 导体外存在点电荷 的情况虽然可以采用叠加法 求解， 但是求解比较困难。 求解 ， 但是求解比较困难 。 求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般 非均匀分布的， 非均匀分布的 ， 造成电场缺 乏对称性。 乏对称性。
Q
Q
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2. 以唯一性定理为依据
在唯 在唯 一 性 定 理 保 证 下 ， 采 用试探解， 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 松方程及边界条件即是正确解。 特别 特别 是 对 于 只 有 几 个 自 由 点电荷时， 点电荷时，可以将导体面上感 应电荷分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试解。 几个点电荷来给出尝试解。
ϕ2 = ϕ +
Q′′
4πε0R 4πε0R
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+
Q0
所受到的 （6）导体球不接地而带自由电荷 Q0 时 Q 所受到的 ） 作用力可以看作 作用力可以看作 Q0 与 Q′及位于球心处的等效电荷 Q′′的作用力之和。 的作用力之和。
2 3 2 2 ′′) ′ Q(Q0 + Q QQ 1 QQ0 Q R0 (2a − R0 ) F= + = [ 2 − 3 2 ] 2 2 2 2 4πε0 a 4πε0 (a − b) 4πε0a a (a − R0 )
σ
等势面
P V Q
ϕ(p)
P Q Q
ϕ( p)
Q’
导体面
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四、应用举例
1. 接地无限大平面导体板附近有 一点电荷，求空间电势。 一点电荷，求空间电势。 解：根据唯一性定理左半空间 ϕ = 0 根据唯一性定理左半空间 右半空间， 在 右半空间，Q在（0，0，a）点， ， ， ） 电势满足泊松方程。 电势满足泊松方程。 边界上 边界上 ϕ z=0 = 0 Q/
x > 0 − − ] 2 2 2 2 2 2 y > 0 (x − a) + ( y + b) + z (x + a) + ( y −b) + z 1 1
（3）若两平面夹角 θ < ） 2 Q 放在 θ0 (< θ ) 处 用 镜 象 法求解 的条 件是什么？ 件是什么？
π
S2
θ
Q
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3. 电象法概念、适用情况 电象法概念、 电象法： 电象法：
用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布， 电荷分布， 然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。 加给出空间电势分布。
适用情况： 适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷 ， 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具 导体边界面形状比较规则， 导体边界面形状比较规则 有一定对称性。 有一定对称性。 c) 给定边界条件
Q 1 Q F =− e =− e =− e 2 z 2 z 2 z 4πε0 (2a) 4πε0r 16πε0a
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Q
2
2. 真空中有一半径 0的接地导体球，距球心 a > R0 真空中有一半径R 的接地导体球， 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 ，求空间各点电势。 解：（1）分析： ）分析： 导体球接地故球的电 因导体球接地故球的电 势为零。 势为零。根据镜象法原 假想电荷应在球内。 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷 两个点电荷， 因空间只有两个点电荷， 应具有轴对称， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上， 想电荷应在线上，即极 轴上。 轴上。
（ ） -Q -a, b, 0） ） Q（a, b, 0）
O
x
） -Q（a, -b, 0）
（ ） Q -a, -b, 0）
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（2）电势分布 ） Q 1 1 [ ϕ= + 4πε0 (x − a)2 + ( y −b)2 + z2 (x + a)2 + ( y + b)2 + z2
R0Q Q′ = ± a
R b= a
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2 0
R0Q Q′ = − a
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R0 / a Q 1 − ] (R > R0 ) ϕ = 4πε [ 2 2 R + a − 2Ra cosθ R2 + R04 / a2 − 2RR02 cosθ / a 0 (R ≤ R0 ) 1 ϕ = 0
ϕ1 = ϕ +
Q′′ 4πε0R
等效电荷一般是一个点电荷组或 一个带电体系， 一个带电体系，而不一定就是一 个点电荷。 个点电荷。
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 Q0 ，导体上总电 若导体球不接地， 此时要保持导体为等势体， 荷为 Q ，此时要保持导体为等势体，Q 也应均匀分布在 0 0 球面上。 球面上。
]
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由边界条件确定 Q′、a′和 ϕ Q Q′ ϕ z=0 = 0 =− x 2 + y 2 + a2 x2 + y2 + a′2 唯一解是 Q′ = −Q, a′ = ±a
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
Q 1 1 ϕ= [ − ] 4πε0 x2 + y2 + (z − a)2 x2 + y2 + (z + a)2
讨论： 讨论：（a）导体面上感应电荷分布 ）
∂ϕ σ = −ε0 ∂z
z=0
Qa =− 2 2 2 3/ 2 2π (x + y + a )
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Qa ∞ 2πrdr Q′′ = ∫σdS = − = −Q = Q′ 0 2π ∫ (r 2 + a2 )3/ 2
（b）电荷 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 ）电荷Q 产生的电场的 它与无导体时， 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 右半空间完全相同。 空间完全相同 （c）Q′与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 位置对于导体板镜象对称， ） 为镜象法（又称电象法） 为镜象法（又称电象法） （d）导体对电荷 的作用力相当两点电荷间的作用力 ）导体对电荷Q
R0Q ′ Q′ = −Q′ = 移到地中去了。 移到地中去了。 a
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2 (Ra / R0 )2 + R0 − 2Ra cosθ
若导体不接地， 分布在导体面上。 （4）若导体不接地，可视为 Q′′分布在导体面上。不接 地导体已为等势体， 还要使导体为等势体， 地导体已为等势体，加上 Q′′ 还要使导体为等势体， ′′必 Q 须均匀分布在球面上。 须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量 Q′ + Q′′ ≡ 0 （因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球 心的点电荷产生的电势） 心的点电荷产生的电势）。
注意： 注意
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（ 点电荷位置、 大小不能变） 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 所求区域之外。 不能改变原有边界条件（ b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置） 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 坐标系选择仍然根据边界形状来定。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
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4. 格林等效层定理（不证明）* 格林等效层定理（不证明） （ 1） 等势面包围的体积 内 ） 等势面包围的体积V内 的电荷在V外产生的电势与在 的电荷在 外产生的电势与在 此等势面上置一导体面， 此等势面上置一导体面 ， 并 将V内电荷都搬到导体上所产 内电荷都搬到导体上所产 生的电势完全一样。 生的电势完全一样。 （2）相反，带电导体所产生 ）相反， 的电势也可以用导体面内一 定等效电荷分布来代替， 定等效电荷分布来代替 ， 只 要它产生与导体表面完全重 合的等势面。 合的等势面。
ϕ R =0
0
R=R0
R=R0
2 2 Q2 (R0 + b2 ) − 2Q2R0b cosθ = Q′2 (R0 + a2 ) − 2Q′2R0a cosθ
因 θ任意的
′2 a Q b =Q
2
2 2 Q2 (R0 + b2 ) = Q′2 (R0 + a2 )
2 R0 解得 ① b = a
②
b=a
Q′ = ±Q