3-6静定结构温度变化时的位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
静定结构的位移计算——非荷载因素作用时的位移计算
t
h SMK
对 桁 架：
K t0 F NKl
例 1 ： 计算图示结构C点竖向位移
C
t1
t2
A
已知：t2 30oC,t1 10oC, 105, h 0.5m
10m
CV 2356105 (m) ()
4m 4m
例 2： 计算图示桁架结构B 点竖向位移
t t t t B
a
B 8t a( )
*
F RK CR
(
FNP
F NK *
kFQP F QK*
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
温度
t0
S F Nk
t
h
S Mk
*
F RK CR
荷载 支座
P t C
作业： 5—29、5—31、5—32
t1
h1 t0 dt h h2
(令t2 t1)
t2 t2 - t1
设温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。
截面上、下边缘温差： t t2 - t1
杆轴线处温度改变值t0 ：
t0
t1 dt
t1
h1 h
(t2
-
t1
)
=
h1t2
h2t1 h
图示结构，设外侧温度改变 t1 ，内侧温度改变 t2 ，
(
)
例5： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角。
t t t t B
a
A
4a
AB 4 t( )
静定结构多因素下的位移计算一般公式：
K
*
*
*
*
等于0
(F NK F QK M K )ds F RK CR
(b)
静定结构的位移计算
第4章静定结构的位移计算计算结构位移的目的结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。
由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。
杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。
这些移动和转动称为结构的位移。
此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。
b5E2RGbCAP例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b所示。
这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。
同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。
p1EanqFDPw又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。
此时，C点移至C点，即C点的线位移为C C。
若将C C沿水平和竖向分解<图4—2b），则分量C C和CC分别称为C点的水平位移和竖向位移。
同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。
DXDiTa9E3d在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。
验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。
RTCrpUDGiT计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。
在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。
这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。
5PCzVD7HxA此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。
jLBHrnAILg本章所研究的是线性变形体系位移的计算。
所谓线性变形体系是位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由何在引起的位移也完全消失。
这样的体系，变形应是微小的，且应力与应变的关系符合胡克定律。
由于变形是微小的，因此在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸，以及荷载的位置和方向保持不变。
xHAQX74J0X功广义力和广义位移在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。
静定结构的位移计算
静定结构的位移计算第4章 静定结构的位移计算4.1 结构位移的概念4.1.1 结构位移结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。
变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。
如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ∆，它也可以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示如图4.1(b)。
同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ϕ表示。
又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ϕ角位移。
同时截面B 发生了B ϕ的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。
同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆如D ∆，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ∆+∆=∆。
除上述位移之外，静定结构由于支座沉降第4章静定结构的位移计算70等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。
一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。
4.1图71第4章静定结构的位移计算引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。
4.1.2 结构位移计算的目的1. 验算结构的刚度结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。
既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。
让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。
2. 解算超静定计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。
3. 保证施工在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
53静定结构温度变化时的位移计算
第 II 状态
单位广义力1引起,单位广义力2作用处沿广义力2 单位广义力1引起,单位广义力2作用处沿广义力2方 向的位移,恒等于单位广义力2引起,单位广义力1 向的位移,恒等于单位广义力2引起,单位广义力1作 用处沿广义力1 用处沿广义力1方向的位移.-----位移互等定理
P2 = 1 2
第 I 状态
4. 反力位移互等定理 反力位移互等定理:
单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发 生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向 的位移,但符号相反.-----反力位移互等定理 的位移,但符号相反.-----反力位移互等定理
r12 = δ 21
�
h
t = t 2 t1
无剪应变
d u th
( Ky ) t = ∑ ∫ N iδε t + Q iδγ t + M i δ k t ds = ∑ ∫ N iα t 0 d s + ∑ ∫ M i
(
)
α td s
h M i ds = ∑ αt 0 ∫ N i ds + ∑ αt ∫ h
§4. 5 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
§4. 5 静定结构温度变化时的位移计算
荷载作用求 点竖向位移 点竖向位移. 荷载作用求K点竖向位移 变形体虚功方程为: 变形体虚功方程为
W21 = P2 21
P112 = P2 21
2. 位移互等定理 位移互等定理:
P2
第 I 状态
2
21
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
(最新整理)静定结构的位移计算
图乘法
2. 竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲 线中取值。
yc M图
ω
MP图
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
若M图与MP图都是直线图形，则yc可以取自其中 任一图形。
ω1
y2
M图
y1
ω2
MP图
ΔE1Iω1y1E1Iω2y2
图乘法
3. 若与 y c 在杆件的同侧， y c取正值；反之，
取负值。
yc
k
k
du、d、dv
ds
位移状态
FPk=1 k
FN、M、FQ
ds
力状态
结构位移计算
外力虚功：
W F P K K F R 1 c 1 F R 2 c 2 F R 3 c 3 K F R c
内力虚功：
W ( i)lF N d u lM d lF Q Fd Qv d
由虚功原理W=W＇有
MP图
l
yC
FP=1 M
（1）绘制MP图。
（ 2）建立相应的虚拟 状态,绘制 M 图 。
（ 3）图乘求位移。
1 ql2 l
22
yC
3 4
BE1I13q22ll4 3l
ql 4 8 EI
图乘法
例 求图示简支梁A端截面的转角 A 及跨中竖向位移 CV 。
q
解：1. 求A端截面的转角 A A
yc
M图
ω
MP图
ω
Δ
1 EI
ωyC
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
4. 若Mp图是曲线图形，M 图是折线图形，则应
当从转折点分段图乘，然后叠加。
y1
y2
M图
(结构力学)静定结构温度变化时的位移计算
温度位移公式图示结构设外侧温度升高内侧温度升高求k点的竖向位移设温度沿杆件截面厚度为线性分布杆轴温度与上下边缘的温差另外温度变化时杆件不引起剪应变微段轴向伸长和截面转角为
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，
微段轴向伸长和截面转角为：
线
dut t0ds
d t
tds
h
膨
胀 系
数
FP=1
FN
变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架：
t
t0 N
t
h
M
对 桁 架： t t0FNl
问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
l FNili
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A
点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 ,
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，
微段轴向伸长和截面转角为：
线
dut t0ds
d t
tds
h
膨
胀 系
数
FP=1
FN
变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架：
t
t0 N
t
h
M
对 桁 架： t t0FNl
问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
l FNili
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A
点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 ,
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
静定结构的位移计算
2、图乘法求位移
积分式
M iM k EI dx
c
k(面积）
M k图
形心
用Mi、MR图求出:
Mi Mk 1 EI dx EI ( k yc )
M i x tg b
yc
M i图
积分
Mi Mk EI dx
等于Mk图面积 k 乘以
与其形心对应Mi图的竖标yc，再除以EI。
说明：
① EI为常量（等截面杆）；
② 杆件为直线；
③ M i , M k 至少一个为直线图，竖标yc取自直 线图。
k y c取正(负)。 k与 y c同(异)侧， 符号：
记标准图形的面积和形心，见教材P104,图6-14
例: 用图乘法求图示悬臂梁在A端竖向位移 A 。
q A l
ql 2 / 2
静定结构的位移计算
1、一般荷载作用下的位移计算公式 变形体虚功原理:外力虚功=内力虚功
虚拟状态（P=1） 实位移状态 实际内力 MP , QP , NP 虚内力: M, Q, N
N P dS du P EA
M P dS dP EI
QP dS d P GA
外力虚功:
P
3l/4 l/4
B
解：
1 1 3 p lh ql 3 6
A
l
3l yc 4
MM p EI
Mp图
l
o
dx
P 1
yc=3l/4
M图
1 1 3 3l ql 4 ( ql ) EI 6 4 8 EI
•均布荷载作用:
a
ql 2 8
b
a
1
b
4.4温度变化时的位移计算 结构力学
学习情境四 静定结构位移
学习单元 四 温度变化时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.4.1 解题思路
本
单
元
4.4.2 温度引起的位移公式
内
容
4.4.3 例题讲解
一、解题思路
位移计算一般公式的回顾: (不考虑支座移动)
l
l
l
1 [ M d F Qd F N d]
0
0
0
说明：
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
荷载
此ห้องสมุดไป่ตู้式适用于
诸因素引起的位移。
温度变化
d
原因不同，变形 d 的表达式也不同。 d
现在要讨论温度变化时, d 、d 、d 的表达式。
一、解题思路
假定 t2 t1
α——线胀系数
1）微段发生的轴向变形
d
t0ds
t1
t2 2
ds
h1 h
将
d
t0ds
t1
2
t2
ds
和
d t2ds t1ds tds
h
h
代入一般公式
1 [
l
M d
l
F Qd
l
F Nd]
0
0
0
得到：
F
N
t0ds
M
t
h
ds
若t0 、Δt和h沿每一杆长为常数，则上式可写成：
N、M图 面积
t1 300 C
A
解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。
学习单元 四 温度变化时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.4.1 解题思路
本
单
元
4.4.2 温度引起的位移公式
内
容
4.4.3 例题讲解
一、解题思路
位移计算一般公式的回顾: (不考虑支座移动)
l
l
l
1 [ M d F Qd F N d]
0
0
0
说明：
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
荷载
此ห้องสมุดไป่ตู้式适用于
诸因素引起的位移。
温度变化
d
原因不同，变形 d 的表达式也不同。 d
现在要讨论温度变化时, d 、d 、d 的表达式。
一、解题思路
假定 t2 t1
α——线胀系数
1）微段发生的轴向变形
d
t0ds
t1
t2 2
ds
h1 h
将
d
t0ds
t1
2
t2
ds
和
d t2ds t1ds tds
h
h
代入一般公式
1 [
l
M d
l
F Qd
l
F Nd]
0
0
0
得到：
F
N
t0ds
M
t
h
ds
若t0 、Δt和h沿每一杆长为常数，则上式可写成：
N、M图 面积
t1 300 C
A
解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。
静定结构的位移计算
AB段： BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
MP=
3. 代入公式（12-4）得
△Ay=
qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI
()
5
结构在荷载作用下的位移计算——图乘法
图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。
t1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 P1 K′
k
c3 K
ds
k
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
N k、 k、 k Q M
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
利用虚功原理
外力虚功 内力虚功 可得
T= W=
=
3
12.4 结构在荷载作用下的位移计算
2. 讨 论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：
9.1静定结构的位移计算 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素
力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为广义位移
图乘法
40kN 10kN 10kN/m 30 B 5 EI 3m 60 D 5 P2=1 C
B
3EI
D
C
B
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
MP=
3. 代入公式（12-4）得
△Ay=
qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI
()
5
结构在荷载作用下的位移计算——图乘法
图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。
t1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 P1 K′
k
c3 K
ds
k
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
N k、 k、 k Q M
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
利用虚功原理
外力虚功 内力虚功 可得
T= W=
=
3
12.4 结构在荷载作用下的位移计算
2. 讨 论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：
9.1静定结构的位移计算 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素
力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为广义位移
图乘法
40kN 10kN 10kN/m 30 B 5 EI 3m 60 D 5 P2=1 C
B
3EI
D
C
B
静定结构的位移计算
第三章 静定结构的位移计算
1
第三章 静定结构的位移计算
§3—1 结构位移的概念
§3—2 变形体系的虚功原理
§3—3 计算结构位移的虚力原理
A′
§3—4 图乘法
§3—5 静定结构支座移动时的位移计算
§3—6 静定结构温度变化时的位移计算
§3—7 线弹性结构的互等定理
2
§3—1 结构位移的概念
1.结构位移产生的原因
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式
（3—4）
注： （1）符号说明 （2）正负号
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
17
§3—3计算结构位移的虚力原理
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（3—4）可以简化：
1. 梁和刚架
2.桁架
3. 组合结构
△KP=
4. 拱结构
△KP= 18
§3—3计算结构位移的虚力原理
△
起拱高度
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
5
§3—2 变形体的虚功原理
复习功的概念
A
常力作的功
T PΔCOS
P
P
P
B
△
P
d
力偶作的功
P
T Pd M P
6
§3—2 变形体的虚功原理
1. 外力虚功、广义力及广义位移
P1 1
2 P2
B
实功是力（位移）的二次函数。 虚功：力在其它因素引起的位移上作
△11
△12
△22
的功。力与位移是彼此无关的量，分
别属于同一体系的两种彼此无关的状 A
1
第三章 静定结构的位移计算
§3—1 结构位移的概念
§3—2 变形体系的虚功原理
§3—3 计算结构位移的虚力原理
A′
§3—4 图乘法
§3—5 静定结构支座移动时的位移计算
§3—6 静定结构温度变化时的位移计算
§3—7 线弹性结构的互等定理
2
§3—1 结构位移的概念
1.结构位移产生的原因
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式
（3—4）
注： （1）符号说明 （2）正负号
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
17
§3—3计算结构位移的虚力原理
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（3—4）可以简化：
1. 梁和刚架
2.桁架
3. 组合结构
△KP=
4. 拱结构
△KP= 18
§3—3计算结构位移的虚力原理
△
起拱高度
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
5
§3—2 变形体的虚功原理
复习功的概念
A
常力作的功
T PΔCOS
P
P
P
B
△
P
d
力偶作的功
P
T Pd M P
6
§3—2 变形体的虚功原理
1. 外力虚功、广义力及广义位移
P1 1
2 P2
B
实功是力（位移）的二次函数。 虚功：力在其它因素引起的位移上作
△11
△12
△22
的功。力与位移是彼此无关的量，分
别属于同一体系的两种彼此无关的状 A
静定结构由于支座移动、温度改变引起的位移计算
1.2 温度改变引起的位移计算
以图a所示刚架为例，且t2℃＞t1℃，从杆件中取出一微段ds（图
b），杆件轴线处的温度为t0=(h1t2+h2t1)/h ，当h1=h2 时，
t0=(t1+t2)/2 。上、下边缘的温度差为 Δt= t2 t1 。轴向应变和曲
率k分别为
=
l
t0
，k
dj
ds
l (t2 t1）ds
目录
静定结构的位移\支座移动、温度改变引起的位移计算 【例13.9】 如图a所示结构，若A端发生图中所示的移动和转动，
试求结构上点B的竖向位移ΔBV和水平位移ΔBH 。 【解】 1) 求点B的竖向位移ΔBV 。在点B加一竖向单位力 F=1，
如图b所示，求出结构在 F =1作用下的支座反力。代入公式得 ΔBV= －（0×a－ 1×b －l×j ）=b+lj （↓）
hds
l t
h
令 0 ，位移计算公式为
K
（ ）l FNlt0ds
（ ）M ltds
l
h
如果t0、Δt和h沿每一杆件的全长为常 数，则上式可写为
K
（ ）lt0 AN
（ ）l
t h
AM
在应用以上两式时，正负号可按如下的方法确定：比较虚拟状 态的变形与实际状态由于温度改变引起的变形，若二者的变形方向 相同，则取正号；反之取负号。式中的t0和Δt均取绝对值进行计算。
移为
BH
1l l
1
0
2
2
0
l
2010(1 l l h2
1 l l) 2
15ll
10l
l2 h
(→)
计算结果为正，表示ΔBH的方向与所设单位力的方向相同，即ΔBH向 右。
15.静定结构位移计算
P y0
结论：在满足前述条件下，积分式
M M P ds
l EI
之值等于某一图形 面积乘以该面积形心所对应的另一直
线图形的纵标y0,再除以EI。
四、使用乘法时应注意的问题
1、y0 必须取自直线图形
y0
MK 图
p
MP 图
Δ
1 EI ωP y0
2、当 M 为折线图形时，必须分段计算；
三、图乘法的证明
y
MP(x) d
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
dx
MK(X)
y yo
o
A x
Bx
xo
1 tg EI
b
a xMPdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0
P
1 EI
i (FN FQ 0 M k)ds FRKcK
1.求截面线位移
单位荷载的设置
1
2.求两截面间相对线位移 B
A
1
3.求截面角位移
A
1
(c)
4.求两截面间相对角位移
1 A
(b)
5.求桁架杆件的角位移
1
Ad
B1 A
1
(d)
M=1
A
B
6.求桁架两杆间相对角位移 (e)
11
一对力偶；广义位移是相应的沿力
ф
方向的线位移和沿力偶转向的角位 移或相对位移。
P (b) P
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h
M
对 桁 架： t t 0 F N l 问题：当桁架有制造误差 li 时,如何求位移？
l
F N i li
例： 刚架施工时温度为20 0 C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0 C ，内侧温度为 0 0 C 时A 点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 10 5 , 各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
du dv d 0
c F N d u F Q d v M d F R i c i
FRici
例1：求 Cx
B
?
C
解：构造虚设力状态
B C FP=1
虚拟力状态
c3
A
l
A
F Ax 1
F Cy 1
c2
实际位移状态 l
解：构造虚拟状态
实际状态
虚拟状态
单位荷载内力图为：
FN 图
M 图
t0
( 10 20 ) ( 0 20 ) 2
25 C
0
,
t 20 ( 30 ) 10 C
0
Ay t 0
N
t
h
M
0 . 005 m ( )
6. 静定结构支座移动时的位移计算
A
FRici (
1 l
By
1 2h
Bx ) 0 . 0075 rad
(
)
例 3：求 Cx
B
0
?
解：构造虚设力状态
B l A
F Ax 1
FP=1
10 C
C
c3
C
FP=1
F Cy 1
c2
A l
c1
实际位移状态
F Ay 1
虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
等于0
F Ni c i F N (d u ) P FQ (d v ) P M (d ) P FN (d u )t M (d )t kFQ FQ P FN FNP FRici ds ds EA GA
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
F N F Q M d s - F R i c i
Cx
FP l
3
16 EI
( C 1 C 2 C 3 ) 10 l ( 1
l h
)
问题：试给出多因素下的位移计算一般公式
FRi c i FN d u FQ d v M d
F R i c i F N [( d u ) P ( d u ) t ] F Q [( d v ) P ( d v ) t ] M [( d ) P ( d ) t ]
MM EI
P
支座
d s t 0
N
t
h
M
C P t
温度
返 章 菜 单
d ut t0d s d t
td s
h
线 膨 胀 系 数
FP=1
FN
FN
将温度引起的变形代入公式，可得
( Ky ) t F N d u t F Q d v t M d t F N t 0d s M
td s
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) 1 K
K
KC
F R1
K
c2 c1 c3
实际位移状态
FR3
FR2
虚拟力状态
静定结构由于支座移动并不产生内力，材 料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位 移。（该位移也可由几何关系求得）。有
h M ds h
M
t0 FN ds t
对等 截 面 直 杆
t 0
F N图面积
t
h
N温度以升高为正，则轴力以拉为正； 若 M 和 t 使杆件的同一边产生拉伸 变形，其乘积为正。
温度引起的轴向 几种情况： 变形影响不能少。 t 对梁和刚架： t t 0 N
F Ay 1
c1
Cx (1 C 1 1 C 2 1 C 3 ) ( C 1 C 2 C 3 )
例 2：已知 l=12 m , h=8 m , Bx By 0 . 06 m , 求 A ? 解：构造虚设力状态
0 . 04 m
FAx FAy
d ut t0d s
t 0 t1 h1 h h ( t 2 t1 )
h 2 t 1 h1 t 2
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴 温度 t 0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
t t 2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变， 微段轴向伸长和截面转角为：
一般公式
荷载位移公式
P F N
P
F Q
P
M M
P
d s
温度位移公式
t F N t F Q
t t
d s
本节目的：给出 t 的具体计算方法。
图示结构，设外侧温度升高 t 1 ，内侧温 度升高 t 2 ，求K点的竖向位移 ( Ky ) t 。
M
对 桁 架： t t 0 F N l 问题：当桁架有制造误差 li 时,如何求位移？
l
F N i li
例： 刚架施工时温度为20 0 C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0 C ，内侧温度为 0 0 C 时A 点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 10 5 , 各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
du dv d 0
c F N d u F Q d v M d F R i c i
FRici
例1：求 Cx
B
?
C
解：构造虚设力状态
B C FP=1
虚拟力状态
c3
A
l
A
F Ax 1
F Cy 1
c2
实际位移状态 l
解：构造虚拟状态
实际状态
虚拟状态
单位荷载内力图为：
FN 图
M 图
t0
( 10 20 ) ( 0 20 ) 2
25 C
0
,
t 20 ( 30 ) 10 C
0
Ay t 0
N
t
h
M
0 . 005 m ( )
6. 静定结构支座移动时的位移计算
A
FRici (
1 l
By
1 2h
Bx ) 0 . 0075 rad
(
)
例 3：求 Cx
B
0
?
解：构造虚设力状态
B l A
F Ax 1
FP=1
10 C
C
c3
C
FP=1
F Cy 1
c2
A l
c1
实际位移状态
F Ay 1
虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
等于0
F Ni c i F N (d u ) P FQ (d v ) P M (d ) P FN (d u )t M (d )t kFQ FQ P FN FNP FRici ds ds EA GA
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
F N F Q M d s - F R i c i
Cx
FP l
3
16 EI
( C 1 C 2 C 3 ) 10 l ( 1
l h
)
问题：试给出多因素下的位移计算一般公式
FRi c i FN d u FQ d v M d
F R i c i F N [( d u ) P ( d u ) t ] F Q [( d v ) P ( d v ) t ] M [( d ) P ( d ) t ]
MM EI
P
支座
d s t 0
N
t
h
M
C P t
温度
返 章 菜 单
d ut t0d s d t
td s
h
线 膨 胀 系 数
FP=1
FN
FN
将温度引起的变形代入公式，可得
( Ky ) t F N d u t F Q d v t M d t F N t 0d s M
td s
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) 1 K
K
KC
F R1
K
c2 c1 c3
实际位移状态
FR3
FR2
虚拟力状态
静定结构由于支座移动并不产生内力，材 料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位 移。（该位移也可由几何关系求得）。有
h M ds h
M
t0 FN ds t
对等 截 面 直 杆
t 0
F N图面积
t
h
N温度以升高为正，则轴力以拉为正； 若 M 和 t 使杆件的同一边产生拉伸 变形，其乘积为正。
温度引起的轴向 几种情况： 变形影响不能少。 t 对梁和刚架： t t 0 N
F Ay 1
c1
Cx (1 C 1 1 C 2 1 C 3 ) ( C 1 C 2 C 3 )
例 2：已知 l=12 m , h=8 m , Bx By 0 . 06 m , 求 A ? 解：构造虚设力状态
0 . 04 m
FAx FAy
d ut t0d s
t 0 t1 h1 h h ( t 2 t1 )
h 2 t 1 h1 t 2
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴 温度 t 0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
t t 2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变， 微段轴向伸长和截面转角为：
一般公式
荷载位移公式
P F N
P
F Q
P
M M
P
d s
温度位移公式
t F N t F Q
t t
d s
本节目的：给出 t 的具体计算方法。
图示结构，设外侧温度升高 t 1 ，内侧温 度升高 t 2 ，求K点的竖向位移 ( Ky ) t 。