一元一次方程的认识与解法
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用一、一元一次方程的概念1.1 认识一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）的方程称为一元一次方程。
1.2 了解一元一次方程的组成：未知数（变量）、系数（a、b）、常数、等号。
1.3 掌握一元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
二、一元一次方程的解法2.1 公式法：根据一元一次方程的定义，可得方程的解为x = -b/a。
2.2 移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数移到等号另一边，得到x = -b/a。
2.3 因式分解法：将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，根据零因子定律求解。
三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
3.2 线性方程组：由多个一元一次方程构成的方程组，可通过消元法、代入法等求解。
3.3 函数图像：一元一次方程对应的函数为直线，了解直线的斜率、截距等性质。
3.4 几何问题：利用一元一次方程描述几何图形的位置关系，如直线与坐标轴的交点、两点间的距离等。
四、一元一次方程的巩固练习4.1 编写练习题：设计具有实际意义的一元一次方程，让学生运用解法求解。
4.2 判断题：判断给定的一元一次方程是否正确，解释原因。
4.3 改写方程：将给定的一元一次方程改写为不同形式，如移项、合并同类项等。
五、一元一次方程的拓展知识5.1 方程的解与不等式的关系：一元一次方程的解集可表示为对应不等式的解集。
5.2 一元一次方程的推广：含有未知数的乘积、商的一元一次方程，以及分式方程等。
5.3 方程的解与函数的关系：一元一次方程的解为对应函数的零点。
总结：通过本知识点的学习，学生应掌握一元一次方程的概念、解法、应用以及拓展知识，能够运用一元一次方程解决实际问题，并为后续学习更复杂的方程打下基础。
习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3。
答案：x = 4解题思路：将常数项移到等号右边，未知数项移到等号左边，得到2x = 8，再将方程两边同时除以2得到x = 4。
一元一次方程的解法分类与介绍
一元一次方程的解法分类与介绍一元一次方程是数学中最基本、最简单的方程形式之一。
解一元一次方程是数学学习的重点之一，也是后续代数学习的基础。
本文将介绍一元一次方程的几种解法分类，并对每种解法进行详细的介绍和示例。
一、直接解法直接解法是最简单直接的解方程的方法，它的基本思路是通过对方程进行运算，直接得出未知数的值。
以下为直接解一元一次方程的步骤：1. 根据题目给出的方程，提取出未知数和已知数的系数和常数项。
2. 然后通过逆运算的方法，使含有未知数的一边变成0，另一边等于已知数的结果。
3. 经过运算得出未知数的值。
示例1：解方程3x + 4 = 13。
首先，提取出方程中x的系数为3，常数项为4。
然后，通过运算得到3x = 9。
接着，将3x化简为x，得到x = 3。
因此，方程的解为x = 3。
二、移项解法移项解法是解一元一次方程常用的方法之一，它的核心思想是通过将含有未知数的项移到等式两边，使得未知数系数前面的项都集中在一边，从而得到简化的方程。
以下为移项解一元一次方程的步骤：1. 根据题目给出的方程，将未知数和已知数的项分别移到等式两边，将未知数系数前面的项都集中在一边。
2. 将未知数系数前的项合并，并简化方程。
3. 经过运算得到未知数的值。
示例2：解方程2x - 5 = 7。
首先，将方程中的常数项-5移到等式右边，得到2x = 7 + 5。
然后，合并等式右边的常数项，得到2x = 12。
最后，化简方程，得到x = 6。
因此，方程的解为x = 6。
三、消元解法消元解法是解一元一次方程常用的方法之一，它的基本思路是通过将方程两边的未知数系数相等，从而得到简化的方程。
以下为消元解一元一次方程的步骤：1. 根据题目给出的方程，使未知数系数相等。
2. 将方程两边的未知数系数相等后，合并等式两边的常数项。
3. 经过运算得到未知数的值。
示例3：解方程3x + 2 = 2x - 3。
首先，将方程中的未知数系数相等，得到3x - 2x = -3 - 2。
小学一元一次方程的解法步骤
小学一元一次方程的解法步骤
在小学数学中，一元一次方程是一个基础但重要的概念。
解一元一次方程的过
程可以帮助我们学习如何运用代数知识解决实际问题。
下面将介绍一元一次方程的解法步骤，希望能帮助你更好地理解这一概念。
步骤一：理解一元一次方程的含义
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次幂为一的代数方程。
通常表示为ax+b=c，其中a、b和c分别是已知数。
解一元一次方程的过程就
是要找出未知数的值，使得等式成立。
步骤二：化简方程
解一元一次方程的第一步是化简方程，将方程中的各项合并并简化。
例如，如
果方程为2x+3=7，可以先将方程化简为2x=4。
步骤三：移项和消项
移项是指将方程中的项移动到等号的另一侧，消项是指将方程中的某些项相消。
在上面的例子中，移项是将3移动到等号右侧变为−3，得到2x=4−3。
接着可以
继续消项，得到2x=1。
步骤四：解方程
最后一步是解一元一次方程，求出未知数的值。
在这个例子中，我们可以将
2x=1中的2系数去掉，得到$x = \\frac{1}{2}$。
这样我们就求得了这个一元一次
方程的解。
通过以上步骤，我们可以看到解一元一次方程并不难，只需要按照一定的步骤
进行推导和计算，就可以得到方程的解。
希望这个简单的介绍能帮助你更好地理解一元一次方程的解法。
七年级数学一元一次方程的解法
目录
• 一元一次方程的基本概念 • 一元一次方程的解法 • 一元一次方程的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定义
一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数 的次数为1的方程。
定义解释
一元代表方程中只有一个未知数， 一次代表未知数的指数为1，即未 知数是一次的幂。
03
一元一次方程的应用
代数式求值
01
02
03
代数式求值
通过将代数式中的变量替 换为已知数值，计算代数 式的值。
例子
若$x = 2$，求代数式$3x + 5$的值。
解答
将$x = 2$代入$3x + 5$， 得到$3 times 2 + 5 = 11$。
代数式的化简
代数式化简
通过合并同类项、提取公因数等方法，简化代数 式的形式。
去括号法
总结词
通过消除方程中的括号来简化方程。
详细描述
去括号法是通过消除方程中的括号来简化方程。在消除括号时，要注意括号前的负号会改变括号内各项的符号。 例如，从方程2(x + 3)中去掉括号得到2x + 6。
系数化为1法
总结词
将方程中的未知数的系数化为1，从而找到未知数的值。
详细描述
系数化为1法是将方程中的未知数系数化为1，从而找到未知数 的值。例如，将方程2x = 10的两边都除以2得到x = 5。
一元一次方程的一般形式
一般形式
ax + b = 0（其中a≠0）
形式解释
一元一次方程的一般形式是未知数x的系数为a，常数项为b，且a≠0。
一元一次方程的解法
合并同类项
1. 在移项后，如果方程中存在 同类项，则需要将它们合并起来
。
2. 合并同类项时，只需要将同 类项的系数相加，保留共同的字
母部分。
3. 通过合并同类项，可以进一 步简化方程的形式，从而更方便
地求解未知数。
03
一元一次方程的解法分类
一元一次方程的解法分类
• 一元一次方程是数学中的基础知识，解法多种多 样。下面将介绍三种常用的解法：整除法、分数 法和公式法。
2. 练习题： 解方程 2(3x - 4) = 5(x + 2)
1. 练习题： 解方程 5x - 3 = 2x + 9
答案： 通过移项和合并同类项，得到3x = 12，所以 x = 4。
THANKS
感谢观看
3. 注意，在去分母的过程中，方程两边必须同时乘以分母的倒数，以保持方程的平 衡。
移项
1. 在去掉分母后，将方程中的一项移 到等号的另一侧，使其与另一项分离。
2. 移项时，需要保持等式的平衡。即 ，如果移项时乘以或除以一个数，则需 要同时对该项和等号另一侧的常数项进
行相同的操作。
3. 通过移项，可以将方程转化为形如 `ax = b`的形式，其中`a`和`b`是整数。
04
一元一次方程的应用举例
一元一次方程的应用举例
• 一元一次方程是数学中的基础知识，掌握其解法对于解决各种 问题具有重要意义。以下是针对一元一次方程的应用举例。
05
一元一次方程的解法拓展
一元一次方程的解法拓展
• 一元一次方程是数学中的基础知识，它在实际生活和高级数学中都有着广泛的应用。以下是一元一次方程及其相关内容的 拓展。
06
总结与练习
一元一次方程解法的总结
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法一元一次方程，是指含有一个未知数的一次方程。
它的一般形式可以写作ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x为未知数。
一元一次方程的解，就是使得该方程成立的未知数的值。
解一元一次方程的方法有很多种，下面将介绍几种常用的解法，并通过实例来加深理解。
1. 直接法直接法是最常用也是最基本的求解一元一次方程的方法。
通过逐步化简方程，将方程转化为x = c的形式，从而找到x的值。
例如，求解方程2x + 3 = 7。
解：首先，将方程化简，得到的形式为2x = 4。
接着，将方程两边同时除以2，得到x = 2。
最后，解得方程的解为x = 2。
2. 平衡法平衡法是一种通过移动式子中的项，使得方程两边平衡的解法。
例如，求解方程3x + 5 = 2x + 9。
解：首先，将方程化简，得到的形式为3x - 2x = 9 - 5。
接着，合并同类项，得到x = 4。
最后，解得方程的解为x = 4。
3. 消元法消元法是一种通过将方程中的某一项系数化为0，从而消去该项的解法。
例如，求解方程2x + 3 = 5x - 1。
解：首先，将方程移项，得到的形式为2x - 5x = -1 - 3。
接着，合并同类项，得到-3x = -4。
然后，将方程两边同时除以-3，得到x = 4/3。
最后，解得方程的解为x = 4/3。
以上是三种常用的一元一次方程解法，通过这些解法可以较为简单快速地求解一元一次方程。
在实际问题中，一元一次方程经常出现，它们的解可以帮助我们得到未知数的具体值，从而解决问题。
此外，有时方程可能无解或者有无限多个解。
当方程无解时，意味着方程左右两边无法通过任何变换相等，即方程组不成立。
当方程有无限多个解时，意味着方程左右两边可以通过变形相等，即方程组恒成立。
总结起来，一元一次方程的概念与解法是数学学习中的基础知识。
通过灵活运用直接法、平衡法和消元法等解法，我们可以解决一元一次方程相关的问题，提高数学解题的能力。
初中数学知识归纳一元一次方程的基本概念与解法
初中数学知识归纳一元一次方程的基本概念与解法一、什么是一元一次方程数学中的方程是指包含了一个或多个未知数的等式。
一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且该未知数的最高次数为一。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的实数常量，x是未知数。
二、一元一次方程的解法1. 通过逆运算法解一元一次方程一元一次方程的基本思路是通过逆运算法将未知数从方程中的其他项中分离出来，从而求得方程的解。
例如，我们考虑方程2x + 5 = 0。
为了将x从方程的其他项中分离出来，我们需要使用逆运算，即将5移到方程的另一侧，并且改变其符号，即2x = -5。
接下来，将方程中的系数2除到x的前面，得到x = -5/2。
这就是方程的解。
2. 通过移项法解一元一次方程除了逆运算法，还可以使用移项法来解一元一次方程。
移项法的基本思路是将方程中所有项移至一个侧，从而将方程化简为ax = b的形式，然后通过除法求解出x的值。
举个例子，我们考虑方程3x - 7 = 11。
为了将x的系数3移到方程的另一侧，我们需要在等式两边同时加上7，得到3x = 18。
接下来，将方程中的系数3除到x的前面，得到x = 18/3 = 6。
这就是方程的解。
3. 通过综合运用解一元一次方程有时候，解一元一次方程需要综合使用逆运算法和移项法。
这通常在方程较复杂，或者方程中含有分数等特殊情况下使用。
例如，我们考虑方程4(2x - 3) = 2(x + 5) + 6。
首先，将方程中的括号展开得到8x - 12 = 2x + 10 + 6。
接下来，将方程中的项整理到一个侧得到8x - 2x = 28 + 12。
继续整理得到6x = 40。
最后，将方程中的系数6除到x的前面，得到x = 40/6 = 20/3。
这就是方程的解。
三、例题演练1. 解方程2x - 3 = 5。
解：将方程中的常数项3移到方程的另一侧得到2x = 8。
然后，将方程中的系数2除到x的前面得到x = 4。
一元一次方程和它的解法
一元一次方程和它的解法（一）知识要点：1．一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=-。
我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。
例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。
2．解一元一次方程的一般步骤：（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。
（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。
括号前有数字因数时要注意使用分配律。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。
注意移项要变号。
（4）合并同类项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。
（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=。
解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。
（二）例题：例1．解方程(x-5)=3-(x-5)分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并同类项，使运算简便。
解：移项得：(x-5)+(x-5)=3合并同类项得：x-5=3∴ x=8。
例2．解方程2x-=-解：因为方程含有分母，应先去分母。
去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一项都要乘以6）去括号：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则)移项：12x-3x+2x=8-4+3合并同类项：11x=7系数化成1：x=。
一元一次方程及其解法
1 1 1 1 方程 [ ( x − 3) − 3] − 3 − 3 = 0 的解是___. 2 2 2 2 5 答案： − ,90 2
n = ___.（第 12 届初一希望杯） m 0.3x + 0.8 0.02 x + 0.6 0.8 x − 0.4 的解是___. − = 0.5 0.3 3 1 是方程 mx 2 + 2 x − 5 = 0 的解，那么 m 的值等于___. 2
答案： −
15 4
三、解答题
3 4 1 1 3 18、解方程（1） [ ( x − ) − 8] = x +1 4 3 2 4 2
5 x = 1 ，也是一元一次方程。
3 4
3. 解方程
3{2 x − 1 − [3(2 x − 1) − 3]} = 5
分析：换元法，设 = y 2 x − 1 ，可化为：
3{ y − [3 y − 3]} = 5
解得： y =
2 2 ，即 2 x − 1 = ， 3 3
所以， x =
5 6
1 1 2 4. 已知方程 [ x − (kx − 1)] = ( x − k ) 的解为 x = 12 ，求代数式 k 2 + 2k + 1 的值。 2 2 3 3 1 分析：把 x = 12 代入可得： k = − ，所以， k 2 + 2k + 1 = 4 16
5. 解方程
一元一次方程的定义及解法
一元一次方程的定义及解法方程定义：只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程,通常形式是ax+b=0a,b为常数,且a≠0.方程简介一元一次方程linearequationinone通过化简,只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程.通常形式是ax+b=0a,b为常数,且a≠0.一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0其中x是未知数,a、b是已知数,并且a ≠0叫一元一次方程的标准形式.这里a是未知数的系数,b是常数,x的次数必须是1.即一元一次方程必须同时满足4个条件：1它是等式；2分母中不含有未知数；3未知数最高次项为1；4含未知数的项的系数不为0.“方程”一词来源于我国古算术书九章算术.在这本着作中,已经会列一元一次方程.法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程.在19世纪以前,方程一直是代数的核心内容.详细内容合并同类项1.依据：乘法分配律2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项3.合并时次数不变,只是系数相加减.移项1.含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边.2.依据：等式的性质3.把方程一边某项移到另一边时,一定要变号.性质性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立.等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数0除外,等式仍然成立.等式的性质三：等式两边同时乘方或开方,等式仍然成立.解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立解法步骤使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一般解法：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘；2.去括号：先去小括号,再去中括号,最后去大括号；记住如括号外有减号的话一定要变号3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边；移项要变号4.合并同类项：把方程化成ax=ba≠0的形式；5.系数为成1：在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a.同解方程如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程.方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程.⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程.做一元一次方程应用题的重要方法：⒈认真审题审题⒉分析已知和未知量⒊找一个合适的等量关系⒋设一个恰当的未知数⒌列出合理的方程列式⒍解出方程解题⒎检验⒏写出答案作答ax=b解：当a≠0,b=0时,ax=0x=0当a ≠0时,x=b/a.当a=0,b=0时,方程有无数个解注意：这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程当a=0,b≠0时,方程无解例：3x+1/2-2=3x-2/10-2x+3/5去分母方程两边同乘各分母的最小公倍数得,53x+1-10×2=3x-2-22x+3去括号得,15x+5-20=3x-2-4x-6移项得,15x-3x+4x=-2-6-5+20合并同类项得,16x=7系数化为1得,x=7/16.字母公式a=ba+c=b+ca-c=b-ca=bac=bca=bcc≠0=a÷c=b÷c求根公式由于一元一次方程是基本方程,故教科书上的解法只有上述的方法.但对于标准形式下的一元一次方程aX+b=0可得出求根公式X=-b/a学习实践在小学会学习较浅的一元一次方程,到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题.一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题,相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题.列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式——教学设计示例教学目标1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤,并会列出一元一次方程解简单的应用题；2．培养学生观察能力,提高他们分析问题和解决问题的能力；3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．重点和难点一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢若能解决,怎样解用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题．例1某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数．首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书解法1：4+2÷3-1=3．答：某数为3．其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成解法2：设某数为x,则有3x-2=x+4．解之,得x=3．答：某数为3．纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程．本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后,还剩余42500千克,这个仓库原来有多少面粉师生共同分析：1．本题中给出的已知量和未知量各是什么2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系原来重量-运出重量=剩余重量3．若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克利用上述相等关系,如何布列方程上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉,那么运出了15%x千克,由题意,得x-15%x=42500,所以x=50000．答：原来有50000千克面粉．此时,让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式若有,是什么还有,原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量教师应指出：1这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程2例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿．依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后,采取提问的方式,进行反馈.最后,根据学生总结的情况,教师总结如下：1仔细审题,透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母如x表示题中的一个合理未知数2根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．这是关键一步；3根据相等关系,正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等；4求出所列方程的解；5检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义.6最好能用计算器再进行一次验算.。
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法【知识要点】1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：【典型例题】例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？x+2y=9 x 2－3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ；(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3．解下列简易方程1．5223-=+x x 2．4.7-3x=113．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x例4．解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1．列方程解决实际问题的一般步骤（1）找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系.（2）设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数.（3）列——列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度＝船速－水速2.分析应用题中等量关系的一般方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.（2）线示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.（3）列表法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.（4）图示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系更为直观，更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题，关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力，大多数属于当基本题或中档题，学习中应抓住其核心问题——建模，从等量关系入手，而不是只让学生套题型，套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：等量关系为螺栓数：螺母数＝1︰2.设加工螺栓人数为x，则加工螺栓的总数为18x个，加工螺母总数为24（100－x）个.解：设加工螺栓的人数为x人，依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x （人）.∴加工螺母的人数为 100－x ＝100－40＝60（人） 答：应分配40人去加工螺栓.点评：此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶，底面半径为11cm ，高25cm ，将满桶的水倒入底面长30cm ，宽20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（π取3.14，结果精确到0.1cm ）? 分析：从相等关系入手，即圆柱形容器积＝长方体器容积. 解：设长方体容器的高为x cm ，依题意，有 30×20x ＝25π×112，解方程，得 ≈=24121πx 15.9cm ， 答：长方体容器的高至少需要15.9cm.点评：“等积变换”是中学数学的常用方法，要让学生理解和把握这方法，并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%.（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？ （2）若将题中的135元改成为任何正数a 元，情况如何？ 分析：关键把握等量关系： 进价（1＋盈利率）＝售价，进价（1－亏本率）＝售价.解：（1）设第一件进价为x 元，则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元，则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.（2）仿前一小题方法可得： a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=， a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系，同时理解好一些常用“词”：如：打八折，进价，售价，盈利10%，亏本20%等.拓广：在例3中，将题中的135元改为任何正数a 元，同时又将题中的25%改为m%（0＜m ＜100）情况如何？工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用20小时可注满一池水，乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？分析：利用等量关系，甲管工作量＋乙管工作量＝1，来解题，为了理清工作量的关系，可列表如下：（设两管一起开后x 小时可注满全池）解：设两管一起打开后x 小时可注满全池，依题意，得140208=++xx . 解得 8=x （小时），答：两管一起打开后8小时可注满水池.点评：“列表法”在分析等量关系中，有其特点，但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上，提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路，后31的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在距离丙地44千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？分析：本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3－5－1所示，相等关系是A 车行驶时间＝B 车行驶时间.距丙地44千米处，有两种可能，（1）相遇处在高速公路上距丙地44千米，（2）相遇处在普通公路上，解题时要考虑到这两种情况，再根据实际取舍.解：设甲、乙两地相距x 千米，A 车从甲地到丙地，需要15010032xx=（小时），B 车从乙地到丙地，需要2107031x x=（小时）， ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答：甲、乙两地之间的距离是441千米.点评：“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况，以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元，大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行，年利率为1.98%，免收利息税，小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券，但要交纳20%的利息税，一年后两人得到的收益恰好相等，问两人的压岁钱各是多少？分析：抓住这一问题的等量关系.1.利息（免税的）＝存入钱数×年利率，2.利息（不免税的）＝存入钱数×年利率×（1－税率），3..大宝的收益＝小宝的收益.解：设大宝的工钱为x元，则小宝的工钱为（1000－x）元，由题意，得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x（元），1000－x=490(元).=答：大宝的工钱是510元，小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追及超越卡车，需要花费的时间约是（）A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为（）A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？4.某商品的进货单价为280元，按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为22毫米的正方形，高是15毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？6.一艘船在甲、乙两地之间航行，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知船在静水中航行速度是每小时26千米，求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走，一圈为400米，甲的速度为平均每分钟80米，乙的速度是甲的1.25倍，如果乙在甲的前面100米，多少分钟后两人相遇？8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min，只好以15km/h的速度前进，结果比规定时间早4min到达B地，求A、B 两地的距离？二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件，如果商店销售这些商品时，要获利12%的利润，那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝，第一次用去了它的一半少1m，第二次用去了剩下的一半多1m，结果还剩下10m，这卷铁丝原长多少？3.有大中小三个正方形水池，它们的内池分别为6m、3m、2m，把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m，试求各铁桥的长？5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品，已知该贷的年利率为1.5%（不计复利），每人新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需要几年才能一次性还清？（利润＝销售额－成本－应纳税款）6.某班共40名学生，其中33人数学成绩不低于80分，32人英语成绩不低于80分，且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。
初一数学书一元一次方讲解
一元一次方程的概念
一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
通常形式为ax + b = 0 (其中a和b是常数，a≠0)。
解一元一次方程的步骤
去分母：将方程两边同时乘以分母的最小公倍数，消除分母。
去括号：根据括号前是加号还是减号，决定去括号后各项的符号。
移项：将含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。
合并同类项：将等号右边的常数项移到等号左边后，将左边的未知数系数化为1，得到方程的解。
一元一次方程的解法
直接开平方法：对于形如ax^2 = b (a > 0) 的方程，可以直接开平方求解。
配方法：将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为一个完全平方的形式，再求解。
公式法：对于任意实数a、b，都可以通过公式ax^2 + bx + c = 0 的解为x = [-b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 来求解。
因式分解法：将方程左边分解因式，右边化为0，然后求解。
待定系数法：先假设方程左边多项式的系数为未知数，然后根据题目条件列出关于这些系数的方程组，解之得到系数值。
一元一次方程的认识和解法
一元一次方程的认识与解法一、重难点知识归纳及讲解1、有关方程的概念用等号“ =”来表示相等关系的式子，叫做等式.含有未知数的等式叫做方程.只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程，叫做一元一次方程.使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.求得方程的解的过程，叫做解方程.2、等式的基本性质性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即：若a=b，则a＋m=b＋m，a－m=b－m.性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：若a=b，则am=bm，.此外等式还有两条性质.性质3：若a=b，则b=a（等式的对称性）.性质4：若a=b，b=c，则a=c（等式的传递性）.3、移项法则方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。
所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这方程的一边变换两项的位置。
移项时要变号，不变号不能移项。
4、解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程转化到x=a的形式。
解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母：根据等式基本性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：利用去括号法则、分配律，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）移项：根据等式基本性质1，利用移项法则，把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；（4）合并同类项：利用合并同类项法则，把方程化成ax=b的形式；（5）系数化为1：根据等式基本性质2，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解(a≠0).在解方程时，根据具体情况，有些步骤可能用不上，有些步骤可以前后顺序颠倒，有些步骤可以省略，有些步骤可以合并简化.5、方程的检验检验某数是不是原方程的解，应将该数分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等.如果相等，说明该数是原方程的解，否则就不是.检验时应代入原方程的左边和右边，而不是变形后的方程的左边和右边.6、列简易方程解应用题解应用题时，关键是列出简易方程，解应用题时列方程的一般步骤是：（1）设未知数，一般是求什么就设什么为x；（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；（3）把相等关系的左、右两边的量用含x的代数式表示出来，即得方程.二、典型例题剖析例1、判断下列各式哪些是方程，哪些是一元一次方程.（1）x－1=1－x （2）x3=2x（3）xy－x=0 （4）6x－x－1（5）5－2=3（6）=3（7）2x=1（8）x2＋1>2x例2、解方程，并检验.例3、解方程.例4、解方程.例5、已知x=－7是方程4x＋6=ax－1的解，求代数式的值.例6、某商品标价为165元，若降价以9折出售，仍可获利10%，则该商品的进货价是多少？.例7、若a︰b︰c=1︰2︰3，且a＋b＋c=60，求a、b、c的值.例8、解关于x的方程3x－5＋a=bx＋1.例9、当m取什么整数时，关于x的方程的解是正整数？例10、若方程与关于x的方程的解相同，求a的值.例11、有一堆糖果分给幼儿园的若干儿童，若每人给5个，最后缺2个，若每人给4个，又多余3个，问有儿童多少人？一．选择题（共10小题）1．（2014秋•越秀区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x+y=1B．x2﹣x=1C．+1=3x D．+1=32．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A．4x﹣1=3x+2B．4x+8=3（x+1）+1C．5（x+1）=4（x+2）﹣1D．x+4=3（2x﹣1）3．（2015春•宜阳县期中）若3x2m﹣3+7=1是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．1B．2C．3D．44．（2015春•遂宁校级期中）已知（a﹣3）x|a|﹣2+6=0是关于x的一元一次方程，则a的值是（）A．3B．﹣3C．±3D．05．（2015春•宜阳县期中）下列方程中，是一元一次方程的为（）A．3x+2y=6B．x2+2x﹣1=0C．=x D．﹣3=6．（2015春•耒阳市校级月考）若（m﹣2）x|m﹣3|=4是一元一次方程，则m的值是（）A．4或2B．2C．4D．﹣47．（2014秋•新城区期末）下列说法中，正确的是（）A．代数式是方程B．方程是代数式C．等式是方程D．方程是等式8．（2013秋•故城县期末）方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2，则a等于（）A．﹣8B．0C．2D．89．（2014春•永春县期末）已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是（）A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣510．（2014秋•洪江市期末）若关于x的方程mx m﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（）A．x=0B．x=3C．x=﹣3D．x=2二．填空题（共5小题）11．（2015春•郑州校级月考）已知方程（a﹣2）x|a|﹣1=2是关于x的一元一次方程，则a的值是．12．（2014•泗县校级模拟）关于x的方程mx m+2+m﹣2=0是一元一次方程，则这个方程的解是．13．（2013秋•嘉峪关校级期末）在①2+1=3，②4+x=1，③y2﹣2y=3x，④x2﹣2x+1中，方程有（填序号）14．（2014秋•新城区期末）已知甲数比乙数的2倍大1，如果设甲数为x，那么乙数可表示为；如果设乙数为y，那么甲数可表示为．15．（2014秋•深圳期末）已知x=2是方程x+2y+4=0的解，则y=．【巩固练习】1、下列方程中，是一元一次方程的为（）A．x2－1=0 B．x＋y=2 C．D．2、下列变形一定能成立的是（）A．若a=b，则a－b=2b B．若am=an，则m=nC．若a=b，则c－a=c－b D．若(a－1)x=1，则3、如果nx n＋2＋n－4=0是关于x的一元一次方程，那么方程的根为（）A．－1 B．1 C．5 D．－54、若有理数m、n满足|2m＋1|＋(n－3)2=0，则m＋n的值等于（）A．3B．2C．0 D．55、下列方程中，解是零的方程为（）A．6x＋9=－4(x－2) B．C．D．6、如果x=9是方程的解，那么关于y的方程m(y－2)＋3=m(2y－1)的解是（）A．－5 B．0 C．D．47、下列说法中正确的是（）A．方程2x－5=3与方程x(2x－5)=3x同解B．方程(x－2)(x＋1)=0与方程x－2=0同解C．方程(2x－5)x=3x的解都是方程2x－5=3的解D．方程|x|=1与方程x2=1同解8、已知a>0，则关于x的方程a(1＋x)=(a＋1)(1－x)的解为（）A．小于1的任何数B．任何非负数C．小于1的正数D．任何数9、代数式的相反数的值等于的倒数，则x为（）A．3B．3 C．0 D．－310、假如你是运输公司经理，现有10吨货物，可用大、小两种卡车运，大卡车能装2吨，小卡车能装1吨，若要一次运完，则派车运货的方案有（）种.A．6 B．4 C．1 D．不能确定三、解答题15、解下列方程。
(完整版)一元一次方程及其解法
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根． ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解． (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝12ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.12x ＋3＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G .2x 2＋2x ＋1＝0；H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解． A ．－5(x －1)＝－4(x －2) B ．4x ＋2＝1C ．13x ＋5＝5 D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)．③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性) 如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°. (2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换． 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若x 2＝0，则x ＝2D ．若x 6－1＝1，则x －6＝1解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝57.答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20. 方程的两边同时除以5，得x ＝4. (2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0. 方程的两边同时加上2，得2x ＝2. 方程的两边同时除以2，得x ＝1. (3)方程两边都同时减去1， 得x ＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.∴x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x －15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax＝b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )． A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程2－x 3－5＝x －14.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12， 得4(2－x )－60＝3(x －1)． 去括号，得8－4x －60＝3x －3. 移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60. 合并同类项，得－7x ＝49. 两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程0.4x －90.5－x －52＝0.03＋0.02x0.03.分析：由于0.4x －90.5和0.03＋0.02x 0.03的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子0.4x －90.5的分子、分母中都乘以10，变为4x －905，在式子0.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得 4x －905－x －52＝3＋2x3.去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )． 去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x . 移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30. 合并同类项，得 －11x ＝495. 两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．43C ．2D ．－43解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－53.将x ＝－53代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C. 答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________. 解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8. 答案：86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x －14－4＝32x ＋1. 分析：注意到34×43＝1，把34乘以中括号的每一项，则可先去中括号，34×43⎝⎛⎭⎫12x －14－34×4＝32x ＋1，再去小括号为12x －14－3＝32x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了． 解：去括号，得12x －14－3＝32x ＋1.移项，合并同类项，得－x ＝174.两边同除以－1，得x ＝－174.【例6－2】 解方程x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012. 去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)． 去括号，得－24x ＋12＝－35x －350. 移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－36211.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数． (2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－116.答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程x －k 3＋3k ＋26－x ＝x ＋k2的解，求k 的值．分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得 －2－k 3＋3k ＋26－(－2)＝－2＋k2. 去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )． 去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k . 移项、合并同类项，得 －2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.【题01】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=． D ．若x ya a=，则ax ay =． 【题02】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题03】解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=B ．5362x +=C ．3(2)(3)5x x x ---=D ．275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = ．【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ） A ．2140- B ．2140C ．5615-D ．5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程：122233x xx-+ -=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20343x --+=。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一、方程的概念与组成1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。
2.方程的组成：a.未知数：用字母表示的数，如x、y等。
b.常数：已知的数，如2、3、4等。
c.运算符号：加、减、乘、除等。
二、一元一次方程的定义与特点1.定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。
a.方程中只有一个未知数。
b.未知数的最高次数为1。
c.方程的两边都是整式。
2.移项：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。
3.合并同类项：将方程中同类项合并，化简等式。
4.系数化为1：将方程中的未知数系数化为1，得到未知数的值。
四、解题步骤1.识别方程：判断方程是否为一元一次方程。
2.移项：将未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。
3.合并同类项：化简等式，使未知数系数化为1。
4.求解：根据合并同类项后的等式，求得未知数的值。
5.检验：将求得的未知数值代入原方程，验证等式是否成立。
五、常见解题方法1.加减法解法：适用于方程两边都有未知数的情况。
2.乘除法解法：适用于方程中有未知数的乘除运算。
3.换元法：适用于方程中未知数的系数较大或较复杂时，通过设定新未知数简化方程。
六、解题注意事项1.保持等号对齐：在移项、合并同类项过程中，要注意保持等号对齐，避免出错。
2.符号变化：移项时，要注意符号的变化，负数移到等式另一边要变正，正数移到等式另一边要变负。
3.检验：求得未知数值后，要进行检验，确保解是正确的。
七、方程的应用1.实际问题：将实际问题转化为方程，通过求解方程得到问题的答案。
2.数学运算：在一元一次方程的基础上，进行加减乘除等运算，解决更复杂的数学问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握一元一次方程的基本概念、解法步骤和应用方法，为后续数学学习打下基础。
习题及方法：1.习题：2x - 5 = 3a.移项：将常数移到等式右边，未知数移到等式左边。
2x = 3 + 5b.合并同类项：将等式右边的常数相加。
一元一次方程初步了解一元一次方程的概念和解法
一元一次方程初步了解一元一次方程的概念和解法一元一次方程是数学学科中最基础的概念之一，也是解决实际问题的基本工具。
通过学习一元一次方程，我们可以用数学的方法去解决各种实际问题，提升我们的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将带你深入了解一元一次方程的概念和解法。
一、一元一次方程的概念一元一次方程，顾名思义，就是只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为：ax+b=0，其中a 和b为已知的数，x为未知数。
例如，2x+1=0就是一个一元一次方程。
其中，a=2，b=1，x为未知数。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的方法主要有两种，分别是等式法和图解法。
1. 等式法等式法是一种通过运算将方程化为等式的方法，从而求得未知数的值。
以方程2x+1=0为例，我们可以通过等式法来求解。
首先，由于方程中只有一个未知数，即x，我们可以尝试将方程化简为x的形式。
将方程中的1移到等式的右边，则方程变为2x=-1。
接下来，我们可以通过两边同乘1/2来消去方程中的系数，得到x=-1/2。
因此，方程2x+1=0的解为x=-1/2。
2. 图解法图解法是一种通过绘制方程的图像来求得未知数的值的方法。
以方程2x+1=0为例，我们可以通过图解法来求解。
首先，我们将方程化为y=2x+1的形式，即将未知数x表示为关于y 的函数。
然后，我们可以绘制出y=2x+1的图像。
由于一元一次方程的图像是一条直线，而且2x+1=0表示的是该直线与x轴交点的横坐标，因此可以通过直观地观察图像来确定交点的横坐标。
在这个例子中，我们可以看到y=2x+1的图像与x轴交于点(-1/2, 0)。
因此，方程2x+1=0的解为x=-1/2。
三、一元一次方程的应用举例一元一次方程在解决实际问题中有着广泛的应用，例如：例1：某自行车商店打折促销，原价600元的自行车现在打八折出售，请问现价是多少？解：假设现价为x元，则根据题意可得方程0.8x=600。
一元一次方程及其解法教案
一元一次方程及其解法教案第一章：一元一次方程的概念与认识1.1 教学目标了解一元一次方程的定义及特点能够识别一元一次方程理解一元一次方程在实际生活中的应用1.2 教学内容引入一元一次方程的概念举例说明一元一次方程的形式分析一元一次方程的特点1.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解一元一次方程的概念1.4 教学步骤1.4.1 引入新课通过生活中的实际问题引入一元一次方程的概念1.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程的定义及特点示例说明一元一次方程的形式1.4.3 练习与讨论让学生练习识别一元一次方程引导学生思考一元一次方程在实际生活中的应用总结一元一次方程的概念与特点布置作业：练习识别一元一次方程，思考一元一次方程在实际生活中的应用第二章：一元一次方程的解法2.1 教学目标掌握一元一次方程的解法能够运用解法求解一元一次方程2.2 教学内容介绍一元一次方程的解法讲解解法步骤及注意事项2.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解解法步骤2.4 教学步骤2.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程的解法2.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程的解法步骤示例演示解法过程2.4.3 练习与讨论让学生练习运用解法求解一元一次方程引导学生思考解法步骤的规律与技巧总结一元一次方程的解法步骤及注意事项布置作业：练习运用解法求解一元一次方程第三章：一元一次方程的应用3.1 教学目标能够应用一元一次方程解决实际问题理解一元一次方程在实际生活中的重要性3.2 教学内容举例说明一元一次方程在实际生活中的应用引导学生运用一元一次方程解决问题3.3 教学方法采用案例分析、小组讨论、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解一元一次方程的应用3.4 教学步骤3.4.1 引入新课通过生活中的实际问题引入一元一次方程的应用3.4.2 案例分析分析实际问题，引导学生将其转化为一元一次方程示例演示解题过程3.4.3 小组讨论与练习让学生分组讨论，尝试解决实际问题引导学生运用一元一次方程进行解答总结一元一次方程在实际生活中的应用布置作业：练习解决实际问题，运用一元一次方程进行解答第四章：一元一次方程的检测与评估4.1 教学目标学会检验一元一次方程的解能够对解的合理性进行评估4.2 教学内容介绍一元一次方程解的检验方法讲解解的评估标准和技巧4.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解解的检验与评估4.4 教学步骤4.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程解的检验与评估4.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程解的检验方法示例演示解的检验与评估过程4.4.3 练习与讨论让学生练习运用解的检验方法引导学生思考解的评估标准和技巧总结一元一次方程解的检验与评估方法布置作业：练习运用解的检验方法，对解的合理性进行评估第五章：一元一次方程的综合训练5.1 教学目标巩固一元一次方程的知识与解法提高解决实际问题的能力5.2 教学内容设计综合练习题，涵盖一元一次方程的知识点引导学生运用所学知识解决综合问题5.3 教学方法采用综合练习、小组讨论、讲解的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来提高解题能力5.4 教学步骤5.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程的综合训练5.4.2 综合练习设计练习题，让学生运用所学知识解决问题引导学生分组讨论，共同解题5.4.3 讲解与讨论对学生的解题过程进行点评和指导讲解解题思路和技巧总结一元一次方程的综合训练要点布置作业：练习解决综合问题，提高解题能力第六章：一元一次方程的拓展与提高6.1 教学目标了解一元一次方程的拓展知识提高解决更复杂一元一次方程的能力6.2 教学内容介绍一元一次方程的拓展知识，如方程的根的判别式讲解更复杂的一元一次方程的解法6.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来掌握拓展知识6.4 教学步骤6.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程的拓展与提高6.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程的拓展知识示例演示解更复杂的一元一次方程的过程6.4.3 练习与讨论让学生练习解更复杂的一元一次方程引导学生思考解题思路和技巧总结一元一次方程的拓展与提高知识点布置作业：练习解更复杂的一元一次方程，提高解题能力第七章：一元一次方程在实际生活中的应用案例分析7重点解析重点：1. 一元一次方程的概念与认识：理解一元一次方程的定义、形式及特点。
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一元一次方程的认识与解法
一元一次方程是数学中常见且重要的概念之一，它在实际生活中有
着广泛的应用。
本文将介绍一元一次方程的定义、特征以及常见的解
法方法。
一、一元一次方程的定义和特征
一元一次方程是指只含有一个未知数（通常用x表示）且该未知数
的最高幂次为1的方程。
它的一般形式可以表示为：
ax + b = 0
其中，a和b为已知数，且a不等于0。
一元一次方程的特征在于它只包含一个未知数，通过解方程可以确
定该未知数的值。
一元一次方程的解可以是实数、有理数或无理数，
具体解的形式取决于方程中的系数和常数。
二、一元一次方程的解法方法
解一元一次方程的常见方法有以下几种：
1. 同解法：通过移项和合并同类项的操作，将方程化简成形如x = c 的形式，其中c为一个常数。
这个常数就是方程的解，表示未知数x的值。
例如，对于方程2x + 5 = 11，我们可以先将5移项得到2x = 11 - 5，化简得2x = 6，再除以2得到x = 3。
因此，方程的解为x = 3。
2. 因式分解法：对于一元一次方程，如果可以通过因式分解的方式
将方程化简，那么可以很轻松地求解方程。
例如，对于方程3x - 6 = 0，我们可以将方程因式分解为3(x - 2) = 0，然后再分别求解x的值。
根据乘积为0的性质，得到x - 2 = 0，即x = 2。
因此，方程的解为x = 2。
3. 代入法：当一个一元一次方程较复杂，不易直接求解时，我们可
以通过代入其他方程或数值来求解。
例如，对于方程2x + 3y = 10，已知y = 2，可以将y的值代入方程
中得到2x + 3 × 2 = 10，化简得2x + 6 = 10，再移项得到2x = 4，最后
除以2得到x = 2。
因此，方程的解为x = 2。
4. 图解法：将一元一次方程转化为直线的形式，通过绘制直线并确
定与x轴的交点，可以确定方程的解。
例如，对于方程3x - 2 = 4，我们可以将方程转化为直线y = 3x -2，
并绘制该直线与x轴的交点，交点的横坐标即为方程的解。
根据图像
可以得到x = 2。
因此，方程的解为x = 2。
5. 公式解法：一元一次方程有着通用的求解公式，即x = -b/a，其
中a和b分别为方程的系数。
例如，对于方程4x + 5 = 13，可以根据公式得到x = -(5/4)。
因此，
方程的解为x = -(5/4)。
三、一元一次方程的应用举例
一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，常常用于解决各种问题。
以下是一些应用举例：
1. 财务管理：利用一元一次方程可以解决关于收入、支出、储蓄等方面的问题。
例如，假设你每月收入x元，每月支出y元，已知月储蓄为100元，可以使用方程x - y = 100来求解每月的收入和支出情况。
2. 几何推理：一元一次方程也可以用于解决几何形状相关的问题。
例如，已知一个长方形的周长为20cm，已知宽度为x cm，可以使用方程2(x + 5) = 20来求解长方形的长度。
3. 物理问题：一元一次方程在物理学中也有广泛的应用。
例如，已知速度v和时间t的关系为v = 2t + 5，已知时间t为3秒，可以使用方程2t + 5 = v来求解速度v的值。
综上所述，一元一次方程是数学中重要的概念之一，通过解方程可以确定未知数的值。
通过不同的解法方法，我们可以灵活地解决各种问题，并应用到实际生活中的各个领域。
掌握一元一次方程的认识和解法方法，可以提高数学思维能力和问题解决能力。