初中数学中错误概念的成因分析及对策

会诊诊断开处方——初中数学中错误概念的成因分析及对策【摘要】学生在日常生活中，对很多数学现象和问题都普遍存在着自己的观念，其中有些是正确的，而有些则是不全面、不完整的，甚至是完全同数学观念相违背的错误概念。

在数学教学过程中，教师应及时发现学生的错误概念，并对这些错误概念进行分析，找出出错的原因，以便运用适当的措施进行对错误概念的转变。

本文中，笔者根据自己的教学实践，通过“会诊”、“诊断”、“开处方”三个环节来纠正学生的错误概念。

【关键词】数学错误概念成因分析对策心理学家曾说过：“概念是客观事物的各种信息通过人的感官形成感觉、知觉，再经过大脑加工（比较、分析、综合、抽象和概括）形成的，反映客观事物的共同本质属性的一种思维方式，是思维的单元，是知识的细胞”。

数学概念则是客观事物中数与形的本质属性的反映。

数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓。

数学是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。

因此概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为概念学习单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊，甚至出现错误概念；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解,只是机械的、零碎的认识，用起来有时会张冠李戴。

久而久之，会严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。

只有正确掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。

从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

数学来源于生活，又服务于生活。

学生在日常生活中，对很多数学现象和问题都普遍存在着自己的观念，其中有些观念是正确的，是学生数学知识拓宽和发展的基础，是一种丰富的资源，而有些观念则是不全面、不完整的，有的甚至是完全同数学观念相违背的。

因此，在数学教学过程中，教师应及时发现学生的错误概念，并对这些错误概念进行分析，找出出错的原因，以便采用适当的措施进行对错误概念的转变。

一、“会诊”——发现错误概念的渠道发现、了解学生的错误概念是实现概念转变的前提，笔者在实践中主要通过以下途径来发现学生的错误概念：1、从师生谈话中发现教师可以利用课余时间，找一些学生谈话，谈话的内容可以是接下去要学习的内容或已经学习的内容，通过谈话来发现学生在学习过程中已经产生的各种错误概念或即将产生的错误概念。

案例1：有一次上课前我随便问了前面的两位同学，什么叫做点到直线的距离？他们异口同声地说：“一个点到一条直线的线段，叫做点到直线的距离。

”很明显他们把线段当作距离。

2、从作业批改中发现作业是诊断和检查学生学习效果的一种基本手段，学生的解题过程真实的反映了学生的思维模式和对所学知识的理解情况。

因此，我们可以从作业的批改中，根据学生的错误情况来判断他们对概念的掌握和理解情况，从中发现错误概念。

案例2：在一次“绝对值”的作业中，有这样一个选择题：下列说法错误的是（）A、一个正数的绝对值一定是正数；B、一个负数的绝对值一定是正数；C、任何数的绝对值都不是负数；D、任何数的绝对值一定是正数。

这个选择题60个学生中有42人是错误的。

说明他们对绝对值的概念还一知半解。

3、从课堂提问中发现在课堂教学中，提问可以帮助教师引导和激发学生的思维，也可以帮助教师从学生的回答过程中了解学生的知识建构情况，特别是概念的建构。

学生脑子里储存的概念如果是错误的或是不完整的，他的表达就会出现这样那样的缺陷，甚至不着边际。

这提供给了教师很好的信息，有了这些信息，教师就能发现学生在概念的哪一部分出现了问题。

案例3：在上“整式”一节后，要求学生指出单项式“- ”的指数和次数，接连问了两个学生都说错了，可见对单项式的指数和次数的概念还没有正真掌握。

4、从合作交流中发现在合作学习过程中，学生之间相互交流与讨论，分别呈现自己对相同事物的认识和理解，由于学生对不同事物的理解都是以自己的经验为背景建立起来的，不同的学生会接触到事物的不同方面，而且很少有学生能全方位的接触事物。

教师在指导学生合作学习时，可以倾听不同学生对事物的不同认识，了解到各种认识的由来，记录下他们对事物认识的“错误概念”。

二、“诊断”——分析错误概念的成因错误概念阻碍着学生理解和掌握数学概念，对学习的影响是消极的而且难以转变。

因此，探析学生错误概念的成因，对于研究错误概念对正确的数学概念的转变策略极具借鉴意义。

笔者在实践中通过对发现的错误概念进行调查和分析，初步总结了学生形成错误概念的几方面原因：1、生活经验的局限用日常生活概念代替数学概念。

学生在学习新的概念之前，往往在其头脑中就已经有了关于该概念的一定认识，这些认识就是基于其生活经验的日常生活概念。

儿童的日常生活经验是进一步学习的基础，许多数学概念都是从日常生活概念中抽象发展而成的。

然而，由于日常概念的宽泛性、易变性、多义性，容易对学生学习抽象的数学概念造成错误的理解。

由于学生在接触某数学概念之前，与之相联的日常概念可能早已在他们的意识中潜在地存在着，因而有些错误几乎是根深蒂固的。

案例4：“垂直”的概念，在日常生活中，人们通常是以地平面为参照。

学生在学习几何概念“互相垂直”时，就会以日常的“垂直”概念代替“互相垂直”概念。

2、形象描述的影响数学概念中有许多意象是通过学生自己的语言符号来描述的。

这种描述介于实验、实例与概念定义之间，具有“形象”性。

已有分析表明，学生在描述一个概念时，主要是通过一个实例、实物、图形，运用自己的语言组织的，实际上是将概念定义进行“异化”处理，有时尽管学生能够口述概念定义，但在内部表征概念时，仍用个人的语言。

学生在表述概念时的语言是一种图、符号的混合描述，而并非明确的定义。

在这个环节中，学生对于所描述的语言、符号使用不准确就容易造成概念错误，包括模糊、遗漏、增补、修正、变异等错误。

3、思维模式的障碍形成和掌握数学概念是个极其复杂的过程，对于初中学生来说，要很好掌握数学概念，在思维上还是存在着一定障碍的。

①、分析能力的欠缺概念建构的过程是一个由感性认识到理性认识的上升过程，是对感性材料进行“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的整理加工过程。

而学生由于分析能力的欠缺，在思维上往往不能很好的由感性认识上升到理性认识，想对数学概念囫囵吞枣、死记硬背，结果造成理解上的错误。

案例5：学了轴对称以后，不少同学将轴对称与全等混淆在一起，实质上，全等只是从图形的形状、大小两个方面揭示了两个图形的关系，而轴对称是从形状、大小、位置三个方面揭示了两个图形的关系。

例如：如图，判断△ABO和△DEO的位置关系。

错解：△ABO和△DEO对称L1EB错因分析：说两个图形对称，必须说清它们关于哪条直线对称。

在下图中，△ABO 和△DEO关于直线l2就不对称。

DA正解：△ABO和△DEO关于直线l1对称.L2o②、习惯经验的影响数学概念之间既相互联系，又相互区别。

学生在学习时常常不能区分相关、相似的数学概念，有些学生容易受以前的经验或习惯的影响，阻碍新概念的正确形成。

案例6：学生从小学就开始接触平方运算，在他们的经验中，平方运算只与“正”联系在一起；另外，关于方程，他们所熟悉的也是一次的，即一个方程对应一个解。

在学习“平方根”与“算术平方根”这两个概念时，由于一个正数的平方根涉及到正负两个数，而事实上这两个数就是方程x2=a的两个根，这与他们的经验是非常不同的，于是就出现了“平方根”概念学习的极大困难；与此同时，又要学习“算术平方根”概念，这样就出现了有时要取正负两个值，有时又只能取一个正数的情况，从而引起理解上的混乱。

又如圆周率，在小学时学生都用3.14来代替，进人初中学习了无理数以后，学生看到马上用3.14代人，误认为是有理数，就是3.14，而实质上是个无理数。

因此对习惯看法的印象越牢固，新的看法就越难牢固树立。

③、前后知识的干扰随着知识的扩展，初中数学知识本身也会前后相互干扰。

案例7：在学“有理数的减法”时，教师反复强调“减去一个数等于加上它的相反数”，因而3-7中7前面的符号“-”是减号，给学生留下了深刻的印象。

紧接着学习代数和时，又要强调把3-7看成正3与负7之和，“-”又成了负号。

学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑。

这种困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。

案例8：了解“不等式的解集”以及运用“不等式基本性质2”是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就是受“等式的性质2”以及“一元一次方程的解是一个数”的干扰。

事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等式的内容。

可见对比教学法对学生错误的形成，前后知识的干扰有一定的影响作用。

④、本质特征的混淆任何一个概念都必须要有确定的含义，并能反映确定的对象，即任何一个概念都有各自的本质特征。

在数学概念的学习中，有许多学生能初步了解概念的定义（概念的表层含义），但不能完全掌握概念的本质，因而在对概念的理解上产生了一些错误。

案例9：计算：（- X5Y2）·(-4X2Y)错解：原式＝〔（- ）×（-4）〕·（X5·X2）（Y2·Y）＝2X10Y2错因分析：把“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”相混淆，把“指数相加”误解为“指数相乘”。

正解：原式＝〔（- ）×（-4）〕·（X5·X2）（Y2·Y）＝2X7Y3⑤、思维定势的影响思维定势有积极和消极之分。

积极的思维定势有利于学习的进行，而消极的思维定势则会阻碍学习的进行。

案例10：学生由于小学时接触的都是非负数，即正数和零，进入初中以后，引进了负数，所以在判断一个数的正负性时，往往是根据其前面所带的符号来判断，认为“a”一定是正数，“-a”一定是负数。

同样在小学，学生对两数之和不小于其中任何一个加数，即a + b ≥a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a + b＜a也是可能的。

也就是说，习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题错误。

另外，“+”号和“-”号在小学长期作为加、减号使用，学生对于“3-5+4-6”，习惯上看作3减5加4减6，而初中更需要把上式看成正3、负5、正4与负6的和。

三、“开处方”——转变错误概念的对策错误概念具有极强的顽固性（即在解决实际问题的过程中，错误概念仍会潜在地存在着，较强地影响学生的思维和问题解决）、隐蔽性（即学生本人不能自觉地意识到自己对概念的错误理解，常常坚持和使用自己的错误概念去观察、思考和解决有关数学问题）等特征，因此教师要积极诱发学生，暴露学生对错误概念形成的思维过程，共同发现形成错误概念的原因，然后有针对性地采取措施，帮助学生纠正错误概念。