分层目标规划问题
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❖ 3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，是一律要 满足的“硬约束”。目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的 考虑。
❖ 所以，目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多 实际问题。目标规划的应用范围很广，包括生产作业计划、 投资决策优化、市场战略、人力资源管理、环境保护、土 地利用规划等。
§7.2 目标规划的基本概念与数学模型
饱满，保证员工情绪稳定，厂领导最近决定每周的总人工
工时都要超过一定的标准。根据这一要求，下周还至少还 要通过生产A、B这两种产品提供70个工时的工作。另外， 根据生产计划的安排，该厂下周有10个单位尚未安排的机 器台时可供制造这两种产品。已知生产每件产品A的利润为 500元，每件产品B的利润是300元。试问：该厂在下周各 应生产多少件A、B产品，才能尽可能满足管理层所希望实 现的以下三个目标：①总利润最大；②所需工时最大；③ 所需机器台时最小。
42 d1 d1 70
(7.3)
因为用掉的工时是42小时，所以员工空闲28小时（70-42=28)。此时，若
令
, d1 （2因8为显然d没1有加0班），可使等式（7.2）和（7.3）成立。
§7.2.1 目标规划的基本概念
Biblioteka Baidu
。 多出考的虑10小x时1 为，加5班x时2的间情。1况因0，此这意味着总工时消耗为80小时，
在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法—— 目标规划，用于弥补线性规划的上述局限性。
❖ 总的来说，目标规划和线性规划的不同之处可以从以下几 点反映出来：
❖ 1、线性规划只能处理一个目标，目标规划能统筹兼顾地处 理多个目标的关系，求得切合实际需求的解。
❖ 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。目标规划是 要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽 量满足约束的满意解，即满意方案。
解：设该厂能生产A、B产品的数量分别为 x1, x2 件，则
问题可描述为如下：
max Z1 500x1 300x2
max Z2 4x1 6x2
min Z3 x1 x2
s.t.
4 x
x1 6x2 1x2 10
70
x
j
0,
j 1, 2.
❖ 这个问题有三个目标函数，其中前两个目标和第三个目标 还是冲突的，无法同时达到。更为严重的是约束式之间也 是冲突的，所以可行域是空集（如图7.1所示），因而该问 题无解。但该厂要增加利润，不可能不生产A、B两种产品， 为了员工工作饱满，更需要开工生产，而线性规划模型无 法为其找到一个合适的方案。
x1, x2 0
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。 极可能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第 二方案，同时第二方案使第二目标的结果值优于第一方案。 也就是说很难找到一个最优方案，使两个目标的函数值同 时存达在到有最不优同。重另要外程，度对的于因多素目，标而问这题也，是还线存性在规有划多所x个无1, 目法x2 标解 决的。
本章内容
❖ §7.1 目标规划的提出 ❖ §7.2 目标规划的基本概念与数学模型 ❖ §7.3 应用EXCEL和LINGO求解目标简介
规划及应用举例
§7.1 目标规划的提出
目标规划（Goal programming）是在线性规划的基础上 为适应管理中的多目标决策需要而逐步发展起来的一个运 筹学分支。
§7.2.1 目标规划的基本概念
1偏差变量
对于例1中的问题，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条件“放 松”，比如机器的可用台时可以多于10的话，或者员工的工时可以少于70的话， 机时约束和工时约束就可以不再发生矛盾。
因此，目标规划引入了正、负偏差的概念，来表示决策值与目标值之间的差异，可以 将目标函数转化为目标约束。所谓目标值就是预先给定的某个目标的一个期望值。 决策值是当决策变量确定以后，目标函数对应值。
别为购买两种原材料的数量（公斤），f1 x1, x2 为花掉的资
金，f2 x1, x2 为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如
下： min f1 x1, x2 70x1 50x2
max f2 x1, x2 x1 x2
70x1 50x2 5000
s.t.
x1 x2 80 x1 20
§7.2.1 目标规划的基本概念
d
l
——正偏差变量，
d表l 示决0策值超出目标值的部分，下标 表示目标约束的
编号。目标规划里规定
；
d1—在—例负1的l偏问差题变中量，，为表了示表决示策员值工未工达作到不目饱标满值的的部可分能d，l性 目，0标把规线划性里规规划定的。工时约束条
件
转化为：
转化后的约束叫目标约束。新增4两x个1 偏6差x变2量 70、 ，分别表示工时少于或者多于
图7.1 例1问题的可行域
❖ 例2 某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为 70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元， 总购买量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如 何确定最好的采购方案，既可以使花掉的资金最少，又能 使购买的总量最大？
❖ 解： 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设 x1, x2 分
70小时的数量。 可以认为 表示员工空闲，
表示员工加班。
4x1 6x2 d1 d1 70
(7.1)
dl d1
dl
d1
§7.2.1 目标规划的基本概念
例如，如果 x1 6 ，x2 3，总工时为42小时，把这 些值替换到目标约束（7.1）中：
4 6 6 3 d1 d1 70
(7.2)
为没有员工空闲）
d1 10
高于目标10小时，
d1 （0因
以上的讨论可以看出，正负偏差变量中至少有一个为零。因为员工的工时不可
能同时少于和多于70小时。当然，当工时消耗时间等于70小时的时候， 和
目标规划是线性规划的变形，与线性规划不同的是，目 标规划中的目标函数考虑不止一个目标。目标规划的建模 过程和线性规划模型一样，都有线性约束条件和一个线性 目标函数，典型的求解方法也和线性规划模型极其相似。
❖ 例1 某工厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4 个工时和6个工时，所需设备的单位台时均为1。为了应对 近一年来的全球金融危机造成的恐慌，让员工感觉工作量
❖ 所以，目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多 实际问题。目标规划的应用范围很广，包括生产作业计划、 投资决策优化、市场战略、人力资源管理、环境保护、土 地利用规划等。
§7.2 目标规划的基本概念与数学模型
饱满，保证员工情绪稳定，厂领导最近决定每周的总人工
工时都要超过一定的标准。根据这一要求，下周还至少还 要通过生产A、B这两种产品提供70个工时的工作。另外， 根据生产计划的安排，该厂下周有10个单位尚未安排的机 器台时可供制造这两种产品。已知生产每件产品A的利润为 500元，每件产品B的利润是300元。试问：该厂在下周各 应生产多少件A、B产品，才能尽可能满足管理层所希望实 现的以下三个目标：①总利润最大；②所需工时最大；③ 所需机器台时最小。
42 d1 d1 70
(7.3)
因为用掉的工时是42小时，所以员工空闲28小时（70-42=28)。此时，若
令
, d1 （2因8为显然d没1有加0班），可使等式（7.2）和（7.3）成立。
§7.2.1 目标规划的基本概念
Biblioteka Baidu
。 多出考的虑10小x时1 为，加5班x时2的间情。1况因0，此这意味着总工时消耗为80小时，
在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法—— 目标规划，用于弥补线性规划的上述局限性。
❖ 总的来说，目标规划和线性规划的不同之处可以从以下几 点反映出来：
❖ 1、线性规划只能处理一个目标，目标规划能统筹兼顾地处 理多个目标的关系，求得切合实际需求的解。
❖ 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。目标规划是 要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽 量满足约束的满意解，即满意方案。
解：设该厂能生产A、B产品的数量分别为 x1, x2 件，则
问题可描述为如下：
max Z1 500x1 300x2
max Z2 4x1 6x2
min Z3 x1 x2
s.t.
4 x
x1 6x2 1x2 10
70
x
j
0,
j 1, 2.
❖ 这个问题有三个目标函数，其中前两个目标和第三个目标 还是冲突的，无法同时达到。更为严重的是约束式之间也 是冲突的，所以可行域是空集（如图7.1所示），因而该问 题无解。但该厂要增加利润，不可能不生产A、B两种产品， 为了员工工作饱满，更需要开工生产，而线性规划模型无 法为其找到一个合适的方案。
x1, x2 0
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。 极可能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第 二方案，同时第二方案使第二目标的结果值优于第一方案。 也就是说很难找到一个最优方案，使两个目标的函数值同 时存达在到有最不优同。重另要外程，度对的于因多素目，标而问这题也，是还线存性在规有划多所x个无1, 目法x2 标解 决的。
本章内容
❖ §7.1 目标规划的提出 ❖ §7.2 目标规划的基本概念与数学模型 ❖ §7.3 应用EXCEL和LINGO求解目标简介
规划及应用举例
§7.1 目标规划的提出
目标规划（Goal programming）是在线性规划的基础上 为适应管理中的多目标决策需要而逐步发展起来的一个运 筹学分支。
§7.2.1 目标规划的基本概念
1偏差变量
对于例1中的问题，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条件“放 松”，比如机器的可用台时可以多于10的话，或者员工的工时可以少于70的话， 机时约束和工时约束就可以不再发生矛盾。
因此，目标规划引入了正、负偏差的概念，来表示决策值与目标值之间的差异，可以 将目标函数转化为目标约束。所谓目标值就是预先给定的某个目标的一个期望值。 决策值是当决策变量确定以后，目标函数对应值。
别为购买两种原材料的数量（公斤），f1 x1, x2 为花掉的资
金，f2 x1, x2 为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如
下： min f1 x1, x2 70x1 50x2
max f2 x1, x2 x1 x2
70x1 50x2 5000
s.t.
x1 x2 80 x1 20
§7.2.1 目标规划的基本概念
d
l
——正偏差变量，
d表l 示决0策值超出目标值的部分，下标 表示目标约束的
编号。目标规划里规定
；
d1—在—例负1的l偏问差题变中量，，为表了示表决示策员值工未工达作到不目饱标满值的的部可分能d，l性 目，0标把规线划性里规规划定的。工时约束条
件
转化为：
转化后的约束叫目标约束。新增4两x个1 偏6差x变2量 70、 ，分别表示工时少于或者多于
图7.1 例1问题的可行域
❖ 例2 某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为 70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元， 总购买量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如 何确定最好的采购方案，既可以使花掉的资金最少，又能 使购买的总量最大？
❖ 解： 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设 x1, x2 分
70小时的数量。 可以认为 表示员工空闲，
表示员工加班。
4x1 6x2 d1 d1 70
(7.1)
dl d1
dl
d1
§7.2.1 目标规划的基本概念
例如，如果 x1 6 ，x2 3，总工时为42小时，把这 些值替换到目标约束（7.1）中：
4 6 6 3 d1 d1 70
(7.2)
为没有员工空闲）
d1 10
高于目标10小时，
d1 （0因
以上的讨论可以看出，正负偏差变量中至少有一个为零。因为员工的工时不可
能同时少于和多于70小时。当然，当工时消耗时间等于70小时的时候， 和
目标规划是线性规划的变形，与线性规划不同的是，目 标规划中的目标函数考虑不止一个目标。目标规划的建模 过程和线性规划模型一样，都有线性约束条件和一个线性 目标函数，典型的求解方法也和线性规划模型极其相似。
❖ 例1 某工厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4 个工时和6个工时，所需设备的单位台时均为1。为了应对 近一年来的全球金融危机造成的恐慌，让员工感觉工作量