弹性波动力学重点复习题

1．什么是弹性体?

当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。这类物体称为弹性体。

2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?

在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。

3．弹性动力学的基本假设有哪些?

（1）介质是连续的

（2）物体是线性弹性的

（3）介质是均匀的

（4）物体是各向同性的

（5）物体的位移和应变都是微小的

（6）物体无初应力

4．什么是弹性动力学中的理想介质?

理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。

3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。 答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。相对体变表示弹性体体积的相对变化。

⎪

⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=

z w

e y w z v e z u x w e y w z v e y v e x v y u e z u x w e x v y u e x u e zz yz zx yz yy xy zx xy xx

z

w

y v x u e e e zz yy xx ∂∂+∂∂+∂∂=

++=θ 4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。 旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。

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⎪⎪⎭

⎪⎪

⎪⎬⎫

∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)(

21y u x v x w z u z

v y w z y x ωωω

5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。

zz yy xx e e e ,,分别表示弹性体沿x 、y 、z 方向的相对伸长量；

zx yz xy e e e ,,分别表示平行于坐标面xoy 、yoz 和xoz 的侧面积的角错动量。

z y x ωωω、、分别表示与坐标面yoz 、xoz 和xoy 平行的侧面积对角线围绕

x 、y 和z 轴的旋转角。

11．设弹性体内的位移场为j y x i y x s ρρρ

)()(2211αδδα+++=，其中

2121,,,δδαα都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢量及

体积膨胀率(相对体变)。

解：j y x i y x s ρρρ

)()(2211αδδα+++=

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+=02211w y x v y x u αδδα ⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=+=∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=0

0 212

1z u x w e y w z v e x v y u e z

w e y v e x u e zx yz xy zz yy xx δδα

α 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0 0 0 0 0

21211δδδδαε 体积膨胀率21ααθ+=∂∂+∂∂+∂∂=

++=z

w

y v x u e e e zz yy xx ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧-=∂∂-∂∂==∂∂-

∂∂==∂∂-∂∂=)(21)(210)(210)(2112δδωωωy u x v x w z u z v y w z y x →→-=k )(2112δδω 12．已知弹性体内的位移场为j x x k i y y k s ρρρ

)()(00---=，其中00,,y x k 为

已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。

解：j x x k i y y k s ρρρ

)()(00---=

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=-=0)()(00w x x k v y y k u ⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=0

0 000 z u x w e y w z v e x v y u e z

w e y v e x u e zx yz xy zz yy xx 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 00 0 00 0

0ε 体积膨胀率0=∂∂+∂∂+∂∂=

++=z

w

y v x u e e e zz yy xx θ ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧-=∂∂-∂∂==∂∂-∂∂==∂∂-∂∂=k y u x v x w z u z v y w z y x )(210)(210)(21ωωω→→-=k k ω

反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z 轴旋转了一个角度。

6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?

答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。记为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yz xz zy yy xy zx yx xx T στττστττσ 。

14. 已知弹性体内一点P 处的应力张量由矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=402050207T 给出。试求过点P 外法线方向为u=2i-2j+k 的面元上的应力矢量n p 。

解： 外法线单位矢量为k j i k

j i n ρρρρρρρ

3132321

2222222+-=+++-=

由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n m l P P P zz yz xz zy yy xy zx yx xx nz ny nx στττστττσ

得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡31 3232 402050207nz ny nx P P P 得 4312320327=⨯-⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯+⨯

=nx P 310325-=⎪⎭⎫

⎝⎛-⨯=ny P

0314320322=⨯+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯+⨯

-=nz P 则：j i P n ρρρ3

104-

= 9

244

9100

16=+=n P ρ 8. 杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义? 答：（1）杨氏模量E ，是正应力与正应变的比例系数；

（2）切变模量μ，是切应力与切应变的比例系数；

（3）拉梅系数λ，μ，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形