9.公因数和最大公因数

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最大公因数和最小公倍数知识点归纳

【记忆背诵要点】家长签字：姓名：注意：每一个分数无论题目要求没，要约分后才能作为最后的结果。

一：约分的方法：1、先找到分子，分母的最大公因数；2、利用分数的性质约去最大公因数；3、化成最简分数。

（即不能再约分为止）二:比较分数大小的方法:1、分别对每个分数进行约分(或者通分),变成同分母分数, 或者变成同分子分数；2、比较化简后的两个分数的大小；3、比较原数的大小。

三：弄清互质的几种情况互质：两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。

1.两个连续自然数是互质的。

例如：8与9；15与162.两个质数必然是互质的。

例如：5和7；11和133.一个质数和不是它倍数的合数。

例如：5和14；3和84.尽管两个数都是合数，但一个是2或3的倍数，另一个数是7或5的倍数。

例如：15和8，21和10四：求最大公因数或最小公倍数的方法：1.若两个数是互质的，则最大公因数为1，最小公倍数为这两个数的乘积。

2.若两个数是倍数关系，则较小的数为它们的最大公因数，较大的数为它们的最小公倍数。

当两个数相差较大时，要判断大数是否为小数的倍数。

例如：13与26，39，52，65，78；14与28，42，56，70，84；17与34，51等等。

以上两种情况不需要用分解质因数的方法。

3.两个数不是倍数关系的，也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。

五：应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.分析题意，判断结果应该比所给数量大，则是求公倍数；2.分析题意，判断结果应该比所给数量小，则是求公因数；3.题目中含“最多”或“最长”等字眼，则是求最大公因数；4.题目中含“至少”，“下一次”字眼，则是求最小公倍数；【认真练习】 1.填空75和15 16和30 77和44 6和10 13和91 21和35 12和18 3和14 最大公因数最小公倍数2.比较大小：（1）和（2）和。

因数、公因数和最大公因数 - 题目

因数、公因数和最大公因数知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．看谁找得快．（1）15的全部因数有．（2）21的全部因数有．（3）既是15的因数，又是21的因数有．例2．王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚好发完，没有剩余，一个有多少个进步的学生？例3．24的因数有：，32的因数有：；24和32的公因数有：．24和32的最大公因数是：．用这种方法找36和48的最大公因数．例4．用一批布做同样的上衣20件或者裤子30件．那么用这批布可以做这样的衣服多少套？例5．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？（画出示意图）演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共12小题）1．（2012•泗县模拟）6是36和48的（）A．约数B．公约数C．最大公约数2．（2012•中山模拟）在2、3、4、6、11这五个数中互质数有（）对．A．2对B．3对C．4对D．6对3．（2011•漳州）a、b和c是三个不同的非零自然数，在a=b×c中，下面说法正确的是（）A．b一定是a的公因数B．c一定是a和b的最大公因数C．a一定是b和c的最小公倍数D．a一定是b和c的公倍数4．（2011•夷陵区）36和48的公约数一共有（）A．1个B．2个C．3个D．6个5．（2011•昆明模拟）36和24的公因数有（）个．A．3B．4C．6D．86．（2008•大足县）在2，50，33，19这四个数中，互质数共有（）对．A．2B．3C．4D．57．（2006•宣汉县）互质的两个数的积有（）个约数．A．1B．2C．3D．无法确定8．1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．m：n为最简整数比，则下列判断错误的是（）A．m、n的公约数只有1 B．m、n都是质数C．m、n是互质数10．已知a、b的最大公因数是12，那么a、b的公因数共有（）个．A．1B．2C．4D．611．16和34的公因数有（）个．A．1B．2C．3D．4⑤无数12．999，777，555，333，111这五个数的公因数有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共14小题）13．（2014•岚山区模拟）a和b互质，b和c互质，那么a和c一定互质．（判断对错）14．（2014•临川区模拟）1是除零以外的所有自然数的公约数．（判断对错）15．（2013•东城区模拟）两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数．．16．（2012•玉泉区）互质的两个数没有公约数．．（判断对错）17．（2012•潞西市模拟）两个非0自然数a，a+1，它们的公因数是1．．18．（2011•安仁县）甲、乙两数公有的质因数有2、3和5，则这两个数公约数的和是．19．（2010•綦江县）看图填空．从图中得出24和36公有的因数有，其中最大的一个是，这个数就是24和36的．20．（2009•临沂）a和b都是自然数，而且a÷b=5，那么a和b的最大公约数是．21．（2008•广陵区）A是个素数，它有个因数，如果B 是A的倍数，那么A、B的最大公因数是．22．（2006•双流县）24所有的约数有，用其中4个约数组成一个比例是．23．若甲乙两数只有一个公约数，则甲、乙两数是互质数．．24．如果两位数ab（a＞0，b＞0）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，那么“好数”的个数是．25．已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是．26．如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数一共有个，最大的公约数是．三．解答题（共2小题）27．看谁找得快．（1）15的全部因数有．（2）21的全部因数有．（3）既是15的因数，又是21的因数有．28．（2009•合水县）6和13是一对互质数．．B档（提升精练）一．选择题（共11小题）1．（2011•漳州）a、b和c是三个不同的非零自然数，在a=b×c中，下面说法正确的是（）A．b一定是a的公因数B．c一定是a和b的最大公因数C．a一定是b和c的最小公倍数D．a一定是b和c的公倍数2．（2009•广州）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数．6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中是“完全数”的是（）A．12 B．28 C．363．（2008•大足县）在2，50，33，19这四个数中，互质数共有（）对．A．2B．3C．4D．54．（2006•宣汉县）互质的两个数的积有（）个约数．A．1B．2C．3D．无法确定5．（2007•越城区）6是24和36的（）A．公约数B．公倍数C．最大公约数D．最小公倍数6．下面（）组的公因数只有1．A．21和14 B．54和42 C．17和34 D．26和277．两个数的最大公因数是15，则这两个数的公因数有（）个．A．2B．3C．4D．58．a、b、c是一个不相等的非零自然数，a÷b=c，下面说法正确的是（）A．a是b的约数B．c是a的倍数C．a和b的最大公约数是b D．a和b都是质数9．在9和10；8和10；8和21；6和13；39和26 这五组数中，公因数只有1的有（）A．2组B．3组C．4组10．两个不同的非0自然数最少有（）个公因数．A．.0 B．.1 C．2D．很多11．7是28和42的（）A．公倍数B．最大公因数C．公因数二．填空题（共17小题）12．1、3、5都是45的公因数．．13．已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是．14．a和b是互质数，所以它们没有公约数．．15．32和24的公因数有，50以内12和8的公倍数有．16．24和60的公因数有．17．如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数一共有个，最大的公约数是．18．所有自然数的公约数是，所有偶数的公约数是．19．如果两位数ab（a＞0，b＞0）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，那么“好数”的个数是．20．（2005•邳州市）42的约数有，从中选择四个数组成一个比例．21．两个数的公因数的个数是无限的．．（判断对错）22．两个数的最大公因数一定比这两个数小．．（判断对错）23．合数b的最大约数是，最小约数是，它至少有个约数．24．两个数的公因数一定是这两个数的因数．．（判断对错）25．18的全部因数有：，21的全部因数有：．既是18的因数，又是21的因数的有．26．17和19这两个数的公因数只有1．．（正确判断）27．15的因数有：、、、；9的因数有：、、；15和9的公因数有；15和9的最大公因数是．28．18和30公有的素因数是．三．解答题（共1小题）29．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？（画出示意图）C档（跨越导练）一．选择题（共5小题）1．1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面哪一句话是正确的？（）A．12和45有公因数2 B．12和45有公因数3 C．12和45有公因数53．下列（）组既有公因数2，又有公因数3．A．24和42 B．10和35 C．30和40 D．6和274．在9和10；8和10；8和21；6和13；39和26 这五组数中，公因数只有1的有（）A．2组B．3组C．4组5．42和35的公因数有（）个．A．1B．2C．3D．无数个二．填空题（共16小题）6．（2013•东城区模拟）两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数．．7．（2012•沛县模拟）两个数的最大约数一定小于其中的任何一个数．．8．任何两个不是0的自然数都有一个公因数是．9．现有两个不同的自然数A和B，假如A是B的倍数，那么A和B的最大公因数是，它们的最小公倍数是．10．数a是非零自然数，则a的最小因数是，最大的因数是，最小的倍数是，最大倍数．8和14的最大公因数是，最小公倍数是．既是24的因数，又是6的倍数的数有．11．（2011•岑巩县）合数a的最大约数是，最小约数是，它至少有个约数．12．（2009•中山市）有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数的公约数最大可能是．13．（2009•临沂）a和b都是自然数，而且a÷b=5，那么a和b的最大公约数是．14．12345678987654321除本身之外的最大约数是．15．11与5都是55的约数，又因为11、5都是质数，所以11、5都是质因数．．16．相邻的两个正整数一定；全体自然数的公因数为．17．两个数的公因数实际也是最大公因数的．18．因为84=3×4×7，所以3，4和7都是84的约数．．（判断对错）19．18的因数中，既是偶数又是质数的数是，既是奇数又是合数的数是．20．一个数既是9的倍数，又是9的因数，这个数是，它的全部因数有．21．在20的所有约数中，最大的一个是，在12的所有倍数中，最小的一个是．三．解答题（共7小题）22．所有因数公因数最大公因数12183045364823．在24的因数上画△，在30的因数上画○．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 同时是24和30的因数的是：，这些数称为24和30的公因数，其中最大的公因数是：．24．先在空格里打“√”，再填空．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10的因数12的因数15的因数10和12的公因数有，最大公因数是．10和15的公因数有，最大公因数是．12和15的公因数有，最大公因数是．25．（2009•合水县）6和13是一对互质数．．26．找出下面各组数的公因数．4和9，16和9，32和15，7和8．我发现：这几组数的公因数都．像上面这样的几组数称为互质数．27．按要求完成下图：所以72和90的最大公因数是．28．（2010•平阳县）一个最简分数的分子和分母没有公因数．．（判断对错）成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：。

公因数和公倍数知识点

公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。

在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。

首先，我们需要了解一些基本知识。

两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。

而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。

求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。

最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。

对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。

对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。

对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。

最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。

还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。

对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。

整理求最大公因数和最小公倍数的方法

求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。

）2、互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、短除法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27公因数：1、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘2 3 3×3=92、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、短除法。

①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

如，求18和12的最小公倍数。

可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。

求最大公因数和最小公倍数的方法(简单实用)【范本模板】

求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。

）2、互质关系的两个数,最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是5×7=35)二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法.①列举法:如,求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有:1、2、3、6、9、1827的因数有:1、3、9、27 1、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法:如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有:1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘2 3 3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。

18 ÷9就是18和27的最大公因数2、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。

①列举法:如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数:12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如,求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法:如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

最大公因数和最小公倍数(教案)五年级上册数学北师大版

教案：最大公因数和最小公倍数年级：五年级科目：数学版本：北师大版教学目标：1. 理解最大公因数和最小公倍数的概念；2. 学会求两个数的最大公因数和最小公倍数；3. 能够运用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。

教学重点：1. 最大公因数和最小公倍数的概念；2. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。

教学难点：1. 最大公因数和最小公倍数的求法；2. 最大公因数和最小公倍数在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入1. 复习因数和倍数的概念，引导学生回顾因数和倍数的意义；2. 提问：如果有两个数，它们有共同的因数，那么最大的共同因数是多少呢？如果有两个数，它们有共同的倍数，那么最小的共同倍数是多少呢？二、新课讲解1. 讲解最大公因数的概念，通过实例让学生理解最大公因数的含义；2. 讲解最小公倍数的概念，通过实例让学生理解最小公倍数的含义；3. 讲解求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，包括列举法、短除法等；4. 通过例题，让学生学会如何求两个数的最大公因数和最小公倍数。

三、课堂练习1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，让学生复述最大公因数和最小公倍数的概念；2. 总结求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。

五、课后作业1. 完成课后练习题；2. 预习下一节课的内容。

教学反思：本节课通过讲解最大公因数和最小公倍数的概念，让学生理解了这两个数学概念的含义，并学会了如何求两个数的最大公因数和最小公倍数。

在教学过程中，要注意通过实例让学生更好地理解这两个概念，同时要引导学生运用所学的知识解决实际问题。

在课后作业的布置上，要注重巩固所学知识，同时培养学生的自主学习能力。

重点关注的细节：最大公因数和最小公倍数的求法详细补充和说明：在数学中，最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是两个非常重要的概念。

求最大公因数的9种方法

求最大公因数的9种方法观察法运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．例如，求225和105的最大公因数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公因数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公因数是152查找因数法先分别找出每个数的所有因数，再从两个数的因数中找出公有的因数，其中最大的一个就是最大公因数．例如，求12和30的最大公因数．12的因数有：1、2、3、4、6、12；30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．12和30的公因数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因数．3分解因式法先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公因数．例如：求125和300的最大公因数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公因数是5×5＝25．4关系判断法当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公因数．例如，两个数互质时，它们的最大公因数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的那个数．5短除法为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公因数就是所有除数的乘积．例如：求180和324的最大公因数．因为：5和9互质，所以180和324的最大公因数是4×9＝36．6除法法当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公因数．例如：求19和152，13和273的最大公因数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公因数是19，13和273的最大公因数是13．7缩倍法如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的因数为止，这时的商就是两个数的最大公因数．例如：求30和24的最大公因数．24÷4＝6，6是30的因数，所以30和24的最大公因数是6．8求差判定法如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公因数就是原来两个数的最大公因数．例如：求78和60的最大公因数．78－60＝18，18和60的最大公因数是6，所以78和60的最大公因数是6．如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公因数就是原来两数的最大公因数．例如：求92和16的最大公因数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公因数是4，所以92和16的最大公因数就是4．9辗转相除法我们在求两个数的最大公约数时，通常的方法是短除，或者分别对两个数分解质因数，但是如果遇到两个比较麻烦的较大的数，比如：9193和3567，我们怎么办呢？我们的祖先很久之前就帮我们搞定了，那个时候信息不畅，东西方人都各自用了几乎相同的方法，分别记载于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题yⅠ和Ⅱ）和《九章算术》“更相减损术”中。

公因数与最大公因数

9、18
24和18公有的因数
探索与发现
找出下列各数的最大公因数
5和15
21和7
11和33
60和12
如果两个数是倍数关系，那么这两个数的最大公因数就是那个较小的数
3和5
8和9
12和1
4和15
如果两个数只能同时被1整除，那么这两个数的最大公因数就是1
训练营
用54朵红花和42朵黄花做成花束，如果每个花束里红花的朵数都想等，黄花的朵数也想等。每个花束里最少几朵花？
思路分析：要使每个花束里花朵数最少，花束的数量就尽量多，从红花和黄花的朵数相等可知，花束的数量应是54和42的最大公因数。根据花束的数量就可求出每个花束的各有多少朵花
公因数与最大公因数
温故知新
分别找出24和18的因数： 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、 24 18的因数：1、2、3、9、18
用集合图表示出来
24的因数
18的因数
1、2、3、4、6、8、12、24
1、2、3、6、9、18
ห้องสมุดไป่ตู้
用集合图表示出来
24的因数
18的因数
4、8、12 24
1、2、 3、6

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。

掌握这些概念和求法是非常重要的。

最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。

例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。

我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。

然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。

除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。

最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。

例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。

通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。

12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。

两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。

需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。

在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。

【研】小五第9讲公因数、通分和约分-学生版

个性化教学辅导教案学生姓名年级五年级学科数学上课时间年月日教师姓名课题分数的基本性质学习目标1.理解公因数和最大公因数的意义，探索出求最大公因数的方法.2.正确找出两个数的最大公因数.3.了解公因数和最大公因数在现实生活中的具体应用.4.知道什么是最简分数，掌握约分的方法.5.灵活运用约分的知识解决问题.6.能熟练运用约分的方法，正确地约分7.知道什么是两个数的公倍数和最小公倍数.8.运用公倍数和最小公倍数的知识解决问题.9.会比较同分母分数、同分子分数的大小.10.理解通分的意义，掌握通分的方法，能比较异分母分数的大小.教学过程教师活动学生活动1．一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长1cm 的正方形，然后做成盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多大？2．如果a7能化成整数，那么（）A ．a 大于7B ．a 小于7C ．a 是7的倍数 D.无法确定3．把下列假分数化成带分数．135=________ 113=________ 218=________．4．如果23的分母加6，要使分数的大小不变，那么分子应加（） A ．8B ．6C ．4D ．25．化简分数.()1531= ()32745= ()34433= ()829= ()()3242418== ()4085= ____56____31÷=÷=．1．下面哪一句话是正确的？（） A ．12和45有公因数2 B ．12和45有公因数3 C ．12和45有公因数5D.以上都不对2．把一个分数约分，用分子和分母的（）去约，比较简便． A ．公约数B ．最小公倍数C ．最大公因数 D.因数3．下面（）不可以为23，14和56这三个分数的公分母． A ．6 B ．12C ．24D ．364．一个数的最大因数是15，这个数是，它有个因数，这个数的最小倍数是．5．5A 和7B 通分得20B 和7B ，已知A ﹢B=45，那么B= ．6．一个真分数，它的分母比分子大33，约分后是47，这个分数原来是．7．两个不同的质数一定是互质数．．（判断对错）8．约分时，每个分数越来越小；通分时，每个分数越来越大．（判断对错） 9．填一填．10．约分912= 2128= 1230=16250= 3654=11．通分58和71214，15和16912和524．学科分析对应知识点：1.因数的概念；2.公因数的概念；3.最大公因数的概念.4.短除法求最大公因数；5.最小公倍数概念；6.约分的概念；7.通分的概念；关键原因：理解因数与倍数的求法，熟练根据分数的基本性质进行通分和约分；学生分析最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数(含答案)

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数学习目标1.理解和掌握公因数与最大公因数的概念，并会求得两个数的最大公因数；2.理解和掌握互素的概念，掌握互素的两个数的特点；3.理解和掌握公倍数和最小公倍数的概念，并会求得两个数的最小公倍数；4.理解和掌握求三个数最小公倍数的方法.核心知识一、公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数互素。

两数互素是指两个数的最大公因数是1这样一种关系。

它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。

判断：只有2个数都是素数才能互素，对吗？错。

比如：4和9。

两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）素数和素数（19和23）；（2）素数和合数（13和14）；（3）合数和合数（21和22）；（4）1和任何正整数（1和100）3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。

运用规律法：规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是 1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。

辗转相除法：求36和84的最大公因数3 36 84 236 720 12上面式子的意思是：84除以36，商是2（写在右边），36×2=72（写在被除数84下方），余数是12，再用36除以12，商是3（写在左边），12×3=36（写在被除数36下方），余数是0，这样，最后的除数12就是36和84的最大公因数。

像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。

求：280和160的最大公因数。

1 280 160 1160 1203 120 40120所以，280和160的最大公因数是40.求三个数的最大公因数：用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60的最大公因数是2×3=6，所以这个数最大是6.4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。

五年级第4讲最大公因数与最小公倍数(教师版)【修订版1.0】

第4讲最大公因数与最小公倍数一、教学目标1.掌握公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数的概念．2.学会求多个数的最大公因数与最小公倍数的方法．3.学会利用最大公因数与最小公倍数解决实际应用题．二、知识要点1.公因数与最大公因数：公因数，亦称“公约数”，即多个自然数公共的因数．它是一个能同时整除若干个整数的整数．其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，a、b 的最大公因数记作：(a,b).公因数只有1的两个数，叫互质数．例如，8和9是一组互质数，也可以说8和9互质．注意：对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数．2.最小公倍数：同理，公倍数即几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数，a、b的最小公倍数记作：[a,b]．3.短除法：短除符号与除式倒过来的符号十分相似，待分解的数放在被除数位置，除数位置放能整除待分解数的一个共有约数，一直除到商互质为止．格式如图：口诀：最大公因算一边，最小公倍算一圈．被除数待分解21812396324.最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；①几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；①几个数都乘一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．5.最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．①两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．①两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．三、例题精选【例1】51与87的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(51,87)=3，[51,87]=1479．51=3×17，87=3×29，(51,87)=3，[51,87]=3×17×29=1479．【巩固1】24与60的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(24,60)=12，[24,60]=120．24=23×3，60=22×3×5，(24,60)=22×3=12，[24,60]=23×3×5=120．【例2】12、28与36的最大公因数与最小公倍数分别是？【①①①①①】【解析】(12,28,36)=4，[12,28,36]=252．12=22×3，28=22×7，36=22×32；(12,28,36)=22=4，[12,28,36]=22×32×7=252．【巩固2】15、20与45的最大公因数与最小公倍数分别是？【①①①①①】【解析】(15,20,45)=5，[15,20,45]=180．15=3×5，20=22×5，45=32×5；(15,20,45)=5，[15,20,45]=22×32×5=180．【例3】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【①①①①①】【解析】60厘米，10段．需要截成相等的小段且无剩余，则每段长度必须是120、180、300的公因数．又要求每段尽可能长，则所求应为其最大公因数．（120,180,300）=60，所以每小段最长为60厘米．（120+180+300）÷60=10（段）【巩固3】长48分米,宽40分米的长方形卧室铺地砖，请问最大可以选用边长为多少分米的方砖，能铺的又整齐又节约？【①①①①①】【解析】8分米．正方形边长相等，所以要求的边长长度必须是48和40的公因数，又问边长最大可取多少，则所求应为其最大公因数．（48,40）=8，所以边长最大可取8分米．【例4】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶.平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？【①①①①①】【解析】60人．由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数，首先求出2、3、4的最小公倍数：[2,3,4]=12，故参加会餐的人数应是12的倍数，又12人共需：12÷2+12÷3+12÷4=13（瓶），即12人需要13瓶饮料．一共用了65瓶饮料，65÷13=5，则知参加会餐的总人数应是12的5倍，12×5=60（人），即得参加会餐的总人数为60人．【巩固4】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【①①①①①】【解析】第一道工序10人，第二道工序3人，第三道工序6人．要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总件数应是3、10、5的公倍数．要求三道工序“至少”要多少工人，首先求3、5、10的最小公倍数．[3,5,10]=30，均衡各道工序，一轮最少应加工30个零件，各道工序最少需要：3÷3=10（人），30÷10=3（人），30÷5=6（人）【例5】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，两个数是多少？【①①①①①】【解析】25、100或50、75．125÷25=5，5=1+4=2+3，所以两数可以为1×25=25、4×25=100或2×25=50、3×25=75．【巩固5】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【①①①①①】【解析】105或147．假设这两个数是21a和21b，易得21×a×b=126，所以a×b=6，由a和b互质，就有6=1×6=2×3这两种情况．所以甲乙是21×1=21、21×6=126或21×2=42、21×3=63这两种情况，它们的和是147或105．【例6】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份．如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【①①①①①】【解析】28段．首先求10、12、15最小公倍数：[10,12,15]=60．60÷10=6、60÷12=5、60÷15=4，则知将木棍分成60小份后，每隔6小份有一个红标记，5小份有一个黄标记，4小份有一个蓝标记，因此断点为：4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，则知木棍一共被锯成28段．【巩固6】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米．在120米内一共留下多少个脚印？【①①①①①】【解析】301个．首先求60、80最小公倍数：[60,80]=240．则知每240厘米，即2.4米有一个脚印踩到了一起，120÷2.4=50，则知120米可以分成50个2.4米，每2.4米中，爸爸脚印有240÷80=3（个），儿子脚印有240÷60=4（个），排除重复脚印则一共有3+4-1=6（个），50个2.4米则有50组6步，故有50×6=300（个），又在0米处二人开始走时也有一个脚印，即共有脚印300+1=301（个）．四、回家作业【作业1】18与48的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(18,48)=6，[18,48]=144．18=2×32，48=24×3，(18,48)=2×3=6，[18,48]=24×32=144．【作业2】12、24与36的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(12,24,36)=12，[12,24,36]=72．12=22×3，24=23×3，36=22×32；(12,24,36)=12，[12,24,36]=23×32=72．【作业3】有三根棉线，长度分别是9厘米、18厘米和36厘米．现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【①①①①①】【解析】7段．需要截成相等的小段且无剩余，则每段长度必须是9、18、36的公因数．又要求每段尽可能长，则所求应为其最大公因数．（9,18,36）=9，所以每小段最长为9厘米．（9+18+36）÷9=7（段）【作业4】一个汽车站有1路车和3路车，1路车每隔20分钟发一辆车，3路车每隔25分钟发一辆车．已知上午8时正1路车和3路车同时出发，再过多长时间两车又同时从车站出发？是几时几分？【①①①①①】【解析】100分（1时40分）后，9时40分；首先求20、25最小公倍数：[20,25]=100．则知100分后辆车又同时出发，100分=1时40分．8时+1时40分=9时40分．【作业5】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为60，两个数是多少？【①①①①①】【解析】4与60、12与20．这两个数分别除以最大公约数所得的商乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，60÷4=15，将30分解成两个互质数的乘积，有1、15，3、5。

公因数和最大公因数解析

公因数和最大公因数解析
一、公因数和最大公因数的概念
公因数呢，就是几个数公有的因数啦。

比如说，6的因数有1、2、3、6，8的因数有1、2、4、8，那么1和2就是6和8的公因数哦。

而最大公因数呢，就是这些公因数里面最大的那个啦，6和8的最大公因数就是2。

二、如何求公因数和最大公因数
1. 列举法
这是最基本的方法啦。

就像刚才说的6和8，我们分别把它们的因数都列举出来，然后找出公有的因数和最大公因数。

再比如12和18，12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，它们的公因数就是1、2、3、6，最大公因数就是6。

2. 分解质因数法
把每个数都分解成质因数相乘的形式。

比如12 = 2×2×3，18 = 2×3×3，然后找出它们公有的质因数，这里公有的质因数是2和3，把公有的质因数相乘，2×3 = 6，所以12和18的最大公因数就是6。

三、公因数和最大公因数的应用
1. 在分数化简中的应用
我们知道分数可以化简，比如12/18，分子分母的最大公因数是6，那么分子分母同时除以6，就得到2/3啦。

这样可以把分数化为最简形式。

2. 在解决实际问题中的应用
比如说有一个长方形的场地，长是18米，宽是12米，要在这个场地周围铺上同样宽的地砖，且地砖的边长要是整数，那么地砖边长最大是多少呢？这其实就是求12和18的最大公因数，答案就是6米，这样就可以知道地砖边长最大是6米啦。

公因数和最大公因数在数学学习中是很重要的概念哦，掌握它们的求法和应用，对我们解决很多数学问题都有帮助呢。

公因数和最大公因数2

2. 8的最大公因数是8。 3. 8和2的最大公因数是2。
6×3= 18
6既是18的因数，又是12的因数，所以6 6×2= 12 是12和18的公因数。
• 找出每组数的最大公因数： • 10和8 15和12
• 28和14
9和 7
谢谢！
在18的因数上画“ ”,在
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 6 。 18和30的公因数有 1、2、3、最大公因数是 6 。
5和11
9和 3
8和 9
9和 6
4和 8
1. 15和10的最大公因数是15。
），
这些公有的因数中，最小的是（ 1 ），最大的是（ 6 ）。
1、2、3、6是12和18公有的因数，叫做它们的公因数。其中6是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。两个数的最大公因数可以用（）表示， 12和18的最大公因数是6，可以表示为（12,18）=6
12的因数 1 2 3 4 6 12
公因数只有1的两个数，叫做互质数。如：1和2、 1的因数有： 1 3和4、5和9、8和15…
2的因数有： 1、2 3的因数有： 1、3
4的因数有： 1、2、4
6的因数有： 1、2、3、6 10的因数有： 1、2、5、10 思考：怎样求一个数的因数？你能找出哪几个数有公有的因数？
12的因数有： 1、2、3、4、6、12 18的因数有： 1、2、3、6、9、18 12和18公有的因数有（1、2、3、6 共（ 4 ）个。
18的因数 1 2 3 6 9 18
12的因数 1 2 3 4 6 12

公因数和最大公因数知识点总结

公因数和最大公因数知识点总结公因数和最大公因数啊，这可是数学里挺有意思的东西呢。

我就给您唠唠。

我记得我小时候学这个的时候，那数学老师啊，戴着个厚厚的眼镜，镜片一圈一圈的，就像那树的年轮一样。

他站在黑板前，拿着粉笔，在那黑板上“咔咔”地写着公因数的定义。

他说啊，公因数就是几个数公有的因数。

我当时就想，啥叫公有的因数呢？就像几个人共有一个东西似的，那这个东西得是啥样的呢？然后老师就举例子，说2和4吧，2的因数有1和2，4的因数有1、2、4，这里面1和2就是2和4的公因数。

我就看着黑板上那些数字，感觉它们就像一群小蚂蚁似的，在那爬来爬去，寻找着彼此之间的联系。

我就跟同桌说：“你看这数字啊，还挺神奇的，互相之间还有这种公有不共有的关系。

”同桌就笑，说：“你可别瞎想了，赶紧好好听。

”这最大公因数呢，就是公因数里最大的那个呗。

就像一群小伙伴里的老大一样。

还是说2和4，它们的最大公因数就是2。

老师说找最大公因数有好几种方法呢。

一种是列举法，就像刚才找2和4的因数那样，把因数都列出来，然后再找最大的公因数。

我就觉得这方法有点笨，但是刚学的时候还就得这么一步一步来。

还有一种方法是用短除法。

这个短除法可有点意思了。

老师在黑板上画那个短除的符号，就像一个小房子似的。

把要找最大公因数的数放在里面，然后找一个能同时整除它们的数，就像找到一把钥匙，能把这几个数的关系都解开一样。

我就觉得这个方法像是在玩一种数字游戏，挺好玩的。

我有一次做数学作业，就有一道找最大公因数的题，是12和18的。

我先用列举法，12的因数是1、2、3、4、6、12，18的因数是1、2、3、6、9、18。

我就一个一个地找，找得我眼花缭乱的。

后来我就想，试试短除法吧。

我就画了那个小房子，把12和18放进去，先找了个2，除完之后再找3，最后得出最大公因数是6。

我当时可高兴了，就像打了一场胜仗似的。

这公因数和最大公因数啊，在生活里也能用到呢。

比如说分东西的时候，要保证分的份数一样，那就要用到公因数的知识了。

最大公因数与公因数

最大公因数可以用于分解质因数，而公因数则不能。
最大公因数是所有公因数中最大的一个，因此它也是公因数。
两个数的最大公因数和它们的公因数之间存在包含关系，即最大公因数一定是公因数，但公因数不一定是最大公因数。
最大公因数和公因数的求法不同，但它们都涉及到因数的概念。
最大公因数和公因数的应用范围也不同，最大公因数主要用于整数，而公因数则可以用于整数、有理数和实数等。
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辗转相除法：通过不断用大数除以小数，余数为两数的最大公因数，再用小数除以余数，直到余数为0，最后的小数就是两数的最大公因数。
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分解质因数法：将两个数分别分解质因数，然后取公共的质因数相乘，得到最大公因数。
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互质法：如果两个数是互质的，即最大公因数为1，则它们的最大公因数就是1。
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特殊值法：如果两个数是连续的自然数，则它们的最大公因数为1。
最大公约数能整除给定的两个或多个整数。
最大公约数整除任何与它有共同因子的数。
最大公约数能整除所有因数中最大的数。
最大公约数只有1和它本身
是因数。
最大公因数和最小公倍数都是两个数的公共因数和公共倍数的最大值。
利用这个关系，可以通过最小公倍数来求得最大公因数，也可以通过最大公因数来求得最小公倍数。
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最大公因数和最小公倍数之间存在一定的关系，即两数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。
最大公因数和最小公倍数的关系在数学中有着广泛的应用，例如在解决分数加减、解方程等问题中都有所涉及。
公因数定义：两个或多个整数共有的因数
求法：列举法、辗转相除法