弯曲应力正应力
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
梁的弯曲正应力实验报告
梁的弯曲正应力实验报告梁的弯曲正应力实验报告引言：弯曲是一种常见的力学现象，广泛应用于工程和建筑领域。
梁是一种常见的结构，在受到外力作用时会发生弯曲变形。
为了研究梁的弯曲行为，本实验通过对梁进行弯曲试验，测量梁上的正应力分布，以便了解梁的强度和稳定性。
实验目的：1. 通过实验测量梁上的正应力分布，了解梁的弯曲行为；2. 分析梁的弯曲现象对梁的强度和稳定性的影响；3. 探究不同材料和截面形状对梁的弯曲正应力分布的影响。
实验原理：当一根梁受到外力作用时，梁会发生弯曲变形。
在梁的顶部和底部，会出现正应力和负应力。
本实验主要关注梁上的正应力分布。
根据梁的弯曲理论，梁上的正应力与梁的截面形状、材料性质、外力大小和位置等因素有关。
实验装置和步骤：实验装置包括一根长梁、测力计、测量仪器等。
具体步骤如下：1. 将长梁固定在实验台上，确保梁的两端支持牢固；2. 在梁上设置几个不同位置的测力计，用于测量梁上的正应力；3. 施加外力于梁上，使其发生弯曲变形；4. 通过测力计测量梁上各位置的正应力，并记录数据；5. 根据实验数据，绘制梁上的正应力分布曲线。
实验结果与分析：根据实验数据，我们可以得出梁上的正应力分布曲线。
通常情况下，梁上的正应力分布呈现出一定的规律性。
在梁的顶部和底部，正应力较大，逐渐向中间递减，最终趋近于零。
这是因为在梁的顶部和底部，受力较大，产生了较大的正应力；而在梁的中间，受力相对较小，正应力逐渐减小。
实验中还可以观察到不同材料和截面形状对梁的弯曲正应力分布的影响。
例如，对比不同材料的梁，我们可以发现不同材料的梁上的正应力分布曲线有所差异。
这是因为不同材料的梁具有不同的弹性模量和抗弯强度，从而导致不同的正应力分布。
此外，梁的截面形状也对梁的弯曲正应力分布有影响。
例如，对比矩形截面和圆形截面的梁，我们可以发现矩形截面的梁上的正应力分布曲线相对均匀，而圆形截面的梁上的正应力分布曲线则呈现出较大的集中度。
弯曲正应力实验报告
浙江大学材料力学实验报告（实验项目：弯曲正应力）一、实验目的：1、初步掌握电测方法和多点测量技术。
；2、测定梁在纯弯和横力弯曲下的弯曲正应力及其分布规律。
二、设备及试样：1. 电子万能试验机或简易加载设备；2. 电阻应变仪及预调平衡箱；3. 进行截面钢梁。
三、实验原理和方法：1、载荷P 作用下，在梁的中部为纯弯曲，弯矩为1M=2Pa 。
在左右两端长为a 的部分内为横力弯曲，弯矩为11=()2M P a c -。
在梁的前后两个侧面上，沿梁的横截面高度，每隔4h贴上平行于轴线上的应变片。
温度补偿块要放置在横梁附近。
对第一个待测应变片联同温度补偿片按半桥接线。
测出载荷作用下各待测点的应变ε，由胡克定律知E σε=另一方面，由弯曲公式MyIσ=，又可算出各点应力的理论值。
于是可将实测值和理论值进行比较。
2、加载时分五级加载，0F =1000N ，F ∆=1000N ，max F =5000N ，缷载时进行检查，若应变差值基本相等，则可用于计算应力，否则检查原因进行复测(实验仪器中应变ε的单位是610-)。
3、实测应力计算时，采用1000F N ∆=时平均应变增量im ε∆计算应力，即i im E σε∆=∆ ,同一高度的两个取平均。
实测应力，理论应力精确到小数点后两位。
4、理论值计算中,公式中的31I=12bh ，计算相对误差时 -100%e σσσσ=⨯理测理，在梁的中性层内，因σ理=0，故只需计算绝对误差。
四、数据处理1、实验参数记录与计算：b=20mm, h=40mm, l=600mm, a=200mm, c=30mm, E=206GPa, P=1000N ∆, max P 5000N =, k=2.193-641I==0.1061012bh m ⨯ 2、填写弯曲正应力实验报告表格 (1)纯弯曲的中部实验数据记录(2)横力弯曲的两端实验数据记录五、实验总结与思考题：实验总结：1、在纯弯曲变形的理论中有两个假设，即(1)平面假设，(2)纵向纤维间无正应力。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
梁的纯弯曲正应力实验
梁的纯弯曲正应力实验
工作片
R1
B
A
R2 温度补偿片 C 固定电阻
相同应变片R1.R2，R1贴 在构件受力处，R2贴在附 近不受力处，环境温度对 R1.R2引起的阻值变化相 同，为DRT，则
R4
R3
D
梁的纯弯曲正应力实验
五、实验数据的记录与计算
梁的纯弯曲正应力实验
六、注意事项
1.加载时要缓慢, 防止冲击。 2.读取应变值时, 应保持载荷稳定。 3.各引线的接线柱必须拧紧, 测量过程中不要触动引线, 以 免引起测量误差。
梁的纯弯曲正应力实验
一、实验目的
1．测定纯弯曲下矩形截面梁横截面上正应力的 分布规律，并与理论值比较；
2．熟悉电测法基本原理和电阻应变仪的使用。 二、实验仪器 1．纯弯曲试验装置；
2．YD-15型静态数字电阻应变仪。
梁的纯弯曲正应力实验
三、试验原理
1. 结构示意图及理论值计算
b hz
y
F/2 a
F/2
DR1 R1
-
DR2 R2
DR3 R3
-
DR4 R4
)
E 4
K
(
1
-
2
3
-
4
)
梁的纯弯曲正应力实验
4.电桥接法及温度补偿 1．电桥接法: 全桥接法(四个电阻均为应变片)；
半桥接法(R1、R2为应变片， R3.R4为固定电阻)
两种接法中的应变片型号、阻值尽可能相同 或接近, 固定电阻与应变片阻值也应接近。
F F/2
ma m
FQ +
实验六纯弯曲梁正应力的测定一、实验目的二、实验仪器
实验六 纯弯曲梁正应力的测定一、实验目的1. 初步掌握电测法的基本原理和方法。
2. 测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律；验证纯弯曲梁的正应力计算公式。
二、实验仪器、设备和工具1、组合实验台纯弯曲梁实验装置。
2、静态电阻应变仪。
3、游标卡尺、钢板尺。
三、实验原理梁受纯弯曲时，纯弯曲正应力计算公式为：ZI My=σ式中：M－弯矩－横截面对中性轴的惯矩Z I y－所求应力点到中性轴的距离由上述可知，梁在纯弯曲时，各点处的正应力沿横截面高度按直线规律分布。
如将电阻应变计粘贴在距中性层不等的位置上（见图），测得纯弯曲时沿横截面高度各点的纵向应变ε。
根据理论推导可知，各纵向纤维层只受简单拉伸或压缩，由单向应力状态的虎克定律εσE =，可求出各点处的实验应力实σ。
要测纯弯曲梁沿截面高度各点的应变值，可采用温补半桥组桥方法，见电阻应变片各种接桥方法(1)。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷，测出各点的应变增量P ΔεΔ，然后分别取各点应变增量的平均值i εΔ，记录应变仪读数并填入表中，依次求出各点的应变增量实i εΔ.实实i E εσΔ=将实测应力值实σ与理论应力值理σ进行比较，以验证弯曲正应力公式。
四、实验步骤(一)、实验准备1、 按规定位置粘贴电阻应变计，焊线、防护（己由生产厂家准备好）。
2、 制定加载方案，四级加载：20Kg、40Kg、60Kg、80Kg。
3、 接通传感器和负荷显示器及电阻应变仪，预热10分钟。
4、 记录梁的截面尺寸，载荷作用点到支点距离及各应变计的位置。
见附表15、 加初载荷0P （一般取0P ＝10%max P 左右）估算max P ，记下初读数。
(二)、进行实验1、 均匀缓慢加载到初载荷0P ，记下各点应变的初始读数：后分级等量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值仪i ε，直到最终载荷。
实验至少重复两次。
见附表2 2、 按力值对照表分四级加载。
3、 做完实验后，卸掉载荷，仪器复原。
纯弯曲正应力分布实验报告
纯弯曲正应力分布实验报告篇一：弯曲正应力实验报告一、实验目的1、用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律；2、验证纯弯曲梁的正应力计算公式。
3、初步掌握电测方法，掌握1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法，并且对试验结果及误差进行比较。
二、实验仪器和设备1、多功能组合实验装置一台；2、TS3860型静态数字应变仪一台；3、纯弯曲实验梁一根。
4、温度补偿块一块。
三、实验原理和方法弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比μ=。
用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。
根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：??My Ix式中：M为弯矩；Ix为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。
实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。
当增加压力?P时，梁的四个受力点处分别增加作用力?P/2，如下图所示。
为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。
此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。
如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的虎克定律公式??E?，可求出各点处的应力实验值。
将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
σ实=Eε式中E是梁所用材料的弹性模量。
实图3-16为确定梁在载荷ΔP的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷ΔP测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε 把Δσ实与理论公式算出的应力??式中的M应按下式计算：实来依次求出各点应力。
??比较，从而验证公式的正确性，上述理论公????四、实验步骤1?Pa （3．16） 21、检查矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a，及各应变片到中性层的距离yi。
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
材料力学第五章 弯曲应力
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
第5章弯曲应力正应力
（1）轮轴为塑性材料
截面关于中性轴对称
max
M
max
Wz
弯矩 M 最大的截面
（2）危险截面：
抗弯截面系数 Wz 最小的截面；
（3）危险点
危险截面的最上、下边缘处。
（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）危险截面 B截面，C截面
M
Fb
Fb Fa
(D d )
4
D4 (1 4 )
Wz
32
D3 (1 4 )
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲 F
Fs
M FL 横截面上内力
F x x
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
横截面
不再保持为平面
且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
120
180
K
30 z
y
M C yK 60 103 60 103 K 61.7 MPa 5 IZ 5.832 10
（压应力） 4 C 截面上最大正应力
M C ymax 60 103 90 103 Cmax 92.55MPa 5 IZ 5.832 10
My IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲; 2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。I z 7.64 106 m4 求最大拉应力、最大压应力。 9KN A 1m C 1m B 1m
4KN
52
88
zc
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置；
最大弯曲正应力公式_概述及解释说明
最大弯曲正应力公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在深入探讨最大弯曲正应力公式，对其进行概述和解释说明。
最大弯曲正应力公式是在工程领域中广泛使用的一种计算方法，用于评估材料在受到弯曲载荷作用时的应变情况。
通过该公式，可以确定材料能够承受的最大弯曲载荷，并从而进行结构设计和材料选型。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对最大弯曲正应力公式的介绍和分析：2. 最大弯曲正应力公式概述：首先，将简要介绍什么是弯曲应力和弯曲变形，并进一步阐明最大弯曲正应力的定义。
此外，我们还将重点介绍公式的推导过程及其中所做的重要假设。
3. 解释说明最大弯曲正应力公式的要点：接下来，在这一部分中，我们将阐明如何选择合适的安全系数和强度理论来使用该公式。
同时，我们还会详细解释正应力公式中各个参数的意义，并探讨其在实际工程中的应用和局限性。
4. 其他相关正应力公式讨论与比较：在本节中，我们将对其他相关的正应力公式进行讨论，并与最大弯曲正应力公式进行比较。
具体而言，我们将分析改进型公式和经验公式的优缺点，以及水平方向与垂直方向弯曲主应力的计算方法差异，并对各个公式的适用性和误差进行评估。
5. 结论：文章的最后一部分将对最大弯曲正应力公式进行总结，回顾其解释和适用性。
同时，我们还将讨论目前存在的问题，并提出未来研究方向的建议。
1.3 目的通过本文的撰写和阐述，旨在帮助读者全面了解最大弯曲正应力公式及其相关概念。
在工程实践中正确理解和运用该公式可以有效地预测材料在受到弯曲载荷作用时的行为，为设计安全可靠、经济高效的工程结构提供参考依据。
同时，通过对其他相关公式的比较和分析，读者也能够在实际工程中根据具体情况选择最合适的计算方法。
2. 最大弯曲正应力公式概述2.1 弯曲应力和弯曲变形简介在工程领域中，当物体受到外力作用时，会发生弯曲应力和弯曲变形。
弯曲应力是由于作用在物体上的外部载荷引起的，在物体断面上产生张力和压缩应力。
12弯曲正应力、切应力与强度条件
基本假设2: 纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
公式推导
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。 由平面假设可知，在梁弯曲时， 这两个横截面将相对地旋转一个 角度 d 。
d
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲） 平面假设 不再成立
此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立. 由弹性力学的理论，有结论： 当梁的长度l与横截面的高度h的比值:
l 5 h
则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应 力有足够的精度。 l / h > 5 的梁称为细长梁。
4，讨论
My IzmaFra bibliotekna
m
m
m’
n’
b m n
b
m’ n’
（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（ mm , nn 等）变形后仍 为直线（ m’m’ , n’n’ 等） ，但相对转了一个角度，且与 弯曲后的纵向线垂直。
纯弯曲的变形特征 基本假设1: 平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。
M C 2.5KN .m
M B 3KN .m
最大负弯矩在截面B上
80
RA
P1=8KN
RB
P2=3KN
35
20
A
1m
z c
1m
3
B
1m
D
80
65
20
C
B
+
2.5
B 截面
{
MB t max
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
梁的弯曲正应力实验报告
梁的弯曲正应力实验报告
一、实验目的
本实验旨在通过实验手段，探究梁在弯曲状态下的正应力分布情况，验证理论分析结果，加深对梁弯曲正应力的理解。
二、实验原理
梁的弯曲正应力是指梁在弯曲状态下，截面上的正应力分布情况。
根据弹性力学理论，梁的弯曲正应力与截面的几何形状、材料性质以及外力分布等因素有关。
本实验通过测量梁的弯曲正应力，验证相关理论。
三、实验步骤
1. 准备实验器材：包括梁试件、加载装置、应变计、测量仪器等。
2. 安装应变计：在梁试件的指定位置粘贴应变计，确保粘贴牢固。
3. 加载实验：通过加载装置对梁试件施加弯曲力，记录加载过程中的应变数据。
4. 数据处理：对实验数据进行处理，计算梁截面上的正应力分布。
5. 数据分析：将实验结果与理论分析结果进行比较，分析误差原因。
四、实验结果
通过实验测量，得到梁在弯曲状态下的正应力分布数据如下：
五、数据分析与结论
根据实验结果，我们可以看到梁在弯曲状态下，截面上的正应力分布并不均匀。
在靠近加载点的位置，正应力较大；而在远离加载点的位置，正应力逐渐减小。
这与理论分析结果一致。
同时，实验结果与理论分析结果的误差也在可接受范围内。
通过本实验，我们验证了梁在弯曲状态下的正应力分布规律，加深了对梁弯曲正应力的理解。
同时，实验结果也为我们提供了实际工程中设计梁结构的重要依据。
第五章 弯曲应力
三类条件
物理关系
静力关系
1.变形几何关系
m a
n
a
m a o b m
n a o dx
b m
dx
b n
b n
假设oo层为中性层 变形前：aa = bb = oo = dx
m M a
o b m
n a M M
d M
dx
o b n
m o
b′
n o
b′
m
n
变形后：假设中性层oo层变形后的曲率半径为，则
max
M [ ] Wz max
(2) 设计截面尺寸
(3) 计算许用载荷
M Wz [ ]
M max Wz [ ]
例2. T形截面铸铁梁，已知[σt]=30MPa,[σc]=60MPa, 试 80 校核梁的强度。
9kN
A 1m
4kN
B D 1m
20
CLeabharlann 1m120讨论： 1.横截面是绕中性轴转动。 (中性层不伸长也不缩短，中性轴是中性层与横截
面的交线 。) 上部受压
当M > 0时 下部受拉 上部受拉 下部受压
当M < 0时
讨论： 2.纵向纤维的伸长或者缩短与它到中性层的
距离成正比。
m
n′
n a
y
a
y
b m
b
中性层 n′
中性轴 横截面
n
定量分析
与圆轴扭转问题相似，弯曲问题的理论分析也 必须包含三类条件。 变形几何关系
结论： 1.横截面上只存在正应力。
(纵向线与横向线保持直角。)
2.正应力分布不是均匀的。
(纵向线中既有伸长也有缩短的。)
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
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回顾与比较
内力
应力公式及分布规律
均匀分布 F
A
线形分布 T
IP
M
?
FA
FS
?
y
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§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 强度条件 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高梁强度的措施
中性轴的特点： 平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴； 它与外力作用面垂直； 中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
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观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释 P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
第16页/共66页
托架开孔合理吗？
max
Mym a x Iz
M I z / ymax
Wz
Iz ym a x
——截面的抗弯截面系数；。
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
max
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
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现代梁分析理论与伽利略结论对比
科学家与时代同步 伽利略时代钢铁没有出现 但他开辟了理论与实践 计算构件的新途径。 是“实验力学”的奠基 人
2.5103 88103 7.64 106
28.8MPa
4KNm 52 zc
（3）结论 c,max 46.1MPa t,max 28.8MPa
88
第34页/共66页
例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用
q=60KN/m
A
B
1m C
3m
180
120
30 K
z
1 C 截面上K点正应力
y
2 C 截面上最大正应力
变形几何关系
第7页/共66页
第8页/共66页
纵向线的长度 两横截面的夹角
纵向线 横向线
由直线
曲线
由直线
直线
相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。
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平面假设
变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
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纵向纤维之间有无相互作用力
假设：纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
A
M z y dA M
坐标轴是主轴
A
1 M 中性层的曲率计算公式 EIz 抗弯刚度
EIZ
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弯曲正应力计算公式
变形几何关系
y
物理关系 E E y
静力学关系
1M
EIZ
正应力公式
My
IZ
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弯曲正应力计算公式 My
IZ
第24页/共66页
横截面上最大弯曲正应力
3 全梁上最大正应力
4 已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
第35页/共66页
180
1 截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
E
E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
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弯曲正应力的分布规律
第21页/共66页
静力学关系
dA FN 0
A
E y
Sz 0 中性轴过截面形心
M y z dA 0
满足工程中所需要的精度。
横力弯曲最大正应力
max
Mymax Iz
第30页/共66页
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力公式 My
IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲; 2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
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例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。Iz 7.64106 m4 求最大拉应力、最大压应力。
第11页/共66页
观察纵向纤维的变化
在正弯矩的作用下， 凹入一侧纤维缩短；凸出一侧纤维伸长。
第12页/共66页
中性层
ΔL<0
ΔL>0
中性层 －－纤维长度不变
ΔL=0 既不伸长也不缩短
第13页/共66页
中性轴
中性轴上各点 σ=0 各横截面绕 中性轴发生偏转。 中性轴的位置 过截面形心
第14页/共66页
第28页/共66页
横力弯曲时的横截面
横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
第29页/共66页
横力弯曲正应力
纯弯曲正应力公式 My
IZ
弹性力学精确分析表明：
对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > > 5的细长梁，
用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力， 误差<<2%
第17页/共66页
理论分析
y
z
两直线间的距离
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。
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公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
第19页/共66页
物理关系
当σ<σP时
虎克定律
弯曲正应力的分布规律
9KN
A
C
1m 1m
4KN B
1m
52 zc
88
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置； 作弯矩图，寻找最大弯矩的截面 计算最大拉应力、最大压应力
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9KN 4KN
A
CB
FA
1m 1m
1m
2.5KNm FB
M
（1）求支反力，作弯矩图 FA=2.5KN （2）计算应力： B截面应力分布
第3页/共66页
纯弯曲
§5-1 纯弯曲
Fs
F
F
M
Fa
Fa梁段CD 纯弯曲来自梁段AC和BD 横力弯曲
第4页/共66页
纯弯曲实例
第5页/共66页
§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
变形几何关系
物理关系 静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
第6页/共66页
第26页/共66页
常见图形的惯性矩及抗弯截面系数
z hb
d z
D dz
Iz
1 bh3 12
Wz
1 bh2 6
Iz
d4
64
Wz
32
d3
Iz
(D4
64
d4)
D4 (1 4 )
64
Wz
32
D3(1 4 )
第27页/共66页
横力弯曲
§5-3 横力弯曲时的正应力
F
Fs
F
x
M x
FL 横截面上内力 剪力+弯矩 横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
4KNm 52 zc
88
应用公式 My
Iz
t,max
4103 52103 7.64 106
27.2MPa
c,max
4103 88103 7.64 106
46.1MPa
第33页/共66页
9KN
A FA 1m M
CB
1m
F1Bm
2.5KNm
4KN C截面应力计算
应用公式
My
Iz
t,max