高中数学阿波罗尼斯圆专题训练试题
阿波罗尼斯圆及其直接应用 (解析版)
1专题一：阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用主干知识：1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,A B ，设P 点在同一平面上且满足PAPBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1λ=时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的方程【定理1】设()()()1,,,0,,0P x y A a B a -．若PAPBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹方程是2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其轨迹是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．例题讲解例1．（2022·河北盐山中学高二期中）已知两定点()2,1A -，()2,1B -，如果动点P满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.【分析】设(,)P x y ，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设(,)P x y ，由题设得：2222(2)(1)2[(2)(1)]x y x y ++-=-++，∴22(6)(3)40x y -++=，故P的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π例2．（2022四川涪陵月考）若ABC ∆满足条件4, 2 AB AC BC ==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【分析】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理可得22216(2)163cos 248x x x B x x+--==⨯⨯由三角形任意两边之和大于第三边得2442x x x x +>⎧⎨+>⎩，解得443x <<，即216169x <<14sin 222ABCS x B ∆∴=⋅⋅⋅===当2809x =时，ABC ∆面积取最大值163故答案为：163答案第2页，共3页例3．在平面直角坐标xOy 中，已知点()()1,0,4,0A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是_______．【分析】根据12PA PB =得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线0x y m -+=上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设(,)P x y则PA PB ==因为12PA PB ==，同时平方，化简得224x y +=，故点P 的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，又点P 在直线0x y m -+=上，故圆224x y +=与直线0x y m -+=必须有公共点，2≤，解得m -≤例4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB=，即()2223x y-+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+=+=+，所以()22max2116x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+3故选：A.例5．（2022四川·成都外国语学校高二月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB=，则实数m 的取值范围是（）A．22⎣⎦B．542⎡⎢⎣⎦C．2⎛ ⎝⎦D．2⎥⎣⎦【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：22m ≤≤，所以实数m 的取值范围是2⎥⎣⎦，。
微点6 阿波罗尼斯圆综合训练 (解析版)
专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点6阿波罗尼斯圆综合训练专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点6阿波罗尼斯圆综合训练一、单选题（2022宁夏·石嘴山三中高二月考）1．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12=PA PB ．则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π（2022广东·广州一中高二期中）2．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，动点M 满足MA =，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l ：()1y k x b =-+与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．-⎡⎣（2022·河北保定·高二期末）3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（0λ>，且1λ≠）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()4,0-A ，()2,0B ，点P 满足2PA PB=，则点P 的轨迹的圆心坐标为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()4,-0D ．()2,04．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数动点(,)P x y 满足2PA PO=,则动点P 轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切5．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P ，Q ，动点M 满足2MP MQ =，记M 的轨迹为C ，若与C 无公共点的直线l 上存在点R ，使得MR 的最小值为6，且最大值为10，则C 的长度为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π（2022·广东茂名·高二期末）6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PAPO=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中）7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，当P 、A 、B 不共线时，PAB 面积的最大值是（）A ．4B ．2C ．23D ．438．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C 到()()1,0,1,0A B -的距离之C 到直线280x y -+=的距离的最小值为（）A ．BC ．D（2022四川遂宁·高二期末）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足12PA PB=．当,,P A B 三点不共线时，PAB △面积的最大值为（）A ．24B ．12C ．D（2022湖北黄州中学高二开学考试）10．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数()0,1k k k >≠的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 满足2AC BC =，则动点C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P ，已知点D 在圆P 上（点D 在第一象限），AD 交圆P 于点E ，连接EB 并延长交圆P 于点F ，连接DF ，当DFE 30∠= 时，直线AD 的斜率为（）A ．13B ．13C ．4D 二、多选题（2022江苏·高二专题练习）11．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是（）A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内（2022·浙江·玉环玉城中学高二期中）12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）5⎛⎫B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为)41313．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA=D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点Р满足12PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得1AD =C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=（2022河北保定·高二期中）15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､B 的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xoy 中，()2,0A ､()4,0B ，点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．曲线C 的方程为()22416x y ++=B ．在曲线C 上存在点D ，使得1AD =C ．在曲线C 上存在点M ，使M 在直线上20x y +-=D ．在曲线C 上存在点N ，使得224NO NA +=（2022福建龙岩·高二期中）16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(2,0)B ，动点C 满足||1||2CA CB =，直线:10l mx y m -++=，则（）A ．动点C 的轨迹方程为22(2)4x y ++=B ．直线l 与动点C 的轨迹一定相交C ．动点C 到直线l1D ．若直线l 与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，且||PQ =1m =-三、填空题（2022天津河北·高二期中）17．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足||1||2PA PB =，则点P 所构成的曲线C 的方程为_______________．18．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点()0,0O ，()3,0A ，动点P 满足12PO PA=，则点P 的轨迹方程是___________．（2022四川省武胜烈面中学校高二期中）19．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ(0λ>且1λ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O A 、是定点，它们的坐标分别为00O (，)､(30)A ，；另一个顶点M 是动点，且满足∠=∠si n 2si n A O M O A M ，则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________.（2022四川巴中·高二期末）世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O 、A 是定点，它们的坐标分别为(00)O ， 、(30)A ， ；另一个顶点M 是动点，且满足||1||2MO MA =．则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________．21．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.22．平面向量a ，b 满足3a b -= ，2a b = ，则a 与a b -夹角最大值为______．23．已知平面向量满足1a b c === ，a b ⊥r r，则232c a a b c +++- 的最小值为______．24．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =,则BD 的最小值为______.四、双空题（2022重庆·高二期末）25．设动点P 与两不同定点AB 、在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0),(,)A B P x y -，动点P 满足||2,||PA P PB =点的轨迹Γ的方程为_______．点Q 是直线:34100l x y -+=上任意一点，过Q 作Γ的切线，相切于,M N ，当||MN 取得最小值时，求cos MQN ∠的值______________（2022广东·深圳七中高三月考）26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,3A ，若动点M 满足2=MA MO ，则动点M 的轨迹Γ方程是___________；若直线:10l x my +-=与轨迹Γ交于,P Q ，当PQ 取最小值时，则m =___________.27．被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P 到两个不同定点,A B 的距离之比为常数()01k k k >≠且，则P 点的轨迹是一个圆心在AB 直线上的圆，简称“阿氏圆”.据此请回答如下问题：为S ，若3a =时，则max S =______;若1S =时，则a 取值范围为______．28．阿波罗尼奥斯（Apollonius ）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2：1，则动点P 的轨迹方程为________.五、解答题（2022辽宁抚顺·高二期末）29．设A ，B 是平面上两点，则满足PA k PB=(其中k 为常数，0k ≠且1k ≠)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知)0A，,02B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，且k （1）求点P 所在圆M 的方程.（2）已知圆()()22:225x y Ω++-=与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M E ，F 两点，证明：ECD FCD ∠=∠.（2022福建省福州八中高二期中）30．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy中的点E ，F ，则满足PF =的动点P 的轨迹记为圆E .(1)求圆E 的方程；(2)过点(3,3)Q 向圆E 作切线QS ，QT ，切点分别是S ，T ，求直线ST 的方程.31．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯()Apollonius 在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A ，B 距离之比为(0λλ>且1)λ≠的点P 的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．(1)已知两定点()2,0A -，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB=，求点P 的轨迹方程；(2)已知()6,0A -，P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，在平面上是否存在点B ，使得12PA PB=恒成立？若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由；(3)已知P 是圆22:4D x y +=上任意一点，在平面内求出两个定点A ，B ，使得12PA PB=恒成立．只需写出两个定点A ，B 的坐标，无需证明．32．平面上两点A 、B ，则所有满足PA k PB=且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆1C 上的动点P 满足：2(PO PA=其中O 为坐标原点，A 点的坐标为()0,3.(1)直线Ly x =︰上任取一点Q ，作圆1C 的切线，切点分别为M ，N ，求四边形1QMC N 面积的最小值；(2)在（1）的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.参考答案：1．D【分析】设(),P x y ，则由12=PA PB 结合距离公式化简可得()22416++=x y ，从而可知点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，进而可求出面积【详解】设点(),P x y ，则12PA PB =化简整理得2280x y x ++=，即()22416++=x y ，所以点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，所以所求图形的面积为16π，故选：D 2．C【分析】设()M x y ，，由题意列式求出C 圆的方程，再由直线方程可得直线l 恒过定点(1)b ，，求出圆C 上横坐标为1的点的纵坐标即可.【详解】设()M x y ，，由(20)A -，，且MA =，得222MA MO =，即22(2)8x y -+=，直线l ：(1)y k x b =-+恒过定点(1)b ，，把1x =代入22(2)8x y -+=，解得y =，要使对任意实数k ，直线l ：22(2)8x y -+=与圆C 恒有公共点，则b≤≤b 的取值范围是⎡⎣故选：C 3．A=，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.【详解】令P (x ，y )，=，两边平方并整理得：()22416x y -+=，∴圆心为(4，0)．故选：A ．4．D【分析】求阿波罗尼斯圆后判断两圆的位置关系.【详解】由已知动点(,)P x y 满足2PAPO=，得2=即动点P 轨迹为圆：()2214x y ++=，21=+Q，∴两圆外切.故选:D.5．B【分析】根据给定条件确定轨迹C 是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.【详解】依题意，M 的轨迹C 是圆，设其圆心为点D ，半径为r ，显然直线l 与圆C 相离，令点D 到直线l 的距离为d ，由圆的性质得：610d r d r -=⎧⎨+=⎩，解得8d =，2r =，所以C 的长度为4π.故选：B 6．A【分析】首先求得点P 的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.2=，化简为：()2214x y ++=，动点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆，圆22(2)2x y -+=是以()2,0为半径的圆，两圆圆心间的距离32d =<所以两圆相交.故选：A 7．D 【分析】利用||2||PA PB =求出圆的方程和半径，进而利用圆的范围可求出三角形面积的最大值.【详解】设()P x y ，，因为(10)A -，、()1，0B ，且||2||PA PB =，2=，整理得22331030x y x +-+=，即圆的方程为22516(39x y -+=，半径为43；所以4||3y ≤，则PAB △面积的最大值是1442233⨯⨯=.故选：D.8．A【分析】设(,)C x y ，依题意||||CA CB =，根据两点的距离公式求出动点C 的轨迹方程，再求出圆心到直线的距离，即可求出点C 到直线距离的最小值；【详解】解：设(,)C x y ，则||||CA CB ==22(2)3x y -+=，所以点C 的轨迹为以()2,0D 为圆心，r =D 到直线280x y -+=的距离d ==，所以点C 到直线280x y -+=的距离的最小值为故选：A 9．B【解析】设(,)P x y ，可表示出PA 、PB ，根据题意，列出等式，化简整理，即可得点P 的轨迹方程，如图所示，可的P 到AB 的距离最大值，代入公式，即可求得答案.【详解】设(,)P x y ，则PA PB =因为12PA PB=，所以=22224[(2)](4)x y x y ++=-+，整理可得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，如图所示：当P 在圆心Q （-4,0）的正上方时，P 到AB 的距离最大，且为半径4,所以PAB △面积的最大值为11641222AB PQ ⨯⨯=⨯⨯=.故选：B【点睛】解题的关键是根据条件，求得点P 的轨迹方程，根据圆的几何性质，求得答案，考查数形结合，计算化简的能力，属中档题.10．A【分析】设点(),C x y ，根据2AC BC =求出点C 的轨迹方程，过圆心P 作PG DE ⊥于点G ，求出PG 、PA ，可求出sin PAG ∠的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 的斜率.【详解】如图所示，设动点(),C x y=，化简可得2220403x y x +-+=，化为标准方程可得圆221064:39P x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．因为260DPE DFE ∠=∠= ，PE PD =，则DPE 为等边三角形，过圆心P 作PG DE ⊥于点G，则sin 60PG PE ==，3sin 1643PG PAG PA ∠===，所以cos PAG ∠==4tan AD k PAG =∠==，故选：A ．11．AD【解析】设(),P x y ，根据阿波罗尼斯圆的定义，求得其方程()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭，然后逐项判断.【详解】设(),P x y ，所以PA PB ==，因为PA PB λ=，所以PA ==()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭A.当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径22413a ar λλ==-，故正确；B.当12λ=时，以AB 为直径的圆为222x y a +=，阿波罗尼斯圆为22251639a x a y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心距为53a ，两半径之和为73a ，两半径之差的绝对值为13a ，不相切，故错误；C.当01λ<<时，圆心的横坐标为()22212111aa a λλλ+⎛⎫=+< ⎪--⎝⎭，所以点B 在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误；D.当1λ>时，点A 与圆心的距离()22222122111aa aa r λλλλλλ++=>=---，在阿波罗尼斯圆外，点B与圆心的距离()2222122111aa a a r λλλλλ+-=<=---，在圆内，故正确；故选：AD 12．ABD【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出点P 所构成的曲线方程E ，然后逐一判断即可.【详解】设(),P x y ，由12PA PB==整理可得2210103x x y +++=，化为2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为43，故A 正确；圆心5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭到点()10B ,的距离为83，所以48433338PB -≤≤+，即443PB ≤≤，故B 正确；圆的周长为823r ππ=，故C 错误；圆心到直线10x y +-=3=，所以曲线E 上的点到直线10x y+-=的最小距离为)441333-=.故选：ABD 13．ABD【分析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案【详解】由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为=44+，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA ==()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误；对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确；故选：ABD ．14．AD【分析】通过设出点P 的坐标，利用12PA PB=，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点(,)P x y ，由12PA PB=，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；对于D 选项，设00(,)N x y ，由224NO NA +=，得22220000(2)4x y x y ++++=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确.故选：AD .15．AD【分析】通过设出点P 的坐标，利用12PA PB=，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与曲线C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点(,)P x y ，由12PA PB=，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；对于D 选项，设00(,)N x y ，由224NO NA +=，得22220000(2)4x y x y ++++=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确.故选：AD.16．ABD【分析】设(,)C x y ，进而根据题意易得其轨迹方程22(2)4x y ++=，判断A 选项；再结合直线l 过定点(1,1)M -判断点与圆的位置关系判断B 选项；易知当直线l 与NM 垂直时动点C 到直线l 距离的最大，计算可判断C 选项；根据直线与圆相交弦长的求解方法求解即可判断D 选项.【详解】解：设(,)C x y ．因为||1||2CA CB =12=，所以2240x y x ++=，即22(2)4x y ++=，所以对于A 选项，动点C 的轨迹为以(2,0)N -为圆心，2为半径的圆，故A 正确．对于B 选项，因为直线l 过定点(1,1)M -，而点(1,1)M -在圆N 内，所以直线l 与圆N 相交，故B 正确．对于C 选项，当直线l 与NM 垂直时，动点C 到直线l 的距离最大，且最大值为||2r NM +=+，故C 错误．对于D 选项，记圆心N 到直线l 的距离为d ，则d =()222||4PQ r d =-，所以()2248r d -=．因为2r =，所以d =22(1)21m m -=+，得1m =-，故D 正确．故选：ABD17．（x ＋4）2＋y 2＝16【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程.【详解】由题意可设点(,)P x y ，由A （﹣2，0），B （4，0），||1||2PA PB =12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故答案为：22(4)16x y ++=.18．()2214x y ++=【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．【详解】设(),P x y ，12POPA =12=，整理得：22230x y x ++-=即()2214x y ++=．故答案为：()2214x y ++=．19．2【分析】根据已知条件求出点M 的轨迹，然后经过分析可知OAM △的面积最大，此时OA 边上的高为圆的半径2.【详解】设(),M x y ，因为∠=∠si n 2si n A O M O A M ，在OAM △中结合正弦定理可得2AMOM=，即2AM OM =，=，化简整理得22230x y x ++-=，所以点M的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆（去掉点()()1,0,3,0），所以当OA AM ⊥时，OAM △的面积最大，此时OA 边上的高为圆的半径2.故答案为：2.20．2【分析】首先求出点M 的轨迹方程，当OAM △的面积最大时，即OA 边上的高最大，即可求解.【详解】12MO MA=，即两线段比值为大于零且不等于1的常数，∴点M 的轨迹是圆．设(),M x y ．()0,0O 、()3,0A ，2=MA MO ，=，平方整理得22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++=，故点M 的轨迹是以()1,0C -为圆心，半径长为2的圆，因此，当OAM △的面积最大时，OA 边上的高即为该圆的半径2．故答案为：221．【分析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决【详解】如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =，所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠，圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大，此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：22．6π##30︒【分析】根据条件先求得()a b a -⋅ ，再用夹角公式及基本不等式可求解.【详解】解：∵3,2a b a b -==，∴()222222429a ba ab b b a b b -=-⋅+=-⋅+=，∴25922a b b ⋅=- ，∴()2222593942222a b a a a b b b b -⋅=-⋅=-+=+ ；∴()2391322cos ,464b a b a a b a b a ba b b +-⋅-===+≥=-，当且仅当b =、a =等号成立，∵0,a b a π≤-≤ ；∴0,6a b a π≤-≤ ；∴a b - 与a 夹角的最大值为6π．故答案为：6π23【分析】直接利用向量的绝对值（三角）不等式，即可得到结果.【详解】利用向量的绝对值（三角）不等式，因为平面向量满足1a b c === ，a b ⊥r r，所以=0a b ⋅，22c a c a ++=+ ，则23223252c a a b c c a a b c a b +++-=+++-≥+=．故答案为24．3【解析】由题可设AD x =,则3AB AC x ==,利用余弦定理可得222222cos 106cos BD AB AD AB AD A x x A =+-⋅⋅=-⋅,再根据三角形面积公式可得11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,则22sin 3A x =,进而cos A =,则2BD 为关于x 的函数,利用换元法和导函数求得最值即可【详解】由题,设AD x =,则3AB AC x ==,所以()22222222cos 323cos 106cos BD AB AD AB AD A x x x x A x x A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=-⋅,因为11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,所以(]22sin 0,13A x=∈,因为大边对大角,所以令A 为锐角,则cos A ,所以222210610BD x x x =-=-,设223t x t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭,则()10f t t =-所以()10f t '=,令()0f t '=,则56t =,则()f t 在25,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min551610663f t f ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭,所以min 3BD =,【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力25．22(5)16x y -+=725-【分析】设(,)P x y ，可得||PA ，||PB ，代入||2||PA PB =，整理可得P 点的轨迹Γ的方程；画出图形，可知当Q 离圆心最近时，||MN 最小，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进一步可得cos MQN ∠的值．【详解】解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则||PA||PB ，由||2||PA PB =2=，化简可得22(5)16x y -+=，∴此曲线的方程为22(5)16x y -+=；（2）曲线Γ是以点(5,0)E 为圆心，4为半径的圆，如图，要使||MN 最小，则 MN最小，可知Q 离圆心E 最近，此时||5QE =，||4NE =，则||3QN =，3cos 5NQE ∴∠=，则2237cos 212()1525MQN cos NQE ∠=∠-=⨯-=-．故答案为：22(5)16x y -+=；725-．26．22(1)4x y ++=1【分析】设出点M 的坐标，利用给定几何关系列方程并化简即得轨迹Γ的方程；利用圆的性质即可求出PQ 取最小值时的m 值.【详解】设动点(,)M x y ，因2=MA MO =22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹Γ的方程是：22(1)4x y ++=；显然轨迹Γ是以点(0,1)C -为圆心，2为半径的圆，直线:10l x my +-=恒过定点(1,0)B ，点(1,0)B 在圆22(1)4x y ++=内，由圆的性质知，当弦PQ 长最短时，直线l 垂直于直线BC ，直线BC 斜率0(1)110BC k --==-，因此，111m-⨯=-，解得1m =，所以当PQ 取最小值时，则1m =.故答案为：22(1)4x y ++=；127．3)+∞【分析】以B 作为原点建立平面直角坐标系，可得点B 和点C 的坐标，设出点A 的坐标，结合条件代入两点之间的距离公式可得点C 的轨迹为除去x 轴上两点的一个圆，利用圆上的点的纵坐标和三角形面积之间的关系即可解决问题．【详解】解：以B 作为原点，BC 所在的直线作为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，若3a =，即3BC =，则不妨设C 在x 正半轴上，则()3,0C ，设ABC 的顶点(),A x y ，而2AB AC =，=22(4)4x y -+=，根据条件可知A 不在直线BC 上，则0y ≠，即6x ≠且2x ≠，所以A 点的轨迹为圆22(4)4x y -+=除去点()6,0与()2,0，可得max ||2y =，所以ABC 面积S 的最大值为max 11||32322BC y =⨯⨯=，即max 3S =，同样的，当2AB AC =，BC a =，则ABC 的顶点(),A x y =化简可得()22242()()033x a y a y -+=≠，可得203a y <，又1S =，则112a y =，即2y a =，所以2203a a <，解得a ，即a 取值范围为)+∞．故答案为：3；)+∞．28．()2224x y -+=【分析】根据题意得设(),P x y ，则PM =PN =意求解即可.【详解】解：设(),P x y ，则PM =PN =因为动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2:1，21=，所以2222(2)4(1)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得2240x y x +-=，即()2224x y -+=，所以动点P 的轨迹方程为()2224x y -+=.故答案为：()2224x y -+=29．（1）223x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）直接法求轨迹方程；（2）设直线l 的方程为1x ty =-，联立圆方程，结合韦达定理，证明0CE CF k k +=，进而证得ECD FCD ∠=∠.【详解】（1）解：由题意可得，PA PB =，即PA =，则(222222x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=-+ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，整理得223x y +=，即圆M 的方程为223x y +=.（2）证明：对于圆Ω，令0y =，得1x =-或3x =-，所以()3,0C -，()1,0D -.设直线l 的方程为1x ty =-，()11,E x y ，()22,F x y .由221,3,x ty x y =-⎧⎨+=⎩得()221220t y ty +--=，则12221t y y t +=+，12221y y t =-+.121233CE CF y y k k x x +=+++()()()()1221123333y x y x x x +++=++()()()()1221122233y y t y ty x x +++=++()()121212233ty y y y x x ++=⨯++。
2023届高考数学专项练习阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆的逆用 (解析版)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用【微点综述】当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O 与直线OA 相交于M ，N 两点设点E 为OA 上一点，且满足PA PE =λ，由阿氏圆定理ANNE =λ，AM ME=λ，则AN =λNE ⇒OA -R =λR -OE ，∴λOE =1+λ R -OA ①同理AM =λME ⇒R +OA =λOE +R ，∴λOE =1-λ R +OA ②由①②消OA 得：2λOE =2R ，即ROE=λ，即R =λOE ，由①②消R 得：OA =λ2OE ，因此，满足条件的点E 在阿氏圆的圆心和定点A 的连线上，且ROE=λ或OAOE=λ2．【典例刨析】1.(2022·湖南·临澧一中高二开学考试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2+y 2=1上的动点M 和定点A -12,0 ，B (1，1)，则2|MA |+|MB |的最小值为( )A.6B.7C.10D.112.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O :x 2+y 2=1、点A -12,0 和点B 0,12 ，M 为圆O 上的动点，则2|MA |-|MB |的最大值为( )A.52B.172C.32D.223.古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262-前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O 0,0 ，A 3,0 ，圆C :x -2 2+y 2=r 2r >0 上有且仅有一个点P 满足PA =2PO ，则r 的取值为( )A.1B.5C.1或5D.不存在4.已知点P 是圆x -4 2+y -4 2=8上的动点，A 6,-1 ，O 为坐标原点，则PO +2PA 的最小值为______．5.已知圆C ：x -1 2+y -1 2=1，定点P 是圆C 上的动点，B 2,0 ，O 是坐标原点，则2PO +PB 的最小值为______．6.(2022江西·南昌八中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >02023届高考数学专项练习且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O (0,0)，A (3,0)，圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足|PA |=2|PO |，则r 的取值为_______.【针对训练】7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQMP =λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为-13,0 ,λ=3，若点B 1,1 ，则3MP +MB 的最小值为( )A.10B.11C.15D.178.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ､B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：x 2+y 2=1和点A -12,0 ，点B (4，2)，M 为圆O 上的动点，则2|MA |+|MB |的最小值为___________9.(2022安徽·合肥六中高二期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆O :x 2+y 2=1和A -12,0 ，点B (1,1)，M 为圆O 上动点，则MA +12MB 的最小值为_______.10.(2022上海金山中学高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足PA |=λPB (其中λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M (-1,0)、N (2,1)，P 是圆O :x 2+y 2=3上的动点，则3PM +PN 的最小值为____________11.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PAPB=2，求PA 2+PB2的最小值．12.(2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,1 ，B -2,4 ，点P 是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E :y 2=4x 上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则12PB +PQ +QH 的最小值为______.参考答案1.【答案】C【分析】讨论点M 在x 轴上与不在x 轴上两种情况，若点M 不在x 轴上，构造点K (-2，0)，可以根据三角形的相似性得到|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，进而得到2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |，最后根据三点共线求出答案.【详解】①当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(-1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(-1，0)，则2|MA |+|MB |=2×12+1+1 2+12=1+5；若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |+|MB |=2×32+1-1 2+12=4．②当点M 不在x 轴上时，取点K (-2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |=1，|OA |=12，|OK |=2，所以|OM ||OA |=|OK ||OM |=2．因为∠MOK =∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，所以|MK |=2|MA |，则2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |．易知|MB |+|MK |≥|BK |，所以|MB |+|MK |的最小值为|BK |．因为B (1，1)，K (-2，0)，所以(2|MA |+|MB |)min =|BK |=-2-12+0-1 2=10．又10<1+5<4，所以2|MA |+|MB |的最小值为10．故选：C 2.【答案】B【分析】令2MA =MC ，则MA MC=12，由阿氏圆的定义可知：C (-2,0)，由数形结合可知2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的最大值.【详解】设M x ,y ，令2MA =MC ，则MA MC=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，点C -2,0 ，当点M 位于图中M 1的位置时，2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的值最大，最大为BC =172.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.3.【答案】C【分析】直接设点P x ,y ，根据PA =2PO 可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得CC 1 =r +r 1或CC 1 =r -r 1 ．【详解】设点P x ,y ∵PA =2PO 即x -32+y 2=2x 2+y 2整理得：x +1 2+y 2=4∴点P 的轨迹为以C 1-1,0 为圆心，半径r 1=2的圆，∵圆C :x -2 2+y 2=r 2的C 2,0 为圆心，半径r 的圆由题意可得：3=CC 1 =r +r 1或3=CC 1 =r -r 1 ∴r =1或r =5故选：C ．4.【答案】10【分析】解法1：借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到PO +2PA =2PA +PA ，进而根据三点共线即可求出最值；解法2：将PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2转化为=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2 ，进而结合进而根据三点共线即可求出最值．【详解】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用假设A m ,n ，使得PO =2PA ，则x 2+y 2=2x -m 2+y -n 2，从而可得3x 2-8mx +4m 2+3y 2-8ny +4n 2=0，从而可知圆心坐标为4m 3,4n3，所以4m 3=4，4n 3=4，解得m =n =4，即A 3,3 ．所以PO +2PA =2PA +PA ≥2A A =26-3 2+-1-3 2=10．即PO +2PA 的最小值为10．解法2：代数转逆法由x -4 2+y -4 2=8，得x 2+y 2=8x +8y -24．PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2=2x 2+y 24+x -62+y +1 2=2x2+y 2 -34x 2+y 2 +x -62+y +1 2=2x 2+y 2-6x +6y -18 +x -62+y +1 2=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2x -32+y -3 2+x -6 2+y +1 2表示的是动点x ,y 与3,3 和6,-1 之间的距离之和，当且仅当三点共线时，和最小，故PO +2PA ≥26-3 2+3+1 2=2×5=10．5.【答案】5【分析】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用，设B m ,n ，使得PB =2PB ，利用两点间的距离公式化简可求得B 32,12 ，得直线BB 与圆C 相交，则2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，从而可求得其最小值，解法2：代数转逆法，2PO +PB =2x 2+y 2+x -2 2+y 2=2x 2+y 2+x -32 2+y -12 2 ，可得当点O ,P ,B 32,12 共线，且P 在OB 之间时取得最小值.【详解】解：解法1：阿波罗尼斯圆的逆用设B m ,n ，使得PB =2PB ，则x -2 2+y 2=2x -m 2+y -n 2 ，整理，得x 2-4m -1 x +y 2-4ny +2m 2+n 2-2 =0，即[x -2(m -1)]2+(y -2n )2=2m 2+2n 2-8m +8=2(m -2)2+2n 2所以2m -1 =1，2n =1，从而B 32,12．经验证，知直线BB 与圆C 相交．从而2PO +PB =2PO +PB ≥2OB =2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．解法2：代数转逆法2PO +PB =2x 2+y 2+x -22+y 2=2x 2+y 2+12x 2+y 2-2x +2=2x 2+y 2+x2+y 2 -12x 2+y 2 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-122x +2y -1 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-3x -y +52=2x 2+y 2+x -322+y -122≥2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．故答案为：5【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼斯圆，设B m ,n ，使得PB =2PB ，化简后将问题转化为2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，考查数学转化思想，属于较难题.6.【答案】5【分析】设动点P x ,y ，根据题意求出点P 的轨迹方程可知轨迹为圆，由题意可知两圆相外切，再讨论内切和外切列方程即可得求解.【详解】设动点P x ,y ，由PA =2PO ，得x -3 2+y 2=4x 2+4y 2，整理得x +1 2+y 2=4，即点P 的轨迹方程为：x +1 2+y 2=4，又因为圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足x +1 2+y 2=4，所以两圆相切，圆x +1 2+y 2=4的圆心坐标为-1,0 ，半径为2，圆C ：x -2 2+y 2=r 2r >0 的圆心坐标为2,0 ，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r +2=3，得r =1，因为r >1，故r =1舍去，当两圆内切时，r -2 =3，r >1，得r =5．故答案为：5.7.【答案】D【分析】设Q a ,0 ，M x ,y ，根据|MQ ||MP |=λ和x 2+y 2=1求出a 的值，由3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |，两点之间直线最短，可得3|MP |+|MB |的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即可.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a 2+y 2，由P -13,0 ，所以PM =x +13 2+y 2，因为|MQ ||MP |=λ且λ=3，所以x -a 2+y 2x +13 2+y2=3，整理可得x 2+y 2+3+a 4x =a 2-18，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以3+a 4=0a 2-18=1，解得a =-3，所以Q -3,0 ，又MQ =3|MP |，所以3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |≥BQ ，因为B (1,1)，所以3|MP |+|MB |的最小值BQ =1+32+1-0 2=17，当M 在位置M 1或M 2时等号成立.故选：8.【答案】210【分析】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，根据圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，求得点C 坐标，再连接BC ，由直线段最短求解.整理得：【详解】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，则|MA ||MC |=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C (m ，n )，则|MA ||MC |=x +12 2+y 2(x -m )2+(y -n )2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，所以点C (-2，0)，如图所示：当点M 位于图中M 1､M 2的位置时，2|MA |+|MB |=|MC |+|MB |的值最小，最小为210.故答案为：2109.【答案】102【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】令2MA =MC ，则MA MC=12.由题意可得圆x 2+y 2=1是关于点A ，C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12设点C 坐标为C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12整理得x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13由题意得该圆的方程为x 2+y 2=1，所以2m +4=02n =0m 2+n 2-13=1 ，解得m =-2n =0 所以点C 的坐标为(-2,0)，所以2MA +MB =MC +MB ，因此当点M 、C 、B 在同一条直线上时，2MA +MB =MC +MB 的值最小，且为(1+2)2+(1-0)2=10，故MA +12MB 最小为102.故答案为：10210.【答案】26【分析】在x 轴上取S -3,0 ，由△MOP ∼△POS 可得PS =3PM ，可得3PM +PN ≥SN ，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在x 轴上取点S -3,0 ，∵OM OP =OP OS =33，∠MOP =∠POS ，∴△MOP ∼△POS ，∴PS =3PM ，∴3PM +PN =PS +PN ≥SN (当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号)，∴3PM +PN min =SN =-3-22+0-1 2=26.故答案为：26.11.【答案】36-242【分析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P x ,y ，根据已知条件可得出点P 的轨迹方程，利用代数法可得出PA 2+PB 2=2OP 2+2，数形结合可求出OP 的最小值，即可得解.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A -1,0 、B 1,0 ，设点P x ,y ，因为PA PB=2，即x +1 2+y 2x -12+y2=2，整理可得x 2+y 2-6x +1=0，即x -3 2+y 2=8，所以点P 的轨迹是以C 3,0 为圆心，22为半径的圆，则PA2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2 +2=2OP 2+2，当点P 为线段OC 与圆C 的交点时，OP 取得最小值，所以，PA 2+PB 2 min =2×3-22 2+2=36-24 2.12.【答案】x +2 2+y 2=4； 10-1##-1+10.【分析】设点P 坐标，根据题意写出关于x 与y 的关系式化简即可；由PA =12PB ，QH =QF -1，代入12PB +PQ +QH 中，即可取出最小值.【详解】设点P (x ,y )，∵λ=12，∴PA PB =12⇒(x +2)2+(y -1)2(x +2)2+(y -4)2=12⇒x +2 2+y 2=4.抛物线的焦点为点F ，由题意知F 1,0 ，QH =QF -1，∵PA =12PB ，∴12PB +PQ +QH min =PA +PQ +QF -1 min =AF -1=-2-1 2+12-1=10-1.故答案为：x +2 2+y 2=4；10-1.。
高二数学上册常考题(人教A版2019选修一)专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆(解析版)
专题08与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆题型一与圆有关的定点问题1．已知直角坐标系xOy 中，圆22:16O x y +=．①过点(4,2)P 作圆O 的切线m ，求m 的方程；②直线:l y kx b =+与圆O 交于点M ，N 两点，已知(8,0)T ，若x 轴平分MTN ∠，证明：不论k 取何值，直线l 与x 轴的交点为定点，并求出此定点坐标．【解答】解：①当切线的斜率不存在时，则切线方程为4x =，显然与圆O 相切，当切线的斜率存在时，设方程为：(4)2y k x =-+，即420kx y k --+=，4=，解得34k =-，所以可得这时切线的方程为：34200x y ++=，所以切线m 的方程为：4x =或34200x y ++=；②设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立2216y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222(1)2160k x kbx b +++-=，则△222244(1)(16)0k b k b =-+->，可得221616b k <+，且12221kb x x k -+=+，2122161b x x k -=+，因为x 轴平分MTN ∠，所以可得0MT NT k k +=，即1212088y y x x +=--，即1221()(8)()(8)0kx b x kx b x +-++-=，所以12122(8)()160kx x b k x x b +-+-=，222(16)(8)(2)16(1)0k b b k kb b k -+---+=，解得2b k =-，所以直线的方程为：(2)y k x =-，所以直线恒过(2,0)【点睛】本题考查直线与圆相切的性质及角平分线的性质，属于中档题．2．已知圆22:120C x y Dx Ey +++-=过点(P -，圆心C 在直线:220l x y --=上．（1）求圆C 的一般方程．（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=- ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．【解答】解：（1）由题意可得圆心C 的坐标为(,)22D E --，则2(2022D E --⨯--=，①因为圆C 经过点(P -，所以17120D +-+-=，②，联立①②，解得4D =-，0E =．故圆C 的一般方程是224120x y x +--=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立224120x y x y kx m⎧+--=⎨=+⎩，整理得222(1)2(2)120k x km x m ++-+-=，则1222(2)1km x x k -+=-+，2122121m x x k -=+．因为12OA OB ⋅=- ，所以121212x x y y +=-，由1212()()y y kx m kx m =++得，222(2)212121km km m k ---=-+，整理得(2)0m m k +=．因为0m ≠，所以2m k =-，所以直线l 的方程为2(2)y kx k k x =-=-．故直线l 过定点(2,0)．当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x m =，则(,)A m y ，(,)B m y -，从而2241212OA OB m m ⋅=--=- ，解得2m =，0m =（舍去）．故直线l 过点(2,0)．综上，直线l 过定点(2,0)．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．3．已知直线60l x y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,0)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心(,0)a ，直线60l y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方所以3d ==，解得0a =，或3a =-（舍)，圆的方程为229x y +=；（2）当直线AB ⊥轴时，x 轴平分NAB ∠，此时N 为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，(0)k ≠，(,0)N t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立229(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(1)4490k x k x k +-+-=，则212241k x x k +=+，2122491k x x k-=+，由题意得，0AN BN k k +=，即1212(2)(2)0k x k x x t x t--+=--，整理得12122(2)()40x x t x x t -+++=，即22222(49)4(2)4011k k t t k k -+-+=++，解得92t =，即9(,0)2N ．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，点到直线的距离公式，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算能力，属于中档题．4．已知P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆22:(1)5C x y ++=作两切线，切点分别为A 、B ．（1）求四边形ACBP 面积的最小值及此时点P 的坐标；（2）直线AB 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）CA PA ⊥ ，PAC PBC ∆≅∆，2ACPB ACP S S AC AP ∆∴==⋅，∴AC r ==∴ACPB S AP ==，要使四边形ACBP 面积最小，则PC 最小，当PC l ⊥时，PC 的长最小，过点(1,0)C -且与l 垂直的直线为01y x -=+，即1y x =+，将其与4y x =-联立，解得此时点P 的坐标为35(,22，∴||2min PC =+，∴()ACBP min S ==（2）设0(P x ，04)x -，则以PC 为直径的圆为00(1)()(4)0x x x y y x +-+⋅-+=，化简可得22000(1)(4)0x y x x x y x ++++--=， 2PAC PAB π∠=∠=，∴这个圆也是四边形ACBP 的外接圆，它与圆C 方程相减，得公共弦AB 方程为0000(1)(4)40(1)440x x x y x x x y x y ++-+-=⇒-+++-=，令1004401x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，AB ∴恒过定点(0,1)．【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆的切线方程的应用以及两圆公共弦方程的求解，直线恒过定点问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．5．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈．（1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点．【解答】解：（1）圆221:4C x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径为12，直线:1l y kx =-与圆C 相交，∴12<，解得k <k >即k 的取值范围是(-∞，-⋃，)+∞；证明：（2）当1k =时，直线l 为1y x =-，设0(P x ，0)y ，则以PC 为直径的圆的方程为222200001((()224x y x y x y -+-=+，即22000x y x x y y +--=，与2214x y +=联立，消去二次项，可得MN 所在直线方程为：00104x x y y +-=，又001y x =-，∴001(1)04x x x y +--=，即01()04x x y y +--=，可得直线过定点11(,)44-．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了过圆的两个切点的直线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．6．已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA的长度为时，求点P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以||2MP =，解得0b =或45b =，所以点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P -．（2）设(2,)P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为222224(2)()()24b b b x b y ++-++-=，即22(22)(2)0x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N 过定点(0,2)，42(,)55-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7．已知圆M经过两点A ，(2,2)B 且圆心M 在直线2y x =-上．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设E ，F 是圆M 上异于原点O 的两点，直线OE ，OF 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k ⋅=，求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设圆M 的方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意得，222222(3))(2)(2)2a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=-⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴圆M 的方程：22(2)4x y -+=；证明：（Ⅱ）由题意，EF 所在直线的斜率存在，设直线:EF y kx b =+，由22(2)4x y y kx b⎧-+=⎨=+⎩，得222(1)(24)0k x kb x b ++-+=．△22222(24)4(1)4(44)044kb k b kb b kb b =--+=-->⇒+<，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则122(24)1kb x x k --+=+，21221b x x k =+，∴221212121212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b k k x x x x x x +++++=⋅==22222222222242(24)(1)41121b kb k kb b k b kb kb b k k b k k b b bk -⋅+⋅+-⋅-+⋅++++====+，4k b ∴=，代入y kx b =+得(4)y k x =+，∴直线EF 必过定点(4,0)-．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．8．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线:74l y x =+上，(7,3)B ，以线段AB 为直径的圆(C C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点A 不在第一象限内，圆C 与x 轴的正半轴的交点为P ，过点P 作两条直线分别交圆于M ，N 两点，且两直线的斜率之积为5-，试判断直线MN 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）BD AD ⊥ ，∴17BD k =-，设(,74)D a a +，得743177a a +-=--，得0a =．(0,4)D ∴，在ABD ∆中，AB CD ⊥，C 为AB 的中点，||||AD BD ∴=，设(,74)A b b +，则-，解得1b =或1b =-．①当1b =时，(1,11)A，2||10R AD ==，圆心为(4,7)，此时圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=；②当1b =时，(1,3)A --，2|10R AD =，圆心为(3,0)，此时圆的标准方程为22(3)25x y -+=．∴圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=或22(3)25x y -+=；（2）由题意知，圆的标准方程为22(3)25x y -+=．设直线MP 的方程为(8)y k x =-，联立22(8)(3)25y k x x y =-⎧⎨-+=⎩，得2222(1)(116)64160k x k x k +-++-=．∴2264161M P k x x k -=+ ，得22821M k x k -=+，则2282(1k M k -+，210)1k k -+， 两直线的斜率之积为5-，∴用5k -代替k ，可得222002(25k N k -+，25025k k +．当直线MN 的斜率存在，即25k ≠时，3222242225010603006251200282102505251MN k k k k k k k k k k k k k k ++++===---+-+-++．∴直线MN 的方程为222210682(151k k k y x k k k ---=-+-+，整理得：2619()53k y x k =--，可得直线MN 过定点19(,0)3；当直线MN 的斜率不存在时，即25k =时，直线MN 的方程为193x =，过定点19(,0)3．综上可得，直线MN 恒过定点19(,0)3．【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题．9．已知三点(2,0)A -、(2,0)B、C 在圆M 上．P 为直线6x =上的动点，PA 与圆M 的另一个交点为E ，PB 与圆M 的另一个交点为F ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线PC 与圆M相交所得弦长为，求点P 的坐标；（3）证明：直线EF 过定点．【解答】解：（1）由于(3,(AC BC ==- ，得330AC BC =-+= ，∴点C 在以线段AB 为直径的圆上，即圆M 的标准方程为224x y +=；（2）圆M 的半径为2，直线PC 截圆M所得弦长为，则圆心(0,0)到直线PC 的距离为1．设直线PC的方程为(1)y k x =-0kx y k -=．∴1=，解得k =，则直线PC的方程为(1)3y x =-+当6x =时，得点P 的坐标为83(6,3；（3）①当直线EF 斜率不存在时，设其方程为x m =．取((,E m F m ，由直线AE 与BF 交点的横坐标为6，可得23m =，即此时直线EF 的方程为23x =；②当直线EF 斜率存在时，设EF 的方程为y kx m =+．由224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(1)240k x kmx m +++-=．由△222244(1)(4)0k m k m =-+->，得2244k m >-．设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则212122224,11km m x x x x k k -+=-=++．且222212121224()1m k y y k x x km x x m k -=+++=+．直线AE 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--，代入点P 的横坐标6x =，得1212222y y x x =+-．由于22224x y +=，故222222yx x y +=--．从而1212222y x x y +=-+，即1212122()240x x x x y y ++++=．即222222444240111m km m k k k k ---++=+++ ，整理得224430k km m +-=，解得223km korm ==-．当2m k =时，直线EF 为(2)y k x =+，过点(2,0)A -，不符合题意；当23k m =-时，直线EF 为2()3y k x =-，过定点2(,0)3．综上，直线EF 过定点2(,0)3．另解：设(6,)P m ，,84AE BF m m k k ==，由224(2)8x y m y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，得222128232(,)6464m m E m m -++，由224(2)4x y m y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得22223216(,)1616m m F m m --++，∴222222223216126416(32)1282232326416EF m m m m m k m m m m m m +++==≠----++，故直线EF 的方程为222232121282()643264m m m y x m m m --=-+-+，整理得24(32)32m y x m =--，过定点2(,0)3．当232m =时，代入点E 、F 的横坐标，得23E F x x ==，直线EF 的方程为23x =，过定点2(,0)3．综上，直线EF 过定点2(,0)3．【点睛】本题考查圆的方程和性质，主要考查圆的方程和直线方程的运用，直线恒过定点的求法，属于中档题．10．已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上．（1）求C 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B ．①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；②证明直线AB 恒过定点．【解答】解：（1）由题意已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上，所以有圆心(2D C -，)2E -在直线240x y +-=上，即：402D E ---=，又因为圆心C 在y 轴上，所以：02D-=，由以上两式得：0D =，4E =-，所以：224120x y y +--=．故C 的标准方程为：22(2)16x y +-=．（2）①如图，C 的圆心为(0,2)，半径4r =，因为MA 、MB 是C 的两条切线，所以CA MA ⊥，CB MB ⊥，故||||MA MB ===；又因为：24||ACM S S MA ∆===；根据平面几何知识，要使S 最小，只要||MC 最小即可．易知，当点M 坐标为(0,10)时，||8min MC =，此时64min S ==②设点M 的坐标为(,10)a ，因为90MAC MBC ∠=∠=︒，所以M 、A 、C 、B 四点共圆．其圆心为线段MC 的中点(2aC '，6)，||MC =设MACB 所在的圆为C ' ，所以C ' 的方程为：222()(6)1624aa x y -+-=+，化简得：2212200x y ax y +--+=，因为AB 是C 和C ' 的公共弦，所以：2222412012200x y y x y ax y ⎧+--=⎨+--+=⎩ ，两式相减得8320ax y +-=，故AB 方程为：8320ax y +-=，当0x =时，4y =，所以直线AB 恒过定点(0,4)．【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题．11．已知圆22:()4(0)M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意一点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B ．（1）若||AB =，求||MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为2-时，证明：直线AB 过定点．【解答】（1）解：连接MQ 交AB 于点P ，则MQ AB ⊥，所以点P 为AB 的中点，又||3AB =，则||AP =，又||2MA =，所以||1PM ==，因为QA 相切圆M 于点A ，故QA AM ⊥，所以2||||||AM PM MQ =⋅，即41||MQ =⋅，所以||4MQ =．（2）证明：当点Q 到圆M 的距离最小值为2-时，圆心(0,)M a 到直线40x y ++=的距离为由点到直线的距离公式可得=解得0a =或8a =-，由于0a <，故8a =-，由于MA AQ ⊥，MB BQ ⊥，故A ，B 在以MQ 为直径的圆上，又(0,8)M -，设(,4)Q m m --，则以MQ 为直径的圆的圆心为(2m ，12)2m +-，故圆的方程为222212(4)(()224m m m m x y ++--++=，即22(12)3280x y mx m y m +-++++=，因为A ，B 在以MQ 为直径的圆上，故AB 是圆M 与圆22(12)3280x y mx m y m +-++++=的公共弦，两式相减可得AB 的方程为(4)(288)0mx m y m +-+-=，即(7)(8)0y m x y +--=，由7080y x y +=⎧⎨--=⎩，可得17x y =⎧⎨=-⎩，所以直线AB 恒过定点(1,7)-．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，两圆公共弦的求法，考查运算求解能力，属于中档题．12．已知圆221:16C x y +=，圆222:12320C x y x +-+=．（1）求过点(4,4)M 且与圆2C 相切的直线的方程；（2）若与x 轴不垂直的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于R ，S 两点，且||2||PQ RS =，求证：直线l 过定点．【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线方程为4x =，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为4(4)y k x -=-，即(44)0kx y k -+-=，直线与圆2C 相切，∴2=，解得34k =-，切线方程为374y x =-+．故所求切线方程为4x =或374y x =-+；证明：（2）设直线l 的方程为y kx m =+，则圆心1C ，2C 到直线l的距离分别为1h =2h =，由垂径定理可得||PQ =，||RS =，由||2||PQ RS =，得22222216||14(6)||41m PQ k k m RS k -+==+-+，整理得224(6)m k m =+，故2(6)m k m =±+，即120k m +=或40k m +=，∴直线l 的方程为12y kx k =-或4y kx k =-．则直线l 过定点(12,0)或(4,0)．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，考查直线系方程的应用，是中档题．13．已知圆C 经过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,2)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得0AN BN K K +=恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 直线AB 的斜率为1-，AB ∴的垂直平分线m 的斜率为1，AB 的中点坐标为75(,)22，因此直线m 的方程为10x y --=，又圆心在直线l 上，∴圆心是直线m 与直线l 的交点．联立方程租278010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得圆心坐标为(3,2)C ，又半径r =，∴圆的方程为22(3)(2)13x y -+-=；（2）假设存在点(,2)N t 符合题意，设交点坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为2(1)y k x -=-，联立方程组22(1)2(3)(2)13y k x x y =-+⎧⎨-+-=⎩，消去y ，得到方程2222(1)(26)40k x k x k +-++-=．则由根与系数的关系得2122261k x x k ++=+，212241k x x k -=+．0AN BN K K += ，∴1212220y y x t x t --+=--，即1212(1)(1)0k x k x x t x t--+=--．12122(1)()20x x t x x t ∴-+++=，∴22222826(1)2011k k t t k k -+-++=++．解得72t =-，即N 点坐标为7(2-，2)；②当直线AB 斜率不存在时，点N 显然满足题意．综上，在直线2y =上存在定点7(2N -，2)，使得0AN BN K K +=恒成立．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．14．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设点3(1,)2M -，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；（3）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【解答】（1）解：设圆心(,0)C a ，(0)a >，则由直线和圆相切的条件：d r =，5=，解得2a =（负值舍去），即有圆C 的方程为22(2)25x y -+=；（2）解：若直线l 的斜率不存在，即:1l x =-，代入圆的方程可得，4y =±，即有||8AB =，成立；若直线l 的斜率存在，可设直线3:(1)2l y k x -=+，即为22320kx y k -++=，圆C 到直线l 的距离为|d ==，由8AB =，即有8=，即有3d =，即3=，解得34k =，则直线l 的方程为3490x y -+=；（3）证明：由于P 是直线60x y ++=上的点，设(,6)P m m --，由切线的性质可得AC PA ⊥，经过A ，P ，C ，的三点的圆，即为以PC 为直径的圆，则方程为(2)()(6)0x x m y y m --+++=，整理可得22(26)(2)0x y x y m y x +-++-+=，可令22260x y x y +-+=，且20y x -+=，解得2x =，0y =，或2x =-，4y =-．则有经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为(2,0)，(2,4)--．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查相交和相切的关系，同时考查点到直线的距离公式和弦长公式、切线的性质和圆恒过定点的问题，属于中档题．题型二阿波罗尼斯圆15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则22||||2PA PB +的最大值为()A ．3+B ．7+C ．8+D ．16+【解答】解：以经过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)P x y =，化简得，22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴点P 在以(2,0)为半径的圆上，则有2222||||2()2PA PB x y +=++，而22x y +表示圆上的点与原点距离的平方，易知227x y ++，故222()216x y +++，故22||||82PA PB ++．故选：C ．【点睛】本题考查圆轨迹方程的求法，考查两点间的距离，考查逻辑推理能力，属于中档题．16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P 与两定点M ，N 的距离之比为(0,1)x λλ>≠，则点P 的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点(2,0)M ，点P 为圆22:16O x y +=上的点，若存在x 轴上的定点(N t ，0)(4)t >和常数λ，对满足已知条件的点P 均有||||PM PN λ=，则(λ=)A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：根据题意，如图，A 、B 两点为圆与x 轴的两个交点，圆2216x y +=上任意一点P 都满足||||PM PN λ=，则A 、B 两点也满足该关系式，又由(4,0)A -，(4,0)B ，(2,0)M ，(,0)N t ，则有||||62||||44AM BM AN BN t t λ====+-，解可得8t =，12λ=；故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是理解题意中关于圆的轨迹的叙述，属于基础题．17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2，b =．【解答】解：设(,)M x y ，则||||MB MA λ= ，2222221()()2x b y x y λλ∴-+=++，由题意，取(1,0)、(1,0)-分别代入可得2221(1)(1)2b λ-=+，2221(1)(1)2b λ--=-+，由0λ>即12b ≠-，解得2b =-，2λ=．故答案为2，2-．【点睛】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2，MAB ∆面积的最大值为．【解答】解：设点(,)M x y ，由||||MB MA λ=，得222221()[(]2x b y x y λ-+=++，整理得2222222124011b b x y x λλλλ-++-+=--，所以222222011411b b λλλλ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得2λ=，2b =-如右图，当(0,1)M 或(0,1)M -时，3()4MAB max S ∆=．故答案为：2；34．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．19．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线:0l x y -=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点(7,6)B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ．①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T （异于原点)O ，使得对于Γ上任意一点P ，都有||||PO PT 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设圆心(,3)t t ，则由圆与x 轴正半轴相切，可得半径3||r t =．圆心到直线的距离d ==，由2272t r +=，解得1t =±．故圆心为(1,3)或(1,3)--，半径等于3．圆与x 轴正半轴相切∴圆心只能为(1,3)故圆C 的方程为22(1)(3)9x y -+-=．（2）①设(,)M x y ，则：(A AM x x =- ，)A y y -，(7,6)MB x y =--，∴142122A Ax x xy y y -=-⎧⎨-=-⎩，∴143123AAx xy y =-+⎧⎨=-+⎩， 点A 在圆C 上运动，22(3141)(3123)9x y ∴--+--=，即：22(315)(315)9x y ∴-+-=，22(5)(5)1x y ∴-+-=，所以点M 的轨迹方程为22(5)(5)1x y -+-=，它是一个以(5,5)为圆心，以1为半径的圆．②假设存在一点(,)D t t 满足条件，设(,)P x yλ=，整理化简得：2222222(22)x y x tx t y ty t λ+=-++-+，P 在轨迹Γ上，22(5)(5)1x y ∴-+-=，化简得：22101049x y x y +=+-，2222222(10102)(10102)494920x t y t t λλλλλλ∴-++-+-+-=，∴2222210102049249t t λλλλ⎧-+=⎪⎨-⋅=⎪⎩，解得：4910t =，∴存在49(10D ，49)10满足题目条件．【点睛】本题考查圆的方程，轨迹方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：221x y +=和点1(,0)2A -，点(1,1)B ，M 为圆O上动点，则2||||MA MB +【解答】解：如图，取点(2,0)K -，连接OM 、MK ．1OM = ，12OA =，2OK =，∴2OM OKOA OM==，MOK AOM ∠=∠ ，MOK AOM ∴∆∆∽，∴2MK OMMA OA==，2MK MA ∴=，||2||||||MB MA MB MK ∴+=+，在MBK ∆中，||||||MB MK BK +，||2||||||MB MA MB MK ∴+=+的最小值为||BK 的长，(1,1)B ，(2,0)K -，||BK ∴=．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中档题．21．已知圆22:1C x y +=，直线:(1)(1)10()l m x m y m R ++--=∈．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆C 所截得的弦长为m 的值；（3）若点B 的坐标为(2,0)-，在x 轴上存在点D （不同于点)B 满足，对于圆C 上任意一点P ，都有PBPD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标．【解答】解：（1）由直线:(1)(1)10l m x m y ++--=，得()(1)0m x y x y -++-=，联立010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y ==，∴直线l 所过定点A 的坐标为11(,22；（2） 直线l 被圆C ∴圆心到直线l 的距离12d ==．12=，解得1m=±；（3）假设存在(D a，0)(2)a≠-满足题意，当取(1,0)P-时，||1|||1|PBPD a=+；当取(1,0)P时，||3|||1|PBPD a=-．∴13|1||1|a a=+-，解得1(2)2a a=-≠-．可得||2||PBPD=，1(2D-，0)．设(,)P x y，则||PB=，||PD=，由||2||PBPD=，得2=，化为221x y+=．因此点P在圆C上，满足题意．因此在x轴上存在点1(2D-，0)，使得对圆C上的任意一点P，||||PBPD为同一常数．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了取特殊点探究一般性规律的方法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．22．已知圆22:80C x x y++=，直线:20l mx y m++=．（Ⅰ）当直线l与圆C相交于A，B两点，且||AB=，求直线l的方程．（Ⅱ）已知点P是圆C上任意一点，在x轴上是否存在两个定点M，N，使得||1||2PMPN=？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得圆心(4,0)C-，4r=，圆心C到直线l的距离2md=，因此224||21mABm====+，解得1m=±，直线l的方程为2y x=+或2y x=--，（Ⅱ）设(,)P x y，1(M x，0)，2(N x，0)，由已知可得228x y x+=-12=，化简得211222821824x x x xx x x x-+-=-+-．21/21即2212212(412)(4)0x x x x x -++-=恒成立，所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩，所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为(6,0)M -，(12,0)N -或(2,0)M -，(4,0)N ．（此处只写出一组解扣2分）如从阿氏圆的结论出发，可做为本题的另一种解法，按步骤酌情给分．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23．已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比||||PA PM 为定值，并求1||||2PB PA +的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(,)C a b ，由题意可得，2111212245022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯-⨯-=⎪⎩，解得0a b ==．∴圆C 的方程为224x y +=；（Ⅱ）设点(M m ，0)(4)m ≠，0(P x ，0)y ，则22004x y +=．∴||||PA PM ==，||||PA PM 为定值，0820x ∴-+是2024mx m -++的倍数关系，且对任意的0[2x ∈-，2]成立，∴282024m m -=-+，解得1m =或4m =（舍去），(1,0)M ∴，此时||2||PA PM =为定值，1||||||||||2PB PA PB PM MB +=+，当且仅当B 、M 、P 三点共线时，1||||2PB PA +的最小值为||5MB =．【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查两点间距离公式的应用，考查数学转化思想，是中档题．。
高中数学拓展训练【隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题】
高中数学拓展训练【隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题】近年来阿波罗尼斯圆及隐圆问题受到命题者的广泛青睐，难度为中档、高档题目.该类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.对优化思维过程，提升数学解题能力，培养学生数学核心素养大有裨益.【典例1】 (1)已知点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ，若点C (5，－1)，那么|BC |的最大值为( ) A.16 B.14 C.12D.10(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－52，1] C.[－2，2] D.[－2，0]答案 (1)C (2)B解析 (1)动直线方程化为m (x －1)＋n (y －3)＝0，知恒过定点Q (1，3). 又∵点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ， ∴∠ABQ ＝90°，则点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆， ∴圆心为AQ 的中点M (－2，－1)， 圆的半径r ＝12|AQ |＝5. 又|MC |＝（5＋2）2＋（－1＋1）2＝7>r ＝5，∴点C (5，－1)在圆M 外，故|BC |的最大值为r ＋|MC |＝7＋5＝12. (2)设点P (x ，y )，且PA →·PB→≤20.∴(x ＋12)x ＋y (y －6)≤20，则(x ＋6)2＋(y －3)2≤65， 则点P 为圆O 在圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65内部及其上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，x 2＋y 2＋12x －6y ＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5.结合图形(图略)可知－52≤x ≤1.点津突破 1.题目条件隐含“圆M ”及“圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65”，从而借助几何直观求解最值与范围. 2.发现确定隐圆的主要方法：(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.(2)在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足|PA |＝λ|PB |，当λ>0且λ≠1时，点P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆. (3)两定点A ，B ，动点P 满足PA →·PB→＝λ，确定隐圆. 【典例2】 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B (不同于点A )，使对于圆C 上任一点P ，都有|PB ||PA |为一常数？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，因为直线与圆相切， 所以|－b |22＋12＝3，得b ＝±3 5. 所以所求直线方程为y ＝－2x ＋35或y ＝－2x －3 5.(2)设P (x 0，y 0)，则y 20＝9－x 20.假设存在这样的点B (t ，0)(t ≠－5)，使得|PB ||PA |为常数λ(λ≠1)， 则|PB |2＝λ2|PA |2，所以(x 0－t )2＋y 20＝λ2[(x 0＋5)2＋y 20]，将y 20＝9－x 20，代入上式消去y 20，得(10λ2＋2t )x 0＋34λ2－t 2－9＝0对x 0∈[－3，3]恒成立， 所以⎩⎨⎧10λ2＋2t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎨⎧λ＝1，t ＝－5(舍去).所以存在定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，使得对于圆C 上任一点P ，都有|PB ||PA |为常数35.点津突破 1.本题考查直线与圆的位置关系及存在开放问题，考查数学运算与逻辑推理等数学核心素养.2.第(2)问其设置原型即来源于“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点 A (－a ，0)，B (a ，0)(a >0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1a ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2aλλ2－1为半径的圆(阿波罗尼斯圆).借助定义，可将方程化简，准确进行答案的取舍(舍去λ＝1).【典例3】 (1)若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |＝3，则12(|PA |2＋|PB |2)的最大值为( ) A.3＋ 3 B.7＋4 3 C.8＋4 3D.16＋8 3(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足|MA |2＋|MO |2＝10，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)C (2)[0，3]解析 (1)以线段AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.则A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y ). 因为|PA ||PB |＝3，则（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y2＝ 3.化简得(x －2)2＋y 2＝3为动点P 满足的轨迹方程.易知|PA |2＋|PB |22＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 22＝x 2＋y 2＋1，其中x 2＋y 2可以看作圆(x －2)2＋y 2＝3上的点(x ，y )到点(0，0)的距离的平方， 所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43， 所以x 2＋y 2＋1的最大值为8＋43， 即|PA |2＋|PB |22的最大值为8＋4 3.(2)设M (x ，y )，由|MA |2＋|MO |2＝10， 可得x 2＋(y －1)2＝4，∴M 点在圆x 2＋(y －1)2＝4上，故圆x 2＋(y －1)2＝4和圆(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1相交或相切， ∴1≤a 2＋（a －3）2≤3，∴0≤a ≤3.点津突破 1.两题均是利用直接法求动点的轨迹方程，求解轨迹，关键在于找准题目中凸显的或隐含的等量关系，并把这种关系“翻译”成与动点坐标(x ，y )有关的等式，即可得到所求的轨迹方程.2.重视数形结合与转化思想的应用：一是借形解题，即能画出满足题意的动点的大致轨迹；二是会转化，如本例第(1)题，把圆上的动点到定点的距离的最大值问题，转化为圆心到定点的距离加上半径. [跟踪演练]1.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( ) A.π B.2π C.3π D.4π答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B(3，0).设M(x，y)，依题意有，x2＋y2（x－3）2＋y2＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，则M点的轨迹围成区域的面积为4π.2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P 作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为() A.[0，2] B.[－52，1]C.[－2，2]D.[－2，2]答案 D解析由题意可知四边形PAOB为正方形，|OP|＝2，∴点P在以O为圆心，以2为半径的圆上，其方程为x2＋y2＝2，若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2＋y2＝2有公共点，则有2－2≤a2＋4≤2＋2，解得－2≤a≤2.3.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是()A.7B.6C.5D.4答案 B解析如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5.所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4.由∠APB＝90°知，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|OP|＝12|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m 的最大值是6.4.已知等边三角形ABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足PA →·PB →－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤38，12解析 如图，以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y ).则PA →·PB →－2λ＋1＝0，即为(－1－x )(1－x )＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足PA →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上. 过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点，所以|OM |<2λ≤|OA |，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12.。
压轴题型07 阿波罗尼斯圆问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题07阿波罗尼斯圆问题在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB P A λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设PB P A m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ．又设），（y x C ，则由PB P A λ=得:2222)()(y m x ym x +-=++λ，两边平方并化简整理得:）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=+-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，以122-λλm 长为半径的圆．○热○点○题○型隐形的阿波罗尼斯圆典型例题例1、如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NAMA NB MB =；②2NBMANA MB -=；③NBMANA MB +=其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）方法一可以改进为：这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆O 的弦MN 绕定点A 旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。
培优点 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
培优点隐圆(阿波罗尼斯圆)问题隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．考点一 利用圆的定义、方程确定隐形圆例1 (1)(2022·滁州模拟)已知A ，B 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若∠ACB ＝90°，则点P 的轨迹方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝14B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝14D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 答案 B解析 圆C 即(x －1)2＋(y －2)2＝2，半径r ＝2，因为CA ⊥CB ， 所以|AB |＝2r ＝2， 又P 是AB 的中点， 所以|CP |＝12|AB |＝1，所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·茂名模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，若向量c 满足|a ＋b －2c |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[1，5－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，3＋12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12，5＋12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，52答案 C解析 |a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，以a 为y 轴，b 为x 轴，建立平面直角坐标系， 设OA →＝a ＝(0,1)，OB →＝b ＝(2,0)， OC →＝c ＝(x ，y )，所以a ＋b －2c ＝(2－2x ，1－2y )， 由|a ＋b －2c |＝1，可得(2－2x )2＋(1－2y )2＝1， 化简可得(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝⎝⎛⎭⎫122， 所以点C 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，以r ＝12为半径的圆，原点(0,0)到⎝⎛⎭⎫1，12的距离为d ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以|c |＝x 2＋y 2的取值范围是[d －r ，d ＋r ]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12，5＋12.规律方法 对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．跟踪演练1 (2022·平顶山模拟)已知M ，N 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0上两点，且|MN |＝4，点P 在直线l ：x －y ＋3＝0上，则|PM →＋PN →|的最小值为( ) A ．22－2 B ．2 2 C ．22＋2 D ．22－ 5答案 A解析 设线段MN 的中点为D ，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心为C (1,2)，半径为 5.则圆心C 到直线MN 的距离为(5)2－⎝⎛⎭⎫422＝1，所以|CD |＝1，故点D 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的圆，设点D 的轨迹为圆D ，圆D 上的点到直线l 的最短距离为t ＝|1－2＋3|2－1＝2－1.所以|PM →＋PN →|＝|2PD→|＝2|PD →|≥2t ＝22－2.考点二 由圆周角的性质确定隐形圆例2 (1)已知点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)，若圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则实数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．(0,4]∪[6，＋∞)D ．(0,4)∪(6，＋∞)答案 A解析 由题意知，点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)， 可得以PQ 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝t 2， 则圆心C 1(2,0)，半径R ＝t ， 又由圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1， 可得圆心C (－2,3)，半径r ＝1，两圆的圆心距为|CC 1|＝(2＋2)2＋(0－3)2＝5，要使得圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，即两圆存在公共点，则满足⎩⎪⎨⎪⎧R ＋r ≥5，R －r ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≥5，t －1≤5，解得4≤t ≤6， 所以实数t 的取值范围是[4,6]．(2)(2022·长沙雅礼中学质检)已知直线l ：x －y ＋4＝0上动点P ，过P 点作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为C ，D ，记M 是CD 的中点，则直线CD 过定点________，点M 的轨迹方程为______________________________． 答案 (－1,1) ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12 解析 如图，连接PO ，CO ，DO ，因为PD ⊥DO ，PC ⊥CO ，所以P ，D ，O ，C 在以PO 为直径的圆上， 设P (x 0，x 0＋4)，则以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －x 0＋422＝x 20＋(x 0＋4)24， 化简得x 2－x 0x －(x 0＋4)y ＋y 2＝0， 与x 2＋y 2＝4联立，可得CD 所在直线的方程为x 0x ＋(x 0＋4)y ＝4⇒x 0(x ＋y )＝4(1－y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 1－y ＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝－1，直线CD 过定点Q (－1,1)，又OM ⊥CD ，所以OM ⊥MQ ，所以点M 在以OQ 为直径的圆上， 所以点M 的轨迹为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 规律方法 利用圆的性质，圆周角为直角，即可得到：若P A ⊥PB 或∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆．注意轨迹中要删除不满足条件的点．跟踪演练2 (2022·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，|AB |＝22，若CA ⊥CB ，则当k ，m 变化时，点C 到点(1,1)的距离的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．2 2 D. 2 答案 B解析 由y ＝kx ＋m (k ≠0)得A ⎝⎛⎭⎫－mk ，0，B (0，m )， 因为CA ⊥CB ，所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为⎝⎛⎭⎫x ＋m 2k 2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝m 24k 2＋m24，设该动圆的圆心为(x ′，y ′)，则x ′＝－m 2k ，y ′＝m2，整理得k ＝－y ′x ′，m ＝2y ′，代入到⎝⎛⎭⎫－mk 2＋m 2＝8中，得x ′2＋y ′2＝2， 即点C 轨迹的圆心在圆x ′2＋y ′2＝2上，故点(1,1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C 到点(1,1)的距离的最大值，最大值为[1－(－1)]2＋[1－(－1)]2＋2＝3 2.考点三 阿波罗尼斯圆例3 (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A ，B 为平面上相异的两点，则所有满足：|P A ||PB |＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P 的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (4,0)，若λ＝12，则下列关于动点P 的结论正确的是( )A ．点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0B ．△APB 面积的最大值为6C ．在x 轴上必存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |＝12D ．若点Q (－3,1)，则2|P A |＋|PQ |的最小值为5 2 答案 ACD解析 对于选项A ，设P (x ，y )， 因为P 满足|P A ||PB |＝12，所以(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y 2＝12， 化简得x 2＋y 2＋8x ＝0，故A 正确； 对于选项B ，由选项A 可知， 点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，即(x ＋4)2＋y 2＝16，所以点P 的轨迹是以(－4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |＝6，且点A ，B 在直径所在直线上，故当点P 到圆的直径所在直线的距离最大时，△P AB 的面积取得最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△P AB 的高的最大值为4， 所以△P AB 面积的最大值为12×6×4＝12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |＝12，设M (m ，0)，N (n ，0)，故(x －m )2＋y 2(x －n )2＋y 2＝12，即(x －n )2＋y 2＝2(x －m )2＋y 2， 化简可得x 2＋y 2－8m －2n 3x ＋4m 2－n 23＝0, 又点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0， 可得⎩⎨⎧－8m －2n3＝8，4m 2－n23＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－6，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M (－6,0)，N (－12,0)， 使得|PM ||PN |＝12，故C 正确；对于选项D ，因为|P A ||PB |＝12，所以2|P A |＝|PB |，所以2|P A |＋|PQ |＝|PB |＋|PQ |，又点P 在圆x 2＋8x ＋y 2＝0上，如图所示，所以当P ，Q ，B 三点共线时2|P A |＋|PQ |取得最小值，此时(2|P A |＋|PQ |)min ＝|BQ | ＝[4－(－3)]2＋(0－1)2＝52，故D 正确．规律方法 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A (－a ，0)，B (a ，0)(a >0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1a ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪2aλλ2－1为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．跟踪演练3 若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则|P A |2＋|PB |2的最大值为( ) A ．16＋8 3 B ．8＋4 3 C ．7＋4 3 D ．3＋ 3答案 A解析 由题意，设A (－1,0)，B (1,0)，P (x ，y )， 因为|P A ||PB |＝3，所以(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为3的圆，因为|P A |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2(x 2＋y 2＋1)，其中x 2＋y 2可看作圆(x －2)2＋y 2＝3上的点(x ，y )到原点(0,0)的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， 所以[2(x 2＋y 2＋1)]max ＝16＋83， 即|P A |2＋|PB |2的最大值为16＋8 3.专题强化练1．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0，2]B ．[－52，1]C ．[－2，2]D ．[－2,2]答案 D解析 由题意可知四边形P AOB 为正方形， |OP |＝2，∴点P 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，其方程为x 2＋y 2＝2， 若圆M 上存在这样的点P ，则圆M 与x 2＋y 2＝2有公共点， 则有2－2≤a 2＋4≤2＋2， 解得－2≤a ≤2.2．已知点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ，若点C (5，－1)，那么|BC |的最大值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 C解析 由动直线方程化为m (x －1)＋n (y －3)＝0，可知其恒过定点Q (1,3)． 又∵点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ， ∴∠ABQ ＝90°，则点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆， ∴圆心为AQ 的中点M (－2，－1)， 圆的半径r ＝12|AQ |＝5.又|MC |＝(5＋2)2＋(－1＋1)2＝7>r ＝5， ∴点C (5，－1)在圆M 外，故|BC |的最大值为r ＋|MC |＝7＋5＝12.3．(2022·武汉模拟)已知O 为坐标原点，点A (cos α，sin α)，B ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，以OA ，OB 为邻边作平行四边形AOBP ，Q (－2,0)，则∠PQO 的最大值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C解析 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，A ，B 是圆O 上两动点，且∠AOB ＝π3，所以△AOB 为等边三角形， 又|AB |＝|OA |＝1， 取AB 的中点M ，则|OM |＝32， 所以|OP |＝3，所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3， 当PQ 与x 2＋y 2＝3相切时，∠PQO 最大，此时sin ∠PQO ＝32， 则∠PQO ＝π3.4．已知△ABC 是等边三角形，E ，F 分别是AB 和AC 的中点，P 是△ABC 边上一动点，则满足PE →·PF →＝BE →·CF →的点P 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 以BC 的中点O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设△ABC 的边长为4，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，E (－1，3)， F (1，3)，BE →＝(1，3)，CF →＝(－1，3)， 设P (x ，y )，则PE →＝(－1－x ，3－y )， PF →＝(1－x ，3－y )， 由PE →·PF →＝BE →·CF →得，(－1－x ，3－y )·(1－x ，3－y ) ＝(1，3)·(－1，3)， 所以x 2＋(y －3)2＝3，即点P 的轨迹是以(0，3)为圆心，3为半径的圆，也就是以AO 为直径的圆，易知该圆与△ABC 的三边有4个公共点．5．(多选)已知AB 为圆O ：x 2＋y 2＝49的弦，且点M (4,3)为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若AC 2＋BC 2＝66，则( ) A ．点C 构成的图象是一条直线 B ．点C 构成的图象是一个圆 C ．OC 的最小值为2 D ．OC 的最小值为3 答案 BC解析 ∵点M (4,3)为AB 的中点，∴OM ⊥AB ， |OM |＝42＋32＝5，∴|AM |＝|BM |＝49－52＝26， ∵AC 2＋BC 2＝66， ∴AC →2＋BC →2＝66，则(AM →＋MC →)2＋(BM →＋MC →)2＝66，即AM →2＋2AM →·MC →＋MC →2＋BM →2＋2BM →·MC →＋MC →2＝66， ∵AM →＝－BM →，则可得2AM →2＋2MC →2＝66， 可解得|MC |＝3，∴点C 构成的图象是以M 为圆心，3为半径的圆，故A 错误，B 正确； ∴可得OC 的最小值为|OM |－3＝5－3＝2，故C 正确，D 错误．6．(多选)(2022·福州模拟)已知A (－3,0)，B (3,0)，动点C 满足|CA |＝2|CB |，记C 的轨迹为Γ.过A 的直线与Γ交于P ，Q 两点，直线BP 与Γ的另一个交点为M ，则( ) A ．Q ，M 关于x 轴对称B ．△P AB 的面积的最大值为6 3C ．当∠PMQ ＝45°时，|PQ |＝4 2D ．直线AC 的斜率的范围为[－3，3] 答案 AC解析 设C (x ，y )，由|CA |＝2|CB |得， (x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，整理得Γ的方程为(x －5)2＋y 2＝16，其轨迹是以D (5,0)为圆心，半径r ＝4的圆．由图可知，由于AB ＝6，所以当DP 垂直于x 轴时，△P AB 的面积有最大值，所以(S △P AB )max ＝12|AB |·r ＝12×6×4＝12，选项B 错误；因为|P A |＝2|PB |，|MA |＝2|MB |， 所以|P A ||MA |＝|PB ||MB |，所以∠P AB ＝∠MAB ，又C 的轨迹Γ关于x 轴对称，所以Q ，M 关于x 轴对称，选项A 正确； 当∠PMQ ＝45°时，∠PDQ ＝45°×2＝90°， 则△DPQ 为等腰直角三角形，|PQ |＝2r ＝42， 选项C 正确；当直线AC 与圆D 相切时，CD ⊥AC ，此时|AD |＝8＝2r ＝2|CD |，所以sin ∠DAC ＝12，所以切线AC 的倾斜角为30°和150°， 由图可知，直线AC 的斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33，选项D 错误． 7．已知等边△ABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足P A →·PB →－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤38，12解析 如图，以AB 的中点O 为坐标原点，AB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)， 设P (x ，y )．则P A →·PB →－2λ＋1＝0，即为(－1－x )(1－x )＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足P A →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上． 过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点， 所以|OM |<2λ≤|OA |，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12. 8．已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |取得最小值时，直线AB 的方程为________________． 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，①则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2.如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB | ＝|P A |·|AM |＝2|P A |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l .故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)， 即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， ∴P (－1,0)．依题意知P ，A ，M ，B 四点共圆，且PM 为圆的直径，∴该圆方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54，② 由①－②整理得2x ＋y ＋1＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。
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专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m(≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP+BP ＝AP+PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP 的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A+PB 的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2P A，得到2P A+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD ∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x ＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，解之可得；问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m，由余弦定理可得cosC，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，∵BC＝4，∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，解得：＜x＜4，取x＝3，则AC＝3、AB＝6，故答案为：6、3；问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，则＝＝，设CD＝a、AD＝b，∴，解得：，即CD＝；问题解决，设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝AC?BCsinC＝2msinC＝2m，由余弦定理可得cosC＝，∴S△ABC＝2m＝2m＝＝＝由三角形三边关系知＜m＜4，所以当m＝时，S△ABC取得最大值．【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为 4，点 D 是⊙C上的动点，连接AD，BD，则12AD BD的最小值为_________【解答】210例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________【解答】21练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是．【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长．【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴＝＝，∴PK＝P A，∴PB+P A＝PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4，4），K（1，0），∴BK＝＝5．故答案为5．【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于．【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD～△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+F A的最小值．【分析】（1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM＝4，即可解决问题；（2）由CF＝4，CD＝2，CA＝8，推出CF2＝CD?CA，推出＝，由∠FCD＝∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；（3）作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得＝＝，推出DF＝AC，推出EF+AF＝EF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF 的最小值；【解答】（1）解：结论：相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，∴CM＝AC＝4，∵⊙O的半径为4，∴CM＝r，∴AB是⊙C的切线．（2）证明：∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，∴CF2＝CD?CA，∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，∴△FCD∽△ACF．（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴＝＝，∴DF＝AC，∴EF+AF＝EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2PA+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3∴AD＝＝3∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF＝2AP∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，然后解方程即可得到此时G 点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC ＝90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF＝∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM＝EF得到22+（t+）2＝×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，∵∠AHF＝∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM＝EF，∴22+（t+）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′？OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′？OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。
高考数学专题《阿波罗尼斯圆》填选压轴题及答案
专题42 阿波罗尼斯圆【方法点拨】一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“啊波罗尼斯圆” （又称之为圆的第二定义）.说明：（1） 不妨设(),0A a - ，(),0B a ，()0,0,1AP BP a λλλ=>>≠，再设 (),P x y ，则有()()2222y a x y a x +-=++λ，化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ，轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆.（2） 满足上面条件的啊波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点（如图，有=AM ANBM BNλ=）. （3）设P 是圆上的一点（不与M N 、重合），则PM PN 、是三角形PAB 的内、外角平分线，PM PN ⊥．（4）逆向运用：给定圆O 和定点A （A 不在圆O 上且不与O 重合），则一定存在唯一一个定值λ和一个定点B ，使得对于圆O 上的任意一点P 都有PA PBλ=．【典型题示例】例1 满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值为 . 【答案】22【分析】已知三角形的一边长及另两边的关系欲求面积的最大值，一种思路是利用面积公式、余弦定理建立关于某一边的目标函数，最后利用基本不等式求解；二是紧紧抓住条件“AC ＝2BC ”，符合 “啊园”，建系求出第三个顶点C 的轨迹，挖出“隐圆”，当点C 到直线AB 距离最大，即为半径时，△ABC 的面积最大为2 2.(1)λλ≠【解析一】设BC ＝x ，则AC 2x ， 根据面积公式得ABC S ∆=21sin 1cos 2AB BC B x B ⨯=-， 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆=()22221281241416x x x x --⎛⎫--=⎪⎝⎭由三角形三边关系有2222x x x x+>+>⎪⎩解得222222x <<，故当212,23x x ==时ABC S ∆128216=【解析二】以AB 所在的直线为x 轴，它的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 则A （－1,0），B （1,0），设C （x ,y ） 由AC ＝2BC ，即AC 2＝2BC 2所以（x ＋1）2＋y 2＝2[（x －1）2＋y 2]，化简得(x －3)2＋y 2＝8 故点C 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝8(y ≠0)，当点C 到直线AB 距离最大，即为半径时，△ABC 的面积最大为2 2.例2 已知等腰三角形腰上的中线为3，则该三角形面积的最大值为________. 【答案】2【分析】本题解法较多，但各种解法中，以利用“啊圆”为最简，注意到中线上三角形两边之比为2∶1，符合啊波罗尼斯圆定理，挖出“隐圆”，易求得最大值为2. 【解析一】如图1，ABC ∆中，AB AC =，AD DC =，3BD =设AD CD m ==，则2AB m =， 22cos 23ADB m∠=在ABD ∆中，在BDC ∆中，22cos 23CDB m∠由cos cos 0ADB CDB ∠+∠=可得，2262BC m =-，所以2253cos 4m A m-=，则429309sin m m A -+-= 故2242591639309ABCm m m S ∆⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭==易知当253m =时，面积的最大值是2． 点评：避免求边BC ，优化此解法，考虑ABD ∆中，有2253cos 4m A m -=，而2ABC ABD S S ∆∆=，同样可解．【解析二】以BD 中点O 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，设(),A x y ，则2AB AD =，即2222334x y x y ⎡⎤⎛⎛⎢⎥+=+ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 整理得，225343x y ⎛+= ⎝⎭，即有3y ≤32ABC S BD y y ∆=⨯=≤．【解析三】以BC 中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设(),0C m ，(),0B m -，()0,A n ，则,22m n D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2223322m n BD ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而223422232m n ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤⋅=， 当且仅当3n m =时，取等．【解析四】如图4，作AO BC ⊥于点O ，交BD 于点G ，则G 为ABC ∆的重心，43322ABCm n S mn ∆==⋅⋅则有2233BG CG BD ===所以133sin 2sin 22ABC BGC S S BG CG BGC BGC ∆∆==⨯⋅∠=∠≤，当2BGC π∠=时，取等．例3 已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点(),0B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则 （1）b = ； （2）λ= ． 【答案】（1）12b =-；（2）12λ=.【分析】其实质是啊圆的逆用，设出点的坐标，恒成立问题转化为与点的坐标无关，即分子为零.【解答】设(),M x y ，则22221,1x y y x +==-，2222222222222251||()21122||(2)44154254b b MB x b y x bx b x b bx b MA x y x x x x xλ++-+-++-+-=====-++++++-++， 所以λ为常数，所以25102b b ++=，解得12b =-或2b =-（舍去），所以2124b λ=-=．例4 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A 为一常数，则点B 的坐标为___________．【答案】⎝⎛⎭⎫－95，0 【分析】本题的实质是“逆用啊圆”. 【解析一】假设存在这样的点B (t,0)．当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时，PB P A ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－95或t ＝－5(舍去)．下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2， 所以PB 2P A2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·5x ＋172·5x ＋17＝925.从而PB P A ＝35为常数．【解析二】假设存在这样的点B (t,0)，使得PBP A 为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)， 即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)． 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35. 例5 啊波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、啊基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，啊波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是啊波罗尼斯圆，简称啊氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22:4O x y +=、点()1,0A -和点()0,1B ，M 为圆O 上的动点，则2||+||MA MB 的最小值为_________. 17【分析】逆用“啊圆”，将2||MA 中系数2去掉化为“一条线段”， 从而将2||+||MA MB 化为两条线段的和，再利用“三点共线”求解.【解析】因为啊圆的圆心、两定点共线，且在该直线上的直径的端点分别是两定点构成线段分成定比的内外分点所以另一定点必在x 轴上，且()2,0-内分该点与()1,0A -连结的线段的比为2 故该点的坐标为()4,0-设()4,0C -，则圆22:4O x y +=上任意一动点M 都满足||=2||MC MA 所以2||+||=||+||MA MB MC MB又因为||+||||17MC MB BC ≥M B C 、、共线时，等号成立所以2||+||MA MB. 点评：1. 已知两定点、啊圆的圆心三点共线；2. 啊圆的在已知两定点所在直线上的直径的两端点，分别是两定点构成线段分成定比的内、外分点.例6 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在.【解析】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 错误；根据对称性可知，当()()6,0,12,0,D E --时，12PD PE=，故B 正确； 对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO +-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC.【巩固训练】1.（多选题）在平面直角坐标系中，三点()1,0A -，()1,0B ，()0,7C ，动点P 满足PA =，则A.点P 的轨迹方程为()2238x y -+= B.PAB △面积最大时PA =C.PAB ∠最大时，PA =D.P 到直线AC 2. 在平面直角坐标系xOy 中，点)0,4(),0,1(B A .若直线0=+-m y x 上存在点P ，使得PB PA 21=,则实数m 的取值范围是 3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有MB ＝λMA ，则(1)b ＝________； (2)λ＝________.4.在△ABC 中，|AB|=2,|AC|=k|BC|(k >1)，则当△ABC 面积的最大值为2√2时， k = ．5.点P 是圆C ：x 2＋y 2＝1上动点，已知A (－1,2)，B (2,0)，则P A ＋12PB 的最小值为________．6.啊波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、啊基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，啊波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是啊波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是啊波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P(−12,0)且λ=2，若点B(1,1)，则2|MP|+|MB|的最小值为( )A.√6 B. √7 C. √10 D. √117.已知)1,0(A，)0,1(B，)0,(tC，点D是直线AC上的动点，若BDAD2≤恒成立，则最小正整数t的值为．8.在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为．9.已知22(1)4x y-+=,__________.【答案或提示】1. 【答案】ABD【解析】由题意可设(),P x y，由PA=，可得222PA PB=，即()()2222121x y x y⎡⎤++=++⎣⎦，化简可得()2238x y-+=，故选项A正确；对于选项B，2AB=，且点P到直线AB的距离的最大值为圆()2238x y-+=的半径r，即为，所有PAB△面积最大为122⨯⨯=，此时(3,P，所以PA==B正确；对于选项C，PAB∠最大时，为过点A作圆()2238x y-+=的切点，求得切点不为(3,±，则PA≠C错误；对于选项D，直线AC的方程为770x y-+=，则圆心()3,0到直线AC的距离为5=，所以点P到直线AC距离最小值为55-=，故选项D 正确；故选ABD.2. 【答案】⎡-⎣．【解法一】设满足条件PB＝2P A的P点坐标为(x，y)，则(x－4)2+y2＝4(x－1)2+4y2，化简得x2+y2＝4．要使直线x－y+m＝0有交点，则|m|2≤2．即－22≤m≤22．【解法二】设直线x－y+m＝0有一点(x，x +m)满足P A＝2PB，90BAD∠=︒2AB=1AD=43AB AC BA BC CA CB⋅+⋅=⋅12CB CD+则(x －4)2+(x +m )2＝4(x －1)2+4(x +m )2． 整理得2x 2+2mx +m 2－4＝0 (*) 方程(*)有解，则△＝4m 2－8(m 2－4)≥0， 解之得：－2 2≤m ≤22． 3. 【答案】 (1)－12 (2)12【解析】 (1)因为点M 为圆O 上任意一点，所以不妨取圆O 与x 轴的两个交点(－1,0)和(1,0). 当M 点取(－1,0)时，由MB ＝λMA ，得|b ＋1|＝λ； 当M 点取(1,0)时，由MB ＝λMA ，得|b －1|＝3λ. 消去λ，得|b －1|＝3|b ＋1|.两边平方，化简得2b 2＋5b ＋2＝0， 解得b ＝－12或b ＝－2(舍去).(2)由|b ＋1|＝λ，得λ＝12.4.【答案】√2【分析】本题考查轨迹方程的求解，以及新定义，直线与圆的位置关系的应用，属于较难题．根据条件得到点C 的轨迹方程(k 2−1)x 2+(k 2−1)y 2+2(k 2+1)x +k 2−1=0，作图，可得当点C 到AB 的距离d 等于其所在圆半径r 时，面积最大，通过面积求得r ，进而得到k ．【解析】如图，不妨设A(1,0)，B(−1,0)，C (x,y)， 则|AC|=k|BC|，可化为(x −1)2+y 2=k 2[(x +1)2+y 2]， 整理可得(k 2−1)x 2+(k 2−1)y 2+2(k 2+1)x +k 2−1=0， 即(x +k 2+1k 2−1)2+y 2=(k 2+1k 2−1)2−1，圆心(−k 2+1k 2−1,0)，r 2=(k 2+1k 2−1)2−1，由图可知当点C 到AB(x 轴)距离最大时，△ABC 的面积最大， 即当点C 到AB 的距离d 等于半径r 时，面积最大， ∴△ABC 面积的最大值是12×2r =2√2，解得r =2√2， 故有(k 2+1k 2−1)2−1=(2√2)2，解得k =±√2，k =±√22， 因为k >1，所以k =√2． 故答案为：√2．5.【答案】52【提示】已知动点轨迹为圆，将12PB 转化为P 到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和. 6.【答案】C【分析】令2|MP|=|MQ|，则2|MP|+|MB|=|MQ|+|MB|，由啊波罗尼斯圆的定义及已知可求得点Q 的坐标，进而利用图象得解．本题以啊波罗尼斯圆为背景，考查学生在陌生环境下灵活运用知识的能力，考查创新意识，逻辑推理能力及运算求解能力，考查数形结合思想，属于拔高题．【解析】由题意可得圆x 2+y 2=1是关于P ，Q 的啊波罗尼斯圆，且λ=2，则|MQ||MP|=2， 设点Q 的坐标为(m,n)，则√(x−m)2+(y−n)2√(x+12)2+y 2=2， 整理得，x 2+y 2+4+2m 3x +2n 3y +1−m 2−n 23=0，由已知该圆的方程为x 2+y 2=1，则{4+2m =02n =01−m 2−n 23=−1，解得{m =−2n =0， ∴点Q 的坐标为(−2,0)，∴2|MP|+|MB|=|MQ|+|MB|，由图象可知，当点M 位于M 1或M 2时取得最小值，且最小值为|QB|=√(−2−1)2+1=√10． 故选：C ． 7. 【答案】4【解析】直线AC 的方程为1=+y tx即0=-+t ty x ，设),(y x D BD AD 2≤ 即224BD AD ≤∴])1[(4)1(2222y x y x ++-≤-+98)31()34(22≥++-y x 表示圆外区域及圆周上的点 直线0=-+t ty x 与圆98)31()34(22=++-y x 相离或相切 所以3221|3134|2≥+--t t t ，化简得0142≥+-t t 解得32+≥t 或32-≤t∴正整数t 的值的值为4．8.【提示】已知可化为: ，故，点的轨迹是圆；所求 中含系数不同，需化一，由于，故应构造出 或，这里所求圆的圆心在直线AB 上，故需在直线AB 上寻求一点E ，使CE =2CB ，将化为一条线段，逆用“啊波罗尼斯圆”即可.9. 【提示】为使所求具有几何意义，利用已知22(1)4x y -+=进行常数代换，12. 43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅2=AB AC BA BC AB AC AB CB AB ⋅+⋅=⋅+⋅=3CA CB ⋅C 12CB CD +11=(2)22CB CD CB CD ++12CD 2CB 2CB。
高中数学专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球
专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球 【微点综述】对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题． 【典例刨析】例1．（2022贵州贵阳·模拟）1．在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB ，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P满足BP ．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在平面11A BCD 内，且3PA PB =，则点P 的轨迹的长度为___________.4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A 、B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A (包括边界)上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为______；若E 是CD 的中点，且满足APB EPD ∠=∠，则三棱锥P ACD -体积的最大值是______.阿波罗尼奥斯例5．（2022·湖南怀化·高二期末）5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 的距离之比为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹是—个圆心在直线AB 上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ===，点E 在棱AB 上，2BE AE =，动点P 满足BP =，若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 对应的轨迹的面积是___________；F 为11C D 的中点，则三棱锥1P B CF -体积的最小值为___________.6．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______.【针对训练】7．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线8．如图，已知平面αβ⊥，l αβ=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A B C ．12D ．1（2022·山西太原·二模（理））9．已知点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为线段11B C 上一点，112NC B N =，DM BN ⊥，则动点M 运动路线的长度为（ ）A BC D （2022天津西青区杨柳青一中高二期中）10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若E 是CD 的中点，且正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点F 满足条件APB EPD ∠=∠，则三棱锥F ACD -体积的最大值是__________．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则点P 所形成的轨迹图形长度为_______________． （2022江西上饶·二模（理））12．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112NB NC =，DM BN ⊥，若球O 的体积为36π，则动点M 的轨迹长度为___________.13．已知在棱长为12的正四面体ABCD 的内切球球面上有一动点P ，则PA 的最小值为______，13PA PB+的最小值为______．专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球 【微点综述】对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题． 【典例刨析】例1．（2022贵州贵阳·模拟）1．在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB ，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA ，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P满足BP ．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在平面11A BCD 内，且3PA PB =，则点P 的轨迹的长度为___________.4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A 、B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A (包括边界)上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为______；若E 是CD 的中点，且满足APB EPD ∠=∠，则三棱锥P ACD -体积的最大值是______.阿波罗尼奥斯例5．（2022·湖南怀化·高二期末）5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 的距离之比为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹是—个圆心在直线AB 上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ===，点E 在棱AB 上，2BE AE =，动点P 满足BP =，若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 对应的轨迹的面积是___________；F 为11C D 的中点，则三棱锥1P B CF -体积的最小值为___________.6．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______.【针对训练】7．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线 8．如图，已知平面αβ⊥，l αβ=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A B C ．12D ．1（2022·山西太原·二模（理））9．已知点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为A BC D （2022天津西青区杨柳青一中高二期中）10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为___________；若E 是CD 的中点，且正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点F 满足条件APB EPD ∠=∠，则三棱锥F ACD -体积的最大值是__________．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则点P 所形成的轨迹图形长度为_______________． （2022江西上饶·二模（理））12．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112NB NC =，DM BN ⊥，若球O 的体积为36π，则动点M 的轨迹长度为___________.13．已知在棱长为12的正四面体ABCD 的内切球球面上有一动点P ，则PA 的最小值为______，13PA PB +的最小值为______．参考答案：1．D【分析】在平面P AB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，从而得到PNMANP ，判断出B 、N 重合，得到点P 落在以B12V V ，，即可求出12V V . 【详解】如图，在平面P AB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠, 又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以PN AN PA MN PN MP ===,AN MN ==,所以AM AN MN =-=. 因为112AM AB ==，所以1PN MN =, 所以B 、N重合且BP PN ==所以点P 落在以B. 作BH AC ⊥于H，则2BH AB =因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ， 又因为1AA AC A =，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC的距离为BH BP ， 所以球面与面11AA CC相切，而1BB = 所以球面不会与面111A B C 相交， 则31142833V BP π==， 111=2222V AB BC AA ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以21V V V=-=三棱柱，所以12VV=15.故选：D.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．2．94##2.25【分析】建立空间直角坐标系，由两点间距离公式化简后得轨迹方程，再由空间向量表示点到平面的距离公式求解最值【详解】以AB为x轴，AD为y轴，1AA为z轴，建立如图所示的坐标系，在平面直角坐标系xAy中，(6,0),(2,0),B E设(,)P x y，由BP得2222(6)3[(2)]x y x y-+=-+，所以22+12x y=，所以若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为若点P在长方体1111ABCD A B C D-内部运动，设点(,,)P x y z，由BP得222222(6)3[(2)z]x y z x y-++=-++，所以222++12x y z=，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC=-=-设平面1B CF的法向量为000(,,)n x y z=r，所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x ynn B C y z⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y=--，所以点P到平面1B CF的距离为|||||CP n xhn⋅+==因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z++≥++∴-≤++≤，所以minh==M为CP的中点，所以点M到平面1BCF由题得1B CF△=所以三棱锥1M B CF -的体积的最小值为(21934．故答案为：943 【分析】若E 为1AB 与1A B 的交点，由正方体的性质可证AE ⊥面11A BCD ，在Rt △AEP 中有222AE PE AP +=可得228PE AP +=，再在面11A BCD 上构建平面直角坐标系，并写出各点坐标且令00(,)P x y ，结合已知条件列方程，即可得P 的轨迹，进而求轨迹长度.【详解】若E 为1AB 与1A B 的交点，则1AE A B ⊥， ∵BC ⊥面11AA B B ，AE ⊂面11AA B B ， ∴AE BC ⊥，又1A B BC B =I ， ∴AE ⊥面11A BCD ，∴连接PE ，即在Rt △AEP 中有222AE PE AP +=，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4， ∴228PE AP +=在面11A BCD 上构建如下平面直角坐标系，若00(,)P x y ，11(0,0),(0,4),A B C D E ，∴22200(PE x y =-+，22200(PB x y =-+，∴222200816AP PE x y =+=-++，又3PA PB =，∴2222000000169(32)x y x y -++=-++，整理得22000340x y ++=，∴220017(48x y -+=，故轨迹为半径r =的圆，∴轨迹长度为2r π=【点睛】关键点点睛：应用正方体的性质及勾股定理得228PE AP +=，再在面11A BCD 上构建平面直角坐标系，设00(,)P x y 结合已知条件可得方程，整理即有P 的轨迹方程.4．43【解析】在AD 上取点M ，在AD 延长线上取点N ，使得2MA MD =，2NA ND =，则,M N 是题中阿氏圆上的点，则MN 是阿氏圆的直径，由此可求得半径，由APB EPD ∠=∠可得Rt PDERt PAB △△，2PA ABPD DE==，即P 在上述阿氏圆上，这样当P 是阿氏圆与1DD 交点Q 时，P 到平面ACD 距离最大，三棱锥P ACD -体积的最大，由体积公式计算可得．【详解】在AD 上取点M ，在AD 延长线上取点N ，使得2MA MD =，2NA ND =，则,M N 是题中阿氏圆上的点，由题意MN 是阿氏圆的直径， 2AD =，则23MD =，2DN =，所以28233MN =+=，∴阿氏圆半径为423MN =； 正方体中AB ，CD 都与侧面11ADD A 垂直，从而与侧面11ADD A 内的直线,PA PD 垂直，如图APB EPD ∠=∠，则Rt PDE Rt PAB △△，∴2PA ABPD DE==，即P 在上述阿氏圆上， ∵ACD △的面积是2为定值，因此只要P 到平面ACD 距离最大，则三棱锥P ACD -体积的最大，由于P 点在阿氏圆上，当P 是阿氏圆与1DD 交点Q 时，P 到平面ACD 距离最大，此时2QA QD =2=，QD =，三棱锥P ACD -体积的最大值为123V =⨯=．故答案为：43【点睛】关键点点睛：本题考查棱锥的体积，考查新定义的理解与应用．解题关键是正确理解新定义得出圆半径，由已知角相等得出P 点就在新定义“阿氏圆”上，从而易得它到底面距离最大时的位置，从而得出最大体积．5． 12π272-【分析】建立空间直角坐标系，根据BP =，可得P 对应的轨迹方程；先求1B CF △的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点P 到平面1B CF 的距离的最小值即可. 【详解】分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建系，设(),,0P x y ，而(6,0,0)B ,(2,0,0)E ,1(6,0,3)B ，(6,3,0)C ,(3,3,3)F .由BP =,=化简得P 对应的轨迹方程为2212x y +=.所以点P对应的轨迹的面积是212ππ⋅=. 易得1B CF △的三个边11B C B F CF ===即1B CF △是边长为为， 1(0,3,3),(3,0,3)CB CF =-=-，设平面1B CF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有330330y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，可取平面1B CF 的一个法向量为()1,1,1n =，根据点P的轨迹，可设,0)P θθ，()23,0,CP θθ∴=--239CP n θθ∴⋅=+-，所以点P 到平面1B CF的距离26CP n d n⋅==≥，所以1133V Sh Sd ==≥272- 故答案为：12π；272- 6． 【分析】(1)将正四面体ABCD放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径.(2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将13MC 转换,从而得出13MB MC +取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.【详解】(1) 将正四面体ABCD 放入如图正方体,则正四面体ABCD 的外接球与该正方体的外接球为同一球.=设正四面体ABCD的内切球半径为r,根据等体积法有3321114436323r-⨯⨯⨯=⨯,解得r=故外接球与内切球的半径之和为=(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以,C E为定点,空间中满足()1PCPEλλ=≠的点P的集合,连接CO并延长交平面ABD于H,交内切球上方的点设为K,过M作ME CH⊥,交CH于E,连接,BM CM,设OE x=.由(1)空得CO OH==KC HCKE HE=.=,解得x3KCKEλ==,所以3MCME=,所以13MC ME=.所以13MB MC MB ME BE+=+≥,在BOE△中,BO CO==OE=1cos cos3BOE BOH∠=-∠=-,所以BE==所以13MB MC+的最小值为故答案为：(1)(2)【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题. 7．B【解析】当1λ=时，BC AC =，故C 的轨迹为线段AB 的中垂面与α的交线，当2λ=时，2BC AC =，在平面α内建立坐标系，设(,)C x y ，求出C 的轨迹方程得出结论．【详解】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=， 当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β， 则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线， 当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则BC = 在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则CA =CD CB ==2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆． 故选B ．【点睛】本题考查轨迹方程的求解与判断，分类讨论思想，属于中档题． 8．B【分析】根据题目条件得到2PB PA =，进而建立平面直角坐标系，求出P 点轨迹方程，点P 在α内的轨迹为以()5,0M -为圆心，以4为半径的上半圆，从而求出当PB 与圆相切时，二面角的平面角PBA ∠最大，求出相应的余弦值最小值.【详解】由题意易得PD 与平面α所成角为DPA ∠，PC 与平面α所成角为CPB ∠， ∵DPA CPB ∠=∠， ∴tan tan DPA CPB ∠=∠， ∴AD BCPA PB=， ∴2PB PA =， ∴P 点轨迹为阿氏圆．在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()(),3,03,0A B -，设(),,0P x y y >，=整理得：()22516x y ++=，所以点P 在α内的轨迹为以()5,0M -为圆心，以4为半径的上半圆， 因为平面αβ⊥，l αβ=，CB l ⊥，CB β⊂，所以CB α⊥， 因为PB α⊂， 所以CB PB ⊥，因为平面PBC 平面BC β=，CB l ⊥， 所以二面角P BC D --的平面角为PBA ∠，由图可知，当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，余弦值最小， 此时41sin 82MP PBA MB ∠===，故cos PBA ∠==故选：B ． 9．B【分析】根据给定条件探求出过点D 垂直于直线BN 的平面，可得此平面截球O 的截面小圆即为M 的运动路线，求出点O 到此截面距离即可计算作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，在BB 1上取点P ，使B 1P =2BP ，连接CP ，DP ，如图，因N 在B 1C 上，有112NC B N =，即1113NB PB BC B B==，则1R t R t C B P B BN，1CPB BNB ∠=∠，于是得BN CP ⊥，而CD ⊥平面BCC 1B 1，BN ⊂平面BCC 1B 1，则BN CD ⊥，又CD CP C ⋂=，,CD CP ⊂平面CDP ，则有BN ⊥平面CDP ，因动点M 满足DM BN ⊥，则有点M 在平面CDP 内，依题意，平面CDP 截球O 的截面小圆即为M 的运动路线，令正方形BCC 1B 1与正方形ADD 1A 1的中心分别为E ，F ，连接EF ，则正方体内切球球心O必为线段EF 中点，显然，EF //CD ，EF ⊄平面CDP ，CD ⊂平面CDP ，于是得EF //平面CDP ，则点O 到平面CDP 距离等于点E 到平面CDP 的距离h ，取BC 中点G ，连接EG ，CE ，PE ，而平面CDP ⊥平面BCC 1B 1，平面CDP 平面BCC 1B 1=CP ，则ECP △的边CP 上的高等于h ，EG ⊥BC ，32EG GC ==，则CE =BGEP 中，31,2BP BG ==，则EP =，ECP △中，CP =由余弦定理得222cos 2EP CE CP CEP EP CE +-∠==⋅，sin CEP ∠=由11sin 22CEPSCP h CE EP CEP =⋅=⋅∠得：h =设点M 运动路线的小圆半径为r ，而球O 的半径32R =，由222r h R +=得r =2r π=所以动点M . 故选：B10．43【分析】根据题意以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，设P （x ，y ），利用P A ＝2PD ，求出点P 的轨迹方程，即可得到点P 所形成的阿氏圆的半径，利用tan ∠APB ＝ABAP，tan ∠DPE ＝DEDP，结合已知条件∠APB ＝∠EPD ，从而得到AP ＝2DP ，结合图像利用1空中的结论求解DP 3即为三棱锥P ﹣ACD 最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可． 【详解】以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （2，0），D （0，0），设P （x ，y ），因为P A ＝2PD ，整理得22224()()33x y ++=，故点P 所形成的阿氏圆的半径为43；因为AB ⊥平面ADD 1A 1，CD ⊥平面ADD 1A 1， 所以∠P AB ＝90°，∠PDE ＝90°，所以tan ∠APB ＝AB AP，tan ∠DPE =DEDP ， 又∠APB ＝∠DPE ，则AB AP =DEDP， 因为E 是CD 的中点，所以AP ＝2DP ，由1空的结论可知，点P 的轨迹为22224()()33x y ++=的一部分，则当P 在DD 1上时，三棱锥P ﹣ACD 的体积最大， 图2中的DP 3即为三棱锥P ﹣ACD 最大的高，所以33DP ==，则三棱锥P ﹣ACD 体积的最大值是311122332ACDSDP ⋅⋅=⨯⨯⨯=故答案为：4311【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，结合线段等量关系，整理轨迹方程，可得答案.【详解】解：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0.B P 为侧面11BB C C 内的动点，P ∴的纵坐标为1，设(),1,P x z ，则PA PB =2,PA PB ==化简整理得()22113x z -+=，当1y =时，该方程表示在平面11B BCC 内，以点B∴点P 所形成的轨迹图形为图中EF ，其长度为：124EF π==．12 【分析】在1BB 取点P ，使12B P P B =，证明BN ⊥平面DCP ，从而得点M 的轨迹为平面DCP与球O 的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球O 半径利用球的体积公式计算可得．【详解】解：如图，在1BB 取点P ，使12BP PB =，连接CP ，DP ，BN ，因为112NC NB =，可得1BCP B BN ≅△△，则1BCP B BN ∠=∠，所以190NBC BCP NBC NBB ∠+∠=∠+∠=︒所以BN CP ⊥，又DC ⊥平面11BCC B ，BN ⊂平面11BCC B ，所以DC BN ⊥，同理DC CP ⊥，因为DC CP C =，,DC CP ⊂平面DCP ，所以BN ⊥平面DCP ，则点M 的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周，设正方体的棱长为a ，则343632a ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得6a =，连接OD ，OP ，OC ， 如图，在对角面11BDD B 中，1111211622332ODP B DP SBB S S S ==⨯=⨯⨯=△△△C 到平面ODP 的距离即C 到平面11DBBD = 1123C ODP V -=⨯=，又CP ==162DCP S =⨯=△O 到平面DCP 的距离为h ，则O DPC C DPO V V --=，h ==，得O 到平面DCP所以截面圆的半径r ==则点M 的轨迹长度为2π=，.【点睛】关键点点睛：本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定BN ⊥平面DCP ，得点M 的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解．13． 【解析】求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得PA 的最小值；利用阿波罗尼斯球的定义，借助内切球的比例关系求得3BP BE =，转化后求最小值即可.【详解】设正四面体ABCD 的高为h ，每一个面的面积为S ，其内切球的半径为r ， 则由等积法可得，11433Sh Sr =，即14r h =． 设内切球球心为O ，连结BO 并延长交平面ACD 于H ，交内切球上方的点设为K ，过P 作PE BH ⊥，交BH 于E ，连结BP ，AP ，如图，则在正三角形中2123AH ==∴BH∴正四面体内切球的半径1144r h BH ==则BP 的最小值为BK=AP的最小值为根据阿波罗尼斯球知,内切球是线段BH 上以B ，E 为定点，空间中满足(1)PB PE λλ=≠的点P 的集合，设OE x =，因为34BO =⨯OH KB HB KE HE =，∴=x =，3KB KE λ∴===， ∴3PB PE =，∴13PB PE =， 13PA PB PA PE AE ∴+=+…， 在AOE △中，BO AO ==OE =，1cos cos 3OH AOE AOH AO ∠=-∠=-==-，AE ∴= ∴13PA PB +故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点在于，根据阿波罗尼斯球定义利用比例关系求得3BP BE =,可将13PA PB +转化为PA PE +，利用平面几何性质知PA PE +最小值为AE ，由余弦定理求解即可，属于难题.。
利用阿波罗尼斯圆解竞赛题
BAC PAB + PAC =
PNM = PCB = MAC + PNM = 1 2
视 !BEQ、! DFQ、!DEQ、 !BFQ 分 别 被直线 ADF、 ABE、 BCF、 DCE 所截, 分别应用 梅涅劳斯定理得 BA EF QD DA FE QB ∀ ∀ = 1 , ∀ ∀ = 1 , AE FQ DB AF EQ BD DC EF QB BC FE QD ∀ ∀ = 1 , ∀ ∀ = 1 . CE FQ BD CF EQ DB 由以上四式知 BA∀ DA DC∀ BC = ,即 AE∀ AF CE∀ CF % AP AK = . PC CK
=
BPN.
因此, P、 N、 M 三点共线 . 此时, 必有 P、 N、 O、 M 四点共线 . 又 因 为 AD !PBC OM BC PM = = . ON AD PN 再注意到 OE PB, OF PC, 从而, 点 E、 F 都在线段 MN 的阿氏圆上. 由阿氏圆的 性质得 ME OM MF = = . NE ON NF 因此, ME∀ NF = MF∀ NE. 例 4 DN 满足 在 !ABC 中, AB = AC, AM 是 高, AM, 过 BC 上一点 D 作 CDF. 求证: MN 平分 EF. 过点 A 作直线 l BDE = BC, !OBC !ODA,
1 2
BAC + - ,
PBC = 从而, 故 易证 故
PAC + PAB + APC. PCB, ACB. PBC.
PCB = ABC = ABC = ACB =
PAC + PAB + APB PAC +
AB∀ AD = AE∀ AF . CB∀ CD CE∀ CF 比较式 # 、 ∃、 %立得 再注意到 PO 定理可得 同理, 从而, 别为 径作 证: APC 讲解 PN. 易 知 BC 的阿氏圆 . 注意到点 P 在阿氏圆上, 由 阿氏圆 的性 质得 BN PB = . NC PC 从而, PN 必平分 记 易得 CPN = PCB = BPC 的外角
高中数学高考一轮复习一轮复习 学案 阿波罗尼斯圆轨迹定理
阿波罗尼斯圆轨迹定理——课堂练习1.在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是 ．2.在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．3. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.附：参考答案1.解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +， 所以点C 的轨迹方程为8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．2.解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心， 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动， 因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．3.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k =，∴切线l 方程为24)y x -=-．（2）圆心到直线12-=x y 的距离为5，设圆的半径为r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或， ∴可以找到这样的定点R ，使得PR PQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310．阿波罗尼斯圆轨迹定理——课后检测1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．DB OxyAC2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥， CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值．3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．附：参考答案1. 解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2. 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点P 所满足的几何条件．DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠， 同理8tan BC BPC BP BP∠==， AP BDCβαDBOxyACAP BDCβαAPD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P则有2222(3)2(3)(0)x y x y y -+=++≠化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤，PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤， 当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．3.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，)0,2(2O ，由已知PN PM 2=得222PN PM =，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程. 4.解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO． 则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ， 又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．PMNO1O2Oyx。
2020高考数学专项训练《16阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用》(有答案)
专题16阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用例题：在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，求△ABC面积的最大值．变式1在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P 在直线x＋3y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围为________________．变式2已知点A(－2，0)，B(4，0)，圆C：(x＋4)2＋(y＋b)2＝16，点P是圆C上任意一点，若PAPB为定值，则b的值为________________．串讲1已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为________________．串讲2已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝25上任意一点，平面上有两个定点M(10，0)，N(132，3)，则PN ＋12PM 的最小值为________________．(2018·南京、盐城、连云港二模)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ(0<λ<1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”，“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1，m 2，称满足m 1<m 2的区域叫作商场B 相对于A 的“更强吸引区域”．(1)已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60°.当λ＝12时，居住在点P 处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；(2)若要使与商场B 相距2km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过A(0，2)，O(0，0)，D(t ，0)(t>0)三点，M是线段AD 上的动点，l 1，l 2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l 1交y 轴于点E ，l 2交圆C 于P ，Q 两点．(1)若t ＝PQ ＝6，求直线l 2的方程；(2)若t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值．答案：(1)4x －3y －4＝0.；(2)152.解析：(1)由题意可知，圆C 的直径为AD ，所以圆C 方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.1分设l 2方程为y ＝k(x －1)，则（2k －1）21＋k 2＋32＝10，解得k 1＝0，k 2＝43.3分当k ＝0时，直线l 1与y 轴无交点，不合题意，舍去.4分所以k ＝43，此时直线l 2的方程为4x －3y －4＝0.6分(2)设M(x ，y)，由点M 在线段AD 上，得x t ＋y2＝1，即2x ＋ty －2t ＝0.由AM ≤2BM ，得x －43＋y ＋23≥209.8分由AD 位置知，直线AD x －432＋y ＋23＝209至多有一个公共点，故|83－83t |4＋t 2≥253，解得t ≤16－10311或t ≥16＋10311.10分因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以t ＝4.11分所以，圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.①当直线l 2：x ＝1时，直线l 1的方程为y ＝0，此时，S △EPQ ＝2；12分②当直线l 2的斜率存在时，设l 2的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)，则l 1的方程为y ＝－1k(x －1)，点E 0，1k .所以BE ＝1＋1k2.圆心C 到l 2的距离为|k ＋1|1＋k 2.所以PQ ＝25－|k ＋1|1＋k2224k 2－2k ＋41＋k2.14分故S △EPQ ＝12BE·PQ ＝121＋1k 2·24k 2－2k ＋41＋k 2＝4k 2－2k ＋4k 2＝4k 2－2k ＋4≥152.因为152<2，所以(S △EPQ )min ＝152.16分专题16例题答案：2 2.解法1设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12AB·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x ，代入上式得：S △ABC ＝x1－（4－x 24x）2＝128－（x 2－12）216，＋x>2，2>2x22－2<x<22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.解法2以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A(－1，0)，B(1，0)，C(x ，y)，由AC ＝2BC 得（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，化简得x 2＋y 2－6x ＋1＝0，即(x －3)2＋y 2＝8，于是点C 的轨迹是以D(3，0)为圆心，22为半径的圆，所以点C 到AB 的距离的最大值为半径22，故S △ABC 的最大值为S ＝12×2×|y C |≤22.变式联想变式1－203，解析：依题意，PA 2＝PO 2－12，PB 2＝PO 12－22，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，所以PO 12－4＝4(PO 2－12)，可得PO 12＝4PO 2，设P(x ，y)，可得(x －42)＋y 2＝4(x 2＋y 2)化简得(x ＋43)2＋y 2＝649.所以满足条件的点P 在以(－43，0)为圆心，83为半径的圆上，又因为点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以|－43－b|1＋3<83，解得－203<b<4.变式2答案：0.解析：设P(x ，y)，PAPB＝k ，则（x ＋2）2＋y 2（x －4）2＋y 2＝k ，整理得(1－k 2)x 2＋(1－k 2)y 2＋(4＋8k 2)x ＋4－16k 2＝0，又P 是圆C 上的任意一点，故k ≠1，圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋8x ＋2by ＋b 2＝0，因此2b ＝0，4＋8k 21－k 2＝8，4－16k 21－k2＝b 2，解得b ＝0.串讲激活串讲1答案：4.解法1由A(0，1)，C(t ，0)，得l ：y ＝－1t x ＋1，D(x ，－1t x ＋1)．又AD ≤2BD ，故x 2＋x 2t2≤2（x －1）2＋（1－x t ）2，化简得(3＋3t 2)x 2－(8＋8t)x ＋8≥0对任意x 恒成立，则(8＋8t )2－4×8×(3＋3t 2)≤0，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或0<t ≤2－3，因此最小正整数t 的值为4.解法2设D(x ，y)，当AD ＝2BD 时，有x 2＋(y －1)2＝4[(x －1)2＋y 2]，化简得(x －43)2＋(y ＋13)2＝89直线AC 的方程为y ＝－1t x ＋1，即x ＋ty －t ＝0.因为AD ≤2BD ，所以直线AC 与圆(x －43)2＋(y ＋13)2＝89相切或相离，故|43－13t －t|t 2＋1≥89，即t 2－4t ＋1≥0，解得t ≤2－3或t ≥2＋3，所以最小正整数t 的值为4.串讲2答案：5.解析：设x 轴上一定点Q(m ，0)，记PM ∶PQ ＝λ，P(x ，y)，由PM ∶PQ ＝λ得(x －10)2＋y 2＝λ2[(x －m)2＋y 2]，化简得(λ2－1)x 2＋(λ2－1)y 2＋(20－2mλ2)x ＋(λ2m 2－100)＝0，因为x 2＋y 2＝25，所以0，25，解得m ＝52，λ＝2，所以PM ∶PQ ＝2，从而PN ＋12PM ＝PN ＋PQ ≥QN ＝5.新题在线答案：(1)居住在点P 处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内．(2)(116，1)解析：设商场A ，B 的面积分别为S 1，S 2，点P 到A ，B 的距离分别为d 1，d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝kS 1d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k>0.(1)在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60°，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB·PA cos 60°＝102＋152－2×10×15×12＝175.又d 12＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1d 12－k S 2d 22＝k S 1d 12－k λS 1d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)，将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1>0，所以m 1>m 2.即居住在点P 处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内．(2)解法1以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(10，0)，设P(x ，y)，由m 1<m 2得，kS 1d 12<k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22<λd 12.代入坐标，得(x －10)2＋y 2<λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ)x 2＋(1－λ)y 2－20x ＋100<0.因为0<λ<1，配方得(x －101－λ)2＋y 2<(10λ1－λ)2，所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是圆心为C(101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2km 以内的区域(含边界)是圆心为B(10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC<|r 1－r 2|.因为0＜λ＜1，所以101－λ－10<10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1<0，解得116<λ<1.所以，所求λ的取值范围是(116，1)．解法2要使与商场B 相距2km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，则当d 2≤2时，不等式m 1<m 2恒成立．由m 1<m 2，得k S 1d 12<k S 2d 22＝k λS 1d 22，化简得λd 12>d 22.此时，“当d 2≤2时，不等式m 1<m 2恒成立”可转化为“当d 2≤2时，不等式λd 12>d 22恒成立”．所以当d 2≤2时，不等式恒成立，因为点P 在以点B 为圆心，2为半径的圆的内部，且AB ＝10，所以8＝AB －2≤PA ≤AB ＋2＝12.欲使得不等于λPA>2恒成立，则有8λ>2，解得λ>116，又0<λ<1，所以λ的取值范围是(116，1)．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________。
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用答案
微专题161．答案：(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.解析：设M (x ，y )，则由2MA＝MB得2（x －1）2＋y 2＝ （x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝4，设直线l ：y＝k (x －1)－2，则|－k －2|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≥0，解得k ≤0或k ≥43.2．答案：[0，125]．解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝ 2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意得，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．3．答案：{22，－22}． 解析：设P (x ，x ＋m )，则由P A PB ＝12可知（x －1）2＋（x ＋m ）2（x －4）2＋（x ＋m ）2＝14，化简得到2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0，由题意可知Δ＝4m 2－4×2×(m 2－4)＝0，即m 2＝8，则实数m 的取值集合为{22，－22}．4．答案：52.解析：记12PB ＝PC ，那么PC PB ＝12，其中B (2，0)，下面研究点C 的位置．设C (a ，b )，P (cos θ，sin θ)，则由PC PB ＝12得 错误!＝12，化简得(4－8a )cos θ－8b sin θ＋4a 2＋4b 2－1＝0①，由于①式对任意θ都成立，则⎩⎨⎧4－8a ＝0，b ＝0，4a 2＋4b 2－1＝0，解得C (12，0)．因此，P A ＋12PB ＝P A ＋PC ≥AC ＝52.5．答案：⎝⎛⎭⎫53，73. 解析：如图，设AB ＝3，AC ＝1，AD ＝k ，以点C 为原点，线段AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系xCy ，则点A 的坐标为(1，0)，因为AB ＝3，所以点B 在以点A 为圆心，3为半径的圆上，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9(*)．设D (x ，y )，由CD ＝2DB 得B (32x ，32y )，代入(*)式得(32x －1)2＋(32y )2＝9，化简得(x －23)2＋y 2＝4，所以r －13<k <13＋r ，从而53<k <73.6．答案：l 22（1－k 2）.解析：如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy .设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2，于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以y 2＝－（1－k 2）x 2＋2lx －l 21－k 2＝错误!≤k 2l2（1－k 2）2，于是，y max ＝kl1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22（1－k 2），所以，(S △ABC )max＝1k(S △ABD )max ＝l 22（1－k 2）.7．答案：2＋ 3. 解析：易知点B 的轨迹是阿波罗尼斯圆，记圆与线段AC 的交点为F ，圆心为D ，则AB BC ＝AFFC＝m ，从而BF 为∠ABC 的平分线，即∠ABF ＝∠CBF ＝π6，此时∠BCD ＝∠BFC ＋∠CBF ＝5π12，∠CAB ＝π12，∠ACB ＝7π12.在△ABC 中，由正弦定理得m ＝AB BC ＝sin ∠ACB sin ∠CAB＝2＋ 3.8．答案：存在；λ＝12，理由略．解析：假设存在点P (x ，y )满足题意，则x 2＋y 2＋8x ＝0，所以P A 2＝(x ＋2)2＋y 2，PB 2＝(x －4)2＋y 2，由P A 2＝λ2·PB 2，可得x 2＋y 2＋4x ＋4＝λ2(x 2＋y 2－8x ＋16)，整理得(1－x )(1－4λ2)＝0，由点P (x ，y )为圆C 上任意一点，且λ>0，于是取λ2＝14，即有λ＝12.。
阿氏圆的典型高考模拟试题
例10.11、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则
的最小值为（ ） A ． B ． C ．
D ． 例10.15．已知()3,0A -，圆()()22:131C x a y a --+-=上存在点M ，满足条件2MA MO =，则实数a 的取值范围为__________．
例10. 已知两定点(2,0),A -(1,0),B 如果动点P 满足条件2,PA PB =则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于
（A ）
π （B ）4π （C ）8π （D ）9π
例10.已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2,2,b a c ==则ABC ∆的面积的最大值为________．
例10.4、如图，已知平面
平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有
，则四棱锥体积的最大值是（）
A． B． C． D．
例10.11. 正方体ABCD-A1B1C1 D1中,M为CC1的中点,P在底面ABCD内运动,且满足∠DPD1=∠CPM,则点P的轨迹为（）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分D．抛物线的一部分。
利用阿波罗尼斯圆解竞赛题
（１）当ＢＤ／／胛时，这个问题比较易于
处理，此处不赘述．
（２）当ＢＤ移即时，不妨设ＤＢ与ＦＥ交
于点Ｑ（如图２）． 延长ＡＣ
交ＥＦ于点 Ｋ，令么ＢＡＤ ＝Ｏｌ。么ＢＣＤ
Ｑ ：口．易证
图２
万方数据
６
ＡＰ ５伽ＡＢ·ＡＤｓｉｎ ａ
由此可证△叩７Ｃ７∽△∞Ｃ，△ＯＣ’Ｄ ７ ∽△ＯＣＤ，△ＯＤ～Ａ∽△Ｏ删．
至于所求的点０是否在形内，是否唯 一，文［１］已回答得清楚明白，这里不赘述．
中等数学
练习题
１．在凸四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ上ＢＤ，垂足 为Ｋ，延长ＡＢ、ＤＣ交于点Ｅ，延长ＢＣ、ＡＤ交 于点Ｆ求证：么ＢＫＥ＝么ＤＫＦ．
提示：若ＢＤ泓ＥＦ。延长ＢＤ、ＥＦ交于点 ｙ，延长ＡＣ交ＥＦ于点置由塞瓦定理和梅涅
４．过００外的一点Ｐ作蹦切ＯＤ于点
Ａ，Ｐ０交００于点肘、Ｎ，ＡＢ上ＭＮ于点曰，点
Ｅ．Ｆ都在Ｅ）Ｏ＿１２．求证：差＝嚣．
提示：联结ＡＭ州易证胧平分么ＰＡＢ，
ＡⅣ平分么ＰＡ日的外角．故而ＰＭ＝鬈：器，可
知ｏＤ是线段胎的阿氏圆．
因为点Ｅ、Ｆ都在００上，所以，
一ＢＥ—ＰＥ。一ＭＢ丛—一。Ｂ丝Ｆ。
５．在凸四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ交ＢＤ于点 ０，Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＤＣ的中点，且Ｍ、０、Ｎ三 点共线．作ＯＥ＿Ｌ ＡＤ于点Ｅ，ＯＦ上ＢＣ于点 Ｆ．求证：ＭＥ·ⅣＦ＝ＭＦ·ＮＥ．
么ＰＢＣ＝ａ一口，
１
从而，么ＰＡＣ＋么ＰＢＣ＝ｉ．Ｉｔ么ＢＡＣ＋出 ‘
故么ＰＡＢ＋么Ｐｃ８＝么ＰＡＣ＋么ＰＢＣ．
易证么ＡＰＣ一么ＡＢＣ＝么ＰＡＢ＋么ＰＣＢ， 么ＡＰＢ一么ＡＣＢ＝么ＰＡＣ＋么ＰＢＣ．
专题04 阿波罗尼斯圆与隐性圆问题-下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练(江苏版)(必修2)
一、 填空题1.如果圆(x －2a )2＋(y －3a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________． 解析：原问题可转化为：圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4和圆x 2＋y 2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d ＝＝，由两圆相交可得2－1<＜2＋1，解得－56<a <0.2.(2017·南通二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围是________．又BC 2＝4(4－OP 2)，OP ∈2，则BC ∈ [4，4]＝[－，＋]．法二：设BC 的中点为M (x ，y )，因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2，有4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得21＋(y －21)2＝23，所以点M 的轨迹是以21为圆心，22为半径的圆，所以AM 的取值范围是2，所以BC 的取值范围是[－，＋]．3.已知x ，y 满足0≤x ≤，则x －3y －2的取值范围是________．解析：由已知得x 2＋y 2≤4(x ≥0)，则点(x ，y )在以(0,0)为圆心，2为半径的右半圆内，x －3y －2＝2表示点(x ，y )和点(3,2)连线的斜率，设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y ＋2－3k ＝0，则k2＋1|2－3k|＝2，解得k ＝0或k＝512，故x －3y －2的取值范围是512.4.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＝16，点M (1,0)，动点P ，Q 分别在圆C 1和圆C 2上，满足MP ⊥MQ ，则线段PQ 的取值范围是________．解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x22＋y22＝16x12＋y12＝4，设PQ 的中点N (x ，y )，即N 2y1＋y2，则x 2＋y 2＝x1x2＋y1y2＝5＋21(x 1x 2＋y 1y 2)，由MP ⊥MQ ，得x 1x 2＋y 1y 2＝x 1＋x 2－1＝2x －1，所以x 2＋y 2＝5＋x －21，即21＋y 2＝419.因为PQ ＝2MN ，MN ∈2＋1，所以PQ ∈[－1，＋1]5.已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若圆O 上存在两点A ，B ，直线y ＝2上存在点M ，满足λ＝(λ>0)，则λ的取值范围是________．6. (2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若·≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，由·≤20，易得2x －y ＋5≤0，由x2＋y2＝502x －y ＋5＝0，可得A ：y ＝－5x ＝－5或B ：y ＝7x ＝1，由2x －y＋5≤0得P 点在圆左边弧上，结合限制条件－5≤x ≤5，可得点P 横坐标的取值范围为[－5，1]．7.已知变量a ，θ∈R ，则(a －2cos θ)2＋(a －5－2sin θ)2的最小值为________．解析：(a ，a －5)在直线x －y －5＝0上，点(2cos θ，2sin θ)在圆x 2＋y 2＝4上，圆心到直线x －y －5＝0距离的为5，则圆上点到直线距离最小值为3，故所求为9.8.已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P (2,0)，则|＋＋|的最大值________．9.已知直线l ：x ＋3y ＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝1－2a 2(a >0)，过原点的直线l 1与直线l 垂直，l 1与圆C 交于M ，N 两点，则当△CMN 的面积最大时，圆心C 的坐标为________．解析：圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1，直线l 1：3x －y ＝0，当CM ⊥CN 时，△CMN 的面积最大，此时C 到l 1的距离为22，则10|3a －a|＝22，a ＝25，圆心C (25，25)．二、解答题10.过A (4,0)的直线l 交抛物线D ：y 2＝4x 于M 、N 两点．是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解析：假设存在直线m ：x ＝a 满足题意，设M (x 1，y 1)，则M (2x1＋4，2y1)，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G .可得EG 2＝MG 2－ME 2，即EG 2＝MA 2－ME 2＝1－－a x1＋4 ＝41y 12＋4x1＋42＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，EG 2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2.因此存在直线m ：x ＝3满足题意．11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0<t <8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P 、Q 过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C .(1)求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上；(2)圆C 是否恒过异于点F 1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．解析：(1)法一：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以可得P ，t t －8，Q ，t 8－t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)，则线段F 1R 的中垂线方程为x ＝－2t ，线段PF 1的中垂线方程为y ＝－21x ＋85t －16，由2t 得△PRF 1的外接圆的圆心坐标为－27t ，经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．所以圆心坐标为(－2t ，87t －2)，经验证，该圆心在定直线7x＋4y ＋8＝0上．②由①可得圆C 的方程为x 2＋y 2＋tx ＋(4－47t )y ＋4t －16＝0，该方程可整理为(x 2＋y 2＋2y －16)＋t (x －47y ＋4)＝0，则由y ＋4＝07 解得1332或y ＝0x ＝－4，所以圆C 恒过异于点F 1的一个定点，该点坐标为1332.12.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解析：因为AQ ⊥BP ，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·.当直线l 与x 轴垂直时，得P (－2，－25)．则＝(0，－25)，又＝(1,2)，所以·＝·＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由x ＋2y ＋7＝0，x ＋2，解得P 1＋2k －5k.所以＝1＋2k －5k .所以·＝·＝1＋2k －5－1＋2k 10k ＝－5.综上所述，·是定值，且·＝－5.。
阿波罗尼斯圆1参考答案
1、
|
2a 2 1
|
；2、
(,
3]
[ 3, ) ；3、 2 3 ；4、 16 ；5、
3
3
10 ；
6、（1） (x 1)2 ( y 2)2 2 ；（2）①②③；7、 k 3 ； 4
4、“阿氏圆”，以 GH 中点为坐标原点， GH 为 x 轴，建立平面直角坐标系，设 P x , y
x0 2
x0 2
QN : y y0 2 x 2 ，令 y 0 得 e 2x0
x0
2 y0
∴ ME 2 2x0 4 2(x0 y0 )
2 y0
2 y0
∴ SMNEF
1 2
ME NF
1 2
2(x0 y0 ) 4 x0 2
2(x0 y0 ) 4 y0 2
2 (x0 y0 2)2 (x0 2)( y0 2)
n0
。
3
∴点 C 的坐标为（-2,0）。
∴ 2 MA MB MC MB ,
因此 MC MB 的值最小，且为 10 。
7、设
P(x1,
y1)
、
Q(x2
,
y2
)
，∴
M
(
x1 mx2 1 m
,
y1 my2 1 m
)
，结合定比分点公式可知，
PM mMQ ，根据 FP FM FQ FM 的几何意义，FM 为∠PFQ 的角平分线，结合角 | FP | | FQ |
设 SMNEF
SMNE
SMEF
1 ME NF 2
设 Q(x0, y0 ), E(e, 0), F(0, f ) （其中 x0 0, y0 0, x02 y02 4 ）
专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点3 阿波罗尼斯圆与向量
8．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足 ( 且 ，t为常数)，则 点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，动点P满足 ，则P点的轨迹 为圆，该圆方程为_________；过点 的直线交圆 于两点 ，且 ，则 _________．
【详解】不妨设 ，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ，
设
故动点 的轨迹为圆，由 恒成立，则
故答案为
【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题
6．4
【解析】设点 ,根据 列出关于 的关系式,再数形结合分析即可.
【详解】设点 ,因为点 是直线 上的动点,故 .
由 得 ,化简得 .
4． .
【详解】分析：设 ，根据 得到关于 的函数，由题意可得该函数在区间 上有两个不同的零点，然后根据二次函数的相关知识可得实数 的取值范围．
详解：如图，设 ，则 ，
则 ，
又 ，
∴ ．
∵满足 的点 恰有两个，
∴关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数根．
设 ，
则函数 在区间 上有两个不同的零点，
∴ ，解得 ．
9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为4，动点 满足 ，则动点 的轨迹所围成的图形的面积为___________； 最大值是___________.
10．在平面四边形ABCD中， ， ， ．若 ，则 的最小值为____．
由“边角边”公理可得： ，
，
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（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若 = ，求m的值；
①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，（NA+ NB）的最小值．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 AM+CM它的最小值．
阿波罗尼斯圆专题训练试题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，CA＝9，⊙C半径为3，P为⊙C上一动点，连结AP，BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A. 7 B. 5 C. 4＋ D.2
1．如图，在Rt△ABC中，CB＝4，CA＝5，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP＋ BP的最小值为__________．
7．如图，AC=2，BC= AB，则△ABC面积的最大值为___________．
5．如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为 ，P是圆O上一动点，求PA+ PB的最小值．
6．已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值．
2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣ x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
2．如图，正方形ABCD边长为2 ，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+ PD的最小值为______．
3．如图，等边三角形ABC边长为4 ，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋ CP的最小值为______________．
4．如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋ PN的最小值为_______________
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+ E′B的最小值．
1．如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y= x+ ．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；