第二章 相互作用第3节 力的合成与分解

图 2-3-5
合力方向：与 x 轴夹角设为 θ，则 tan θ＝FFxy。
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第3节 力的合成与分解 结束
[典例] 如图 2-3-6，墙上有两个钉子 a 和 b，它们的连线与
水平方向的夹角为 45°，两者的高度差为 l。一条不可伸长的轻
质细绳一端固定于 a 点，另一端跨过光滑钉子 b 悬挂一质量为
产生力的效果，可将拉力按力的效果分解。 (2)ac 绳与钩码拉力垂直，可考虑用正交分解法。 (3)钩码平衡时 bc 绳与竖直方向间的夹角 θ 可表示为 cos θ
＝l。 l2＋2l 2
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[解析] 方法一：力的效果分解法
钩码的拉力 F 等于钩码重力 m2g，将 F 沿 ac 和 bc 方向分解， 两个分力分别为 Fa、Fb，如图甲所示，其中 Fb＝m1g，由几何关
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[典例] 如图 2-3-9 所示的四脚支架经
常使用在架设高压线路、通信的基站塔台
等领域。现有一质量为 m 的四脚支架置于
水平地面上，其四根铁质支架等长，与竖
直方向均成 θ 角，重力加速度为 g，则每根
支架对地面的作用大小为
()
图 2-3-9
一定能使合力为零
D．若 F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角， 一定能使合力为零
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解析：合力不一定大于分力，B 错；三个共点力的合力的最小值 能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内， 由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零， A 错；当三个力的大小分别为 3a、6a、8a，其中任何一个力都在 其余两个力的合力范围内，故 C 正确；当三个力的大小分别为 3a、 6a、2a 时，不满足上述情况，故 D 错。 答案：C
对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图 2-3-1 所示)。
图 2-3-1
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(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类型
作图
合力的计算
①互相垂直
F＝ F12＋F22 tan θ＝FF12
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类型
作图
②两力等大， 夹角为θ
答案：D
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3．三个共点力大小分别是 F1、F2、F3，关于它们的合力 F 的大小，
下列说法中正确的是
()
A．F 大小的取值范围一定是 0≤F≤F1＋F2＋F3 B．F 至少比 F1、F2、F3 中的某一个大 C．若 F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，
2．(2015·石家庄模拟)如图 2-3-4 所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度 b
为 L，两根相同的橡皮条自由长度均为 L，在两橡皮条的末端
用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量
的关系满足胡克定律，且劲度系数为 k，发射弹丸时每根橡皮
条的最大长度为 2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸
A．F1∶F2＝cos θ∶1
B．F1∶F2＝sin θ∶1
C．N1∶N2＝cos2θ∶1
D．N1∶N2＝sin2θ∶1
解析：将物块 A 的重力沿半径和切面方向分解，可得：F1＝mgsin
θ，N1＝mgcos θ，将 F2 沿半径方向和切面方向分解，由平衡条
件可得：F2cos θ＝mgsin θ，F2sin θ＋mgcos θ＝N2，
m1 的重物。在绳上距 a 端2l 的 c 点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂
质量为 m2 的钩码，平衡后绳的 ac 段正好水平，则重物和钩码的
质量比mm12为
()
图 2-3-6
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A． 5
B．2
C．
5 2
D． 2
[审题指导]
(1)钩码的拉力产生了两个效果，即分别沿 ac 绳和 bc 绳方向
解得：F2＝mgtan θ
N2＝cmosgθ
故有：F1∶F2＝cos θ∶1 N1∶N2＝cos2θ∶1，A、C 正确。 答案：AC
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2．如图 2-3-8 所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成
60°角的力 F1 拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平
的小物块(可视为质点)，小物块 A 静止在球面的左侧，受到的
摩擦力大小为 F1，对球面的压力大小为 N1；小物块 B 在水平 力 F2 作用下静止在球面的右侧，对球面的压力大小为 N2，已 知两小物块与球心连线和竖直方向的夹角均为 θ，则 ( )
图 2-3-7
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竖直方向有 F2sin 30°＋mg＝FN2 其中 Ff2＝μFN2
联立上式可得
F2＝
2μmg 3－μ
根据题意知 F1＝F2，解得 μ＝2－ 3，B 正确。 答案：B
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要点三 对称法解决非共面力问题 在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受四个以 上的非共面力作用处于平衡状态的情况，解决此类问题时要注 意图形结构的对称性特点，结构的对称性往往对应着物体受力 的对称性，即某些力大小相等，方向特点相同等。
系可得 cos θ＝FFb＝mm21gg，又由几何关系得 cos θ＝
l ，联 l2＋2l 2
立解得mm12＝ 25。
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方法二：正交分解法
绳圈受到 Fa、Fb、F 三个力作用，如图乙所示，将 Fb 沿水
平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得 m1gcos θ
围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范
围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
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[多角练通]
1．如图 2-3-3 所示，有 5 个力作用于同一点 O，
表示这 5 个力的有向线段恰构成一个正六边
形的两邻边和三条对角线，已知 F1＝10 N，
图 2-3-2
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2．合力的大小范围 (1)两个共点力的合成
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|F1－F2|≤F 合≤F1＋F2 即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力
反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为
F1＋F2。 (2)三个共点力的合成 ①三个力共线且同向时，其合力最大，为 F1＋F2＋F3。 ②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范
A．4sming θ
B．4cmogs θ
C．14mgtan θ
D．14mg
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[解析] 由结构的对称性可知，四根支架的作用力大小相 同，与竖直方向的夹角均为 θ，根据牛顿第三定律及力的合成与
分解知识可得：4Fcos θ＝mg，解得：F＝4cmosg θ，B 正确。 [答案] B
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要点二 力的分解问题 1．按作用效果分解力的一般思路
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2．正交分解法 (1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。 (2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在
静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐 标轴上)；在动力学中，习惯以加速度方向和垂直加速度方向为
坐标轴建立坐标系。
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(3)方法：物体受到多个力作用 F1、F2、F3…求合力 F 时， 可把各力沿相互垂直的 x 轴、y 轴分解。
x 轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y 轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋… 合力大小：F＝ Fx2＋Fy2
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合力的计算
F＝2F1cos
θ 2
F 与 F1 夹角为θ2
③两力等大且 夹角120°
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合力与分力等大
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(3)力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持 原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力 的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关 系如图 2-3-2 甲、乙所示。
＝m2g；由几何关系得 cos θ＝
l2＋l 2l 2，联立解得mm12＝ 25。
[答案] C
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[针对训练] 1．(多选)(2015·石家庄质检)如图 2-3-7 所示，固定的半球面右侧是
光滑的，左侧是粗糙的，O 点为球心，A、B 为两个完全相同
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[针对训练] 1．如图 2-3-10 所示，置于水平地面的三脚架上
固定着一质量为 m 的照相机，三脚架的三
根轻质支架等长，与竖直方向均成 30°角，
则每根支架中承受的压力大小为 ( )
A．13mg
B．23mg
C．
3 6 mg
D．2
9
3 mg
方向成 30°角的力 F2 推物块时，物块仍做匀速直线运动。若 F1
和 F2 的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为 ( )
A． 3－1
B．2－ 3
C． 23－12
D．1－
3 2
图 2-3-8
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解析：当用 F1 拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图，将 F1 正交分解，则水平方向有 F1cos 60°＝Ff1 竖直方向有 F1sin 60°＋FN1＝mg 其中 Ff1＝μFN1 联立上式可得 F1＝12＋μm3gμ 同理，当用 F2 推物块做匀速直线运 动时， 水平方向有 F2cos 30°＝Ff2
(×)
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要点一 力的合成问题 1．共点力合成的常用方法 (1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力 F1 和 F2 的图示，再以 F1 和 F2 的图示为邻边作平行四边形，画出过 作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出
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第 3 节 力的合成与分解
力 的 合 成 与 分 解
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力 的 合 成 与 分 解
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(1)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。
(√)
的最大作用力为
()
图 2-3-4
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A．kL
B．2kL
C．
3 2 kL
D．
15 2 kL
L
解析：发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为 2θ，则 sin θ＝22L＝14，
cos θ＝ 1－sin2θ＝ 415。发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为
F 合＝2Fcos θ。F＝kx＝kL，故 F 合＝2kL·415＝ 215kL，D 正确。
求这 5 个力的合力大小 A．50 N
() B．30 N
图 2-3-3
C．20 N
D．10 N
解析：由力的三角形定则可知，图中 F2 与 F4 的合力等于
F1，F3 与 F5 的合力也等于 F1，故这 5 个力的合力为 3F1
＝30 N。 答案：B
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图 2-3-10
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解析：由题意可知此题中所研究的对象“照相机”受四个力作 用处于平衡状态，其中“三根轻质支架”的作用力与“重力” 的作用线方向的夹角均为 30°，即三力等大对称，所以由等大 力的合成规律可得 3Fcos 30°＝mg，解得 F＝293mg，故 D 选 项正确。 答案：D
(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。
(×)
(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。
(√)
(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定
则。
(√)
(5)两个力的合力一定比其分力大。
(×)
(6)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。 (√ )
(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。