概率论试题含解析

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，则__

(|)P B A 等于 （A ）0； （B ）1/3； （C ）2/3； （D ）2/5.

答：（ B ） 2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数,则下列选项正确的是 （A ）()f x 连续； （B ）()(),P X a f a a R ==∀∈； （C ）()f x 的值域为[0,1]； （D ）()f x 非负。

答：（ D ） 3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而

（A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。

答：（ A ） 4、已知连续型随机变量X Y 、相互独立,且具有相同的概率密度函数()f x ，设随机变量

min{,}Z X Y =，则Z 的概率密度函数为

（A ）2

)]([z f ； （B ）

2()()z f u du f z -∞

⎰； （C ）2

)](1[1z f --； （D ）

2(1())()z

f u du f z -∞

-⎰.

答:（ D ）

5、设12+1,,,,,,m m n X X X X X L L 是来自正态总体(0,1)N 的容量为n 的简单样本，则统计量

2

12

1

()m

i i n

i i m n m X m X ==+-∑∑服从的分布是

（A ）(,)F n m m - （B ）(1,1)F n m m --- （C ）(,)F m n m - （D ）(1,1)F m n m ---

答:（ C ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

6、某人投篮，每次命中的概率为2

3

，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.

7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0,

x Ae x f x --⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它，则常数A =12. 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0

(,)0,x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩

其它，则概率

(1)P Y ≤=23. 9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则

)(Y X D -=.

10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X （单位：cm ）服从正态分布

2

(,0.3)N μ，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值_

x ＝，则μ的置信度为的置信区间为(0.924,1.316).

（已知0.025 1.96z =，0.05 1.65z =，0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =）

三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为, , .顾客购买时，

售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字） 解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品，

0,1,2i =，则所求概率为

12、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为

22(),01

()3

0,x

x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩

其它， （1）求概率(01/2)P X <<；（2）求1

()E X

.

解：（1）由题意

（2）由随机变量函数的数学期望的性质

13、已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,011,1x F x A x x x ≤⎧⎪

=<<⎨⎪≥⎩，

（1）求常数A ；（2

）求(1/22)P X ≤<；（3）求X 的概率密度函数()f x .

解：（1）由分布函数的性质

因此可得 2...........................................................................(3')A = （2）由分布函数的性质 （3）由密度函数的定义

01()()............(10')0,x dF x f x dx <<==⎩

其它

14、已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为

,0(,)0,

y e x y

f x y -⎧<<=⎨

⎩其它， （1）求概率(1)P X Y +≤；

（2）分别求出(,)X Y 关于X Y 、的边缘密度函数()()X Y f x f y 、 ,并判断,X Y 是否独立。

解：（1）由题意

（2）由边缘密度函数的定义

因为当0,0x y >>时，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X Y 、不独立。.........(10') 15、已知二元离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为

（1）分别求出(,)X Y 关于X Y 、的边缘分布律；（2）分别求出,,,,.XY EX EY DX DY ρ

解：（1）(,)X Y 关于X 的边缘密度函数为0

1............................(2')0.20.8⎛⎫ ⎪⎝⎭

(,)X Y 关于Y 的边缘密度函数为10

1..........................(5')0.10.30.6-⎛⎫ ⎪⎝⎭

（2） 由（1）可得0.8,0.16;0.5,0.45..................(7')EX DX EY DY ==== 又()(1)10.08110.480.40.......................................(8')E XY =-⨯⨯+⨯⨯= 则

16、已知总体X 服从参数为(01)p p <<的几何分布，即X 的分布律为

()1(1)x P X x p p -==-，1,2,x =L ，若12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个容量为n 的简单样本，求参数p 的最大似然估计量。

解：似然函数为11()(1)............................................................(3')i n

x i L p p p -==-∏

四、应用题（本大题共1个小题，5分）。

17、一系统由n 个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有

80%的部件正常工作，系统才能运行。问n 至少为多大时，才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知(1.65)0.95Φ=）

解：设X 表示n 个部件中正常工作的部件数，则(,0.9).................(1')X b n :

由中心极限定理(0.9,0.09)......................................................(2')X N n n :近似

由题意，要求满足(80%)0.95X

P n

≥≥的最小的n ，而

即n 至少为25. ...........................................................................................(5') 五、证明题（本大题共1个小题，5分）。

18、已知一母鸡所下蛋的个数X 服从参数为λ的泊松分布，即X 的分布律为

(),0,1,2,!

k e P X k k k λ

λ-===L ，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p .证明：这只母

鸡后代（小鸡）的个数Y 服从参数为p λ的泊松分布，即

()

()(),0,1,2!

r p p P Y r e r r λλ-===L .

证明：由题意，对任0,1,2r =L