导数的概念PPT课件

?x
?x
?
lim ? y ? lim (4 ? ? x) ? 4,? ? x? 0 ? x ? x? 0
y?|x? 2 ? 4.
(2)?y? (4? ?x)? 1 ? (4? 1) ? ?x? ? ?x ,
4? ?x 4
4(4? ?x)
?x? ? ?x
? y ? 4(4 ? ? x) ? 1? 1 ,
?x
?x
? x( x0 ? ? x ? x0 )
(1)求函数的增量 ? y ? f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 );
(2)求平均变化率 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ;
?x
?x
( 3 )取极限，得导数
f ?( x 0 ) ?
?y lim . ?x? 0 ? x
注意:这里的增量不是一般意义上的增量 ,它可正也可负 .
即点P处的切线的斜率等于 4.
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是 y-8/3=4(x-2), 即12x-3y-16=0.
例2 : 已知函数 y ? x在x ? x0处附近有定义 , 且y'|x? x0
?
1 2
,
求x0的值
.
解:??y? x0 ? ?x ? x0,
? ? y ? x0 ? ? x ? x0 ? ( x0 ? ? x ? x0 )( x0 ? ? x ? x0 )
?x
?x
4(4? ? x)
?
?y
1
1 15
lim ? lim[1?
] ? 1? ? ,?
?x? 0 ? x ? x? 0 4(4 ? ? x)
16 16
y?|x? 4
?
15 16
.
如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导 ,就说
函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个 x? (a,b)
都有唯一确定的导数值与它对应 ,这样在区间 (a，b)内
就构成一个新的函数 .这个新的函数叫做函数 f(x)在区
间(a,b)内的导函数,记作 f ?( x)或y?(必要时记作 y?x ), 即:
f ?(x) ? y?? lim ? y ? lim f (x ? ? x) ? f (x)
? x ? x? 0
? x)3 ?
1 x3 3
3
? x ? x? 0
? x? 0
?x
y y
?
1
x3
1 3x2? x ? 3x(? x)2 ? (? x)3
4
3
? lim
3 ?x? 0
?x
3
P
? 1 lim [3 x2 ? 3 x? x ? (? x)2 ] ? x 2 . 3 ?x? 0
2 1
x
? y?|x? 2 ? 22 ? 4.
?x? 0
?x
在不致发生混淆时，导函数也简称 导数．
当x0 ? (a,b)时,函数y ? f (x)在点x0处的导数f ?(x0 )
等于函数f (x)在开区间(a,b)内的导(函)数f ?(x)在点x0处的
函数值.
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点 x0处 连续．
求函数y=f(x)的导数可分如下三步 :
x, ? y ?
x? ?x ?
x ,
?x
?x
?x
? y?? lim ? y ? lim x ? ? x ? x ? lim
1
? x ?x? 0
? x? 0
?x
?x? 0 x ? ?x ? x
? 1. 2x
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是 :
y? f (x0) ? f ?(x0)(x ? x0)
例2:如图,已知曲线
y
?
1 3
x3上一点P(3,9),
求:
(1)点P处的切线的斜率 ; (2)点P处的切线方程 .
解 ：(1) y ? 1 x 3 ,?
y??
lim
?y
?
lim
1 (x ? 3
自变量的增量 Δx的形式是多样的 ,但不论Δx选择 哪种形式 , Δy也必须选择与之相对应的形式 .
例1:(1) 求函数 y=x2在x= 2处的导数 ; (2)求函数y=x+1/x在x=4处的导数 .
解：(1)? y ? (2? ?x)2 ? 22 ? 4? x? (? x)2,
? y ? 4? x? (? x)2 ? 4 ? ? x,
导数的概念
导数的概念
一个是曲线的切线的斜率 ,一个是瞬时速度 ,具体意 义不同,但通过比较可以看出它们的数
学表达式结构是一样的 ,即计算极限
lim
?x? 0
?y
? x , 这就是我
们要学习的导数的定义 .
定义：设函数 y=f(x)在点x0处及其附近有定义 ,当
自变量x在点x0处有改变量 Δ x时函数有相应的改变量
数随自变量变化而变化的快慢程度．
事实上，导数也可以用 下式表示：
f ?( x0 ) ?
lim
x? x0
f (x)? x?
f ( x0 ) x0
如果函数 y=f(x)在点x=x0存在导数 ,就说函数 y=f(x)
在点x0处可导,如果极限不存在 ,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.
由导数的意义可知 ,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是 :
f ( x0 ) .
如瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间t的导数.
? y ? f ( x0 ? ? x) ? f (x0 ) 是函数f(x)在以x0与x0+Δ x
?x
?x
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为端点的区间 [x0,x0+Δ x](或[x0+Δx,x0])上的平均变化 率,而导数则是函数 f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函
(1)求函数的增量? y ? f ( x ? ? x) ? f (x);
(2)求函数的增量与自变量 的增量的比值 :
? y f (x ? ? x) ? f (x)
?
;
?x
?x
(3)求极限，得导函数
y??
f ?( x) ?
lim
?y.
?x? 0 ? x
例1：已知 y ? x，求 y?.
解：? y ?
x? ?x ?
Δ y=f(x0+ Δ x)- f(x0).如果当Δ x? 0 时,Δ y/Δ x的极限
存在,这个极限就叫做函数 f(x)在点x0处的导数 (或变化
率)记作 f ?( x0 )或y?|x? x0即, :
f ?( x0 ) ?
?y lim ?x? 0 ? x
?
lim
? x? 0
f ( x0
?
? x) ? ?x