9.59求最小公倍数和最大公因数的方法及练习

※概念总结

1. 因数和倍数

一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

2. 公倍数和最小公倍数

（1）概念：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。用符号[ ，]表示。如[6，8]=24。

（2）特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。

3. 公因数和最大公因数

（1）概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。用符号（，）。如（6，8）=2。

（2）特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。

4. 质数和合数

（1）质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。（2）合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。

（3）两个质数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。

（4）两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。

例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。

（5）互质（互素）：若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。1）1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。

2）互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。

※求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：（1）列举法

分别写出两个数的倍数（因数），再找出公倍数（公约数），从中找出最小公倍数（最大公约数）

（2）短除法

用着两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。

（3）特殊情况的求法

①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5

③质数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

举例：[3，7]=21，（3，7）=1

④一个质数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1

⑤相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

[9，8]=72，（9，8）=1

⑥两个合数，公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。

举例：6和8都是合数，6的质因数有2、3 ；8的质因数有：2、2、2；

6和8的最小公倍数是2*3*2*2=24 24是它们的最小公倍数。

⑦特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1）

例：4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

※效果验证

1. 24的因数有（）,32因数有（），

24和32的公因数有（），24和32的最大公因数是（）。

2. 20以内是2和3的公倍数的数有( )个。

A、4

B、3

C、2

D、1

3. 在每组数后面的（）里填上它们的最大公因数，[ ]里填上最小公倍数。

10和30（）[ ] 45和5 （）[ ]

4 和

5 （）[ ] 12和8 （）[ ]

26和52（）[ ] 13和26（）[ ]

4. 一个既是12的因数，又是18的因数，这个数最大是（）。

A、12

B、18

C、6

D、8

5. 是3的倍数又是5的倍数中，最小一个偶数是（）。

A、15

B、30

C、20

D、60

6. 两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（）。

7. 写出每组数的最大公因数和最小公倍数

13和39 6和13 5和7 15和14 12和18 9和15

※练习

1. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数

32和24 12和18 72和48 78和39

2. A能被B整除，那么它们的最小公倍数是（）。

3. 如果a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）。

4. 在a=4b中，a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

5. 两个相邻偶数的和是18，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

6. 两个数最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是（）。

※拓展延伸

1. A÷B＝8（AB均为非0的自然数），A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2. A＝B+1（或A－B＝1）（AB均为非0的自然数），A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3.甲数＝2×3×a，乙数=2×5×a,已知甲乙两数的最大公因数是22，则a是（）；如果甲乙两数的最小公倍数是210，则a是（）。

4. A和B均是不为0的自然数，如果A ×15 = B，A和B这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。

5. B＝2×3×11，C＝2×5×7，那么210、B和C这三个数的最小公倍数是（），最大公因数是（）。