《两角差的余弦公式》三角函数PPT优秀课件
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两角差的余弦公式PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
16
1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
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2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
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37
2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
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③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
13
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14
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
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19
(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，
两角差的余弦公式-PPT课件
2
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150°，210°，315°等角的 三角函数值.我们希望再引进一些公式， 能够求更多的非特殊角的三角函数值， 同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150°，210°，315°等角的 三角函数值.我们希望再引进一些公式， 能够求更多的非特殊角的三角函数值， 同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
人教版新课程第三章高中数学两角差的余弦公式(共19张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
变式2：求 1 cos15+ 3 sin15 的值.
2
2
例
思路分析： 比较已知的角与所求的角之间的关系，
注意构造角以及研究角的范围.
变式训练
已知 cos(600)1,00900,
10
求 cos,sin
思考
对于两角差的余弦公式，适当
变换两角的形式，例如将 换
成 ,或将 换成 ,你能得
到哪些结论？
新人教A版 数学必修4 第三章 三角恒等变换
复习引入
三角函数 sin 30 sin 45 sin 60
《两角差的余弦公式》高一年级下册PPT课件
老师：XXX
中和反发生中和反应生成1molH2O(l), 这时的反应热叫做中和热。 2. 单位: KJ/mol
酸碱中和反应 放热
3. 注意 ①必须是稀溶液,如浓硫酸稀释或NaOH固体溶解时放热； ②强酸和强碱反应 ③标准:生成1molH2O(l)放出的热量.
已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误
5
10
典例 4 已知 α，β 均为锐角，且 sinα＝ 5 ，cosβ＝ 10 ，则 α－β＝
____________.
5
25
[错解] ∵α 为锐角，sinα＝ 5 ，∴cosα＝ 5 .
10
3 10
又 β 为锐角，cosβ＝ 10 ，∴sinβ＝ 10 .
2 5 10 5 3 10 2 ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 .
[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用
口诀“余余正正符号相反”记忆公式．
第三章 三角恒等变换
(2)公式的适用条件：
α＋β 公式中的 α，β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如 cos( 2
α－β
α＋β
23 (3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°· cos30°＋sin45°· sin30°＝ 2 × 2
2 1 6＋ 2 ＋ 2 ×2＝ 4 .
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
中和反发生中和反应生成1molH2O(l), 这时的反应热叫做中和热。 2. 单位: KJ/mol
酸碱中和反应 放热
3. 注意 ①必须是稀溶液,如浓硫酸稀释或NaOH固体溶解时放热； ②强酸和强碱反应 ③标准:生成1molH2O(l)放出的热量.
已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误
5
10
典例 4 已知 α，β 均为锐角，且 sinα＝ 5 ，cosβ＝ 10 ，则 α－β＝
____________.
5
25
[错解] ∵α 为锐角，sinα＝ 5 ，∴cosα＝ 5 .
10
3 10
又 β 为锐角，cosβ＝ 10 ，∴sinβ＝ 10 .
2 5 10 5 3 10 2 ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 .
[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用
口诀“余余正正符号相反”记忆公式．
第三章 三角恒等变换
(2)公式的适用条件：
α＋β 公式中的 α，β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如 cos( 2
α－β
α＋β
23 (3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°· cos30°＋sin45°· sin30°＝ 2 × 2
2 1 6＋ 2 ＋ 2 ×2＝ 4 .
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
人教版高中数学第三章1两角差的余弦公式(共17张PPT)教育课件
2
2
15
课 堂
1、
已
知
cos＝
－
5， 13
，3 2
，
则
练 习
cos
＋
6
的
值
是
＿
＿
＿
＿
；
2 、c o s 2 1 5 - s i n 2 1 5 _ _ _ _ _ _ _ ；
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
3.1.1两角差的余弦公式课件
0
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
3.1.1两角差的余弦公式PPT
π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.
5.5.1第一课时两角差的余弦公式课件(人教版)
( − ) = −，
( − 2) = ��
公式推导
我们在研究如何求三角函数值都用到了哪些知识？
三角函数的定义、单位圆、圆的对称性
是否能用同样的方法来研究( − )与, , , 之
间的关系呢？
探究新知
利用三角函数定义，作如图：
所以 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
5
3
12
4
33
= -13 ×5 + 13 × 5 = 65.
= 3.
知识梳理
π
π
π
5. 因为 0<α< ,0<β< ,α<β,
2
2
所以 sin(α-β)=-
5
所以 -2 <α-β<0. 又 cos(α-β)= 5 ,
的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利
用两角差的余弦公式求解.
二、给值求值问题
题型探究
例2
3
(1)已知 sin α=5,α是第二象限角;cos
4
β= 5,β是第四象限角,求
的值;
1
3
2
5
(2)已知 sin α= ,cos(α+β)=- ,α,β均为锐角,求 cos β的值.
=-cos
3π
−
12
π
2π
=-cos
12
π
π
π
4
−
π
=-
2
×
3
2
+
2
2
×
2
=-
( − 2) = ��
公式推导
我们在研究如何求三角函数值都用到了哪些知识？
三角函数的定义、单位圆、圆的对称性
是否能用同样的方法来研究( − )与, , , 之
间的关系呢？
探究新知
利用三角函数定义，作如图：
所以 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
5
3
12
4
33
= -13 ×5 + 13 × 5 = 65.
= 3.
知识梳理
π
π
π
5. 因为 0<α< ,0<β< ,α<β,
2
2
所以 sin(α-β)=-
5
所以 -2 <α-β<0. 又 cos(α-β)= 5 ,
的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利
用两角差的余弦公式求解.
二、给值求值问题
题型探究
例2
3
(1)已知 sin α=5,α是第二象限角;cos
4
β= 5,β是第四象限角,求
的值;
1
3
2
5
(2)已知 sin α= ,cos(α+β)=- ,α,β均为锐角,求 cos β的值.
=-cos
3π
−
12
π
2π
=-cos
12
π
π
π
4
−
π
=-
2
×
3
2
+
2
2
×
2
=-
人教A版数学必修43.两角差的余弦公式PPT课件
公式有哪些结构特征？
c o s c o sc o s s i n s i n
差角的余弦公式结构特征：两角差的余弦等 于这两个角的余弦值之积加上这两个角 的正弦值之积。
叫两角差的余弦公式，记作C ( )
特 征 : 1 . 左 边 是 复 角 , 右 边 是 单 角 ,
2 .式 中 的 ,是 任 意 角 .
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝17×1134＋47 3×3143＝12.
∴β＝π3.
变式 已知 cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且 0<β<α<π2.求 β.
解：由 cosα＝17，0<α<π2，得 sinα＝47 3. 由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11342＝3143.
答:15 3 8 34
课后练习：p137.A组T1~5
4.已 知 sin2,(,3),cos3,
3
2
4
(3,2),求 cos()的 值 .
2
先 求 : c o s ? ,s in ?
答:2 73 5 12
1 .利 用 公 式 C ( )证 明 :
y P(x, y)
(1)cos()=sin
x
2
探究1 cos（α-β）能否用向量推导？
O A c o s α , sin α
y 1
A
O B c o s β , s in β
OO A B OO AcB o s()
1 第1课时 两角差的余弦公式(共34张PPT)
解：(1) 23cos 75°＋12sin 75° ＝cos 30°cos 75°＋sin 30°sin 75°
＝cos(30°－75°)＝cos(－45°)
＝
2 2.
(2)cosπ4＋θcos θ＋sinπ4＋θsin θ ＝cos[π4＋θ－θ]＝cos π4＝ 22.
探究点 2 给值求值 (1)已知 cos α＝13，α 是第四象限角，sin β＝35，β 是第二象限角，求
2．已知 sinα＋π4＝45，且54π<α<74π，求 cos α 的值．
解：因为54π<α<74π，
所以32π<α＋π4<2π.所以 cosα＋π4>0，
所以 cosα＋π4＝ 1－sin2α＋π4＝ 1－1265＝35，
所以 cos α＝cosα＋π4－π4＝
cosα＋π4cos
π4＋sin
(变条件)若把本例(2)中的“α，β∈0，π2”改为“α，β∈π2，π”，求 cos β
的值．
解：因为 α，β∈π2，π，所以 π＜α＋β＜2π， 由 cos(α＋β)＝－6156，得 sin(α＋β)＝－6635，
又 sin α＝45， 所以 cos α＝－35， 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－6156×－53＋－6635×45 ＝－230245.
给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的 三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活 地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋2 β＋α－2 β； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
《两角差的余弦公式》课件
1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式 将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两 角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量 夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进 行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期 性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角 恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式 的几何意义，能够熟练应用公式 进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关 于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需 要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问 题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
人教版高中数学必修1《两角差的余弦公式》PPT课件
解：因为 α，β∈π2，π，所以 π<α＋β<2π，由 cos(α＋β)＝－1665，得 sin(α ＋β)＝－6635，又 sin α＝45，所以 cos α＝－35，所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665×－35＋－6635×45＝－230245.
解 ： 由 题 意 ， 得 sin B ＝ 1－cos2B ＝
1－－342 ＝
7 4
，
cos(A
＋
B)
＝
1－sin2A＋B＝ 1－232＝ 35，所以 cos A＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos
B＋sin(A＋B)sin B
＝ 35×－34＋23× 47＝2
7－3 12
5 .
试分析这位同学的解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并给出正确的解 题过程． 提示：这位同学解析错误，错误的原因是忽略了隐含条件，没有注意角的范围， 导致求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π 这个隐含条件．
3．若 α，β 为锐角，cos(α＋β)＝1123，cos(2α＋β)＝35，则 cos α＝________. 解析：因为 α，β 为锐角，所以 0<α＋β<π.又因为 cos(α＋β)＝1123，所以 0<α＋β<π2， 所以 0<2α＋β<π.又因为 cos(2α＋β)＝35，所以 0<2α＋β<π2，所以 sin(α＋β)＝153， sin(2α＋β)＝45，所以 cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋ sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1123＋45×153＝5665. 答案：5665
解 ： 由 题 意 ， 得 sin B ＝ 1－cos2B ＝
1－－342 ＝
7 4
，
cos(A
＋
B)
＝
1－sin2A＋B＝ 1－232＝ 35，所以 cos A＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos
B＋sin(A＋B)sin B
＝ 35×－34＋23× 47＝2
7－3 12
5 .
试分析这位同学的解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并给出正确的解 题过程． 提示：这位同学解析错误，错误的原因是忽略了隐含条件，没有注意角的范围， 导致求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π 这个隐含条件．
3．若 α，β 为锐角，cos(α＋β)＝1123，cos(2α＋β)＝35，则 cos α＝________. 解析：因为 α，β 为锐角，所以 0<α＋β<π.又因为 cos(α＋β)＝1123，所以 0<α＋β<π2， 所以 0<2α＋β<π.又因为 cos(2α＋β)＝35，所以 0<2α＋β<π2，所以 sin(α＋β)＝153， sin(2α＋β)＝45，所以 cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋ sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1123＋45×153＝5665. 答案：5665