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高考试题数学(理工类)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．lim

n →∞2

123n

n ++++＝( )

(A) 2 (B) 4 (C)

2

1

(D)0 解：2

221(1)

11212lim lim lim 22

n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)

21 (B) 3

2

(C) 2

(D)2

解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离

2

=

,选(D) 3．设f (x )＝2

|1|2,||1,

1, ||11x x x x

--≤⎧⎪

⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )

(A)

21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114

31313

1()24

==+-,选(B)

4．在复平面内，复数1i

i

+＋(1＋3i )2对应的点位于( )

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限

解：

1i i ++(1＋3i )2=12i --

i=32-

i,故在复平面内，复数1i

i

+＋(1＋3i )2对应的点为(3

2

-

故选(B)

5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121

解：(1－x )5

＋(1－x )6

＋(1－x )7

＋(1－x )8

=

5459

(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x

------=--,(1-x)5中x 4的系

数为4

55C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)

6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：

①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．

那么

(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如

图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)

7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(

)

解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x

>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得10210211

2x y x y ⎧<<⎪⎪⎪

<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界

的阴影部分)是(A )

8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1

解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)

9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧

＝{n ∈N |f (n )

∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧

)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5) (D){1，2，6，7}

解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧

={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧

∩N ðQ ∧

={0},Q ∧

∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧

)＝{0,3},选(A) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )

解：由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得

222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

11．函数y ＝2x

x +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________．

解：由y ＝

2x x +(x ∈R ，且x ≠－2),得x=21y y -(y ∈R,y ≠1),所以函数y ＝2

x

x +(x ∈R ，且x

≠－2)的反函数是f -1=

21x

x

-(x ∈R,x ≠1). 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线

与AE 所成角的大小等于_________．

解：如左图,在平面AED 内作MQ ∥AE 交ED 于Q,则MQ ⊥ED,且Q 为ED 的中点,连结QN,则NQ ⊥ED 且QN ∥EB,QN=EB,∠MQN 为二面角A －DE －B 的平面角,

∴∠MQN=45°∵AB ⊥平面BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ=12

在平面MQN 内作MP ⊥BQ,得QP=MP=12EB,故PB=QP=1

2

EB,故QMN 是以∠QMN 为直角的等腰三

角形,即MN ⊥QM,也即MN 子AE 所成角大小等于90°