统计学第4章抽样调查

抽样调查的理论基础 概率论
大数定律
中心极限定理
大数定律
• 大数定律是指在随机试验中，每次出现的结
果不同，但是大量重复试验出现的结果的平
均值却几乎总是接近于某个确定的值。其原 因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然 的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从 而使现象的必然规律性显示出来。
• 例如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情况，
发现有的生男，有的生女，没有一定的规律
性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和
女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。
中心极限定理（P97)
• 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但
没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极
限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机 变量的平均数是以正态分布为极限的。
论证了：
地图：在地图上将调查单位分布在各个地区， 然后根据地区进Hale Waihona Puke Baidu抽样。
（五）样本可能数目
样本可能数目又称样本个数，是指从一个有N
个单位的总体中抽取容量为n的样本时，有
可能出现的所有样本的个数。
重置抽样考虑顺序时，样本可能数目 M Nn 不重置抽样时，样本可能数目为： N! M n!( N n)!
后，再把这个单位重新放回总体，使之继续参加下次抽 选。这种抽选法也称为回置抽样或重置抽样。
重复抽样法由于前一次抽中的单位又被放回总体中， 不会影响后面的抽选，所以总体中每个单位被抽中的机
会均等连续抽选各单位都是独立进行的的。
2、不重复抽样 不重复抽样是指每次从总体中抽取一个单位进行观察 后不再把这个单位重新放回总体，这个总体单位不再继续 参加下次抽选。这种抽选法也称为不回置抽样或不重置抽 样。 不重复抽样法由于每次抽中的单位不再放回总体中， 每抽选一次，总体中的单位就减少一个，使连续抽选的 各个单位不相互独立。但是总体中各单位被抽中的机会 仍然是均等的！ 不重复抽样按是否考虑抽选样本单位的顺序，又可分 为有顺序不重复抽样和无顺序不重复抽样两种。有顺序 不重复抽样即通常所说的不重复排列。按这种抽样方法 只要有一个单位不同，就算不同的样本。
全及总体指标：参数 （未知量） 统计推断 样本总体指标：统计 量（已知量）
特点之二：按随机原则抽取样本
并非所有 随机样本： 与总体分布 的抽样估 特征相同 计都按随 机原则抽 取样本。 非随机样本： 也有非随 与总体分布 特征不同 机抽样。
特点之三：存在估计误差，并可加以控制。
抽样 推断 误差
登记误 差 代表性误 差
xX x Xx x x x
p P p P p p p p
p 其中 x 、 分别表示抽样平均数和抽样成数的极限误 差。
五、抽样估计的可靠程度
抽样极限误差通常要以抽样平均误差为尺度来度
量，也就是说，抽样极限误差的大小相当于几个抽样
抽样误差范围的实际意义是要求被估计的 全及指标 X 或P落在抽样指标一定范围内，即
落在 x x 或 p p 的范围内。 例
当F(t)=68.27%时，抽样极限误差等于抽样平均误差 的1倍(t=1);
( x x) 2

计算平均数即平均工资：
xf 28000 x 560 ( 元） f 50
2 （ x x ) f 52640 样本 s 标准差 32 . 45 ( 元） f 50
s 32 . 45 抽样平 均 误 差 4 . 59 ( 元） x n 50
(二)区间估计
是根据样本指标和抽样误差去推断全及
指标的可能范围，它能说清楚估计的准确程
度和把握程度。
根据中心极限定理，得知当n足够大时，抽样 总体为正态分布，根据正态分布规律可知，样本 指标是以一定的概率落在某一特定的区间内，统
计上把这个给定的区间叫抽样极限误差，也称置
信区间，即在概率F(t)的保证下： 抽样极限误差△=tμ ，（t为概率度） 可见，抽样极限误差，即扩大或缩小了以 后的抽样误差范围。
平均误差，能有多大的概率保证误差不超过此范围。
t是测量估计可靠程度的 一个指标，称为抽样误 差的概率度 概率保证程度用 F ( t) 表示。 其中 t x 或 t. x x
x
• • • •
当t=1时，F(t)=0.6827; 当t=1.5时，F(t)=0.8664; 当t=2时，F(t)=0.9545; 当t=3时，F(t)=0.9973.
x

n 2 n
x
抽样平均数的平均误差例题： 某工厂有1500个工人，用简单随机重复抽样的 方法抽出50个工人作为样本，调查其工资水平 资料如下：
月平均工资（元） 52 4 工人数 4 53 4 6 54 0 9 55 0 10 56 0 8 580 6 60 0 4 660 3
计算样本平均数和抽样平均误差。
2.不重置抽样：
x
2
Nn

n
N 1
但 实 际 中 ， 往 往 N 很 大 ， n 很 小 ， 故 改 用 下 列 公 式 ：
2 n ( 1 ) x n N
上 例 中 ， 若 为 不 重 复 抽 样 ， 则 ： 4 0 0 1 0 0 (1 ) 1 .9 9 (小 时 ) x 1 0 0 1 0 0 0 0
调查(随机抽样)：按照随机原则从总体中抽 取一部分单位进行观察，并运用数理统计的 原理，以被抽取的那部分单位的数量特征为
代表，对总体作出数量上的推断分析。
抽样调查的特点：
1.按随机原则抽选调查单位； 2.用样本推断总体； 3.在调查之前可以计算和控制抽样误差。
抽样调查（抽样推断）的概念
抽样推断：即根据样本统计量推断总体参数的 过程。也叫抽样估计。 抽样调查的特点之一：由部分推断总体
误差大，则样本指标代表性低； 误差小，则样本指标代表性高； 误差等于0，则样本指标和总体指标一样大。
2. 说明样本指标和总体指标相差的一般范围。
抽样误差的意义：
指所有可能样本的指标（所有的统计量）
与总体指标（参数）的平均离差，反映 抽样误差的一般水平。
二、抽样平均误差
抽样平均误差指所有可能样本（统计量）的指 标与总体指标（参数）的平均离差。通常用μ 表示。其定义为：
(二) 总体成数的抽样平均误差
1.重置抽样
p ( 1 p ) p n n

2.不重置抽样：
n
2
p
N n

N 1


p（ 1-p） N n n N 1
抽样成数的平均误差例题：
某钢铁厂生产某种钢管，现从该厂某月生产的500根产 品中抽取一个容量为100根的样本。已知一级品率为 60%，试求样本一级品率的抽样平均误差。 解：已知p=60% 、n=100、N=500
(一)点估计
就 是 由 样 本 指 标 直 接 代 替 全 及 指 标 ， 不 考 虑
任 何 抽 样 误 差 因 素 。 即 用 x 直 接 代 表 X ， 用 p 直 接 代 表 P 。
例 在 全 部 产 品 中 ， 抽 取 1 0 0 件 进 行 仔 细 检 查 ， 得
到 平 均 重 量 x1 0 0 2 克 ， 合 格 率 p 9 8 % ， 我 们 直 接 推 断 全 部 产 品 的 平 均 重 量 X 1 0 0 2 克 ， 合 格 率 P 9 8 % 。
解：先列表 x 524 534 540 550 560 580 600 660 f 4 6 9 10 8 6 4 3 50
(x x)2 f xf 2096 1296 5184 3204 676 4056 4860 400 3600 5500 100 1000 4480 0 0 3480 400 2400 2400 1600 6400 1980 10000 30000 28000 52640
第四章
抽样调查
• 重点与难点：
• 重点：
抽样调查的意义 抽样平均误差的意义及计算
总体参数的点估计与区间估计的方法
• 难点：
抽样平均误差的计算
总体参数的区间估计
• 学习内容：
一、抽样调查的基本问题 二、抽样误差 三、参数估计 四、抽样调查的组织形式
第一节 抽样调查的基本问题
一、抽样调查的意义 一般所讲的抽样调查，即指狭义的抽样
（四）抽样框
抽样框 ——是指包含有全部总体单位及其主要指标特
征的一个框架或列表。
以确定总体的抽样范围和结构。设计出了抽 样框后，便可采用抽签的方式或按照随机数
表来抽选必要的单位数。若没有抽样框，则
不能计算样本单位的概率，从而也就无法进
行概率选样。
（四）抽样框
抽样框 的形式一般有两种： 一览表：表中列出所有总体单位。
重复抽样下：
p ( 1 p ) 60 % 1 60 % 4 . 9 % p n 100
不重复抽样下：
p

p 1 p n 1 n N
60% (1 60%) 100 (1 ) 4.4% 100 500
四、抽样极限误差
样本指标围绕总体指标左右两侧波动形成的一定范围。 把可允许的误差范围叫做抽样极限误差，即
X

2
总体成数P
总体标准差 总体方差
样本成数p
样本标准差S 样本方差 S
2

(三) 抽样方法
重置抽样：即有放回抽样。 不重置抽样：即无放回抽样，每个总体只能 有一次被抽中的机会。
样本单位的抽选方法
在组织抽样调查时，根据样本单位是否重复抽取，
分别有重复抽样和不重复抽样两种方法。
1、重复抽样 重复抽样是指每次从总体中抽取一个单位进行观察
2 ( x X ) 总 体 平 均 数 的 抽 样 平 均 误 差 x
M
p ( 1 p ) 总 体 成 数 的 抽 样 平 均 误 差 p M 其 中 ， M 表 示 所 有 可 能 的 样 本 数 目 。
三、抽样平均误差的计算
(一) 总体平均数的抽样平均误差
1.重置抽样
或
• 这就表明，抽样误差范围与可靠程度之间的数 量关系。当抽样误差范围扩大时，就可以提高 抽样推断的可靠程度；反之，缩小抽样误差范
围，推断的可靠程度就降低。
第三节 参数估计
一、点估计和区间估计
只要在样本代表性大，且对全及指标精确
性要求不高的情况下，可采用点估计法。如
能满足下列三个准则： 无偏性 一致性 有效性 就会得到合理的估计。
用设计、培训、管理等 方法消除 用抽样方法、样本容量 等手段控制
二、抽样调查的适用范围
抽样调查方法是市场经济国家在调查方
法上的必然选择，和普查相比，它具有准确
度高、成本低、速度快、应用面广等优点。
一般适用于以下范围：
1.总体范围较广，不需要了解每一个别单位的情况；
2.对破坏性或消耗性产品的质量进行检验；
1、如果总体很大，而且服从正态分布，样本平均数的 分布也同样服从正态分布。 2、如果总体很大，但不服从正态分布，只要样本容量 足够大，样本平均数的分布趋近于正态分布。 3、样本平均数的的平均数，等于总体平均数。
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念 抽样误差是指在抽样调查中，由于随机抽样的 偶然性因素，使样本的结构不足以代表总体的 结构，而引起的样本指标与总体指标之间的绝
(二) 参数和统计量
参数：描述总体特征的指标。 统计量：描述样本特征的指标。
抽样推断的目的就是要通过对样本的平均数、成数的标 准差（或方差）的测量来推断总体的相应特征值。
主要统计特征数及符号
总体参数 特 征 数 及 符 号 总体单位数N 总体平均数 样本统计量 样本（单位数）容量n 样本平均数 x
对离差。
即指随机误差，这种误差是抽样调查固有的误 差，是无法避免的。
即 xX 、 p P 。
抽样误差的影响因素：
1. 总体标志变异程度。——正方向变化关系 2. 抽样单位数目的多少，即样本容量。 ——反方向变化关系 3. 不同的抽样方法。 4. 不同的抽样组织形式。
抽样误差的作用：
1. 在于说明样本指标的代表性大小。
3.对普查或全面调查的统计资料进行检查和修正。
三、抽样调查的几个基本概念
(一) 总体和样本
总体：所要调查观察的全部事物。 总体单位数用N表示。 总体可以分为有限总体和无限总体。 样本：从总体中抽取出来那部分单位所组成的集合体。 样本是总体的一个缩影。 抽样总体的单位数，即样本容量，用n表示。 n ≥ 30 大样本 n < 30 小样本