几何模型：一线三等角模型
中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型
相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。
一线三等角模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角类型一：一线三直角模型如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP ∽△BP D ．321DBPAC 模型介绍类型二：一线三锐角与一线三钝角模型如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BP D．证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CP A，∠C＝180°－∠1－∠CP A，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BP D．（证明同锐角）【解题关键】构造相似或全等三角形.考点一：一线三等角直角模型【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD的面积为cm2．3CDBPA231DBPAC例题精讲➢变式训练【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（，3），（﹣，4）B．（，3），（﹣，4）C．（，），（﹣，4）D．（，），（﹣，4）【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（）A．B．C．D．考点二：一线三等角锐角或钝角模型【例2】．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于（）A．1B．2C．3D．4➢变式训练【变式2-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为．【变式2-2】．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是．【变式2-3】．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF ＝90°．（1）求证：＝；（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如图2，若∠AFE＝45°，求的值．实战演练1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（）A．B．C．D．3.如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．13B.617C．√55D.√10104．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（）A．B．C．D．5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（）A．B．C．2D．36．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的面积，则只需知道（）A．△ABC的面积B．△BFG的面积C．四边形AFGH的周长D．△BDE的面积7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．8．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（）A．B．C．D．19．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB 于点E，则EB的长为．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为．11．已知反比例函数y＝，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y＝上找出一点P，使∠POE＝45°，则此点P的坐标为．12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若，＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．14．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．（1）若∠AED＝30°，则∠ADB＝°．（2）求证：△BED≌△CDF．（3）点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为．A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大15．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．16．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长（用含m的代数式表示）；（2）当2≤m≤4时，抛物线过点（a，b）和（a+5，b），求a的取值范围；（3）如图，在y轴上有一点P（0，3），当∠APB＝∠ABC时，求m的值．。
一线三等角模型结论及证明
一线三等角模型结论及证明
摘要
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。
一、定义
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
二、结论
一线三等角模型的结论如下：
1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。
2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。
三、证明
1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有
α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。
2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。
四、实际应用
一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。
结论
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，
它们的夹角均为120度。
本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
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模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
初三相似三角形几何模型-一线三等角
相似三角形几何模型——一线三等角【模型讲解】模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD模型二：一线三等角图三 图四 ;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACEα∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD（3）当C 为BD 中点时，∽∽【典型例题】1.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△EDF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC 的长为_______．2．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.3．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD 绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求∠PBE的度数；（2）若△PFD∽△BFP，求APAB的值.4．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，CE=4，则DE的长为______．5.如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，BD BE ⊥，AD BC =．若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连结DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 于点Q ．（1）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值； （2）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）6．如图，在ABC △中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE △是等腰三角形，求此时BD 的长．。
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
一线三等角模型
几何模型04——一线三等角一、一线三等角（45度）基本图形：例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA ＝∠ABO，求m的值．解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CP A＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CP A＝∠ABO＝45°，所以∠BP A+∠OPC＝∠BAP+∠BP A＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则∠PCD∠∠APB，所以＝，即＝，解得m＝12．例2.如图，∠ABC中，AB＝3，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt∠ADE，点D在BC上，点E在AC上，若CE＝2，求CD的长解：过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，过点E作EG∠CD，∠∠B＝∠ADE＝45°，∠∠BAD＝∠EDF，∠∠ABD∠∠DFE，∠，∠∠ADE是等腰直角三角形，∠DE＝AD，∠AB＝3，∠DF＝3，∠∠EFD＝45°，∠AED＝45°，∠∠EFC＝∠DEC＝135°，∠∠EFC∠∠DEC，∠，∠EC＝2，∠EC2＝FC•CD＝FC•（3+FC），∠（2）2＝FC（3+FC），∠FC2+3FC﹣20＝0，解得：FC＝﹣5（舍）或2．∠CD＝DF+FC＝2+3＝5练习1.已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB ＝45°，求OC提示：练习2.如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，求点P的坐标．二、一线三等角（60度）基本图形：例3.如图，正∠ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，∠APD＝60°，BP＝1，2D3C ，则∠ABC的边长为．解：设∠ABC的边长为x，∠∠ABC是等边三角形，∠∠DCP＝∠PBA＝60°．∠∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°，∠∠BAP＝∠CPD．∠∠ABP∠∠CPD．∠，∠＝．∠x＝3．即∠ABC的边长为3．练习3.如图，∠ABC为等边三角形，D是BC边上一点，在AC边上取一点F，使CF＝BD，在AB上取一点E，使BE＝DC，则∠EDF＝．三、一线三垂直基本图形：例4.（1）如图1，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC∠BC，点A（0，3），C（1，0），求点B的坐标；（2）如图2，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC∠BC，点A（﹣1，0），C（1，3），求点B的坐标；（3）如图3，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝AB，AC∠AB，点B（2，2），C （4，﹣2），求点A的坐标．解：（1）如图，作BD∠x轴于D点，∠BD∠x轴于D点，∠∠AOC＝∠CDB＝90°，∠∠ACB＝90°，∠∠ACO+∠BCD＝90°，∠∠ACO+∠OAC＝90°，∠∠OAC＝∠BCD，在∠AOC和∠CDB中，，∠∠AOC∠∠CDB（AAS），∠CD＝AO，OC＝BD，∠点C（1，0），A（0，3），∠OC＝1，BD＝1，CD＝3，∠OD＝4，∠点B的坐标为（4，1）；（2）如图2，过点C作直线l∠x轴，作AE∠l于E，BF∠l于F，∠∠ACB是等腰直角三角形，∠AC＝BC，∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°，∠∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，∠∠EAC＝∠BCF，在∠AEC和∠CFB中，，∠∠AEC∠∠CFB（AAS），∠AE＝CF＝3，BF＝EC＝2，∠EF＝5，∠点B的坐标为（4，1）；（3）如图3，过点A作直线l∠y轴，过点B作BE∠l于点E，过点C作CF∠l 于点F∠BE∠l，CF∠l，∠∠BEA＝∠CF A＝90°＝∠BAC，∠∠BAE+∠CAF＝90°＝∠BAE+∠ABE，∠∠ABE＝∠CAF，在∠ABE和∠CAF中，，∠∠ABE∠∠CAF（AAS），∠BE＝AF，CF＝BE，设点A（m，n），∠点B（2，2），C（4，﹣2），∠2﹣n＝4﹣m，n+2＝2﹣m，∠m＝1，n＝﹣1，∠点A的坐标为（1，﹣1）练习4.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米例5.已知直线l1：y＝﹣x+4与x、y轴分别交于点A、B，直线l2过点B，且与l1的夹角等于45°，如图2，求直线l2的函数表达式．解：由y＝﹣x+4得，OB＝4，OA＝3，作∠BAC＝90°，交l2于C，作CD∠OA于D，∠∠ABC＝45°，∠可得∠BAC是等腰直角三角形，由上知：∠AOB∠∠CDA，∠AD＝OB＝4，CD＝OA＝3，∠OD＝OA+AD＝7，∠C（7，3），设l2的解析式是：y＝kx+b，∠，∠，∠y＝﹣x+4，练习5.如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标．练习6.如图，在∠ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∠l2∠l3，l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离等于2，且l1、l2、l3分别经过点A、B、C，则边AC的长为．练习7.如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ∠EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为（）A．6 B．2C．3 D．4例6.如图，直角梯形ABCD中，AD∠BC，AB∠BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC 绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，求∠ADE的面积解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，∠∠EDF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠CDG＝90°，∠∠EDF＝∠CDG，又∠∠EFD＝∠CGD＝90°，DE＝DC，∠∠EDF∠∠CDG（AAS），∠EF＝CG，∠CG＝BC﹣BG＝5﹣3＝2，∠EF＝2，∠S∠ADE＝×AD×EF＝×3×2＝3．练习8.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B 三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是．练习8.已知，如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE∠AD 于E，若CE＝2，则S∠BEC＝．例6.如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，求点C的坐标解：如图，过B作BF∠AC于F，过F作FD∠y轴于D，过A作AE∠DF于E，则∠ABF为等腰直角三角形，易得∠AEF∠∠FDB，设BD＝a，则EF＝a，∠点A（2，3）和点B（0，2），∠DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∠AE+OD＝3，∠2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∠F（，），设直线AF的解析式为y＝k'x+b，则，解得，∠y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∠C（﹣1，﹣6），练习9.如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为．练习10.如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3过点A（1，0），B（0，﹣3），与x轴交于另一点C．若在第三象限的抛物线上存在点P，使∠PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；解：过点P作PD∠y轴，垂足为D，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∠点C（﹣3，0），∠B（0，﹣3），∠∠BOC为等腰直角三角形，∠∠CBO＝45°，∠PB∠BC，∠∠PBD＝45°，∠PD＝BD．∠可设点P（x，﹣3+x），则有﹣3+x＝x2+2x﹣3，∠x＝﹣1，∠P点坐标为（﹣1，﹣4）；四、一线三等角（普通角度）例7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tan∠APC＝，设点P的横坐标为t，∠ABC的面积为S，求S与t的函数关系；解：过点A作EA∠AB交PC于点E，过E点作EG∠y轴，垂足为G，过点P作PF∠y轴，垂足为F，∠∠P AE＝90°，∠∠P AF+∠EAG＝90°，∠∠P AF+∠APF＝90°，∠∠APF＝∠EAG，∠∠EGA＝∠AFP＝90°，∠∠AEG∠∠P AF，∠tan∠APC＝，∠＝＝，设P（t，），则PF＝﹣t，AF＝﹣，∠AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∠点A的坐标为：（0，2），∠E（），设PE的解析式为：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∠C（0，2﹣），∠AC＝2﹣﹣2＝﹣，∠BO＝4，∠S＝＝﹣t，练习11.如图，在∠ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C 重合），点D，F分别在边AB，AC上，且满足∠DEF＝∠B．（1）求证：∠BDE∠∠CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．五、课后练习1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF．已知AG∠GF，AC＝，则AB的长为（）A．B．2B．C．D．2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME∠AM，ME交AD的延长线于点E，若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（）A．B．18B．C．D．3.如图所示，已知∠ABC中，∠BAC＝45°，AD∠BC于D，BD＝2，CD＝3，试求AD的长．4.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC 与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是．5.在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O 作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．如图，当点A 的横坐标为﹣时，则点B的坐标为．6.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．7.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，连OD，求∠AOD的度数；。
中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，2AB AC ==，分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFCS △． 【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆= 【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒， 即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出225AC AE CE =+=，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△2sin 212AD BD AB DAB ==⨯∠=⨯=，2sin 212AE CE AC EAC ==⨯∠=⨯=，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：225AC AE CE =+=，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为()1,3，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】①△BDF ；②△CFD ；③3；（2）(31)-，（3）2cm【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED △△BDF ；②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE △△CFD ；③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE △△BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE △△OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE △△CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．【详解】①△△ABC 是等腰直角三角形，△C =90゜△△A =△B =45゜△△BDF +△BFD =180゜−△B =135゜△△EDF =45゜△△ADE +△BDF =180゜−△EDF =135゜△△ADE =△BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AEBD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED △△BDF (AAS ) 答案为：△BDF ； ②△△ABC 是等边三角形△△B =△C =60゜△△BDE +△BED =180゜−△B =120゜△△EDF =60゜△△BDE +△CDF =180゜−△EDF =120゜△△BED =△CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△CFD (AAS )故答案为：△CFD ； ③△四边形ABCD 是正方形△△ABC =90゜，AB =BC△△ABE +△CBF =180゜−△ABC =90゜△AE △l ，CF △l △△AEB =△CFB =90゜△△ABE +△EAB =90゜△△EAB =△CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△BCF (AAS ) △AE =BF =1，BE =CF =2△EF =BE +BF =2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示△四边形OABC 是正方形△△AOC =90゜，AO =OC△△COE +△AOD =180゜−△ACO =90゜△AD △x 轴，CE △x 轴△△CEO =△ADO =90゜△△ECO +△COE =90゜△△ECO =△AOD在△COE 和△OAD 中CEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△COE △△OAD (AAS )△CE =OD ，OE =AD △(1,3)A △OD =1，3AD =△CE =1，3OE =△点C 在第二象限△点C 的坐标为(31)-，故答案为：(31)-，； （3）△△ACB =90゜△△BCE +△ACD =90゜△BE △CE ，AD △CE △△CEB =△ADC =90゜△△BCE +△CBE =90゜ △△CBE =△ACD在△BCE 和△CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BCE △△CAD (AAS ) △BE =CD ，CE =AD =6cm △BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．【答案】(1)2，45° (2)成立，理由见解析(3)N 点运动的路径长为6，CN 的最小值为3【分析】（1）证明△AMN 是等腰直角三角形，可得结论．（2）结论不变．连接AM ，AN ，证明△BAD △△MAN ，可得结论．（3）利用三角形中位线定理，垂线段最短解决问题即可．(1)解：如图1中，当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，△△CAD =△ADE =45°，△AC △DE ，△AC 平分DE ，△点N 落在AC 上，△BM =AM =2MN ，△NMC =45°，△BD MN=2，故答案为：2，45°． (2)解：如图2中，连接AM ，AN ．△AB =AC ，△BAC =90°，BM =CM ，△AM △MC ，AM =BM =CM ，△AB =2AM ，同法可证AD =2AN ，△△BAM =△DAN =45°，△△BAD =△MAN ，△AB AM =AD AN ，△△BAD △△MAN ，△BD MN =AB AM=2，△ABD =△AMN =45°．(3)解：如图3中，当D 在线段BC 上，从B 运动到C 时，由（2）问可知，△AMN =45°，所以点N 的运动路径是图3中的线段MN ，MN =12BE =6．当CN △MN 时，CN 的值最小，最小值=12AC =3．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，22AB =，45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由△DPC =△A =B =90°，可得△ADP ＝△BPC ，即可证到△ADP ∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由△DPC ＝△A ＝△B ＝α，可得△ADP =△BPC ，即可证到△ADP∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD ∽△DFE ，求出DF =4，再证△EFC ∽△DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，△△DPC =△A =△B =90°，△△ADP ＋△APD =90°，△BPC ＋△APD = 90°，△△ADP = △BPC ，△△ADP ∽△BPC ，AD AP BP BC∴=，△AD ⋅BC = AP ⋅BP ， （2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC ∴=，△AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=，ADE 是等腰直角三角形，2DE AD ∴=，22AB =，4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD ∴=， 5EC =,4CD DF FC FC =+=+，()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=，1FC ∴=，5CD ∴=． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②35DE =+或35DE =-【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，225AM AB BM =+=．△AGGM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM=， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =． （求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB ==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得35y =+或35-． △0356<+<，0356<-<，△35DE =+或35DE =-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒△HL BC ⊥，△90B CLH ∠=∠=︒，△90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒，△DCB CHL ∠=∠，在DCB 和CHL △中，B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DCB CHL ≌△△，△BC HL =，EK LH =， （3）解：过E 作EM BC ⊥与M ，过H 作HN BC ⊥与N ，△四边形ACEF 是矩形，△90ACE ∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECM ∠=∠，△ACB ECM ∽△△，△BC AC k EM CE==，△BC kEM =， 同理：BCD NHC ∽△△，△BC CD k HN CH==，△BC kHN =，△EM HN =， 在NHT △和EMT △中，HNT EMT NTH MTE HN EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△NHT EMT ≌△△，△ET HT =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，矩形的性质，余角的性质，（3）证明ACB ECM ∽△△，BCD NHC ∽△△是解题的关键．3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC △△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC △△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+ 【分析】（1）由同角的余角相等可得△BCE =△DAC ，且△ADC =△BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON △OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME △x 轴NF △x 轴，由（1）的结论可得： △NFO △△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO== ，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，△△ACB ＝90°，△△ACD +△BCE ＝90°，又△△ADC ＝90°，△△ACD +△DAC ＝90°，△△BCE ＝△DAC ，且△ADC ＝△BEC ＝90°，△△ADC △△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON △OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME △x 轴，NF △x 轴，由（1）可得：△NFO △△OEM ，△NF OF NO OE ME MO==，△点M （2，1），△OE ＝2，ME ＝1， △tanα＝ON OM ＝32，△3212NF OF ==，△NF ＝3，OF ＝32 ，△点N （32-，3）， △设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，△12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩△47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157； (3)解：当△CDP ＝90°时，如图，过点P 作PH △BC ，交BC 延长线于点H ，△△ADC +△CDP ＝180°，△点A ，点D ，点P 三点共线，△△BAP ＝△B ＝△H ＝90°，△四边形ABHP 是矩形，△AB ＝PH ＝4，△将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，△AE ＝EP ，△AEP ＝90°，△△AEB +△PEH ＝90°，且△BAE +△AEB ＝90°，△△BAE ＝△PEH ，且△B ＝△H ＝90°，AE ＝EP ，△△ABE △△EHP （AAS ），△BE ＝PH ＝4，当△CPD ＝90°时，如图，过点P 作PH △BC ，交BC 延长线于点H ，延长HP 交AD 的延长线于N ，则四边形CDNH 是矩形，△CD ＝NH ＝4，DN ＝CH ，设BE ＝x ，则EC ＝5-x ，△将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，△AE ＝EP ，△AEP ＝90°，△△AEB +△PEH ＝90°，且△BAE +△AEB ＝90°，△△BAE ＝△PEH ，且△B ＝△EHP ＝90°，AE ＝EP ，△△ABE △△EHP （AAS ），△PH ＝BE ＝x ，AB ＝EH ＝4，△PN ＝4-x ，CH ＝4-（5-x ）＝x -1＝DN ，△△DPC ＝90°，△△DPN +△CPH ＝90°，且△CPH +△PCH ＝90°，△△PCH ＝△DPN ，且△N ＝△CHP ＝90°，△△CPH △△PDN ，△DN NP PH CH =，△1x x -=41x x --△x ＝372± △点P 在矩形ABCD 外部，△x ＝372+，△BE ＝372+， 综上所述：当BE 的长为4或372+时，△DPC 为直角三角形． 【点睛】本题是考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（203，0）【分析】（1）先判断出△ACB=△ADC，再判断出△CAD=△BCE，进而判断出△ACD△△CBE，即可得出结论；（2）过点M作MF△y轴，垂足为F，过点N作NG△MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q作QS△PQ，交PR于S，过点S 作SH△x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：△△ACB＝90°，AD△l，△△ACB＝△ADC．△△ACE＝△ADC+△CAD，△ACE＝△ACB+△BCE，△△CAD＝△BCE，△△ADC＝△CEB＝90°，AC＝BC．△△ACD△△CBE，△CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF△y轴，垂足为F，过点N作NG△MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，△MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），△MF＝m，OF＝n，△MG＝n，NG＝m，△点N的坐标为（4，2）△42m n n m +=⎧⎨-=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩△点M 的坐标为（1，3）； （3）如图3，过点Q 作QS △PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH △x 轴于H ，对于直线y ＝﹣4x +4，由x ＝0得y ＝4，△P （0，4），△OP ＝4，由y ＝0得x ＝1，△Q （1，0），OQ ＝1，△△QPR ＝45°，△△PSQ ＝45°＝△QPS ．△PQ ＝SQ ．△由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP ． △OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝4+1＝5，SH ＝OQ ＝1．△S （5，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则451b k b =⎧⎨+=⎩，解得435b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩．△直线PR 为y ＝35x +4．由y ＝0得，x ＝203，△R （203，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB =90°，CB =CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD △ED 于D ，过B 作BE △ED 于E ．求证：△BEC △△CDA ；（2）模型应用：①已知直线AB 与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，sin△ABO =35，OB =4，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y =2x -5上的一点，若△APD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）①137y x =-+；②D （3，1）或1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：由题意可得， 90ACB ADC BEC ∠∠∠===︒ ，△90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒ ，△EBC ACD ∠=∠ ，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△BEC CDAAAS ∆∆≌（） ， （2）解：①如图，过点C 作 CD x ⊥ 轴于点D ，在Rt △ABO 中 sin△ABO 35=，OB =4， △设AO =3m ，AB =5m ，△OB =4m =4，△m =1，△AO =3，同（1）可证得CDB BOA ∆∆≌，△4CD BO == ，3BD AO ==，△437OD =+=，△74C -（，），△03A （，），设直线AC 解析式为 3y kx =+ ，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得 17k =- ， △直线AC 解析式为137y x =-+； ②设D 坐标为（x ，2x -5）,当D 在AB 的下方时，过D 作DE △y 轴于E ，交BC 于F ,同（1）可证得△ADE △△DPF ，△DF =AE =6-（2x -5）=11-2x ，DE =x,△11-2x +x =8,△x =3，△D （3，1），当D 在AB 的上方时，如图，过D 作DE △y 轴于E ，交BC 的延长线于F , 同（1）可证得ADE DPF △△≌，△DF =AE =（2x -5）-6=2x -11，DE =x ，△2x -11+x =8，△193x =，△1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上述D （3，1）或1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键． 3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠， 在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△ △CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠， 在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△ △CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积， △2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝ 180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在。
几何模型一线三等角模型知识讲解
几何模型：一线三等型模角．一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇D D C D C C BA BAP P ABP同侧锐角直角钝角D DDAP A A B P PB BC C C异侧相似篇D D C D C C BA BA P P ABP同侧钝角直角锐角D DDAP A B PB APB C C C异侧三、“一线三等角”的性质BDE.∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE.AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2.3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且D 是 BC) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用．1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。
一线三等角相似模型
在物理学中，可以利用一线三等角 相似模型来研究物理现象和规律， 如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证 明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的 方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后， 通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和 推理技巧，以及能够灵活运用已知条 件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析 法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及 灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后 推导出矛盾，从而证明结论成立的方 法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据 已知条件和反证法的原理，推导出与 已知条件相矛盾的结论；最后，根据 矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线 段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛 的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例 的多边形。
八年级全等模型第1讲一线三等角课件
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
2023年中考数学常见几何模型之一线三等角模型
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ==，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， ∵l BC ∥，∴45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴904545ABD ∠=︒−︒=︒，904545ACE ∠=−=︒︒︒，∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，∴sin 12AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 12AE CE AC EAC ==⨯∠==，∴2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE =+=+=，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ==，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， ∴155544CF AC AF =−=−=，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=F A，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠F AE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠F AE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC V 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED V ≌_______； ②如图2，ABC V 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE V ≌________； ③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−，∴DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD =，AD CE =， ∴DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，∴1150β∠=︒−，同理可得：230βα∠=︒+−；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+−=，解得30α=︒，则△ABP ∽△PCQ ；∴当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．∴当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒−=︒=，23052.5βαα∠=︒+−=︒=，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时，BDMN＝，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC V 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =求CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．BC=．点E是线段1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE V V ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM V 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =−，()142MN x =−．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =−，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =−，即有164y y −=，解得解方程即可求出DE ． (1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE V V ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC V 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====． ∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM V中，5AM =．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =−，∴()11422MN BF x ==−． ∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342xx =−，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． ∴1AF AB FB =−=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =−，∴164y y −=，解得3y =或3∵036<<，036<<，∴3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC V 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC V 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠； （2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ∠=︒，∵MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，∴90MPR NQR ∠=∠=︒，∴90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，∴PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE =，90ACE ∠=︒，∵EK BK ⊥∴90B EKC ∠=∠=︒，∴90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAC ECK ∠=∠，在ABC V 和CEK △中，BAC KCE B EKC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC CEK ≌△△，∴EK BC =，∵四边形CDGH 是正方形，∴CD CH =，90DCH ∠=︒∵HL BC ⊥，∴90B CLH ∠=∠=︒，∴90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒，∴DCB CHL ∠=∠，在DCB V 和CHL △中，B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DCB CHL ≌△△，∴BC HL =，EK LH =，（3）解：过E 作EM BC ⊥与M ，过H 作HN BC ⊥与N ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ∠=∠，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中，⎧⎪⎨3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式． (3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴NF OF NOOE ME MO==，∵点M（2，1），∴OE ，∵tanα＝ON＝3，∴NF课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝，∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x−5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D 在AB 的下方时，过D 作DE ⊥轴于E ，交BC 于F ,同（1）可证得△ADE ≌△DPF ，∴=AE =6-（2x -5）=11-2x ，DE =x,∴11-2x +x =8,∴x =3，∴D （3，1），当D 在AB 的上方时，如图，过D DE ⊥y 轴于E ，交BC 的延长线于F , 同（1）可证得ADE DPF △△≌，∴DF =AE =（2x -5）-6=2x -11，DE =x ，∴2∴19x =，∴1923,D ⎛⎫，综上述D 3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =−，证明过程见解析；(3)DE BE AD =−，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC V 中，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒， ∵AD MN ⊥，∴90ACD CAD ∠+∠=︒，∴BCE =∠∠CAD ，又∵AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=o ，∴()V V ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE =，DC BE =， ∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =−，理由如下：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ，∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =，CD BE =，∴DE CE CD AD BE =−=−；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =−，理由如下：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ，∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =，CD BE =，∴DE CD CE BE AD =−=−.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌． （3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ； （3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．∵DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，∴DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，∴BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ．∵∠1＝∠ABE ＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠3，∴∠4＝∠ABE ．∵∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠4，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）．（3）∵BED CFD BAC ∠=∠=∠∴∠ABE +∠BAE =∠F AC +∠BAE =∠F AC +∠ACF∴∠ABE =∠CAF ，∠BAE =∠ACF又AB AC =∴△ABE ≌△CAF ，∴ABE CAF S S =V V∴ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，∵2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在V ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在V ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在V ABC中，沿V ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE ＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC 与AI之间的数量关系：．∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD ∵∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，∴△ADB ∽△CEA ，∴BD AE =AB AC＝k ； （2）成立，证明如下：如图2，∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，∴∠DBA ＝∠CAE ，∵∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ∴△ADB ∽△CEA ，∴BD AE =AB AC＝k ； （3）①过点G 作GM ∥AE 交AI 的延长线于点M ，连接EM∵四边形AGFC 是矩形，∴∠GAC =90°又AH ⊥BC ∴∠AHC =90° ∴∠5+∠CAH =∠4+∠CAH =90°∴∠5=∠4∵∠BDE =∠AHB =90°∴∠2+∠BAH =∠1+∠BAH =90°∴∠2=∠1又GM ∥AE ∴∠3=∠2∴∠3=∠1∴△ABC ∽△GMA∴AC BC AB GA AM GM ==又∵12AB AC AE AG == ∴12AC BC AB AB GA AM GM AE ====∴GM =AE 又∵GM ∥AE ∴四边形AGME 是平行四边形 ∴EI =IG 故I 为EG 的中点；②由①知12BC AC AB AB AM AG GM AE ====∴BC =12AM ∵四边形AGME 是平行四边形∴AI =IM ∴AI =12AM ∴BC =AI∴线段BC 与AI 之间的数量关系为BC =AI 故答案为：BC =AI ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC V 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE V 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．）可知：AMC BNC ≌，CDE DAM DFN =∠=∠=a ，，∴32AF a =，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC P ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF V 与BGM V 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．综上所述，点E的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由. （2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y −==−，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=o ，180180BDE BED B α∴∠+∠=−∠=−o o ，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=−∠=−o o ，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠Q ，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆Q 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=o ，180120BDE BED B ∴∠+∠=−∠=o o ， 180120BDE BED B ∠+∠=−∠=o o Q ，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=o Q ，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =−=−Q ，8CF AC AF y =−=−，6CD BC BD =−=2886x x y y −∴==−，()()2868y x y x y x ⎧=−⎪∴⎨=−⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆Q 是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=o ，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=o ，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=−∠=o o ， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=o Q ，120DBE DCF ∴∠=∠=o ，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =−=−Q ，8CF AF AC y =−=−，10CD BC BD =+=，28810x x y y −∴==−，2(8)10(8)y x y x y x =−⎧∴⎨=−⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆Q .BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△． （1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线CD交于点()2,1M，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标()2,1 ∴2OE =，ME ∵3tan 2α= ∴32ON OM =解得：90∴△12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD 于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE ＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，。
(完整版)几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一。
一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K形图",“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二. 一线三等角的分类全等篇三、“一线三等角”的性质1。
一般情况下，如图3—1,由N 仁Z2=Z3，易得△AECs^BDEo2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3.中点型“一线三等角 如图3—2,当Z1=Z2=Z3,且D 是BC 中点时，△BDEs^CFDs^DFE 。
4。
“中点型一线三等角“的1如图3—4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，ZBOC 二90。
+A BAC 这是内心的^2 性质，反之未必是内心.在图3-4（右图）中，如果延长BE 与CF ，交于点P,则点D 是APEF 的旁心.图3—5其实这个第4图，延长DC 反而好理解•相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同 侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1•“一线三等角”应用的三种情况.图3-1图3-3图3-4+Ja。
图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b。
图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c・图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题。
体会:感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2。
在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段。
在DC的延檢銭上截眼匚E二J3•构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似1IJttnZAEP=aaZPFB=啦-工上则以’唾二ZPFB=a二ZAPE』所I^APAEwABPF.在CP±WCE=则曲厶斗EOunZBFD=⑶“则ZAEC-ZBFD=ZAPB•所I^APAE«ABPF・坐标系中，要讲究“线"的特殊性如图3—6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角（完整版）几何模型：一线三等角模型当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。
全等模型 —“一线三等角”
全等模型—“一线三等角”一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。
1，等腰直角三角形一线三等角模型口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中∠COB=∠DAOOB=OA（角边角）∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角），∠EAC＋∠ECA=90°，∠ABF＋∠BAF=90°，即∠ABF=∠EAC，在△ACE和△BAF中，∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF，AE=BF，EF=CE＋BF．条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角）∠EAC＋∠ECA=90°∠ABF＋∠BAF=90°即∠ABF=∠EAC在△ACE和△BAF中∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF AE=BFEF=BF－EC【典例1】：已知，如图所示，B,C,E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则不正确的结论是（）A,∠A与∠D互为余角B,∠A=∠DCEC,△ABC≌△CED D,∠ACB=∠DCE【答案】D【精准解析】由题意得因为AC⊥CD，所以∠ACD=90°，所以∠ACB＋∠DCE=90°故选择D 又因为∠B=∠E=90°所以∠A＋∠ACB=90°∠D＋∠DCE=90°∠A=∠DCE∠ACB=∠D故B正确所以∠A＋∠D=90°故A正确再根据全等三角形判定定理得：AC=CD∠B=∠E∠A=∠DCE因此最终答案是D2，“一线三等角”全等模型的拓展——同时也适用于锐角和钝角的情况条件：∠CAE=∠B=∠D，AC=AE结论：△ABC≌△EDA由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS）所以BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS），锐角和钝角的结论：BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE．【典例2】：在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，BE=CD,BD=CF,求∠EDF的度数?【答案】由题意得在△BDE和△CFD中BE=CD∠B=∠C（边角边）BD=CF所以△BDE≌△CFD∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC=180°∠BDE＋∠B＋∠BED=180°∵∠EDF=∠B又因为∠A=40°∠B=∠C根据三角形内角和得∠B=∠EDF=∠B=70°=70°因此∠EDF=∠B=70°【精准解析】根据已知条件证明△BDE≌△CFD，即ED=DF，∠EDF=∠B=∠C，因此属于一线三等角模型，已知∠A=40°，即先求∠B=∠C=70°，即可得出答案【典例3】如图，在三角形ABC中，依然有AB=AC,若点B,C位于直线l的两侧，若果∠BDA＋∠BAC=180°，∠BDA=∠AEC，求证BD=CE＋DE【答案】由题意得∵∠BDA＋∠BAC=180°∠BDA＋∠BDE=90°∴∠BAC=∠BDE又∵∠ABD＋∠BAD=∠BDE∠CAE＋∠BAD=∠BAC∴∠ABD=∠CAE在△BDA和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AEC（角角边）AB=AC所以△BDA≌△CEA即AD=CE BD=AE因此BD=CE＋DE【精准答案】首先证明△BDA≌△CEA，由此得到AD=CE BD=AE，即可得出答案。
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一线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类
全等篇
C
A P
锐角
D
A
B C
相似篇
C
A P
锐角
D
D
D C C
BA P B A P B同
侧
直角钝角
D
D
A
A P
P P B
B
C C
异侧
D D
D
C C
BA P B A P B同
侧
直角钝角
D D
D
A
B P
A
B P A
B
P
C C C
异侧
三、“一线三等角”的性质
1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.
2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.
3.中点型“一线三等角”
如图3-2 ，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“中点型一线三等角“的变式(了解)
如图3-3 ，当∠1=∠2且BOC90 1
BAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2
造“一线三等角”.
如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，
BOC 90 1
BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2
在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心.
5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）
图3-5
其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角
或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在
x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需
要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范
例1如图所示，一次函数
一个动点（不包括A、B 三角形,求点 P的坐标.
y x 4与坐标轴分别交于A、B
两端点），C是线段OB上一点，∠
两点，点P是线段
OPC=45°，若△OPC
AB上
是等腰
例2如图所示，四边形ABCD中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC于E，∠ADE=67.5°，AB=6,则CE=.
例3如图，四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC 的长.
例4如图，△ABC中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD的长.
.找出相似形，一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更
精妙比例不能少.巧设未知数，妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AC= 2AB,AD⊥AC交BC于点D，若AD= 2，求△ABC的面积
当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.
大练身手：
例7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D是线段AB上一
点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
y
B
D
E
C O A x
例8：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），
BC＝2AC，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点 P的坐标．
y
B
C
A
O x
练1：.如图，抛物线的顶点为C（－1，－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐
标为－3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐标；
（3）若点 E的坐标为（0，2），点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE ＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
B
E
A O x
C
课后作业：
如图，点 A(0,-1),B(3,0),P为直线y=-x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标
在四边形 ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.
如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：
BE+GC=3BC
如图，△ABC △DBA,且AC= 2BC,求证:CD=2AB.
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长
如图，点2），点
△A是反比例（X＞0）图形上一点，点
ABC是等边三角形时，求点A的坐标
B是
.
X轴正半轴上一点，
点
C的坐标为
（
0，
2 ＋＋
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如图，抛物线y＝ax bx4
直线l：y＝－1 7
），点P是直线l上方的抛2x＋m 经过点A，与抛物线交于另一点D（5，－2
物线上的动点，连接PC、PD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设△PCD的面积为S，请你探究：使 S的值为整数的点P共有几个，说明理由．
y
C
l
A O
B x
D
1.如图1,已知直线
y 4 x222
交于点A（3，6）. y=kx与抛物线
27 3
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线
段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果
是
,求出这个定值,如果不是,说明理由；
（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点合）,点D（m，0）是x轴正半轴上的动点,点E在线段OA上（与点O、A不重,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探
究：m 在什么范围
时,符合条件
的
E点的个数分别
是
1个、2个？
y
P
y
A
A
E
Q
N
B
O M x OD x 图1 图2
2
如图，直线AC：y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．（1）
求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标；
y y
C C
O A B x O A B x
备用图。