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2021届江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数学试卷

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江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题

江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可．{}{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D2. 已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ）A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.3. 已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.1:p a≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,pq q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B方法点睛：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=（ ）A. B. 12-C.12B根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选：B.关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是（ ）A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=，令=5r 时，25x y 的系数是56123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4615C =--，所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断．2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<，即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<，故选：B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合，则ω的值可能为（）A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，它与cos2y xω=相同，则1232kωπππ--=+，16,2k k Zω=--∈，只有C满足．故选：C．9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//EF AB，3332AB EF AD===，ADE和BCF△都是正三角形，则该五面体的体积为（）A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ AB⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ-，同理得到四棱锥E ADMN-，可得F BCGQ E ADMNV V--=，如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====，可得222OF PF OP =-=，所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=，中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=， 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选：A.求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-，3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+，,,B D C 共线，得解.因为,,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩， 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+， 因为,,B D C 共线， 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A. B.53C.D.94A根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即10e ，故选：A.关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----，设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e 时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____．10作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =⨯-=， 故答案为：10.14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____．2y =先求出切线的斜率，再求出切线的方程.详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ'--=，因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，所以()()=022f f ππ''=-，所以切线的斜率为0，又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒，故90AFM BFN ∠+∠=︒， 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=，则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-，222(1cos )NF b θ=+，2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=，即222sin 4a b θ=，所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===，所以MFN △的面积为2， 故答案：2.关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 40103π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=，在Rt ABQ △内，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ=，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQr DAQ=∠，而22,2,4QS AS DS ===，故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=，222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为12,222DM AC IM ON ====， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=，所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为：3. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（1）6n a n =-，1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-，或11d =（舍）6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==，∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭（2）13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭．思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.18. 如图，在三棱锥A BCD-中，ABD△是等边三角形，2AC=，2BC CD==，BC CD⊥，E为空间内一点，且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若2BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．（1）证明见解析；（26（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角，得面面垂直；（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ∠=-，得出各点坐标，由2BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，22OF =，6EF =，设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,,444CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．（1）22143x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅，即可求出b ，从而得解；（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由ABD △为等边三角形，则||||MD AB =，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．||0MD =-=若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========， 因此分布列为（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-，令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 8003n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()9()2()f x F x f x ex=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，对函数求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()21ln ()ax f x ax -'=， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<，()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得ex a <，()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（2）要证()0F x >，0x，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=， 令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，22()1x x x xϕ-'=-=． 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()ϕx 单调递减；所以，min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-．当00x x <<时，h(x)<0，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增．()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-， 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减， 所以，1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<，所以，()min 0m()0x m x => 因此，对任意的0x >，m()0x >，即()0F x >．方法点睛：本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用，考查导数证明不等式，考查分类讨论思想，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1. 先求出原函数的定义域；2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．（1）221(0)x y y +=≥，80x -=；（2）最小值3，最大值3. （1）用消元法得1C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论．（1）曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=．（2）曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭．则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭，当0θ=，||PA 取得最小值，最小值为3．当23πθ=，||PA 取得最大值，最达值为3． 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中0y ≥，对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意θ的范围是[0,]π．23. 已知a ，b ，c 为正数．（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值．（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．（1）证明a ，b ，c 均为正数，23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加，得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥．（当且仅当32a b c ==时等号成立） （2）因为0a >，0b >，0c >，444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===，即时等号成立．所以原式的最小值为。

江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三数学第一次联考试题 理

江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三数学第一次联考试题 理

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考高三年级数学（理）学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（ ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题4．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（ ）A ．3B ．9C ．3-D ．9-5．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7．若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A. 7=kB. 6k …C. 6<kD. 6>k 8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-…，则点(,)a b 所在区域的面积为（ ） A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 19．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ）A. )+∞B.C. )+∞D.10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ ）二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x 使不等式2315x x a a +---…成立，则实数a 的取值范围为____________.(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2cos4sin ρθθ=的焦点的极坐标___________.(规定：0,02ρθπ<厔)三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域Ω是由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数cos y x =、2x π=±和1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 内的概率是___________.13．已知曲线1()()n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201412014220142013log log log x x x +++的值为___________． 14．已知平面向量,()αβαβ≠满足2α=，且α与βα-的夹角为120︒，t R ∈，则(1)t t αβ-+的最小值是________________．15．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是________．四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．17．（本小题满分12分）某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；（2）设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望．18.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC —A1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点O ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1。

江西省赣中南五校高三理综下学期第一次联考(2月)试题

江西省赣中南五校高三理综下学期第一次联考(2月)试题

江西省赣中南五校2016届高三理综下学期第一次联考（2月）试题本卷中可能用到的相对原子质量有：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷一．选择题：本题共有13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．掌握基本常识是学好生物的基础。

根据所学，下列阐述不正确的是A．DNA的碱基种类为4种A（腺嘌呤）、T（胸腺嘧啶）、C（胞嘧啶）、G（鸟嘌呤） B．细胞膜、核糖体、染色体、叶绿体等结构中都含有DNAC．分泌蛋白合成越旺盛的细胞，其高尔基体膜更新的速度越快D．DNA通过复制传递遗传信息，但不是生物性状的体现者2．研究发现，线粒体促凋亡蛋白Smac是细胞中一个促进细胞凋亡的关键蛋白，正常细胞中Smac存在于线粒体中，当线粒体收到释放这种蛋白质的信号时，就会将它释放到线粒体外，然后Smac与凋亡抑制蛋白（IAPs）反应，促进细胞凋亡。

下列有关叙述正确的是A．细胞凋亡时具有水分减少、代谢减慢、所有酶的活性下降等特征B．Smac从线粒体释放时不需消耗能量C．癌细胞的无限增殖，可能与细胞内IAPs基因过度表达和Smac从线粒体中释放受阻有关D．Smac与IAPs在细胞凋亡中的作用相同3．下图为某真核生物基因模型图。

人为将该基因划分为10个区间，转录生成的RNA被加工为成熟的mRNA时，d、g区间所对应的区域会被切除。

下列与该基因有关的叙述中，错误的是1A．转录的RNA在细胞核中被加工成熟B．含该基因的DNA寿命比mRNA的寿命长C．基因中含有不编码蛋白质的碱基对序列D．RNA聚合酶在终止密码对应位点脱落4．DNA分子经过诱变，某位点上的一个正常碱基（设为X）变成了尿嘧啶，该DNA连续复制两次，得到的4个DNA分子相应位点上的碱基对分别为U—A、A—T、G—C、C—G，可推测“X”可能是A．胸腺嘧啶 B．胞嘧啶 C．腺嘌呤 D．胸腺嘧啶或腺嘌呤5．研究表明，青少年型糖尿病是由免疫系统错误地破坏胰岛B细胞而导致。

江西省最新届高三数学下学期一调考试试题 理

江西省最新届高三数学下学期一调考试试题 理

江西省2021届高三数学下学期一调考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ） A ．[]12， B ．()12， C ．(12]， D ．[12)， 2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为 A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >> D ．a b c >>4．函数()x ex f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ． B ．C ． D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC ⋅的值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若为真命题，则为真命题； ②命题“，有”的否定为“，有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中，必有； ⑤为等差数列，若，则其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A ．25B ．1:2C ．5D ．1:310.定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0yy xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x 2cos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a cb S ac +-=-，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C的对边。

2021届江西省重点中学协作体(南昌二中、九江一中等)高三下学期2月第一次联考理科数学试卷及答案

2021届江西省重点中学协作体(南昌二中、九江一中等)高三下学期2月第一次联考理科数学试卷及答案

2021届江西省重点中学协作体高三下学期2月第一次联考理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)时间:120分钟 总分:150分一､选择题:本题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A={0,1,2,3},集合2{|},B x x x ==则A∩B=()A.{0,1,2.3}B.{-1,0,1}C.{1.2}D.{0,1}2.已知复数51,1i z i-=+z 的虚部是() A.-1CB.-iC.1D.i 3.已知P:21:1,:10q p a a ≤-≥则P 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.sin155sin35cos25cos35︒︒︒︒-=().A 1.2B - 1.2C .D 5.在6()()2x y x y -+的展开式中,52x y 的系数是()A.20 215.B C.-12 25.2D - 6.“干支纪年法"是我国历法的一种传统纪年法,甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为”十天干”;子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､西､戌､亥叫做”十二地支“天干"以“甲”字开始,“地支"以“子″字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉;甲戌､乙亥､丙子…癸未;甲申､乙酉､丙戌…癸巳;…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2021年是干支纪年法”中的辛丑年,那么2121年是“干支纪年法中的()A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7.已知|1|3()()5x f x -=,则下列不等关系正确的是()A 20.5(log 7)(1 2.5)(1)f f f <∞< B.0.52(1 2.5)(log (1)7)f og f f <<C.0.52(1)(log 2.5)(lo 7g )f f f <<)D.20.5(1)(log 7)(log 2.5)f f f <<8.若函数sin(2)3y x πω=+的图象向右平移6π个单位后与函数y=cos2ωx 的图象重合,则ω的值可能为()A.-1B.-2 1.2C - 1.4D - 9.如图ABCDEF 为五面体,其中四边形ABCD 为矩形,EF//AB.3332AB EF AD ===,△ADE 和△BCF都是正三角形,则该五面体的体积为()72.A 42.B .2C 32.D 10.在三角形ABC 中,E ､F 分别为AC ､AB 上的点,BE 与CF 交于点Q 且2,3,AE EC AF FB ==AQ 交BC 于点D,AQ QD λ=,则λ的值为()A.3B.4C.5D.611.已知A.B.C 是双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>上的三个点,AB 经过原点O,AC 经过右焦点F,若BF ⊥AC 且3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是().10A 5.3B .17C 9.4D 12.设k,b ∈R,若关于x 的不等式lnx+x≤k(x+1)+b 在(0,+∞)上恒成立,则221k b k +--的最小值是()A.2e - 1.1B e -+ C.-e+1 D.-e-1 二､填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分。

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题Word版含解析

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题Word版含解析

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。

江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题及答案

江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题及答案

江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2430A x x x =-+>，{}0B x x a =-≤，若B A R ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 2．已知复数z 满足121i i z+=-（i 为虚数单位），则z （z 为z 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“()()3322a b ->-”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．27B ．514C ．37D ．1021 5．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位6．若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则4z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．4C ．265D ．26-7．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：C ）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（ ）A ．33CB ．34C C ．35CD ．35.5C8．已知双曲线C：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．39．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x-<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a << 10．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．32πB ．C ．41πD ． 11．设()2,0A -，()2,0B ，O 为坐标原点，点P 满足2216PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡-⎣B ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎡⎢⎣⎦ 12．已知函数()x f x ax e =-与函数()ln 1g x x x =+的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,e -+∞B ．1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),1e -∞-二、填空题13．在ABCD 中，AD 与DC 的夹角为23π，1AD =，2DC =，DE EC =，则AE DB ⋅=________14．若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为________. 15．数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++=________16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，M 分别为棱AB ，11A D ，11D C 的中点，过点M 与平面CEF 平行的平面与AB 交于点N ，则四面体NCEF 的体积为________三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+．（1）求角C 的大小（2）若28a b +=，且ABC 的面积为ABC 的周长．18．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ MN的最小值．21．已知函数211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）记函数()f x 的导函数是()'f x ，若不等式()()f x xf x '<对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()2g x f x a =+，()'g x 是函数()g x 的导函数，若函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x g x x '+≥，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线221:194x y C +=，曲线233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA 的最大值.23．已知函数()21f x x m x =+--．（1）若2m =，求不等式()30f x +<的解集；（2）若()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，求m 的值．参考答案1．B【分析】先解出集合A 、B ，然后利用B A R ⋃=，求解a 的取值范围.【详解】 集合{}{2430>3A x x x x x =-+>=或}1x <，{}{}0=|B x x a x x a =-≤≤， 若B A R ⋃=，则3a ≥.故选：B.2．C【分析】结合复数的除法性质可求出z ，进而可求出z ，即可明确z 在复平面内对应的点，从而可选出正确答案.【详解】 解：因为121i i z+=-，所以()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 所以1322z i =-- 在复平面内对应的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限. 故选:C.3．B【分析】分别证明充分性和必要性即可得出正确选项.【详解】充分性证明：取()()332222a b a b ->-⇒->-，明显地有，a b >，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：lg lg a b >0a b ⇒>>，可得()()332222a b a b ->-⇒->-， 所以，必要性成立；故选：B.4．D【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学. 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==， 每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m CC C C C C =+=， 则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可.5．A【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，从而确定解析式，再利用诱导公式与平移变换法则求解即可.【详解】 由图可知周期满足7πππ41234T =-=， 故πT =，∴2π2T ω==， 2,32ππk k Z ϕπ⨯+=+∈， 2πϕ<，∴π6ϕ=-， 即()ππcos 2sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向右平移π6个单位，得到sin 2y x =. 故选：A .【点睛】 由图象求三角函数解析的方法：利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.6．B【分析】求目标函数的最值，先准确地作出可行域，再确定目标函数的几何意义，根据题意确定取得最优解的点进而求出目标函数的最值.【详解】由题意可知，如上图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界）， 目标函数4z x y =+变为1144y x z =-+， 当直线1144y x z =-+经过点()4,0时， z 值最小，114z =，故min 4z =. 故选：B.【点睛】 易错点睛：本题由于三条直线能够围成一个三角形，很自然的会将其看作是可行域，实际上，在判断可行域时，一定要验证一下原点是否在可行域内再确定.7．A【分析】求出x 的平均数x ，y 的平均数y ，将(),x y 代入0.25y x k =+可求得k 的值，在即将52x =代入即可求解.【详解】2030405060405x ++++==，2527.52932.536305y ++++==， 因为样本中心点(),x y 在回归直线上，所以将()40,30代入0.25y x k =+得：300.2540k =⨯+，解得：20k =，所以0.2520y x =+，当52x =时，0.25522033y =⨯+=，故选：A【点睛】易错点点睛：本题的关键是利用回归直线过样本中心点求出k 的值，易犯错误是随意选择一个数据点代入解析式求k .8．C【分析】 首先利用相似三角形，可知1122OF PF OM PF ==，再结合双曲线的定义，求1PF 和2PF ，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.【详解】如图，由条件可知112OMF F F P ，则1122OF PF OM PF ==，得122PF PF =，又因为122PF PF a -=， 则14PF a =，22PF a =，根据勾股定理可知2221644a a c +=，解得：ce a==. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形相似1122OF PF OM PF ==，求得122PF PF =，后面利用双曲线的定义和勾股定理就比较简单了. 9．A 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A 【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 10．C 【分析】还原后的几何体如图所示，确定出球心的位置可求外接球的体积. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，且PH ⊥平面ABCD ，4PH =，H 为AB 的中点，四边形ABCD 为正方形，其边长为4.设1O 为正方形ABCD 的中心，2O 为PAB △的外心，则外接球的球心O 满足1OO ⊥平面ABCD ，2OO ⊥平面PAB ，所以21//HO OO ，又2HO ⊂平面PAB ，故22OO HO ⊥，同理11OO HO ⊥ 所以四边形21HO O O 为矩形. 在正方形ABCD 中，12HO =，在PAB △中，()222244PO PO -+=，故252PO =，2=，故外接球的表面积为414414ππ⨯=， 故选：C. 【点睛】思路点睛：几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球心的位置. 11．C 【分析】由2216PA PB +≤可得2OP ≤，由正弦定理得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，再根据原点到直线的距离小于等于4即可求出k 的范围. 【详解】设(),P x y ，则()()2222222216PA PB x y x y +=+++-+≤，整理可得224x y +≤，故2OP ≤，在PQO 中，sin sin OQ OPQPO PQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPOOQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足4d ≤，4d ∴=≤，解得k ≤或≥k . 故选：C.【点睛】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，利用原点到直线的距离小于等于4求解. 12．A 【分析】根据题意将函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点转化为ln 1x e x x a x--=有两解，令新的函数ln 1()x e x x h x x --=，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a 的取值范围. 【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln 1xe ax x x -=+有两解，则ln 1x e x x a x--=有两解，令ln 1()x e x x h x x --=，则()21()1x x h x e x-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为()1,e -+∞. 故选：A. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 13．12【分析】画出图形，以,AD AB 为基底表示AE DB ,，结合已知条件和平面向量的数量积公式即可求出正确答案. 【详解】解：()()()12AE DB AD DE DA DC AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭22222111112112cos 22222232AD AD AB AB AD AB AD AB AD AB π=-+⋅-⋅+=-+⋅+=-+⨯⨯+⨯12=. 故答案为:12.14．5 【分析】 将所求式子变形为333b aa b++，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】解：因为1a b +=，所以()3333333a b b b b aa b a b a b++=+=++，因为0,0a b >>，所以333=53b a a b ++≥，当且仅当33b a a b =，即13,44a b ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5. 故答案为:5. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成()3a b +.15．454 【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21nn a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++的值.【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++()01223344556012345555555555555222222C C C C C C C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++⨯-++又01223344556555555222222C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552222222C C C C C C =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555232C C C C C C +++++==，所以原式48632454=-=，故答案为：454. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量. 16．124【分析】取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，然后利用N CEF F CEN V V --=可得答案.【详解】取1MD 的中点H ，连接CH FH 、，因为F H 、是11A D 、1MD 的中点，所以1//MA FH ， 取CD 中点P ，连接AP MP 、，因为11,//=AA MP AA MP ，四边形1AA MP 是平行四边形，所以1//MA AP ， 所以//FH AP ，又因为,//=AE CP AE CP ，所以四边形AECP 是平行四边形， 所以//CE AP ，所以//CE FH ，即四边形CEFH 为平面图形， 且1MA ⊄平面CEFH ，FH⊂平面CEFH ，1//MA FH ，所以1//MA 平面CEFH ，设Q 为EB 中点，连接1AQ MQ EH 、、，所以//QE MH QE MH =，， 所以四边形QEHM 是平行四边形，所以//HE MQ ，且MQ ⊄平面CEFH ，HE ⊂平面CEFH ，所以//MQ 平面CEFH ，又1MQ A M M =，所以平面//CEFH 平面1A QM ，所以过M 点且与平面EFC 平行的平面就是1A QM ，Q 点即是N 点，11112248CENSEQ CB =⨯⨯=⨯=，所以1111111332424N CEF F CEN CEN V V SAA --==⨯⨯=⨯⨯⨯=. 故答案为：124. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线面平行及面面平行的判定，关键点是取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，考查了学生的空间想象力.17．（1）3C π=；（2）6+．【分析】（1）根据sin()sin()a A B C c B C +-=+，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得到2sin sin cos sin sin A C C C A =求解.（2）由ABC 的面积为8ab =，再与28a b +=求得a ，b ，然后利用余弦定理求解. 【详解】 （1）sin()sin()a A B C c B C +-=+，sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠， 1cos ,02C C π∴=<<，3C π∴=.（2）由题意可得，12= 8ab ∴=，28a b +=联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+. 18．（1）证明见解析；（2）35． 【分析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|m nm n m n ⋅<>=求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF 平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =，11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E--，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴=-==-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴=-=-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348．【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望.【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()20348E X =． 【点睛】关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率.20．（1）2212x y +=；（2）2．【分析】（1）由题意可得：221112a b+=，122112a a ⋅=-+-即可求得,ab 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与2212x y +=消去x 可得关于y 的一元二次方程，可求得12y y +，12y y ，计算P 点坐标，利用弦长公式求得弦长MN 、PQ ，将PQMN化简整理，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】 （1）依题意有，221112a b +=①， 因为()1,0A a -，()2,0A a所以121A Ek a =+，221A E k a=+，所以122112a a ⋅=-+-②，由①②解得：22a =，21b =，故椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()22221221021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到12222m y y m -+=+，12212y y m -=+ 由弦长公式MN ===又12222P y y m y m +-==+，22221122P p m x my m m =+=-+=++，2P PQ x =-=，24PQMN =，令t =，1t ≥，上式22422422t t t t +⎛⎫=⋅=+≥= ⎪⎝⎭， 当2t t=，即1m =±时，PQ MN 取得最小值2．【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.21．（1）20x y += （2）1a ≤ （3）114a <≤ 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求切线方程；（2）先求导，则不等式()()f x xf x <'对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，转化为2210x alnx -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，构造函数2()21t x x alnx =--，1x >，分类讨论，即可求出a 的范围；（3）先求导，根据函数()g x 存在两个极值点1x ，2x 可得14a >，且124x x a +=，12x x a =，再化简1212()()()g x g x g x x +'可得到880a lna --，构造()88h a a lna =--，14a >，求出函数的最值即可． 【详解】解：（1）当1a =时，213()4ln 22f x x x x =-++，其中0x >，故13(1)4222f =-+=-. 1()4f x x x'=-+，故(1)1412f '=-+=-. 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=. （2）由211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，可得()4a f x x a x'=-+. 由题知，不等式2114ln 422a x ax a x a x x a x ⎛⎫-+++<-+ ⎪⎝⎭对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 10x a x -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln 1t x x a x =--，1x >.故22()22a x at x x x x-'=-=⋅. ①若1a ≤，则()0t x '>，()t x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t x t >=，故1a ≤符合题意. ②若1a >，令()0t x '=，得x =.当(x ∈时，()0t x '<，()t x在(上单调递减，故(1)0tt <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.综上所述，实数a 的取值范围1a ≤. （3）据题意211()()24ln 322g x f x a x ax a x a =+=-+++，其中0x >. 则24()4a x ax ag x x a x x-+'=-+=.因为函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程240x ax a -+=的两个不等的正根，故220,(4)40,0,a a a a >⎧⎪∆=-->⎨⎪>⎩得14a >，且12124,.x x a x x a +=⎧⎨=⎩所以()()221211122211114ln 34ln 32222g x g x x ax a x a x ax a x a +=-++++-+++ ()()()2212121214ln ln 612x x a x x a x x a =+-+++++ ()()()212121212124ln 612x x x x a x x a x x a =+--++++ ()21(4)244ln 612a a a a a a a =--⨯+++28ln 51a a a a =-+++； ()1212124431a ag x x x x a a a a x x a'=-+=-+=-+， 据()()()1212g x g x g x x '+≥可得，28ln 5131a a a a a -+++≥-+， 即288ln 0a a a a --≤，又14a >，故不等式可简化为88ln 0a a --≤， 令()88ln a a a ϕ=--，14a >，则1()840a aϕ'=->>，所以()a ϕ在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，又(1)0ϕ=， 所以不等式88ln 0a a --≤的解为114a <≤.所以实数a 的取值范围是114a <≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，还运用导数的几何意义求切线方程，同时培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．22．（1）1C 的极坐标方程是2245sin 36ρθ+=（），的极坐标方程是6cos ρθ=. （2）95【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程；先把2C 的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程；（2）分别联立曲线1C 与2C 的极坐标方程与()0θαρ=≥,即可求得221OA ρ=,222OB ρ=,再利用二次函数的性质求得22OB OA的最大值,进而求解.【详解】解:（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=.所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C的极坐标方程是6cos ρθ=.（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=,所以22OB OA=224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OB OA的最大值为10. 【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长. 23．（1）{|1x x <-或7}x >；（2）2m =-或0m =． 【分析】（1）将2m =代入，按照零点分段法对x 分类去绝对值，求解后取并集得答案； （2）()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，转化为()()1g x f x =-=有1个零点，对m 分类求最大值，令最大值为0求得m 值. 【详解】解：（1）22130x x +--+<，当2x <-时，22230x x --+-+<，解得1x <，故2x <-；当21x -时，22230x x ++-+<，解得1x <-，故21x -<-； 当1x >时，22230x x +-++<，解得7x >． 综上所述，不等式的解集为{|1x x <-或7}x >；（2）令()()1211g x f x x m x =-=+---，问题转化为函数()g x 有1个零点．若1m >-，则3,()33,11,1x m x m g x x m m x x m x --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，此时()g x 的最大值为g （1）m =，此时0m =满足题设；若1m <-，则3,1()31,11,x m x g x x m x m x m x m --<⎧⎪=--+-⎨⎪-++>-⎩，此时()g x 的最大值为g （1）2m =--，令20m --=，得2m =-，满足题设； 若1m =-，则()110g x x =---<，故1m =-不合题意，舍去． 综上所述，2m =-或0m =． 【点睛】 方法点睛：（1）利用“零点分段法”分类讨论解绝对值不等式； （2）将两函数图象的交点问题与函数零点问题之间的互化.。

2021年高三下学期第一次联考(2月)理数试题 含解析

2021年高三下学期第一次联考(2月)理数试题 含解析

2021年高三下学期第一次联考（2月）理数试题含解析一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合，，则为A. (0，＋)B. (1，＋)C. [2，＋)D.［1，＋)【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以；故选B．考点：集合的交并运算．2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：所以它的体积为；故选C ． 考点：三视图的应用．3.已知倾斜角为的直线l 与直线垂直，则的值为A .B .C .D .【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可得：，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ． 考点：1.两直线的位置关系；2.诱导公式．4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若 B . 若 C . 若 D . 若【答案】C 【解析】试题分析：A . 若 或相交；B . 若或相交；D . 若或在平面内；故选C ．考点：空间几何元素的位置关系．5.如图所示，点是函数图象的最高点，M 、N 是图象与轴的交点，若，则等于【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16即故选B．考点：1.三角函数的性质；2.向量运算．6.外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A. B. C. D.【答案】A考点：平面向量数量积的含义及其物理意义．7.若非零向量满足，且，则与的夹角为A.B .C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，所以与的夹角为；故选D．考点：向量的运算及夹角．8.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：列出相应的区域如下所示：区域M是正方形区域，区域N是阴影区域，，所以P∈N的概率为；故选B．考点：几何概型的应用．9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由球的体积是，可得，所以正三棱柱的高为4，底面是边长为的正三角形，所以三棱柱的体积是；故选D．考点：空间几何体的体积．10.已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为A. 1B. 1－log xxC. -log xxD. －1 【答案】D【解析】试题分析：由题意可得：点，，所以点P处的切线切线的斜率为故可得切线的方程为，所以与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋；故选D．考点：1.导数的几何意义；2.对数运算．11.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为A .B .C .D .【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得当时为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为，当时有可得，所以即在出的切线方程为此时函数有且只有一个交点若；故选．若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为. 考点：函数零点与方程根的关系． 12.已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是A . B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：令()()()()()()()()xx x f x x f x x x f x x f x g x x f x g 2'2'''cos sin cos cos cos cos ,cos -=-==则，由对任意的满足可得，即函数在上为增函数，则即即；故选A ． 考点：导数与函数单调性的关系．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】2 【解析】试题分析：因为数列为等差数列且，，所以；故填2． 考点：等差数列的性质．14.设，若的最小值为 . 【答案】9 【解析】试题分析：由题意可得：，令则，所以在上为减函数，在上为增函数，所以；故填9． 考点：函数的性质及其导数的应用． 15.已知数列满足,且，则 . 【答案】【解析】试题分析：①，②， ②—①，得，即，又，所以数列是以为首项、公差为2的等差数列，则，即； 则， ， ， ， ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得nn n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即293)21(2)1(31)31(3921-⋅+=⋅+---+=--n n n n n n a a ； 则；故填.考点：1.由数列的递推式求通项；2.累加法；3.错位相减法. 16.有下列4个命题:①若函数定义域为R ,则是奇函数;②若函数是定义在R 上的奇函数,,,则图像关于x =1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值(x 1<x 2),若,则在定义域内单调递减; ④若是定义在R 上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数. 其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）. 【答案】 (1)(4)考点：命题真假的判断．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．【答案】（Ⅰ）a n=3n–1 b n=2n–1；（Ⅱ）T n=(n–2)2n+2；（Ⅲ）略．【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论．试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n–1．∵2b n–b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．∴当n＞1时，b n=S n–S n–1=2b n–2b n–1，∴b n=2b n–1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n–1．…………4分（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，T n=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①2T n= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②①–②得：–T n=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n∴T n=(n–2)2n+2．………… 8分（Ⅲ）===≤++…+＜++…+==(1–)＜．…………12分考点：(1)求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）3．【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.．试题解析：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．设，则，1(1)3(3)13()31txtx t xty t y ytz t zzt⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=-⇒=⎨⎨+⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩,∴，在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为.∵二面角为30°，∴，得………………………………………………………………12分考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题.．19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式【答案】（Ⅰ）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.；（Ⅱ）；(Ⅲ)0.5．【解析】试题分析：(1)独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值，越大说明两个分类变量有关系的可能性越大.（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.(3)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形.（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.．试题解析：(Ⅰ)由表中数据得的观测值()2250221288505.556 5.024302030209K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)y1O设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为由几何概型即乙比甲先解答完的概率为.(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：1.考点：1.检验；2.几何概型，超几何分布 20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 直线与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点的直线与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足（O 为坐标原点），求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.．试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， ∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分 ∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴,， 代入（*）式得， ∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设， 将直线方程代入椭圆方程得：， ∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k ，∴.设,，则， 由，当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； 当，得∴.将上式代入椭圆方程得：， 整理得：，由知，，所以，综上可得. ………………………………………………………12分 考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值.(2)根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围(3)分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点, ，……………6分（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解.当x=0时，显然无解.当时，变形为，……………………………………①令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，.而，故方程①无解.若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是.………………………………………………12分法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程 ()有唯一解,当x=0时，显然无解.当时，变形为，解32232 34(2)(1)34100 x x x x x x xx x x-++-+-+<⇔<⇔<得.令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解.综上知，所求x的取植范围是 .…………………………………………12分考点：函数与导数性质的应用．四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲的延长线于P，已知.证明（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略．【解析】试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：又由已知进而可得所以可以得出；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可以得出所以得到．试题解析：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，∴. …………………2分又，∴，∴. …………………………5分（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽.∴，即，∴. ………………………10分考点：圆的性质的综合应用.23.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．【答案】（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．试题解析：（I ）的直角坐标方程：， 的普通方程：．5分 （II ）由（I ）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为 ．………………………………………………………10分考点：(1)参数方程的应用；（2）两点间的距离公式. 24.（本小题满分10分） 选修4—5:不等式选讲 已知关于的不等式，其解集为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为，脱去绝对值即可得到，然后根据解集为得到的值；（Ⅱ）利用不等式的性质或构造二次函数的性质即可得到的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）不等式可化为， ………1分 ∴，即,∵其解集为，∴ ，. ………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式） ∵ ，∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 .（方法二：利用柯西不等式）∵ 222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=， ∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 （方法三：消元法求二次函数的最值） ∵，∴，∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）不等式的性质.*39583 9A9F 骟34841 8819 蠙25464 6378 捸B38859 97CB 韋I32693 7FB5 羵22785 5901 夁'Q27612 6BDC 毜21808 5530 唰。

江西省赣中南五校高三下学期第一次联考——数学理(数学(理))

江西省赣中南五校高三下学期第一次联考——数学理(数学(理))

江西省赣中南五校 2017届高三下学期第一次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合，集合，则A∩BUC R C= （ ）2. 设方程有两个不等的实根和，则（ ） A ． B ． C ． D ．4.已知双曲线C 的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线平行，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B. C. D.5.设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则的值为（ ） A. B. C. D. 6.已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数使得对任意实数总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 7.如图所示，在四边形中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=∠=,将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ）A.平面平面B.平面平面C. 平面平面D.平面平面8. 三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，直线与平面所成角的正切值取最大值时的值为（ ） A. B. C. D.9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 等差数列的前项和分别为 , （ ）A ．63B ．45C ．36D ．2711. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ） A. B. C. D. 12.已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则的最小值为（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.是函数在上单调递增的__________（填“常用逻辑用语”）条件。

2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷(理科)有答案

2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷(理科)有答案

2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，集合B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2, 3}B.{−1, 0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1}2. 已知复数z＝，则的虚部是（）A.1B.−1C.−iD.i3. 已知p：≤1，q:a2−1≥0，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝（）A. B. C. D.5. 在的展开式中，x2y5的系数是（）A.20B.C.−12D.6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7. 若函数的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.D.8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF // AB，AB＝3EF＝AD＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.9. 在三角形ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE与CF交于点Q，且＝2，＝3，AQ交BC于点D，，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.610. 如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )A.√102B.√10 C.32D.311. 设k，b∈R，若关于x的不等式ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则的最小值是（）A.−e2B.C.−e+1D.−e−112. （3分）已知，则下列不等关系正确的是（）A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)B.f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)13. 已知实数x，y满足约束条件{x+2y≥2 x−y≤2x−4y+4≥0，则z=3x−y的最大值为________．14. 已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝sin x−1，则函数f(x)在处的切线方程为________．15. 过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A．B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为________．16. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，若动点Q在平面PAD内运动，使得∠CQD与∠BQA相等，则三棱锥Q−ACD的体积最大时的外接球的体积为________．17. 已知等差数列{a n}为递减数列且首项a1＝5，等比数列{b n}前三项依次为a1−1，a2+2，3a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD是等边三角形，AC＝2，BC＝CD＝，E为空间内一点，BC⊥CD，且△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若BE＝2，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19. 已知椭圆C：，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线1的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1过右焦点F2，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由．20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C）有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25, 30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求七月份这种饮品一天的需求量x（单位：瓶）的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n（单位：瓶）应满足什么条件？21. 已知函数．（1）讨论函数f(x)的单调区间．（2）若当a＝1时，，求证：F(x)>0．22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出曲线C1，C2的普通方程；（2）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为60∘的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. 已知a，b，c为正数．（1）证明≥3；（2）求的最小值．参考答案与试题解析2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{0, 1}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】∵＝，∴，则则的虚部是1，3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由≤1，得a≥1或a<0，即p:a≥1或a<0，由a2−1≥0，得a≥1或a≤−1，即q:a≥1或a≤−1，则q⫋p，故p是q的必要不充分条件，4.B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．【解答】sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝sin25∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝−cos60∘＝-．5.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】从2021到2121年经过100年，由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．【解答】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，7.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，分别求出其体积即可求出所求．【解答】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，因为AD＝3，所以AD＝2，因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，所以OP＝QB＝(AB−EF)＝(3−1)＝1，PF＝，OF＝，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，所以该几何体的体积为V＝V EMN−FQH+2V F−QBCH，又因V EMN−FQH＝S△QFH×MQ＝|QH|⋅|OF|×MQ＝，V F−QBCH＝S矩形QBCH×FQ＝，所以V＝+2×＝．9.【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，(m+2a)2+(2a+2m)2=(m+4a)2，解得m=a，在直角△FAF′中，AF2+AF′2=FF2，即a2+(3a)2=(2c)2，即4c2=10a2，a，即c=√102故e=√10.2故选A.11.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，得到−ln(k−1)−1−k≤b，而≥，令k−1＝u，g(u)＝1−-，根据函数的单调性求出g(u)的最小值，从而求出的最小值即可．【解答】ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，则f′(x)＝+1−k，若k≤1，则f′(x)>0，可得f(x)在(0, +∞)递增，当x→∞时，f(x)→∞，故不等式不能成立，故k>1当＝k−1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f（）＝−ln(k−1)−k−1，即b≥−ln(k−1)−1−k，故≥，∴＝2+≥2+＝，令k−1＝u，g(u)＝＝1−-，故g′(u)＝-＝，当ln u＝−1时，u＝，g(u)min＝−2e+e+1＝1−e，故的最小值是1−e，二、多选题（本题共计 1 小题，共计3分）12.【答案】【考点】对数值大小的比较【解析】画出函数的大致图像，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，f(x)的图像关于直线x＝1对称，再比较log27和log0.52.5与1的距离，即可得到f(log27)与f(log0.52.5)的大小关系．【解答】画出函数的大致图像，如图所示：，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，∵|log27−1|＝|log27−log22|＝<2，|log0.52.5−1|＝|log0.52.5−log0.50.5|＝log25>2，∴f(log27)>f(log0.52.5)，∴f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)，故选：B．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】10【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立{x−4y+4＝0x−y＝2，解得A(4, 2)，化目标函数z=3x−y为y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．14.【答案】y＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】4π【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）17.【答案】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设求出d即可求得a n，进而求得等比数列{b n}的首项b1与公比q，即可求得b n；（2）先由（1）求得a n+b n，再利用分组求和法求得其前n项和S n即可．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．18.【答案】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）先证明△AOC为直角三角形，再证明OA⊥平面BCD，最后证明平面ABD⊥平面BCD即可；（2）建立坐标系，先求平面ABD与平面ECD面的法向量，再用夹角公式，得到夹角余弦值．【解答】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．19.【答案】由题意可知2a＝4，可得a＝7，设点A(x1, y1)，B(x7, y2)，A，B在椭圆上，所以+＝1，①+；②k AB⋅k OM＝-，所以•＝-②-①可得：-＝-，所以b2＝•a2＝×4＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；设直线l:y＝k(x−1)，，整理可得：(5+4k2)x8−8k2x+8k2−12＝0，所以x7+x2＝，x1x2＝，所以y1+y2＝k(x1+x2−2)＝，所以AB的中点M（，），假设存在点D，则MD的直线方程为：y+(x−），可得y＝，所以D(0，），|AB|＝•＝•＝；|DM|＝•|，若△ABD为等边三角形，则|MD|＝，×＝，整理可得23k3+27＝0，显然无实数解，所以不存在这样的点D．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，可得X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，考虑200≤n≤500，根据300<n≤500和200≤n<300分类讨论，即可求得n的取值范围．【解答】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．21.【答案】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令m(x)＝2ln x+9(x>0)，求出函数的导数，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，根据导函数的单调性求出m(x)的单调性，求出m(x)的最小值，证明结论成立即可．【解答】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．22.【答案】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．23.【答案】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．【考点】不等式的证明【解析】（1）由基本不等式分别推得+≥2，+≥2，+≥2，再由累加法，即可得证；（2）两次运用基本不等式，注意等号成立的条件，可得所求最小值．【解答】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．。

2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三(上)第一次模拟数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三(上)第一次模拟数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟数学（理科）试题一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣73．（5分）函数y=的定义域为（）A．（，1） B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）4．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．125．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（）A．2 B．C．2 D．26．（5分）已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．2 B．4 C．16 D．不存在7．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．000118．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣ B．C．﹣D．11．（5分）已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（）A．f（x）=x﹣B．f（x）=x+C．f（x）=D．f（x）=x+二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）（理）（1+cosx）dx= ．14．（5分）某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是．（填序号）①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．15．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“￢q且p”为真，则x的取值范围是．16．（5分）已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分．17．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，f（x）=•﹣（2m+）•||；A、B、C三点满足满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣，求实数m的值．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．19．（12分）2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．20．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角S﹣CM﹣D的余弦值．21．（12分）如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；（2）若点Q（x0，y0）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S△ABQ，S△DEH，记λ=，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若a=，证明：e x﹣1f（x）≥x．[选修4-4：坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（1）求|AB|的值；（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟数学（理科）试题参考答案一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），∴M∩N=（﹣，1）∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）故选：C【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题2．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7【分析】求出函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=，令≥4，即可解出a的取值范围．【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得≥4，，得a≥9．故选A．【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．3．（5分）4．函数y=的定义域为（）A．（，1） B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【分析】由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得，【解答】解：由题意知log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0，由此可解得，故选A．【点评】本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用．5．（5分）6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．5．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（）A．2 B．C．2 D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为SD=2，底面三角形边长BC=2，高AD=2；∴该三棱锥的最长棱是SA===2．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．6．（5分）已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．2 B．4 C．16 D．不存在【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值．【解答】解：由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率k AB=，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=3．∴2x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）．故选B．【点评】本题考查基本不等式，难点在于2x+4y=2x+22y（当且x=2y=时取“=”）的理解与运用，属于中档题．7．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C．【点评】本题考查对新规则的阅读理解能力．8．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，并逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b为（）A．B．C．D．【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△=acsinB=ac•sin30°=ac=，得ac=2，∴a2+c2=4b2﹣4．由余弦定理cosB====．解得b2=．又∵b为边长，∴b=．故选C．【点评】本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识．10．（5分）（在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】由已知及正弦定理可得=，解得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B=，即可得解cosB=．【解答】解：∵=，又∵由正弦定理可得：，∴=，解得：cosB=sinB，∴tanB=，0＜B＜π，∴B=，cosB=．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11．（5分）已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】首先写出直线l的方程y=（x﹣c），然后求出线段F1P的中点坐标，进而得到p点坐标并代入双曲线方程，结合c2=a2+b2求出c2=3a2，即可得到结果．【解答】解：过焦点F1（﹣c，0）的直线L的方程为：y=（x+c），直线L交双曲线右支于点P，且y轴平分线F1P，则交y轴于点Q（0，c）．设点P的坐标为（x，y），∴x+c=2c，y=P点坐标（c，），代入双曲线方程得：，又∵c2=a2+b2，∴c2=3a2，∴e=故选C．【点评】本题考查了双曲线的性质以及与直线的关系，关键是用含有c的式子表示出p的坐标，属于中档题．12．（5分）已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（）A．f（x）=x﹣B．f（x）=x+C．f（x）=D．f（x）=x+【分析】函数y=f（x）的解析求不出来，根据选项结合图象采用排除法进行排除，以及利用特殊值法进行排除．【解答】解：根据图象不关于原点对称，则该函数不是奇函数，可排除选项D，取x=时，根据图象可知函数值大于0，而选项B，f（）=+=﹣e2＜0，故B不正确，由题上图象可以看出当x→﹣∞时，有f（x）＜0，但C选项，f（x）=，当x→﹣∞时，f（x）=＞0，∴C错误故选A．【点评】本题主要考查了识图能力，以及函数的对称性和单调性，数形结合的思想和特殊值法的应用，属于中档题．本题正面确定不易，排除法做此类题是较好的选择二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）（理）（1+cosx）dx= ．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案为π+2．【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．14．（5分）某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是．（填序号）①②③①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．【分析】根据抽样方法，可得整个抽样过程三种抽样方法都要用到．【解答】解：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程三种抽样方法都要用到．故答案为：①②③．【点评】本题考查的知识点是收集数据的方法，其中熟练掌握各种抽样方法的适用范围，是解答本题的关键．15．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“￢q且p”为真，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）．【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【解答】解：因为“￢q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，由＞1得﹣1=＞0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2+2x﹣3＞0，解得x＞1或x＜﹣3，由，得x≥3或1＜x≤2或x＜﹣3，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．16．（5分）已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为①②④．【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f （2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分．17．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，f（x）=•﹣（2m+）•||；A、B、C三点满足满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）根据向量减法的几何意义，在=+两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出=，这样便可得出三点A，B，C共线；（Ⅱ）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量的坐标，从而得出f（x）=（cosx﹣m）2+1﹣m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，这样即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得﹣=（﹣）；即=；∴∥，又、有公共点A；∴A，B，C三点共线；（Ⅱ）由=+，得C（1+cosx，cosx）；∵=（cosx，0），∴f（x）=•﹣（2m+）•||=1+cosx+cos2x﹣（2m+）cosx=（cosx﹣m）2+1﹣m2；∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]；①当m＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1，不合题意舍去；②当0≤m≤1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1﹣m2=﹣，解得m=±，不合题意舍去；③当m＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，令2﹣2m=﹣，解得m=；综上，m=．【点评】本题考查了平面向量的运算法则与应用问题，也考查了用分类讨论法求函数的最值问题，是综合性题目．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把b n=3n+5代入a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），可得数列{a n}是等差数列，并求得公差，再由等差数列的通项公式得答案；（2）由a1=λ＜0，b n=λn，可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范围．【解答】解：（1）∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+6（n﹣1）=6n﹣5；（2）∵b n=λn，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（λn+1﹣λn），当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（λn﹣λn﹣1）+2（λn﹣1﹣λn﹣2）+…+2（λ2﹣λ）+λ=2λn﹣λ．当n=1时，a1=λ适合上式，∴．∵λ＜0，∴，．①当λ＜﹣1时，由指数函数的单调性知数列{a n}不存在最大值和最小值；②当λ=﹣1时，数列{a n}的最大值为3，最小值为﹣1，而∉（﹣2，2）；③当﹣1＜λ＜0时，由指数函数的单调性知，数列{a n}的最大值M=a2=2λ2﹣λ，最小值m=a1=λ．由，解得．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19．（12分）2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．【分析】（Ⅰ）设某题M答对记为“M”，答错记为“”，X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．（Ⅱ）由互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出志愿者甲能被录用的概率．【解答】解：（Ⅰ）设某题M答对记为“M”，答错记为“”X的可能取值为2，3，4，P（X=2）=P（AB）=，P（X=3）=P（）=，P（X=4）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）=，X的分布列为：X 2 3 4PEX==．（6分）（Ⅱ）志愿者甲能被录用的概率P=P（AB+++++A D）=+=．（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角S﹣CM﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取SD的中点R，连结AR、RN，由已知得四边形AMNR是平行四边形，从而MN∥AR，由此能证明MN∥平面SAD．（Ⅱ）向量法：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角S﹣CM﹣D的余弦值．几何法：取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，则∠SHO是二面角S﹣CM﹣D的平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，取SD的中点R，连结AR、RN，则RN∥CD，且RN=CD，AM∥CD，所以RN∥AM，且RN=AM，所以四边形AMNR是平行四边形，所以MN∥AR，由于AR平面SAD，MN在平面SAD外，所以MN∥平面SAD．（4分）（Ⅱ）解法1：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，则C（﹣1，2，0），M（1，1，0），S（0，0，），=（2，﹣1，0），=（1，1，﹣），设面SCM的法向量为=（x，y，z），（6分）则，令x=1，得=（1，2，），由已知得面ABCD的法向量=（0，0，1），（8分）则===，所以二面角S﹣CM﹣D的余弦值为．（12分）解法2：如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，由已知得△ABO≌△BCM，所以∠ABO=∠BCM，则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°，所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，所以∠SHO是二面角S﹣CM﹣D的平面角，设AB=2，则，，，OS=，SH==，则cos∠SHO=，所以二面角S﹣CM﹣D的余弦值为．（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（12分）如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；（2）若点Q（x0，y0）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S△ABQ，S△DEH，记λ=，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，求出p，可得抛物线C的方程，根据，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限，求出点A、点B的坐标；（2）求出D，E，H的坐标，进而求出S△ABQ，S△DEH，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，∴p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y；∵点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，∴A（2，1）；B（﹣2，1）；（2）y=x2，∴y′=x∴l1：y=x﹣1；l2：y=﹣x﹣1；l3：y=x0x﹣x02，∴D（0，﹣1），E（，），H（，﹣），∴EH=；=∴S △ABQ==，S△DEH==∴λ==2．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．22．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若a=，证明：e x﹣1f（x）≥x．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求出导数，对a讨论，①a≤时，②当a＞时，求出单调区间，可得最小值，由恒成立思想即可得到a的范围；（3）a=时，由（Ⅱ）得f（x）min=+ln2a=1，令h（x）=，求出导数，单调区间，运用单调性即可得证．【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=x2﹣lnx，．函数f（x）的定义域为（0，+∞），则由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．…（4分）（2）由已知得f′（x）=2ax﹣．若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a≤恒成立，所以2a≤（）min=1，即a≤．①a≤时，f（x）在（0，1]单调递减，f（x）min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．…（6分）②当a＞时，令f′（x）=2ax﹣=0，得x=∈（0，1]．所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）min=f（）=a（）2﹣ln=+ln2a．由|f（x）|≥1得，+ln2a≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：a=时，由（Ⅱ）得f（x）min=+ln2a=1．…（11分）令h（x）=，则h′（x）=．所以当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增；当x≥1时，h′（x）＜0，h（x）单减．所以h（x）≤h（1）=1．…（13分）所以f（x）≥h（x），即e x﹣1f（x）≥x．…（14分）【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法和不等式证明，注意运用转化思想和构造函数法，属于难题．[选修4-4：坐标与参数方程]23．（2016•上饶一模）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（1）求|AB|的值；（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．【分析】（1）先求出C1的普通方程和C2的参数方程，再根据韦达定理和弦长公式即可求出，（2）直接由（1）即可求出答案．【解答】解：（1）曲线C1的方程为=1，C2：ρcosθ+ρsinθ=1，则C2的普通方程为x+y﹣1=0，则C2的参数方程为，代入C1得2t2+7t+10=0，∴|AB|=|t1﹣t2|==，（2））|MA|•|MB|=|t1t2|=5【点评】本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．【分析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去绝对值的方法或绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3，（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故t min=4．法二：运用绝对值不等式性质．因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，t min=4．故t的最小值为：4．【点评】本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．。

江西省赣中南五校2016届高三下学期第一次联考(2月)理数试题 含解析

江西省赣中南五校2016届高三下学期第一次联考(2月)理数试题 含解析

2016江西省赣中南五校高三下学期考学第一次考试数学(理）试题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0xM y y x ==>,{}lg N x y x ==，则MN为A 。

（0，＋∞）B 。

（1,＋∞）C . ［2,＋∞)D 。

［1，＋∞） 【答案】B 【解析】试题分析:因为{}{}1|0,2|>=>==y y x y y M x,{}{}0|lg |>===x x x y x N ，所以{}1|>=x x N M ；故选B ． 考点：集合的交并运算．2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形,如图所示,则它的体积为A . 16B .13C . 23D 。

56【答案】C 【解析】试题分析:该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示:俯视图正视图侧视图所以它的体积为321131111=⨯⨯-⨯⨯；故选C ．考点：三视图的应用．3。

已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为A . 45B .45- C . 2D .12-【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得：2tan =α，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ．考点:1.两直线的位置关系；2。

诱导公式．4。

已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是A 。

若,,//αγαβγβ⊥⊥则B 。

若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则C . 若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则D 。

若//,//,//m n m n αα则【答案】C【解析】试题分析：A . 若,,//αγαβγβ⊥⊥则 或相交；B . 若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则或相交；D 。

2021届下学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)

2021届下学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)

江西省重点中学协作体（南昌二中、九江一中等）2021届下学期高三年级第一次联考数学试卷（理科）考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的｡＝{0，1，2，3}，集合2{|},B x x x ==则A ∩B ＝（ ）A{0，1，} B{－1，0，1} C{} D{0，1}2已知复数51,1i z i -=+z 的虚部是（ ） A －1C B －i ：21:1,:10q p a a≤-≥则sin155sin35cos25cos35︒︒︒︒-3.2A -1.2B -1.2C 3.2D 6()()2x y x y -+52x y .20 215.B 25.2D -|1|3()()5x f x -=20.5(log 7)(1 2.5)(1)f f f <∞<0.52(1 2.5)(log (1)7)f og f f <<0.52(1)(log 2.5)(lo 7g )f f f <<20.5(1)(log 7)(log 2.5)f f f <<sin(2)3y x πω=+6π1.2C -1.4D -3332AB EF AD ===372.A 342.B .2C 232.D 2,3,AE EC AF FB ==AQ QD λ=.422221(0,0)x y a b b a -=>>.210A 5.3B .317C 9.4D 221k b k +--2e -1.1B e -+222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩2x π=2:2(0)C y px p =>，N ，△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数，则△MFN 的面积为_____－ABCD 中，,22,AD AD CD AB ==={}n a 15,a ={}n b 1231,2,3a a a -+{}n a {}n b {}n n a b +.n S 2,BC CD ==22221(0)x y a b a b +=>>，直线OM 的斜率与直线1的斜率的乘积为定值43-（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1过右焦点2,F 问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由20（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完｡根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关｡如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25，30），需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶｡为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求七月份这种饮品一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n （单位：瓶）应满足什么条件21（本小题满分12分）已知函数()()ln ax f x ax =（1）讨论函数f （）的单调区间（2）若当a ＝1时，()9()2()f x F x f x e x=+，求证：F （）>0（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()43πρθ+= （1）写出曲线12,C C 的普通方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值，b ，c 为正数（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求444111()4a cb ac b +++++的最小值【试题答案】。

2021年高三下学期第一次联考(2月)数学(理)试题 含答案

2021年高三下学期第一次联考(2月)数学(理)试题 含答案

2021年高三下学期第一次联考（2月）数学（理）试题 含答案一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的. 1.已知集合，，则为A . (0，＋)B . (1，＋)C . [2，＋)D .［1，＋)2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A .B .C .D .3.已知倾斜角为的直线l 与直线垂直，则的值为A .B .C .D .4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若 B . 若 C . 若 D . 若5.如图所示，点是函数图象的最 高点，M 、N 是图象与轴的交点，若，则等于6.外接圆圆心O ，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A .B .C .D .7.若非零向量满足，且，则与的夹角为A .B .C .D .俯视图正视图 侧视图8.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为A. B. C. D.9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是A. B. C.D.10.已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为A. 1B. 1－log20132012C.-log xx D. －111.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k的取值范围为A. B. C. D.12.已知函数对任意的满足 (其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A. B. C. D.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列为等差数列，，，则.14.设，若的最小值为 .15.已知数列满足,且，则 .16.有下列4个命题:①若函数定义域为R,则是奇函数;②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于x=1对称;③已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1<x2),若,则在定义域内单调递减;④若是定义在R上的奇函数,也是奇函数,则是以4为周期的周期函数.其中,正确命题是（把所有正确结论的序号都填上）.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围.四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线EP交CB的延长线于P，已知.证明（Ⅰ）；（Ⅱ）．23.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；B CD O（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知关于的不等式，其解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.江西五校联考 xx 高三下（2月）数学(理)试题解析版1.已知集合，，则为BA . (0，＋)B . (1，＋)C . [2，＋)D .［1，＋) 2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示， 则它的体积为DA .B .C .D .3.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为BA .B .C .D .4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 C A . 若 B . 若 C . 若 D . 若5.如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则等于C6.的外接圆的圆心为O ，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为 AA .B .C .D .7.若非零向量满足，且，则与的夹角为D8.不等式组表示的点集记为M ，不等式组表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 BA .B .C .D .9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是DA .B .C .D .10.已知函数,n ∈N *的图象与直线交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为 DA . 1B . 1－log 20132012C . -log xxD . －111.已知函数，若函数有且只有两个零点，则k 的取值范围为C俯视图正视图 侧视图A. B. C. D.12.已知函数对任意的满足 (其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是AA. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省高二中高三下学期2月联考数学(理)试题(解析版)

江西省高二中高三下学期2月联考数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．已知（i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数对应的点在（ ） ()1i i z +=z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】求出复数z ，写出，即得对应的点所在的象限.z z 【详解】， ()11111,122222i i i z i z i i -===+∴=-+ 复数z 的共轭复数对应的点是，在第四象限.∴z 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：.D 【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.2．全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为U =R 04xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭(){}2log 12B x x =->（ ）A ．B ． (][],04,5-∞ ()(],04,5-∞C ．D ．()[],04,5-∞ (](),45,-∞+∞ 【答案】C【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为.求出集合，即求. ()U C A B ⋃,,A B A B ⋃()U C A B ⋃【详解】∵集合，，{}04A x x =≤<{}5B x x =>由Venn 图可知阴影部分对应的集合为，又或，()U C A B ⋃{04A B x x ⋃=≤<}5x >.()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃ 故选：.C 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.3．已知向量，，若，则（ ）(),1m t = ()2,1n t =- 22224m n m n -=+2t =A B ．1C D ．12【答案】D【分析】先求出的坐标，再结合题意列出方程求解即可.2m n -【详解】依题意，， ()()()22,22,14,1m n t t t -=--=由，则，22224m n m n -=+ ()2221614141t t t +=+++所以. 212t =故选：D.4．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（ ）A ．B ．24C ．D ．24.2523.7523.25【答案】C【分析】根据小矩形的面积之和为1，求出的值，再求出小矩形面积之和为的横坐标的值即为a 0.5中位数.【详解】依题意，，解得，故前3块小矩形的面积分别()0.020.040.102 2.51a a ++++⨯=0.08a =为，，则所求中位数为.0.050.25,0.40.50.050.2522.523.750.16--+=故选：C5．已知在正方体中，交于点，则（ ） 1111ABCD A B C D -11,AD A D O A ．平面 B ．平面 OB ⊥11ACC A OB ⊥11A B CD C ．平面 D ．OB A 11CD B 1OB BC ⊥【答案】C【分析】由线面平行的判定定理即可得出结果.【详解】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，BD 111,BD B D OD B C ∥∥OBD A 11CD B 故平面，其他三个选项易知是错误的.OB A 11CD B故选：C.6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即.记，则（ ）25640961048576⨯=()128log 64598820000000log 8192a =⨯+a ∈n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n1 2 4 8 16 32 64 128 256 5121024n 11 12L19 20 21 22 23 24 25⋯2n 20484096L52428810485762097152419430483886081677721633554432⋯A ．B ．C ．D ．()1,0-()2,1--()3,2--()4,3--【答案】B【分析】根据表中数据分别找到645988和20000000介于的范围，即可求解的范围，根据对数的运算性质即可求解.()2log 64598820000000⨯【详解】因为， ()()645988524288,1048576,2000000016777216,33554432∈∈故，， ()2log 64598819,20∈()2log 2000000024,25∈则，()()2log 6459882000000043,45⨯∈则，而()()128143log 64598820000000log 6459882000000015,33⎛⎫⨯=-⨯∈-- ⎪⎝⎭，故，222log 8192log 2log 409613=+=42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选:B7．已知点，若在直线上存在点，使得((0,,0,M N -:0(0,0)l mx ny m n -=>>A ，则（ ）AM AN -=A ． B ．m n >+m n<+C ． D ．m >m <【答案】C【分析】由条件结合双曲线定义可得直线与曲线有交点，由此列不等式求l (22162y x y -=≤的关系.,m n 【详解】因为，所以点在为以为焦点的双曲线AM AN-=((0,,0,M N -A ,M N 的下支，设双曲线方程为，则，()22221,0,0y x y a ab a b-=≤->>2228a b a ==-所以点在曲线上，A (22162y x y -=≤因为点也在直线上，A 0(0,0)mx ny m n -=>>所以有解；所以，即.(()2216200,0y x y mx ny m n ⎧-=≤⎪⎨⎪-=>>⎩m n m >故选：C.8．已知正数a ，b 满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） 3a b +=55a b ab λ+≥λA ．B ．C ．D ．81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等44a b b a λ+≥13a b +=44a b b a+式即可.【详解】依题意，．44a b b aλ+≥又，3a b +=而 44554444()33a b a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==()222222224422222333a b a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭≥==， 2224222()27=3124a b ab a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭≥=当且仅当，即，时，a b =32a =32b =前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为λ27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选： D. 9．若，则的大小关系不可能为（ ）112324log (21)a b c -+==+,,a b c A ． B ． c b a >>c a b >>C ． D ．b ac >>b c a >>【答案】B【分析】令函数，然后在同一直角坐标系中分别()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=作出的大致图象，再根据函数图象分析判断即可. ()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====【详解】令函数，()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=在同一直角坐标系中分别作出的大致图象，如图所示， ()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====观察可知，可能有（的图象为时）､（的图象为时）（b ac >>()m x 1l b c a >>()m x 2l c b a >>､的图象为时）， ()m x 3l 故选：B.10．已知抛物线的焦点为，过点的两条直线分别与抛物线交于点和2:4C y x =F F 12,l l C 11,A B ，且点在轴的上方，则直线在轴上的截距之积为（ ） 22,A B 12,A A x 1122,A A B B x A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D【分析】设直线的方程为，代入抛物线方程化简得，则根据根与系数11A B 1x my =+2440y my --=的关系可设，则可表示出的方程，从而可求得直线在轴上的截距()()221111111,2,,2A t t B t t ---12A A 12A A x 直线在轴上的截距，同理可得直线在轴上的截距，进而可得答案. 12A A x 12B B x 【详解】由题可知.设直线的方程为，()1,0F 11A B 1x my =+联立可得，21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=则根据根与系数的关系可设， ()()221111111,2,,2A t t B t t ---同理可设，则直线的斜率， ()()221222222,2,,2A t t B t t ---12A A 12122A A k t t =+直线的方程为， 12A A ()2221222y t x t t t -=-+令，得，即直线在轴上的截距为. 0y =12x t t =-12A A x 12t t -同理可得，直线在轴上的截距为， 12B B x 121t t -所以直线在轴上的截距之积为1. 1122,A A B B x 故选：D11．已知实数α、β 满足，其中e 是自然对数的底数，则α β＝（ ）()34e e ,ln 1e ααββ=-=A ．e 4 B ．e 3 C ．e 2 D ．e【答案】A【分析】观察已知结构构造函数，利用其单调性可得继而可得结果.()e xf x x =lneβα=【详解】由已知可得：，()ln343ee e ,ln 1e lnlne e eeeeβααβββαββα=-=⇒⋅=⋅==令，则，令，()e x f x x =()()1e xf x x '=+()0,1f x x '>∴>-()0,1f x x '<∴<-即在上单调递增，在上单调递减，，()f x ()1,-+∞(),1-∞-()()11e f x f >-=-且时，，时，， 0x <()0f x <0x >()0f x >故，即. ()3lne 0ln 0ee f f ββαα⎛⎫==>⇒=> ⎪⎝⎭4e e e ααβα⋅=⋅⋅=故选：A12．已知在中，，若（表示的面积）恒成ABC A 222sin 2sin 4sin B C A +=2ABC S BC λ≤A ABC S A ABC A 立，则实数的取值范围为（ ）λA ． B ． C ． D ．∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭【答案】A【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合换元法，导数的性质进行求解即可. 【详解】记角所对的边分别为.因为，,,A B C ,,a b c 222sin 2sin 4sin B C A +=所以由正弦定理可得.22224b c a +=. ()()222222222222222224422141sin 21cos sin 2442ABC b c a b c bc A bc b c A S b c A a a a a b c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥⎛⎫ ⎪-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==== ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭A ， ()()2222222224424422223241641529416442b cb c b c b c b c b c b c b c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦==⋅+++令，则， 220c t b =>()2228711116441ABC t S a t t ⎡⎤-⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦A令，则， ()271441t g t t t -=++()31114(21)t g t t -=+'故当时，，当时，，110,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g t '>11,14t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0g t '<故，故max 1149()1472g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭2maxABC S a ⎛⎫⎪⎝⎭A 则实数的取值范围为. λ∞⎫+⎪⎪⎭故选：A【点睛】关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键.二、填空题13．若，则_________. π1sin(),(0,π)63αα+=-∈πcos()12α-=【答案】23-【解析】由的范围，及的值，可求出的值，再结合απsin()6α+πcos()6α+πππcos()cos[(1246αα-=-+，展开可求出答案. 【详解】因为，所以. πππ()()6124αα++-=πππ()1246αα-=-+因为，所以，又，所以，所以(0,π)α∈ππ7π(,)666α+∈π1sin()063α+=-<π7π(π,66α+∈πcos()6α+=则. πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin(12464646αααα-=-+=+++12(()33=-=-故答案为：23-【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式的应用，注意角的范围，考查学生的计算求解能力，属α于基础题.14．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为.现移动边，,,,2,4A B C AC AB ==AC 使得点分别在轴､轴的正半轴上运动，则（点为坐标原点）的最大值为__________.,A C x y OB O【答案】1+1【分析】取的中点，解三角形求，结合两点之间线段最短的结论求的最大值. AC E ,OE BE OB【详解】由已知，2,4AC AB ==如图，取的中点，因为为直角三角形，故. AC E OAC A 112OE AC ==由于为直角三角形，故ABC A BE ==显然，当且仅当三点共线时等号成立， OB OE BE ≤+,,O B E故的最大值为. OB 1故答案为：.115．已知a ＞0，函数在其定义域上单调递减，则实数()[ln(1)]ln(1)af x x a x x a x =+--++()1,-+∞a 取值的集合为_______________． 【答案】{2}【分析】由导数与函数的单调性关系结合条件可得对任意的恒成立，再利用()()1,,0x f x ∈-+'∞≤导数求函数的最大值和取最大值的条件，由此可得的值.()()ln 12g x a x x =+-a 【详解】因为，所以， ()()ln 1ln(1)af x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦()()ln 12f x a x x +'=-由已知函数在其定义域上单调递减，()()ln 1ln(1)a f x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦()1,-+∞所以对任意的恒成立.()()1,,ln 120x a x x ∈-+∞+-≤设，则，()()ln 12g x a x x =+-()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+由知，0a >112a->-所以当时，，函数在上单调递增，1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减，1,2a x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭所以在时取得最大值，又 ()g x 12ax =-()00g =所以对任意的恒成立， ()g x ()()()1,,0x g x g ∈-+∞≤即的最大值为，所以，解得. ()g x ()0g 102a-=2a =故答案为：{2}16．母线长为，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些O 小球，小球与圆锥底面、侧面、球都相切，这样的小球最多可放入__________个． O 【答案】10【详解】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3，如图所示：设球O 半径为R ，由∠OCB=30°，可得OC=2R ，故OA=OC=2R ，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.设小球半径为r ，同理可得,故，所以小球半径为，2O C r '=31r =13r =且.这时到直线AO 的距离为．这些小球相邻相切，排在一起，则球心在'43OO =O '4sin603︒=M 上，如图所示：H 为相邻两球切点，分别为相邻两球球心，设∠，则12M M ，1H θM M=1sin θr M M ==， tan θ=sin θθtan θ<<，θ<<2θ<<22πθ<<10=>，，故可得能放入小球个数最多为10 11<<故答案为10点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.三、解答题17．已知数列满足.{}n a ()()1233521131nn a a a n a n ++++-=-+L (1)求的通项公式；{}n a (2)在和之间插入n 个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数n a 1n a +2n +n d 列的前n 项和. 1n d ⎧⎫⎨⎩⎭n T 【答案】(1)13n n a -=(2) 11525883n n n T -+=-⋅【分析】（1）由已知递推公式，分和利用作差法求出数列的通项公式； 1n =2n ≥（2）依题意可得，利用错位相减法求和即可； 111123n n n d -+=⋅【详解】（1）解：因为，①()()1233521131nn a a a n a n ++++-=-+L 当时，1n =11a =当时，，②2n ≥()()112313523231n n a a a n a n --++++-=-+L ①②得.-()()()()()11211312312132n n n n n a n n n n --⎡⎤⎡⎤-=-+--+=-≥⎣⎦⎣⎦所以.()132-=≥n n a n又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.1n ={}n a 13n n a -=（2）解：由题可知，得， 1113323111n n n n n n a a d n n n --+--⋅===+++111123n n n d -+=⋅则，③012211213141112323232323n n n n n T --+=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅L ，④ 1231112131411132323232323n n n n n T -+=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅L ③④得-21211111113233323n n n n T -+⎛⎫=++++-⋅ ⎪⎝⎭L ， 11111115251331122344313n n n n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+⋅-⋅=-⋅-解得. 11525883n n n T-+=-⋅18．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，P ABCD -PD ⊥ABCD AD DC ⊥AB DC 12AB DC =，为棱的中点．1PD AD ==M PC(1)证明：∥平面；BM PAD (2)若，求二面角的余弦值． BD BC ⊥P DM B --【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的PD N ABMN BM AN ∥判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，取CD 的中点，可得四边形ABED 为正方形，则，E 1AB AD ==，求出平面BDM 的法向量，易知为平面PDM 的一个法向量，利用向量夹角公式求解可2DC =DA得答案.【详解】（1）取中点，连接，．PD N AN MN 在中，，分别为，的中点，所以，， PCD A M N PC PD MN DC ∥12MN DC =因为，，所以，， AB DC A 12AB DC =AB MN ∥AB MN =所以四边形为平行四边形，因此，ABMN BM AN ∥又因为平面，平面，所以平面PAD ．BM ⊄PAD AN ⊂PAD BMA（2）因为平面，，平面ABCD ，所以，，又PD ⊥ABCD AD DC ⊂PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， D ,,DA DC DP ,,x y z D xyz -取CD 的中点，连接BE ．E因为，，所以，， //AB DC 12AB DC =AB DE ∥AB DE =又因为，所以四边形ABED 为矩形， AD DC ⊥在中，因为，所以， BCD △BD BC ⊥12BE DC =又因为，所以， 12AB DC =AB BE =所以四边形ABED 为正方形，即，，1AB AD ==2DC =由题意得，，，，，，(0,0,0)D (1,0,0)A (1,1,0)B (0,2,0)C (0,0,1)P 10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，，(1,0,0)DA = 10,1,2DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1,1,0)DB =设平面BDM 的法向量为，所以即 (,,)n x y z = 0,0,n DM n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 10,20.y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，．所以平面BDM 的一个法向量为， 1y =-1x =2z =(1,1,2)n =-易知为平面PDM 的一个法向量，DA所以，cos ,||||n DA n DA n DA ⋅===因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. P DM B --P DM B --19．近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示. 第年x 1 2 34 5从业人数（万人） y 5 8111115 (1)若与线性相关，求与之间的回归直线方程； y x y x ˆˆˆybx a =+(2)若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进入电商行业的概率分别为，且他们是否进入电商行2133,,,3244业相互独立.记这4人中最终进入电商行业的人数为，求的分布列以及数学期望.X X 参考公式：在线性回归方程中，. ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==-==--∑∑【答案】(1)； ˆ 2.3 3.1yx =+(2)分布列见解析，.()83E X =【分析】（1）根据题中所给公式，结合平均数的公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意，，581111153,105x y ++++===而，故55211516334475173,149162555i i i i i x y x ===++++==++++=∑∑， 515222151735310ˆˆ2.3,10 2.33 3.155535i ii ii x y xybaxx ==--⨯⨯====-⨯=-⨯-∑∑故所求回归直线方程为； ˆ 2.3 3.1yx =+（2）依题意，的所有可能取值为.X 0,1,2,3,4，()111110324496P X ==⨯⨯⨯=，()122111111111319313244324432449632P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()11222111213111311133292C C 324432443244324496P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()1221312133113339133C 3244324432449632P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()2133183432449616P X ==⨯⨯⨯==所以的分布列为 X X 01 2 3 4P 196 3322996 1332316故. ()132913380123496329632163E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20．已知函数.()()32e 2R 2xx f x x ax a =+--∈(1)设函数，判断的单调性；()()2f x axm x x+=()m x (2)若当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.0x ≥x ()3cos 2x f x x ≥+a 【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增(),0∞-()0,1()1,+∞(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)由已知，求其导函数，解不等式求函数的递增()2e 2x x m x x x =-+()m x '()0m x '>()m x 区间，解不等式，求函数的递减区间； ()0m x '<()m x (2)由已知可得当时，恒成立，当时，利用多次求导证明函数0x ≥2e cos 20x x x ax ---≥12a ≤恒成立，当，先证明，由此证明存在，当时，2e cos 20x y x x ax =---≥12a >e e x x ≥0x ()00,x x ∈，由此确定的取值范围.2e cos 20x x x ax ---<a 【详解】（1）因为，，()32e 22xx f x x ax =+--()()2f x ax m x x +=所以，()2e ,02x x m x x x x =-+≠则，()()()()221e e 111x x x m x x x x x -⎛⎫=+-=-+ ⎝'⎪⎭故当时，，当时，，当时，，0x <()0m x '<01x <<()0m x '<1x >()0m x '>故在和上单调递减，在上单调递增.()m x (),0∞-()0,1()1,+∞（2）依题意，当时，恒成立.0x ≥()2e cos 20*x x x ax ---≥令，则.()[)2e 2cos ,0,x g x x ax x x ∞=---∈+()e 22sin xg x x a x -+'=-令，则.()[)e 22sin ,0,xh x x a x x ∞=--+∈+()e cos 2x h x x =+-'令，则，故在上单调递增，()[)e cos 2,0,xr x x x ∞=+-∈+()e sin 0x r x x =->'()r x [)0,∞+则，故即在上单调递增，则. ()()00r x r ≥=()h x ()g x '[)0,∞+()()012g x g a ''≥=-当时，，此时单调递增，从而，满足题意. 12a ≤()()0120g x g a ''≥=-≥()g x ()()00g x g ≥=当时，令，则， 12a >()e e x s x x =-()e e xs x '=-当时，单调递减，当时，单调递增， (),1x ∈-∞()()0,s x s x '<()1,x ∈+∞()()0,s x s x '>所以，即，当且仅当时取等号.()()10s x s ≥=e e x x ≥1x =所以，()()e 22sin e 212xg x x a x x a =--+>---'从而. ()1212e 2120e 2e 2a a g a ++⎛⎫>-⋅--= ⎪--⎝⎭'又在上单调递增，故存在唯一的实数，使得()()0120,g a g x '=-<'[)0,∞+0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭()00g x '=，且当时，单调递减，所以当时，，不合题意，舍()00,x x ∈()()0,g x g x '<()00,x x ∈()()00g x g <=去.综上所述，实数的取值范围为a 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； ()a f x ≥()max a f x ≥(2)恒成立⇔.()a f x ≤()min a f x ≤21．已知椭圆的左顶点为A ，右焦点为F ，过点的直线l 交C 于M 、N 两22:143x y C +=()4,0T 点，其中点M 在第二象限．(1)若直线l 过点，求的面积；()0,1AMN A (2)设线段MF 交半径为1的圆F 于点G ，直线TG 与AM 交于点R ，若直线AM ，NR 的斜率之比为，求． 23-MG【答案】(2)32【分析】（1）求出椭圆的和点与的坐标，通过直线过和求出直线的解析,,a b c A F ()01，()40T ，式，与椭圆联立，；利用韦达定理求出，利用两点之间坐标公式求出点到直线的距离，即MN A 可求出的面积.AMN A （2）设出直线的解析式，由韦达定理求出点的坐标，得出直线的斜率，利用AM ,,M G N ,MN NR 直线AM ，NR 的斜率之比为，即可求出直线的斜率，进而得出.23-AM MG 【详解】（1）由题意在椭圆中，左顶点为A ，右焦点为F ，22:143x y C +=∴，()()2,1,2,0,1,0a b c A F ===-在直线中，图像过，，l ()0,1()4,0T ∴，即1:14l y x =-+1104x y +-=∵直线与椭圆交于M 、N 两点，设()()1122,,,M x y N x y ∴，解得：， 22143114x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩2138320x x --=易得，所以， 0∆>1212832,1313x x x x+==-=∵点到直线的距离为Ad ==∴1122AMN S MN d ===A（2）由题意及（1）得，点在第二象限，直线斜率存在，且斜率，M AM 0k >在直线中，设，与椭圆联立，AM ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得，易得，()2222341616120kxk x k +++-=0∆>设, 因为, 由韦达定理, 有, 得, ()33,M x y ()2,0A -23216(2)34k x k -+-=+2326834k x k -=+代入方程, 解得, ()2y k x =+321234ky k =+∴, 2226812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又,, ()1,0F 2231234kk +=+线段交半径为1的圆于点,MF F G ∴， 2231234F k FG kM +=+设，则， ()44,G x y ()442222268123121,3434134,k k k k k k x y ⎛⎫= -+-⎝+⎭-++⎪解得， 442224,4141kx y k k ==++∴，2224,4141k G k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭直线的方程为,TG ()22481ky x k -=-+联立方程组, 可得, ()()222481y k x k y x k ⎧=+⎪⎨-=-⎪+⎩22261612,3838k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线的方程为,TM ()22414ky x k -=-+联立方程组, 消去得, ()22224143412k y x k x y -⎧=-⎪+⎨⎪+=⎩y ()42224248403128192160120k k x k x k k ++--+-=可得, 2324224121248,12148161k k k N k k k ⎛⎫-+ ⎪+++⎝⎭∴, 记, 423212324AM NR k k k k-==--2t k =有或, 当时,不在第二象限, 舍去,293292450,4t t t -+==5858t =M 所以,得,294t k ==32k =经检验，满足上述方程中，32k =0∆>所以. 31331,,,,||2552M G MG ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点xOy A 1C 2cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩t 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．O x 2C 22cos ρθ=-(1)求圆的极坐标方程；1C(2)设点在曲线上，且满足的极径． B 2C AB =B 【答案】(1) 24cos 30ρρθ-+=(2)1或13【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；（2）根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为1C t 1C ，圆心．22(2)1x y -+=()2,0A 把代入， cos ,sin x y ρθρθ==22(2)1x y -+=化简得圆的极坐标方程为．1C 24cos 30ρρθ-+=（2）由题意，在极坐标系中，点．()2,0A 点在曲线上，设．B 2C ()22cos ,B θθ-在中，由余弦定理有，AOB A 2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠即．()234(22cos )2222cos cos θθθ=+--⨯-化简得． 212cos 16cos 50θθ-+=解得或． 1cos 2θ=5cos 6θ=故或．22cos 1ρθ=-=122cos 3ρθ=-=点的极径为1或．∴B 1323．已知、为非负实数，函数． a b ()34f x x a x b =-++(1)当，时，解不等式； 1a =12b =()7f x ≥(2)若函数的最小值为()f x 6【答案】(1) (][)34,-∞-+∞ ，【分析】（1）当，时，可得出，分、、三种1a =12b =()32f x x x =-++2x ≤-23x -<<3x ≥情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；()7f x ≥（2）利用绝对值三角不等式可得出. 346a b +=【详解】（1）解：当，时，． 1a =12b =()32f x x x =-++当时，，解得，此时； 2x ≤-()32127f x x x x =---=-≥3x ≤-3x ≤-当时，，此时原不等式无解； 23x -<<()3257f x x x =-++=<当时，，解得，此时． 3x ≥()32217f x x x x =-++=-≥4x ≥4x ≥综上，不等式的解集为.()7f x ≥(][),34,-∞-⋃+∞（2）解：由， ()()()344334f x x a x b x b x a a b =-++≥+--=+因为，，当且仅当时，等号成立，0a ≥0b ≥43b x a -≤≤．()min 34346f x a b a b ∴=+=+=所以，，即， ()213414a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭2515642+≤⨯=≤当且仅当时，即当，时，等号成立，346a b=⎪+=⎪⎩85a =310b =。

2021年江西省上饶市(天佑中学、余干中学等)六校高考数学第一次联考试卷(理科)(2月份)

2021年江西省上饶市(天佑中学、余干中学等)六校高考数学第一次联考试卷(理科)(2月份)

2021年江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校高考数学第一次联考试卷（理科）（2月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1<x<5}，B={x|−2<x<3}，则A∩B=()A. ⌀B. {x|−1<x<3}C. {x|−2<x<5}D. {x|−1<x<5}2.命题“∀x∈[1,2]，3x2−a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是()A. a≤4B. a≤2C. a≤3D. a≤13.设x，y满足约束条件{x−y+3≥0,x+y−1≤0,y≥0,则z=x−2y的最大值为()A. −5B. −3C. 1D. 44.已知Z=cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R)，则|Z|的取值范围为()A. [0,1]B. [0,2]C. [0,4]D. [2,4]5.上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系，抽样得一组数据如表：x(克)24568y(%)30m507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5，则表中m的值为()A. 39.5B. 40C. 43.5D. 456.阅读如图的算法框图，输出结果S的值为()A. 0B. 12C. 2 D. 327.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则此函数可能是()A. f(x)=sinx ⋅ln|x|B. f(x)=−sinx ⋅ln|x|C. f(x)=sinx ⋅lnxD. f(x)=|sinx ⋅lnx|8. 已知椭圆C ：x 24+y 2=1的焦点是F 1，F 2，点P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的内切圆半径r 为( )A. √3B. 2−√3C. 2+√3D. 29. 疫情防控期间，上饶市某医院从3名呼吸科、3名重症科和2名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援武汉，则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为( )A. 37B. 47C. 57D. 6710. 设△ABC 为等腰三角形，AB =AC =2，∠A =2π3，AD 为BC 边上的高，将△ADC 沿AD 翻折成△ADC′，若四面体ABC′D 的外接球半径为√52，则线段BC′的长度为( )A. 2√2B. √6C. √5D. √311. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=2xln2x ，若f(x 1)=g(x 2)=t ，t >0，则lntx1x 2的最大值为( )A. 1e 2B. 4e 2C. 1eD. 2e12. 已知函数f(x)=√3sinx +3acosx ，x ∈[0,π3]的最小值为3a ，则实数a 的取值范围是( )A. [0,2]B. [−2,2]C. (−∞,1]D. (−∞,3]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(k,32)与b ⃗ =(2,−2)，若b ⃗ ⊥(2a ⃗ +b ⃗ )，则实数k 的值为______ ． 14. 已知在△ABC 中，∠A =2π3，AB =3，BC =7，则△ABC 的面积S = ______ ．15. 已知多项式(x +1)5=a 0(x −1)5+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0+a 1+⋅⋅⋅+a 5= ______ ． 16. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，以OF(O 为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两渐近线分别交于A 、B 两点(不同于原点).若△OAB 的面积等于14ab ，则双曲线C 的离心率为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知正项数列{a n }，a 1=1，S n 是其前n 项和，且满足S n =(√S n−1+S 1)2(n ≥2,n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =4(a n +1)a n 2a n+12，求{b n }的前n 项和T n ．18.如图，已知三棱锥P−ABC中，AB=2，AC=2√3，BC=4，PA=PB=√5，D为BC的中点．(1)求证：PD⊥AB；(2)若PD=1，求直线PD与平面PAC所成的角．19.在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根，其余各局甲队获据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P，决胜局(第五局)甲队获胜的概率为23．胜的概率均为12(1)求甲队以3：2获胜的概率；(2)现已知甲队以3：0获胜的概率是1，若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；12若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−1,1)，P 是动点，且直线OP 的斜率与直线OA 的斜率之和等于直线的PA 斜率．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过A 作斜率为2的直线与轨迹C 相交于点B ，点T(0,t)(t >0)，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点E 、F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t =λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2−1+aln(1−x)，(a ∈R)．(1)当a =2时，求f(x)在(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且f(x 1)>mx 2，求m 的取值范围． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +1t−1y =t −1t(t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ=π6(ρ∈R)与曲线C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．23. 设函数f(x)=|3x+1|−|2x−2||x+3|的最大值M ．(1)求M ；(2)已知a ，b ，c 均为正实数，且a +b +c =M ，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)≥8．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={x|−1<x <5}，B ={x|−2<x <3}，则A ∩B ={x|−1<x <3}， 故选：B ．直接根据交集的定义即可求出．本题考查集合的运算，主要是交集运算，属于基础题． 2.【答案】A【解析】解：命题“∀x ∈[1,2]，3x 2−a ≥0”为真命题，则等价为“∀x ∈[1,2]，3x 2≥a ”为真命题， 则a ≤3，则必要不充分条件为包含a ≤3的集合， 故选：A ．根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础． 3.【答案】C【解析】解：由约束条件{x −y +3≥0,x +y −1≤0,y ≥0,作出平面区域如图所示，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z2，由图可知，当直线y =12x −z 2过点A(1,0)时，直线在y 轴上的截距最小， z 取得最大值为1−2×0=1． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 4.【答案】B【解析】解：因为Z =cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R)，所以|Z|2=cos 2θ+(1+sinθ)2=cos 2θ+sin 2θ+2sinθ+1=2sinθ+2， 因为θ∈R ，所以−1≤sinθ≤1， 所以−2≤2sinθ≤2， 所以0≤2sinθ+2≤4， 所以0≤|Z|≤2， 故选：B ．根据题意可得|Z|2=2sinθ+2，由θ∈R ，推出|Z|的范围．本题考查复数的模，解题中注意三角函数的值域，属于中档题． 5.【答案】B【解析】解：由题意可得：x −=2+4+5+6+85=5．y −=30+m+50+70+605=210+m 5，y 与x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +17.5， 可得210+m 5=6.5×5+17.5，解得m =40． 故选：B ．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，然后求解m 即可． 本题考查回归直线方程的求法，简单性质的应用，是基础题． 6.【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S =sin π6+sin 3π6+sin5π6+⋯+sin2021π6的值． ∵由于y =sinkπ6的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，其中k =2n −1，n ∈N ∗，又∵2021=2n −1，解得n =1011，1011=168×6+3， ∴S =sin π6+sin3π6+sin5π6+⋯+sin2021π6=168×0+sin π6+sin3π6+sin5π6=0+12+1+12=2．故选：C ．首先判断框图为“当型“循环结构，然后判断循环体并进行循环运算．判断出规律，最后判断出最后的输出结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是解本题的关键，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：由函数图象可知，函数定义域为{x|x ≠0}，而选项C 、D 所给函数的定义域为{x|x >0}，故排除选项CD ；当x →0+时，ln|x|→−∞，sinx →0+，此时ln|x|sinx →0−，而由图象可知，此时f(x)→0−，故选项A 符合题意． 故选：A ．由函数定义域可排除选项CD ，由特殊函数值可排除选项B ，进而得到正确答案． 本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题． 8.【答案】B【解析】解：∵椭圆C ：x 24+y 2=1的焦点是F 1，F 2，a =2，b =1，所以c =√3，设△PF 1F 2内切圆半径为r ，|PF 1|+|PF 2|=2a =4，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2=12． 所以2|PF 1||PF 2|=4，则12(|PF 1|+|PF 2|+2c)⋅r =12|PF 1||PF 2|，(2a +2c)r =2r =24+2√3=2−√3．故选：B ．依题意知，求出a ，b 、c ，△PF 1F 2内切圆半径为r ，利用直角三角形以及椭圆的等于，求解三角形PF 1F 2的面积，可求得三角形PF 1F 2内切圆半径．本题考查椭圆的简单性质，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：上饶市某医院从3名呼吸科、3名重症科和2名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组， 基本事件总数n =C 85=56，该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少选派1人按人数分为311，221， 不同的选派方法有：m =C 2113C 33C C 21+C 32C 32C 21+C 21C 31C 32C 22=48，则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为P =m n=4856=67．故选：D ．先求出基本事件总数n =C 85=56，该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少选派1人按人数分为311，221，求出不同的选派方法，由此能求出所求概率．本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题． 10.【答案】D【解析】解：如图，设等腰三角形BDC′的外心为G ，四面体ABC′D 的外接球的球心为O ， 连接GO ，则OG ⊥平面BDC′，由已知求得AD =1，又四面体ABC′D 的外接球半径为√52，∴DG =(√52)(12)=1，即等腰三角形BDC′的外接圆的半径为1， 又由已知可得BD =DC =√3，由正弦定理可得，√3sin∠DBC =2， 得sin∠DBC =√32，可得∠DBC =∠DCB =60°，则BC′=√3．故选：D ．由题意画出图形，结合已知求出三角形BDC′的外接圆的半径，再由正弦定理求解得答案．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 11.【答案】D【解析】解：因为f(x)=xe x ，g(x)=2xln2x ，f(x 1)=g(x 2)=t ，t >0， 所以x 1e x 1=2x 2ln2x 2=t ，所以ln(x 1e x 1)=ln(2x 2ln2x 2)=lnt ， 即lnx 1+x 1=ln(2x 2)+ln(ln2x 2)=lnt ， 因为y =x +lnx 在(0,+∞)上单调递增， 所以x 1=ln(2x 2)，即lnx 1+x 1=lnx 1+ln2x 2=lnt ， 所以2x 1x 2=t ， 则lntx1x 2=2lnt t， 令ℎ(t)=2lnt t，则ℎ′(t)=2−2lnt t 2，当0<t ≤e 时，ℎ′(t)≥0，ℎ(t)单调递增， 当t >e 时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)单调递减， 故当t =e 时，ℎ(t)取得最大值ℎ(e)=2e ．故选：D ．由已知等式代入可得x 1e x 1=2x 2ln2x 2=t ，然后结合对数性质及基本函数单调性可得x 1=ln(2x 2)，代入到所求式子后再次构造函数，结合导数研究单调性，进而可求．本题主要考查了利用导数研究函数单调性及最值，解决本题的关键是从已知等式中构造函数并能灵活利用函数性，属于中档题． 12.【答案】C【解析】解：f(x)=√3sinx +3acosx 的最小值是3a ，并且观察当x =0时，f(0)=3a ， 所以当x ∈[0,π3]时，√3sinx +3acosx ≥3a 恒成立， 即3a(1−cosx)≤√3sinx ，当x =0时，a ∈R ， 当x ∈(0,π3]时，a ≤√3sinx 3(1−cosx)=2√3sin x2cosx23×2sin 2x2=√33tanx 2恒成立，即a ≤(√33tan x 2)min， 因为x ∈(0,π3]时，tan x2的最大值是√33，所以√33tan x 2的最小值是1，所以a ≤1．故选：C ．通过参变分离转化为≤√3sinx 3(1−cosx)=2√3sin x 2cosx23×2sin 2x2=√33tanx 2恒成立，即a ≤(√33tan x 2)min，从而可求出a 的取值范围．本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，考查三角恒等变换以及正切函数的性质，属于中档题．．13.【答案】−12【解析】解：∵向量a⃗=(k,32)与b⃗ =(2,−2)，b⃗ ⊥(2a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2(2k−3)+(4+4)=0，则实数k=−12，故答案为：−12．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】15√34【解析】解：因为在△ABC中，∠A=2π3，AB=3，BC=7，由正弦定理ABsinC =BCsinA，可得3sinC=7√32，解得sinC=3√314，由C为锐角，可得cosC=√1−sin2C=1314，可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√32×1314+(−12)×3√314=5√314，所以△ABC的面积S=12AB⋅BC⋅sinB=12×3×7×5√314=15√34．故答案为：15√34．由已知利用正弦定理可得sin C的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos C的值，利用两角和的正弦公式可求sin B的值，即可根据三角形的面积公式即可计算求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】31【解析】解：因为(x+1)5=a0(x−1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=1，则25=a1+a2+a3+a4+a5=32，再令x=0，则1=−a0+0，所以a0=−1，所以a0+a1+a2+a3+a4+a5=−1+32=31，故答案为：31．分别令x=1，x=0即可求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】2【解析】解：设F(c,0)，可得以OF(O 为坐标原点)为直径的圆的方程为x 2+y 2−cx =0，①双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，②由①②可设A(a 2c ,ab c)，B(a 2c ,−ab c )， 则△ABO 的面积为12⋅a 2c ⋅2ab c =14ab ， 化为c =2a ，则e =c a =2， 故答案为：2．设F(c,0)，求得双曲线的渐近线方程，与以OF 为直径的圆的方程联立，解得A ，B 的坐标，运用三角形的面积公式，化简整理，可得所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：(1)正项数列{a n }，a 1=1，满足S n =(√S n−1+S 1)2(n ≥2,n ∈N +)．∴√S n −√S n−1=1，∴数列{√S n }是等差数列，公差为1，首项为1．∴√S n =1+n −1=n ，解得S n =n 2，∴n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，n =1时也成立，∴a n =2n −1．(2)b n =4(a n +1)a n 2a n+12=4(2n−1+1)(2n−1)2(2n+1)2=1(2n−1)2−1(2n+1)2， ∴{b n }的前n 项和T n =1−132+132+⋯…+1(2n−1)2−1(2n+1)2=1−1(2n+1)2．【解析】(1)正项数列{a n }，a 1=1，满足S n =(√S n−1+S 1)2(n ≥2,n ∈N +).可得√S n −√S n−1=1，利用等差数列的通项公式即可得出S n ，再利用递推关系即可得出a n ．(2)b n =4(a n +1)a n 2a n+12=4(2n−1+1)(2n−1)2(2n+1)2=1(2n−1)2−1(2n+1)2，利用裂项求和方法即可b n 的前n 项和T n ． 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式及求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取AB 的中点M ，连接PM ，DM ，AD ，∵PA =PB ，∴PM ⊥AB ，∵AB =2，AC =2√3，BC =4，∴AB 2+AC 2=BC 2，即AB ⊥AC ，∵D 为BC 的中点，∴AD =12BC =BD ，又M 为AB 的中点，∴DM ⊥AB ，∵PM ∩DM =M ，PM 、DM ⊂平面PDM ，∴AB ⊥平面PDM ，∵PD ⊂平面PDM ，∴PD ⊥AB ．(2)解：∵PD=1，PB=√5，BD=12BC=2，∴PD2+BD2=PB2，即PD⊥BD，由(1)知，PD⊥AB，∵AB∩BD=B，AB、BD⊂平面ABC，∴PD⊥平面ABC，∴点P到平面ACD的距离为PD=1，在△PAC中，PA=√5，AC=2√3，PC=√PD2+CD2=√5，∴S△PAC=12AC⋅√PA2−(12AC)2=12×2√3×√5−3=√6，S△ACD=12S ABC=14AB⋅AC=14×2×2√3=√3，设点D到平面PAC的距离为d，∵V P−ACD=V D−ACP，∴13PD⋅S△ACD=13d⋅S△PAC，即1×√3=d⋅√6，∴d=√22，设直线PD与平面PAC所成的角为θ，则sinθ=dPD =√22，∵θ∈[0,π2]，∴θ=π4，故直线PD与平面PAC所成的角为π4．【解析】(1)取AB的中点M，连接PM，DM，AD，则PM⊥AB，结合勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，可知DM⊥AB，再由线面垂直的判定定理与性质定理，得证；(2)由勾股定理的逆定理可证PD⊥BD，结合(1)与线面垂直的判定定理可得PD⊥平面ABC，然后利用等体积法可求得点D到平面PAC的距离d，设直线PD与平面PAC所成的角为θ，由sinθ=dPD，可得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用等体积法处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)记甲以3：2获胜为事件A，P(A)=P×C31×12×(12)2×23+(1−P)×C32(12)2×12×23=14．(2)∵甲以3：0获胜的概率为112，∴p ×(12)2=112，解得p =13， 记甲的得分为X ，则X 的取值为0，1，2，3，P(X =3)=13×12×12+23×12×12×12+13×12×12×12×2=14，P(X =2)=P(A)=14，P(X =1)=23×C 31×(12)3×13+13C 32(12)3×13=18， P(X =0)=23×12×12+23×C 21(12)3+13×(12)3=38， X∴E(X)=0×38+1×18+2×14+3×14=118．【解析】(1)由概率公式直接计算即可；(2)甲的得分取值分别为0，1，2，3，分别计算出对应的概率，即可解出．本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，属于基础题．20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可得k OP =y x ，k OA =−1，k PA =y−1x+1，而k OP +k OA =k PA ，∴y x −1=y−1x+1，整理可得：x 2=y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为：x 2=y(x ≠0且x ≠−1)；(2)由题意直线AB 的方程为：y −1=2(x +1)，即y =2x +3，代入曲线C 中可得x 2−2x −3=0，解得x =3或x =−1，∴可得B(3,9)，直线AT 的方程为：y =(t −1)x +t ， 代入抛物线的方程得：x 2−(t −1)x −t =0，∴−1⋅x E =−t ，得x E =t ，则y E =t 2，∴E(t,t 2)，直线BT 的方程为：y =9−t3x +t ，代入抛物线方程得：x 2+t−93x −t =0，∴3⋅x F =−t ，得x F =−t 3，则y F =t 29， ∴F(−t 3,t 29)，则k =t 2−t 29t+t 3=23t ，∴t =32k ，由题意t=λk，∴λ=32．故存在常数λ=32，使得t=λk．【解析】(1)设P的坐标，可得直线OA，OP，PA的斜率，由题意可得P的轨迹C的方程；(2)由题意可得直线AB的方程，与轨迹C的方程联立求出B的坐标，进而求出直线AT，BT的方程，分别与曲线C联立求出E，F的坐标，求出直线EF的斜率k的表达式，可得k与t的关系，进而可得满足条件的常数λ．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−1+2ln(1−x)，f′(x)=2x−21−x，则f(0)=−1，f′(0)=−2，故f(x)在(0,f(0))处的切线方程y+1=−2x，即y=−2x−1；(2)f′(x)=2x−a1−x =−2x2+2x−a1−x，△=4−8a≤0，即a≥12时，函数在(−∞,1)上单调递减，没有极值，不符合题意；△=4−8a>0，即a<12时，由题意得2x2−2x+a=0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，由a<12，则x1+x2=1，x1=1−√1−2a2<12，x2=1+√1−2a2∈(12,1)，则m<f(x1)x2=x12−1+aln(1−x1)x2，=x12−1+(2x1−2x12)ln(1−x1)1−x1，=−1−x1+2x1ln(1−x1)，令ℎ(x)=−(1+x)+2xln(1−x)，x<12，则ℎ′(x)=−1+2ln(1−x)−2x1−x，=2(1−x)ln(1−x)−x−11−x =2ln(1−x)+2x−1+1，ℎ″(x)=2x−1−2(x−1)2=2(x−2)(x−1)2<0，x→−∞时，ℎ′(x)→−∞，故ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)在(−∞,12)上单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(12)=−2ln2−3，故m的取值范围(−∞,−2ln2−3)．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；(2)先对函数求导，然后结合a 的范围及二次函数的性质确定函数存在极值时a 的范围，然后由已知不等式分离参数后转化求相应函数的取值范围，结合导数及函数的性质即可求解．本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及由不等式的恒成立求解参数范围，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =t +1t −1y =t −1t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为(x +1)2−y 2=4， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)+2ρcosθ−3=0． (2)把θ=π6代入ρ2(cos 2θ−sin 2θ)+2ρcosθ−3=0，得到12ρ2+√3ρ−3=0，所以ρ1+ρ2=−2√3，ρ1ρ2=−6，所以|MN|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=6．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：∵|3x +1|−|2x −2|≤|(3x +1)−(2x −2)|=|x +3|，当且仅当(3x +1)(2x −2)≥0且|3x −1|≥|2x −2|时取等号，∴f(x)=|3x+1|−|2x−2||x+3|≤|x+3||x+3|=1，故M =1；(2)证明：由(1)知，M =1，则a +b +c =1，又a >0，b >0，c >0，∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=(a +b +c a −1)(a +b +c b −1)(a +b +c c−1) =b+c a ⋅a+c b ⋅a+b c ≥2√bc a ⋅2√ac b ⋅2√ab c =8．当且仅当a =b =c 时等号成立．故(1a −1)(1b −1)(1c −1)≥8．【解析】(1)利用绝对值不等式的性质求解f(x)的最大值M ；(2)由(1)可得，a +b +c =1，然后利用“1”的代换，结合基本不等式即可证明(1a −1)(1b −1)(1c −1)≥8． 本题考查绝对值不等式的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。

2021届高三第一次联考数学(理)试卷答案

2021届高三第一次联考数学(理)试卷答案

江西省重点中学协作体第一次联考数学（理）答案一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D CBBCDBCACAC二、填空题17. 10 14.2=y 15.2 16.π31040 18. 解(1)由题意得：()()1,615472-=∴+⨯=+d d d ，或11=d (舍）∴n a n -=6............................................3分又 23,6,45211=∴==-=q b a b 公比123.4,-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b ............6分（2）123.4,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=n n n b n a())..........(..................................21212211n n n n n b b b a a a b a b a b a S +++++=++++++= nn n n s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∴23882112-2..........12分18．解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，2=BD 所以AO BD ⊥，...........2分 且3=AO ，又因为2BC CD ==，所以112CO BD ==，又2=AC 222AC OC AO =+∴OC AO ⊥∴................4分AO BD ⊥又因为CO BD O ⋂=，所以平面ABD BCD ⊥平面，............6分()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ， 且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ， 同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =， 设EFO πθ∠=-， 则()0,0,0O，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,co 1s ,221222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭1cos ,co 113s ,22222BE θθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 23sin 21cos 2cos 232=∴=∴=+∴=θθθBE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴464343，，E ..........8分 所以()1,1,0CD =-，1344CE ⎛=- ⎝⎭，， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，01360444x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭．..........................10分因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC=，所以c os ,4OC n 〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 的锐二面角的余弦值为46...............12分19.解（1）由题意可知：2,42==a a ................1分 设点()()2211,,y x B y x A ，B A ,在椭圆上1221221=+∴b ya x .........① 1222222=+by a x ...........② 43.-=OMAB k k 43.21211212-=++--∴x x y y x x y y ..........③由①-②及③得43-22-=a b ............................4分32=∴b∴椭圆C 方程为: 13422=+y x .....................5分（2）设直线()1-=x k y l ；联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得()01248432222=-+-+k x k x k 2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+∴ ,..............................7分 ∴)433,434222kk k M +-+（， 假设存在点D ,则MD 的直线方程为：)434(1433222kk x k k y +--=++)43340(2k k D +-∴， 2243)1(12kk AB ++= ，.............................................9分 222224314043411kk k k k k MD ++=-++=.........................10分 若ABD ∆为等边三角形则：MD AB =2243)11223k k ++⨯（224314kk k ++= 即027232=+k ，方程无实数解， ∴不存在这样的点D ..................................12分20.解：（1）依题意得：X 的所有可能取值为500,300,200，..................1分 由表格数据知()3.09027500P ===x ，()4.09036300P ===x ，()3.09027200P ===x ，......4分 因此分布列为..........................................................................5分 (2)由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，因此只需考虑500200≤≤n 。

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2021年江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则MN 为A ．（0，＋∞）B ．（1，＋∞）C ．[2，＋∞）D ．［1，＋∞）2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A ．16 B ．13 C ．23D ．56 3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12- 4．已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B ．若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 C ．若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D ．若//,//,//m n m n αα则5．如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ．8B ．8π C ．4π D ．2π 6．ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC方向的投影为A ．21B ．23C ．21-D ．23-7．若非零向量,a b 满足223a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为 A ．π B ．2πC ．34π D ．4π 8．不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 A ．732 B ．932 C ．916D ．7169．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是（） A ．B ．C ．D ．10．已知函数1()n n f x x +=,n ∈N *的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为A ．1B ．1－log 20132012C ．-log 20132012D ．－111．已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩,若函数()()F xf x kx =-有且只有两个零点,则k 的取值范围为A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞12．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．(0)()4f π>B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π>D ()()34f ππ-<-二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ．14．设01a b >>，，若2a b +=，则411a b +-的最小值为______ ． 15．已知数列{}n a 满足1331(*,2)n n n a a n N n -=+-∈≥,且15a =，则n a = ．16．有下列4个命题:①若函数()f x 定义域为R,则()()()g x f x f x =--是奇函数;②若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,R x ∈∀,()(2)0f x f x +-=,则()f x 图像关于x=1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值（x 1<x 2）,若12()()f x f x >,则()f x 在定义域内单调递减;④若()f x 是定义在R 上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,则()f x 是以4为周期的周期函数．其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）．三、解答题17．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0， 2b n –b 1=S 1•S n ，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设3n n n c b lon a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2，有221b a -+331b a -+…+nn b a -1＜23．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD‖BC， 90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30，设PM=t ⋅MC ，试确定t 的值．19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了 验 证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位： 人）（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E （X ） ． 附表及公式20．已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y++=与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点(2,0)M的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足OS OT tOP+=（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=323ln2x x x a-++，曲线()y f x=在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当1k<时，曲线()y f x=与直线2y kx=-只有一个交点,求x的取值范围．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，已知EAD PCA∠=∠．证明（Ⅰ）AD AB=；（Ⅱ）2DA DC BP=⋅．23．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C方程为2sinρθ=．2C的参数方程为11232x ty⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围． 24．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．参考答案1．B 【解析】试题分析：因为{}{}1|0,2|>=>==y y x y y M x，{}{}0|lg |>===x x x y x N ，所以{}1|>=x x N M ；故选B ． 考点：集合的交并运算． 2．C 【解析】试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：所以它的体积为321131111=⨯⨯-⨯⨯；故选C ． 考点：三视图的应用． 3．A 【解析】 试题分析：由题意可得：2tan =α，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ． 考点：1．两直线的位置关系；2．诱导公式． 4．C 【解析】试题分析：A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 或相交；B ．若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则或相交；D ．若//,//,//m n m n αα则或在平面内；故选C ．考点：空间几何元素的位置关系． 5．B 【解析】试题分析：由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16即故选B ．考点：1．三角函数的性质；2．向量运算． 6．A 【解析】试题分析：因为-+-=⇒+=22所以-=，所以C B O ,,三点共线即AC AB ⊥；又因为1==，所以2=BC ，所以()1BA BC BA AC AB ⋅=⋅-=故向量BA 在向量BC 上的投影为21选A ．考点：平面向量数量积的含义及其物理意义． 7．D 【解析】 试题分析：由()(32)a b a b -⊥+可得223a b b⋅=，所以22223cos ,222ba b a b a b b ⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π；故选D ．考点：向量的运算及夹角． 8．B 【解析】试题分析：列出相应的区域如下所示：区域M 是正方形区域，区域N 是阴影区域，()292212=-+=⎰-dx x x s 阴影，所以P ∈N 的概率为932；故选B ． 考点：几何概型的应用． 9．D 【分析】根据球体体积求得球半径，结合球半径和棱柱高的倍数关系，以及球半径和底面三角形棱长之间的关系，求得棱柱的高和底面三角形棱长，再由棱柱的体积公式即可求得结果. 【详解】不妨设该正三棱柱的底面棱长为a ，高为h ，内切球半径为R ， 由题可知343233R ππ=，解得2R =； 又24R h ==，故可得该棱柱的高4h =， 又因为该球体与棱柱三个侧面都相切，故半径为2R =的圆是边长为a 的正三角形的内切圆， 231332a R a =⨯⨯=， 解得3a =故该正三棱柱的体积23483V Sh h ==⨯=故选：D. 【点睛】本题考查棱柱的内切球，涉及球体体积的计算，属中档题.10．D 【解析】试题分析：由题意可得：点()1,1P ，()()nn x n x f 1'+=，所以点P 处的切线切线的斜率为1+n 故可得切线的方程为()()111-+=-x n y ，所以与x 轴交点的横坐标1+=n nx n ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 120131log log 20132013212013-===x x x ；故选D ． 考点：1．导数的几何意义；2．对数运算． 11．C 【解析】试题分析：由题意可得当0≥x 时()1212+=x x f 为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为x y 21±=， 当1=k 时有()x y --=1ln 可得111'=-=xy ，所以0=x 即()x y --=1ln 在0=x 出的切线方程为x y =此时函数()()F x f x kx =-有且只有一个交点若；故选．若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点,则k 的取值范围为1(,1)2．考点：函数零点与方程根的关系． 12．D 【分析】 构造函数()()cos f x F x x=，利用函数()'F x 导数判断函数()F x 的单调性，将ππππ0,,,,3434x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项.【详解】 构造函数()()cos f x F x x=，依题意()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'，故函数在定义域上为增函数，由()π04F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π04πcos 0cos4f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除A 选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos34f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B 选项.由()π03F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π03πcos 0cos3f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π023f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确，故选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题. 13．2 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等差数列且1233a a a ++=，5679a a a ++=，所以212644=⇒=a a ；故填2．考点：等差数列的性质． 14．9 【分析】注意到11a b +-=，可把411a b +-变形为()4111a b a b ⎛⎫⎡⎤++- ⎪⎣⎦-⎝⎭，展开后可用基本不等式求最小值． 【详解】因为11a b +-=，所以()4141111a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪⎣⎦--⎝⎭()4151b aab -=++-，因1b >，故10b ->，又0a >，由基本不等式得()41591b aab -++≥-，当且仅当24,33a b ==时等号成立，故411a b +-的最小值为9，填9． 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 15．n a =11322n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：)2(1331≥-+=-n a a n n n ①，13311-+=∴++n n n a a ②，②—①，得)2(32)(311≥⨯+-=--+n a a a a nn n n n ，即233111+-=---+n n n n n n a a a a ， 又63,2313531222=-=-+⨯=a a a ，所以数列{}1--n n a a 是以6312=-aa 为首项、公差为2的等差数列，则22)2(26311+=-+=---n n a a n n n ，即113)22(--⋅+=-n n n n a a ；则112332⨯⨯=-a a ，223342⨯⨯=-a a ， 334352⨯⨯=-a a ，⋅⋅⋅，113)1(2--⋅+=-n n n n a a ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则=-)(31a a n ]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得nn n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即293)21(2)1(31)31(3921-⋅+=⋅+---+=--n n n n n n a a ；则21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a ；故填21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ．考点：1．由数列的递推式求通项；2．累加法；3．错位相减法． 16．①④ 【解析】试题分析：①()()()()()[]()x g x f x f x f x f x g -=---=--=-所以函数是是奇函数，②若()f x 图像关于1=x 对称则应有()()20f f =，由()(2)0f x f x +-=可得()()020=+f f 所以不一定成立，③21,x x 值的取法应该是任意的，④因为()f x 是定义在R上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,所以()()()()()(),222,1 +-=+--=-x f x f x f x f 由()1可得()()22--=+-x f x f ，将()3代入()2可得()()22--=+-x f x f 即()()22-=+x f x f ，所以()f x 是以4为周期的周期函数；故填①④． 考点：命题真假的判断． 17．（Ⅰ）a n =3n –1b n =2n –1；（Ⅱ）T n =（n –2）2n+2；（Ⅲ）见解析．【解析】试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；由n S 推n a 时，别漏掉1=n 这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论． 试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n ，∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为a n =3n –1．∵2b n –b 1=S 1•S n ，∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1•S 1， ∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1． ∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，∴b n =2b n –1，∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为b n =2n –1．（Ⅱ）c n =b n •log 3a n =2n –1log 33n –1=（n –1）2n –1，T n =0•20+1•21+2•22+…+（n –2）2n –2+（n –1）2n –1……①2T n = 0•21+1•22+2•23+……+（n –2）2n –1+（n –1） 2n……②①–②得：–T n =0•20+21+22+23+……+2n –1–（n –1）2n=2n–2–（n –1）2n =–2–（n –2）2n∴T n =（n –2）2n+2． （Ⅲ）n n b a -1=11231---n n =122331---⋅n n =)23(231222----+n n n ≤231-n 221b a -+331b a -+…+n n b a -1＜031+131+…+231-n =311)31(11---n=23（1–131-n ）＜23． 考点：（1）求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题． 18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3． 【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．．试题解析：（Ⅰ）∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． （Ⅱ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ． 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为 (0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，3)P ，3,0)B ，(3,0)C -．设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =，(13,)MC x y z =---1(1)3(3)3()3t x t x t x t y t y y z t z z ⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩ PM t MC =⋅,∴，在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，331t t QM t ⎛=- +⎝， ∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．∵二面角M BQ C --为30°，∴23cos3030n m n mt ⋅︒===⋅++，得3t =考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题．． 19．（Ⅰ）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．；（Ⅱ）18；（Ⅲ）0．5．【解析】试题分析：（1）独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值k ，k 越大说明两个分类变量有关系的可能性越大．（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性．（3）在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形．（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．． 试题解析：（Ⅰ）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩（如图所示）yx11O设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18． （Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=．考点：1．2K 检验；2．几何概型，超几何分布20．（Ⅰ）.1222=+y x ；（Ⅱ）()2,2-． 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．． 试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-，∴圆心到直线01=++y x 的距离12c d a +==（*）∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b c =,c b a 22==， 代入（*）式得1b c ==， ∴22==b a ，故所求椭圆方程为.1222=+y x（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k xk ，∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kkk ，∴212<k ． 设()11,y x S ,()22,y x T ，则222122212128,218k k x x k k x x +-=+=+，由OS OT tOP +=，当0t =,直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当0≠t ，得201220121228124(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=⎧⎪⎪⎨+-=+⎪⎪⎩∴20218,12k x t k =⋅+021412k y t k -=⋅+． 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k ， 整理得：2222116kk t +=，由212<k 知，402<<t ，所以()2,0(0,2)t ∈-， 综上可得(2,,2)t ∈-．考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题． 21．（Ⅰ）e ；（Ⅱ）()0,1-． 【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点()2,0处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到a 的值．（2）根据曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,可以得到方程32322x x x kx -++=-有唯一解,构造函数24()31(0)h x x x x x=-++≠，然后利用函数的性质得到x 的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．试题解析：（I ）由2()36ln f x x x a '=-+,知(0)ln f a '=, 而曲线()y f x =在点(0,2)处的切线过点(2,0)-,20ln 02a -=+ ， a e =（II ）法一 1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,⇔1k <时方程32322x x x kx -++=-有唯一解,即3234(1)x x x kx k -++=<有唯一解． 当x=0时，显然无解．当0x ≠时，变形为2431(1)x x k k x-++=<， 令24()31(0)h x x x x x=-++≠，由2224(2)(22)()23x x x h x x x x -++'=--=，知2x >时()0h x '>，()h x 为增函数，02x <<时()0h x '<，()h x 为减函数， 故(0,)x ∈+∞时，()(2)1h x h ≥=．而1k <，故方程①无解． 若0x <,()0h x '<，()h x 为减函数,且(1)1h -=,即10x -<<时()1h x <，故10x -<<时，方程①有唯一解， 综上知，所求x 的取值范围是(1,0)x ∈-．法二 1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,⇔时方程32322x x x kx -++=- （1k <）有唯一解,当x=0时，显然无解．当0x ≠时，变形为3234(1)x x x k k x-++=<，解3223234(2)(1)34100x x x x x x x x x x-++-+-+<⇔<⇔<得1x 0．令3234()x x h x x -+=,知22(2)(22)()x x x h x x -++'=,当1x 0，时()0h x '<，()h x 在(1,0)，单调递减，故1x0，3234(1)x x x k k x-++=<，有唯一解．综上知，所求x 的取植范围是x (1,0)考点：函数与导数性质的应用．22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：EAD DCA ∠=∠又由已知EAD PCA ∠=∠进而可得DCA PCA ∠=∠所以可以得出AD AB =；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可DCBA=所以得到2DA DC BP =⋅． 试题解析：（Ⅰ）∵EP 与⊙O 相切于点A ， ∴EAD DCA ∠=∠． 又EAD PCA ∠=∠，∴DCA PCA ∠=∠， ∴AD AB =．（Ⅱ）∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴D PBA ∠=∠， 又DCA PCA PAB ∠=∠=∠， ∴ADC ∆∽PBA ∆． ∴DA DC BP BA =，即DA DCBP DA=，∴2DA DC BP =⋅． 考点：圆的性质的综合应用．23．（Ⅰ）1C ：()2211x y +-=，2C 0y -+=；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦． 【解析】试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点P 到曲线2C 距离的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程：()2211x y +-=，2C 0y -=． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1C 为以()0,1为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心()0,1到2C 的距离为1d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为12d r +=，则点P 到曲线2C 距离的取值范围为⎡⎢⎣⎦．考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式． 24．（1）3；（2）92【解析】试题分析:（1）根据不等式解集为对应方程的解得0,4为m－|x－2|=1两根，解得m的值；（2）由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2，代入条件a＋b＝3，即得a2＋b2的最小值．试题解析：(1)不等式m－|x－2|≥1可化为|x－2|≤m－1，∴1－m≤x－2≤m－1，即3－m≤x≤m＋1.∵其解集为[0，4]，∴∴m＝3.(2)由(1)知a＋b＝3，∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2＝(a＋b)2＝9，∴a2＋b2≥，∴a2＋b2的最小值为.。

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