相似三角形的应用-2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)

考点15 相似三角形的应用

【命题趋势】

相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。

【中考考查重点】

一、相似三角形在实际生活中的应用

二、位似图形

三、相似三角形与函数综合

考向一：相似三角形在实际生活中的应用

相似三角形在实际生活中的应用：

（一）建模思想：建立相似三角形的模型

（二）常见题目类型：

1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解

2.测量底部可以到达的物体的高度

3.测量底部不可以到达的物体的高度

4.测量河的宽度

【同步练习】

1．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）

A．1米B．2米C．3米D．4米

【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP＝8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE 长．

【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，

∴＝，即＝，

解得AP＝8，

由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，

∴＝，即＝，

解得ED＝2，

故选：B．

2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，

视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6

米，AE＝0.4米，那么CD为（）

A．2米B．3米

C．米D．米

【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．

【解答】解：由题意知：AB∥CD，

则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，

∴△ABE∽△CDE，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝3米，

故选：B．

3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为．

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．

【解答】解：设木竿PQ长为xm，

依题意得＝，

解得x＝1.6，

答：木竿PQ长度为1.6m，

故答案为：1.6m．

4．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的

一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．

（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）

（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．

（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；

（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．（3）利用配方法求出最大值即可．

【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，

∴DG∥EF，

∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，

∴△ADG∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴DG＝（80﹣x）（m）；

（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；

（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，

∵﹣＜0，

∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．

答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．

考向二：位似图形

位似图形满足的条件：

①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；

②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）

【同步练习】

1．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）

A．AE：AD是相似比

B．点A是两个三角形的位似中心

C．B与D、C与E是对应位似点

D．两个三角形是位似图形

【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．

【解答】解：A、当BC∥ED时，△AED∽△ACB，AE：AC是相似比，本选项说法不正确，符合题意；

B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；

C、B与

D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；

D、两个三角形是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；

故选：A．

2．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△ADE的周长比为2：1，则△ABC和△ADE的位似比是（）

A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1

【分析】利用位似的性质求解．

【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，

∴△ABC∽△ADE，位似比等于相似比，

∵△ABC和△ADE的周长比为2：1，

∴△ABC和△ADE的相似比为2：1，

∴△ABC和△ADE的位似比是2：1．

故选：D．

3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（）

A．D点B．E点C．D点或G点D．D点或F点【分析】作射线AO，根据位似变换的概念判断即可．

【解答】解：作射线AO，

由图可知，点D和点G都在射线AO上，且＝，＝，

则点A的对应点为D点或G点，