2017—2018年高等数学II(理工类)A卷答案

(4)因为
lim
ρ→0
Δz − ρ
dz
=
lim
( Δx,Δy )→(0,0)
f
(0 + Δx,0 + Δy) −
f (0,0) − [ fx '(0,0)Δx + (Δx)2 + (Δy)2
fy '(0,0)Δy]
=
lim
ρ→0
ρ2
cos
1 ρ
−
0 − [0 ⋅ Δx ρ
+
0 ⋅ Δy]
==
lim
ρ→0
4.
1 2
5.
1 3
dx
+
2 3
dy
6. 小
7. 0
8.
1 6
9. (1,1)
( ) 10. 1 1− e−4 2
11. 1
12.
1 1− 3x
|
x
|<
1 3
13. 充分
1
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
∫ ∫ 14. 2π dθ 2(ρ cosθ + ρ sinθ ) d ρ
∑ 当 x = −1时，
级数成为
∞
(−1)n ，这时级数收敛；---------------------------2’
n=1 n
∑ 当 x = 3时，
级数成为
∞
1 ，这时级数发散；---------------------------------2’
n=1 n
所以级数的收敛域是[−1 , 3)
五．解
x→0
x2 + x2
x2 + x2
x2 + x2
极限不存在，从而
f '(x, y) 在 (0,0) 点处不连续. x
从而由 x, y 的对称性， fy '(x, y) 在
(0,0) 点处不连续.
------------------------------------------------------3
-----------------4’
3
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
∂z ∂y
=
∂z ∂u
∂u ∂y
+
∂z ∂v
∂v ∂y
= exy[sin(xy(x + y)) + xy cos(xy(x + y)) + x(x + y)cos(xy(x + y))]
-----------------4’
L
AO
xy dx =
OB
0 x(−
1
x )dx +
1
x(
0
x
)dx
=
4 5
------------------5’
(或解法2)将积分化为对y的定积分计算
∫ ∫ xy dx = L
1 y2 y( y2 )'dy =
−1
4 5.
5.解
∂z ∂x
=
∂z ∂u
∂u ∂x
+
∂z ∂v
∂v ∂x
= exy[sin(xy(x + y)) + xy cos(xy(x + y)) + y(x + y)cos(xy(x + y))]
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A 卷)
一、 填空题（每空 2 分，共 30 分）
1.
y = c1e−2x + c2ex （其中 c1,c2 是常数）
2.
1 (3,1,−2)
14
3. x − 2 y + 3z + 8 = 0
2. 解： l 的方向向量 PQ = (1,−1) ,
与其同方向的单位向量为
"! e! =
1 (1,−1) --------------2’
l
2
因为函数可微，且
∂z ∂x
(1,0)
=
e2 y
(1,0)
= 1,
∂z ∂y
(1,0)
=
2xe2 y
(1,0)
=
2
--------4’
则方向导数为
∂!z
= 1⋅
yx (ln y)2 + x(x − 1) yx−2 = 4(ln 2)2 + 2 ---------------------2’. ( 2 ,2 )
∑ 四．解.
令
t
=
x
− 1，级数变为
∞ n=1
tn 2n ⋅
n
-----------------------------------------------2’
0
0
15.
1 12
(5
5 − 1)
二、 计算题(每题 8 分，共 40 分)
1. 解 原式化为
2 tan y + y = dy ,-----------------------2’
3 x x dx
令u =
y
，则有
dy
=
u+
du x
x
dx
dx
则原式变为
2 3
tan u
+
u
=
u
+
x
du dx
，分离变量的
y)
=
⎨⎪2x cos ⎩⎪ 0,
1+ x2 + y2
x
1
sin
,
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2 ≠ 0, x2 + y2 = 0,
但当 (x, y) 沿着 y = x 趋于 (0,0) 时
lim f ' (x, y) = lim 2x cos 1 + x sin 1
( x,y )→(0,0) x
3 2
du tan u
=
dx x
---------2’
积分的
3 2
ln
|
sin
u
|=
ln
|
x
|
+
ln
C1
即
sin3
u
=
Cx 2
------------------------2’
将 u = y 代入上式，得方程通解为 sin3 y = Cx2 --------------------2’
x
x
!!!"
Δy
=0,
即函数在点 (0,0) 处偏导数存在，且 f '(0,0) = f '(0,0) = 0 ----------------------------3
x
y
(3)当
x2
+
y2
≠
0 时,
f
' (x,
x
y)
=
2x cos
1+ x2 + y2
x sin
x2 + y2
1 ,
x2 + y2
⎧
则
f
'x ( x,
lim (1)
因为
( Δx,Δy )→(0,0)
f
(x)
=
lim
ρ→0
ρ2
cos
1 ρ
=0=
f (0,0) ,
所以函数在点 (0,0) 处连续.------------------------- -------------Baidu Nhomakorabea---------------2’
(2)
fx '(0,0) =
lim
Δx→0
因为 ρ = lim | an+1 |= 1 ,所以级数的收敛半径 R = 2 ，收敛区间 | t |< 2 ，即
a n→∞ n
2
−1 < x < 3 ------------------------------------------------------------------------------4’
f
(0 + Δx,0) − Δx
f
(0,0)
=
lim
Δx→0
(
Δx
)2
cos Δx
|
1 Δx
|
=0
4
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
f '(0,0) = y
lim
Δy→0
f (0,0 + Δy) − Δy
f (0,0)
=
(
Δy
)2
cos
|
1 Δy
|
lim
Δx→0
三、解
∂z ∂x
=
yx
ln
y,
∂z ∂y
=
xy x−1
-------------------------4’
∂2 z ∂x2
=
yx (ln
y)2,
∂2 z ∂ y2
=
x(x
− 1) yx−2 --------------4’
( ) ⎛
则 ⎝⎜
∂2 z ∂x2
+
∂2 z ∂ y2
⎞ ⎠⎟ (2,2)
=
∂l (1,0)
1 + 2⋅(− 2
1 )=− 2
2 2
.-------------------------2’
3. 解：画图，解出曲线的交点,然后分 X 型或 Y 型来计算二重积分（以
2
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷 下按照 Y 型计算，X 型按同样步骤给分）（若没画图但计算正确此步照 样给分）
ρ cos
1 ρ
=
0
所以函数在 (0,0) 点处可微分。 ------------------------------------------------------2
5
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
6
---------------------------------------------3’
-----5’ 4. 解.依题意画出图形，并标清箭头方向（若没画图但计算正确此步照样给分）
(解法1)将积分化为对x的定积分计算
--------------3’
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xy dx = xy dx +