认识一元一次方程—教学设计及点评

北师大版七上第五章一元一次方程“5.1.1认识一元一次方程”教学设计授课教师孙洋（辽宁省锦州市第三中学）一、教学内容及其解析“认识一元一次方程”是北师大版《义务教育教科书数学》七年级上册，第五章“一元一次方程”第一节“认识一元一次方程”第一课时内容.主要是让学生通过丰富的实例，建立方程，展现方程是刻画现实生活数量关系的有效数学模型；归纳一元一次方程的基本概念，认识方程的解；进一步体会从算式到方程是数学的进步.本节内容既是小学的延续，又是进一步学习本章的后续内容（求解一元一次方程、应用一元一次方程）的前提，同时又是今后学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程以及函数的基础.一元一次方程在实际问题中的应用，更是中学阶段应用数学知识解决实际问题的重要开端，也是增强学生学习数学、应用数学意识的重要题材.本节的教学内容不仅承载着引导学生从算术思维向代数思维的转化，还承载着对简易方程的理性认识和深化，可以说是小学与中学内容上的衔接点，方法上的分水岭.因此，本节课的教学重点为：感受学习方程的必要性，能根据简单实际问题中的数量关系列出一元一次方程，初步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.二、教学目标及其解析（一）教学目标课程标准对本节课的具体要求是能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.依据课标、教材，根据七年级学生的年龄特征和知识结构确定本节课教学目标如下：1.经历求正方形边长，猜明星和数学家年龄，鸡兔同笼，求长方形长与宽等问题的探究过程,构建算术方法向方程方法的转化活动，以此为生长点自然衔接中、小学数学知识，感受学习方程的必要性，从而体会从算术到方程是数学学习的进步.2.在观察、分析、比较、归纳等学习活动中，了解一元一次方程、方程的解的概念.3.通过寻找实际问题中的相等关系，设未知数、列出一元一次方程，初步感受方程是刻画现实世界的一个重要数学模型，体会方程的应用价值.（二）目标解析：1.达成目标1是，学生在解决5个层层递进的实际问题过程中，感受到用列算式解决实际问题会随着问题逐渐加深，它的困难程度和局限性越来越突出，进而深切地感受到继续学习方程的必要性，以及用方程解决问题的简捷性.2.达成目标2是，根据五个问题情境列出的方程，去掉情境背景，通过观察、分析、比较、发现5个方程共同特征，归纳得到一元一次方程、方程的解的概念,并依此准确判断一个方程是不是一元一次方程，一个有理数是不是一个一元一次方程的解.3.达成目标3是，在学生经历从实际问题抽象出一元一次方程概念的基础上，再通过解决以秋游为主题的应用问题，使学生更深刻体会到方程是刻画现实世界的一个重要数学模型.三、学生学情分析1.学生的已有基础学生在小学时已经具备娴熟算术法解决实际问题的能力，同时会用简易方程解一些最简单的问题，对方程的概念有初步的了解.2.学生面临的问题该年龄阶段的学生对学习仅仅是在感知和模仿层面，缺乏学习方法和深入思考的能力.同时对方程缺少理性认知，对复杂文字和抽象符号的理解也不够，加之小学阶段形成了用算术法解决实际问题的思维定势.因此如何找出实际问题中的等量关系，设出恰当的未知数列出一元一次方程，对学生有一定思维障碍.基于以上分析，本节课的教学难点是：突破用算术法解决实际问题的思维习惯，引导学生将实际问题抽象为一元一次方程.四、教学策略分析1.应用PPT课件整合教学资源的同时，在教学中采用启发式、师生互动式、小组合作式、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性，激发学生学习的主动意识，真正做到把课堂时间还给学生.2.借助学习工具单，有利于教师了解学生的学情，这样也能直接观察到学生掌握知识和运用知识解决问题的能力. 通过层层深入的问题解决，使学生在多解归一、一题多解活动中，收获成功的喜悦.五、教学过程设计（一）感受体验（算式到方程）情境1：1.用一根长24厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少厘米？2.猜猜明星的年龄：成龙年龄加上13再除以3就是邓伦的年龄，邓伦26岁，求成龙年龄？【教师活动】问题1：请同学们用你所学的数学知识帮助老师完成这两个数学问题：问题2：你喜欢用哪种方法求解？【学生活动】学生独立思考并将解题过程写在学案中，然后板演.教师会追问“还有其他解法吗？”学生将不同解法写在黑板上展示、对比、评价.【设计意图】两道数学问题的引入唤起学生对算术法和简易方程解决数学问题的学习经验.通过对比学生更习惯于借助算术法解决数学问题.情境2：鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有二十头，下有五十四足，问鸡兔各几何.【教师活动】1.接下来咱们再看一个我们熟悉的鸡兔同笼问题.2.本题有哪些种解法？请同学们将你喜欢的解法写在学案中.【学生活动】学生独立思考后，以小组为单位探讨后将解法写在学案中，同时请几名学生将不同解法写在黑板上，并讲解解题思路.学生1:利用列举法得出鸡13只，兔7只.学生2:利用算术法求解.假设20头全是鸡，则脚数为2×20=40只，但是一共有54只脚，说明多出的应是兔的角，则54-40=14只，14÷2=7（只）.所以鸡的只数为20-7=13只.学生3:利用算术法求解.假设20头都是兔……（学生解释不同）学生4:利用方程求解.设有鸡x只，则兔有（20-x）只.所列方程：2x+4(20-x)=54.(借助假设法)学生5 利用方程求解.设有兔y只，则鸡有（20-y）只.所列方程：4y+2(20-y)=54.【教师活动】1.引导学生对比解题方法，评价板演讲解的规范.2.分析算术法中假设20头全是鸡（或兔子）的“假设”思想，与方程法中用一个字母（未知数）去表示我们要求的那个量之间的联系.3.调查一下，分别用算术、列表、方程方法解决问题的情况.追问你更喜欢哪种方法？【设计意图】前面两道数学问题学生更习惯于用算术法求解，而本题学生想到列举法，算术法，方程法.其中两种算术法中引入“假设”思想,恰恰为方程中引入未知数提供了思维的基础.通过鸡兔同笼问题，部分学生已经感受到利用方程解决问题的简捷性.情境3：丢番图是古希腊数学家. 人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：（书中章前图内容）坟中安葬着丢番图, 多么令人惊讶, 它忠实地记录了其所经历的人生旅程. 上帝赐予他的童年占六分之一, 又过十二分之一他两颊长出了胡须, 再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛, 五年之后喜得贵子, 可怜迟到的宁馨儿, 享年仅及其父之半便入黄泉. 悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》文中的大致意思是：他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年.再过七分之一的生命旅程，他建立了幸福的家庭.五年后儿子出生，不料儿子只活到父亲岁数的一半便入黄泉.悲伤的老人只有用数学研究去弥补余生,四年后他也走完了人生的旅途.请你算一算，丢番图活了多少岁？【教师活动】1.前面我们猜的是明星的年龄，这回咱们猜猜数学家丢番图的年龄.这段材料是章前图的一段内容，求丢番图的年龄，有什么好的办法可以解决呢？2.这道题你是依据什么等量关系列出的方程？3.对比这两种方法，你觉得哪种方法更好？【学生活动】学生独立思考，将答案写在学案上并展示在黑板上，再次讲解、对比、评价.情境4：某长方形操场的面积是5850m2,长和宽之差为25m.这个操场的长与宽分别是多少米？【教师活动】1.猜丢番图年龄用算术法依旧可解，这回咱们再看一道数学问题，看看这道题算术法是否依然可解？2.你有什么感受？【学生活动】学生独立思考后小组探讨，代表将答案展示在黑板上，评价.【设计意图】前面几道数学问题学生有用算术法求解，有用方程法求解，但更习惯于用算术法求解，运用方程法依然没有很深刻的印象，适时引入猜丢番图年龄问题.这个时候再次调查更喜欢哪种方法时，学生使用方程法求的更多些.方程意识逐渐明朗.根据七年级学生心理，从情境1→情境2→情境3→情境4，随着问题难度逐渐深入，以上情境中的数量关系都能用方程这个模型表达，但并不是所有问题都能用算术法求解.从中让学生体会到用方程解决实际问题的必要性和重要性.让学生进一步感受认识方程是数学的进步.（二）归纳概括(形成概念)1.回忆方程概念【教师活动】问题1：接下来我们要在小学简易方程的基础上进一步认识深入研究方程.小学我们已经初步认识了方程，什么叫做方程？【学生活动】学生回忆方程概念.【教师活动】问题2：如何识别方程？回忆并剖析方程概念.【学生活动】思考后回答识别方程的关键两点：（1）未知数；（2）等式.【教师活动】教师指出以下这些等式都是方程.①4x =24；②26313=+x ；③2x +4(20-x )=54; ④4y+2(20-y)=54; ⑤x x x x x =+++++21457112161; ⑥255850+=x x; ⑦x(x +25)=5850. 【设计意图】从五个实际问题中得到七个方程，以此为载体，引导学生回忆小学就学过的方程概念，从而为进一步研究一元一次方程的概念做好准备.2.一元一次方程概念【教师活动】问题3：再次观察这些方程，以上七个方程哪些类似于我们小学学习过的简易方程？帮助老师找一找？【学生活动】指出①4x =24；②;26313=+x ③ 2x +4(20-x )=54; ④ 4y +2(20-y )=54; ⑤x x x x x =+++++21457112161;这些方程都是小学学习过的简易方程. 【教师活动】问题4：通过观察比较，同学们指出的这些方程又有什么共同特征？你能试着说说吗？【学生活动】学生观察思考后说出这类方程的特点：（1）都是有一个未知数；（2）未知数的次数都是1次；（3）方程中的代数式都是整式.【教师活动】将同学们得出方程的这些特点结合在一起就得出了一元一次方程的概念.引出一元一次方程课题（板书课题第五章 一元一次方程 1.认识一元一次方程（1）） 问题5：你认为我们怎样辨别一个方程是一元一次方程呢？（剖析概念）【学生活动】学生思考后并说出自己的想法.【设计意图】通过学生观察、比较、分类、归纳，得出一元一次方程的定义，发展学生数学抽象的核心素养.再通过对概念的剖析形成用一元一次方程概念做判断的三个条件.【教师活动】试一试：你认识一元一次方程了吗？考一考同学们，看PPT 中的5个式子谁是一元一次方程.（理解一元一次方程概念） ； ； ； ； . 【学生活动】学生思考后直接回答，提出质疑，同学互解，加深对两个概念的理解.【教师活动】你能举几个一元一次方程的例子吗？121-x ）（12=+y x ）（)1(2343+=-x x ）（2314=+x）（03252=--x x ）（【学生活动】学生积极思考并举例.如：3x+1=7，7x+3=21等等.【设计意图】通过判断一个式子是否是一元一次方程，以及列举一元一次方程例子活动，反复让学生理解一元一次方程概念.3.方程的解的概念【教师活动】问题7：引导学生回到鸡兔同笼问题.观察三种不同方法.列举法和算术法得出的鸡的只数与方程中设鸡x只中的x表示的含义是一样的.说明x=13.请同学们将x=13代入这个方程中算一算，你发现了什么？【学生活动】通过计算，学生发现等号左右值相等.【教师活动】有理数13满足这个方程，我们说x=13是方程2x+4(20-x)=54的解. 请同学们再把兔的只数7代入到4y+2(20-y)=54中算一算.7依然满足4y+2(20-y)=54.则y=7是4y+2(20-y)=54的解.引出方程解的概念,——一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.【教师活动】算一算：再举例让学生感受方程解的概念.①情境中的例子进行验证.②x=2是方程3x+(10-x)=20的解吗？【设计意图】借助算术法求出的鸡兔同笼问题答案，引入方程解的概念,进一步帮助学生理解方程思维与算术思维之间的辩证统一关系.（三）应用概念（感受方程模型）【教师活动】秋季是收获的季节，我们去秋游吧！请同学们解决下面两个问题：1.54名同学去游湖划船，共用船20条，若每条大船可以坐4人，每条小船可以坐2人，如果小船x条，则可列方程.2.用54元钱买苹果和橘子共20千克，已知苹果每千克2元，橘子每千克4元.如果买了x千克苹果，那么可得方程.【教师活动】找同学回答，并问本题你是根据什么等量关系列的方程？观察所列的方程你发现了什么？那问题情境一样吗？【学生活动】观察列出的两个方程，得出结论.【教师活动】秋游中的两个问题与“鸡兔同笼”问题实质是同一方程模型，课下同学们不防也用2x+4(20-x)=54这一模型再编两道不同情境的应用问题.【设计意图】通过“鸡兔同笼”问题探究生长的基础，选择“秋游”主题活动.通过同一模型2x+4(20-x)=54来展开迁移活动，让学生体验同一方程模型可表述不同的问题背景.先是将问题背景生长到秋游活动中“用船问题”；然后将问题背景生长到秋游活动中协助“后勤部长”工作.让学生感受生活中无处不有“从问题到方程”，进一步增强学生对学习此知识必要性的认识.【教师活动】问题8：接下来，我们再看一道数学应用.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A，B两地间的路程是多少？对于这个问题，同学们想一想如何列方程？【学生活动】学生思考分析后将自己的列法写在学案中.小组交流.【教师活动】问题9：还有其他解法吗？【学生活动】学生回答不一，小组派代表板书.法一：设路程为x km. 60170x x =+. 法二：设客车行驶时间x h,则卡车行驶时间为（x +1）h.70x =60(x +1).法三：设卡车行驶时间为xh,则客车行驶时间为（x -1）小时.70（x -1）=60x .【设计意图】行程问题情境的设定，学生经历、分析思考，在老师的引导下学生感知同一问题情境可以用不同的方程模型来呈现,进一步理解方程的本质属性，发展方程模型思想.（四）课堂小结（深化提升）【教师活动】本节课接近尾声，请谈一谈：1.本节课我们研究了几个实际问题？这几个问题你是怎么解决的？2.通过本节课的研究我们学习了哪几个概念？3.通过本节课的学习你还有哪些疑问？你还想学习哪些知识？【学生活动】学生思考后说出自己的见解.【设计意图】通过请学生谈一谈方式，让学生充分展示自我；能充分调动学生的积极性；能提高学生总结问题的能力.再次带学生回忆、总结、归纳本节课的学习内容.学生说的不全的方面，教师补充.【教师活动】教师进行简单小结和展示：【设计意图】让学生明确学习方程的方法及方程与方程之间关系.因为本节课不仅是一元一次方程这章的起始课，也是初中将要研究的二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程的起始课，所以教师在小结部分不仅揭示了本章将要学习的求解一元一次方程和应用一元一次方程，还渗透了接下来初中要学习的各类方程都要按着这章的学习方法去研究，从而使学生初步掌握学习方程的基本“套路”，为接下来学习其它类型的方程打好基础.（五）当堂检测【教师活动】1.若x=1是方程2x-a=0的解，则2a= .2.甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。