第六章 第三节 辐角原理及应用

D1 = D − D0内解析.下证 f ( z )在D1内部至多只有
∵周线内部是有界区域, ∴ 存在收敛子列 ank ⊆ {an } ,
{ }
设 lim ank = a ⇒ lim f (ank ) = 0 = f (a ),
k →∞ k →∞
由于f ( z )沿C连续且不为零, 所以a ∈ D1.
1 由于 沿任意一条围绕原点的周线正向积分为2π i, w 负向积分为 − 2π i, 任意一不围绕原点的周线积分为0. 1 dw 从而 ∫Γ w 为Γ围绕原点的正向圈数与负向圈 2π i 数的代数和 → Γ绕原点的圈数.用∆ C arg f ( z )表示当z沿C一周
时f ( z )的辐角改变量, 则∆ C arg f ( z )一定是2π的整数倍，且
= N ( f , C ' ) − P( f , C ' )
=
∆ C ' arg f ( z ) 2π
∆C arg f (z) 1 f ′(z) = = ∫ f (z) dz 2π 2πi C
例3
设n次多项式
n
P(z) = a0 z + a1z
n−1
+⋯+ an
(a0 ≠ 0)
在虚轴上无零点试证它的零点全在左半平面Re z < 0 , 内的充要条件是 ∆arg P(iy) = nπ.
n
在点a的邻域内解析, 且于g (a ) ≠ 0.于是
′( z ) = n( z − a) n −1 g ( z ) + ( z − a) n g ′( z ), f n g ′( z ) n n = ( z − a) g ( z ) + ( z − a) g ( z ) z−a g ( z)
f ′( z ) n g ′( z ) n g ′( z ) = + ; = f ( z) + f ( z) ; ⇒ z−a g ( z) f ( z) z − a g ( z)
1 f ′(z) 1 ∫ f (z) dz = 2π ∆Carg f (z). 2πi C
2．辐角原理 ．
在定理6.9条件下, f ( z )在周线C内部的零点 个数与极点个数之差, 等于当z沿C正向绕行一周 后, arg f ( z )的改变量∆ C arg f ( z )除以2π , 即
1 N( f , C) − P( f , C) = ∆Carg f (z). 2π
f ′( z ) 在C的内部及C上除去在C内部有一阶极 f ( z)
点ak (k = 1, 2,⋯ , p )及b j ( j = 1, 2,⋯ , q )外均解析,
故由留数定理及引理6.4得,
1 ∫ 2πi C
p f ′( z ) q f ′( z ) ′(z) f dz= ∑ Re s + ∑ Re js z = ak f ( z ) j =1 z =b f ( z ) f (z) k =1
由唯一性定理在D1上有f ( z ) ≡ 0, 矛盾.
f ( z )在D内部至多只有有限个零点.
1 根据零点与极点的互为倒数关系，考虑 , f ( z) 1 显然， 满足条件（）、（2） 1 ⇒ f ( z) 1 在D内部至多也只有有限个零点. f ( z)
从而，f ( z )在C内部至多只有有限个零点和极点。
= ∑ nk + ∑ (−m j )
k =1
j=1
p
q
= N( f , C) −P( f , C).
1 z 例1 计算积分 ∫ z =4 z10 − 1 dz. 2π i 解 设 (z) = z10 −1, f
9
则 (z)在 z = 4上 析 不 于 , f 解 且 等 零
故
f (z)在 z = 4 部 析有 个 点 内 解 , 10 零 , 9 10 1 z 1 1 (z −1)′ ∫z =4 z10 −1dz = 10 2πi ∫z =4 z10 −1 dz 2πi
w0 = f ( z0 )
C
z0
Γ →
w= f ( z )
Argw
1 1 β µ ′(t ) 1 β f ′(λ (t )) dt = = λ ′(t )dt = ∫α f (λ (t )) 2π i 2πi ∫α µ (t ) 2πi
1 f ′(z) ∫ f (z) dz 2πi C
dw ∫Γ w
注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.
证明 由上命题可知, f ( z )在C的内部至多只有有限个零点和极点,
设ak (k = 1, 2,⋯ , p )为f ( z )在C内部的相异 零点, 其阶相应地为nk ;
设b j ( j = 1, 2, ⋯ , q )为f ( z )在C内部的相异
极点, 其阶相应地为m j ; 由引理6.4可知,
(1) f ( z )在C的内部除可能有极点外是解析的,
(2) f ( z )沿C上连续且不为零,
则 f ( z )在C内部至多只有有限个零点和极点。 证明 设D0为f ( z )在D内的极点全体, 则f ( z )在区域
有限个零点. 事实上，如果存在{an } ⊂ D1使得f (an ) = 0，
则
∆ C arg f ( z ) 6π = 3 = N ( f , C) = 2π 2π
注2 若定理6.9条件(2)减弱为" f ( z )连续到边界C ,
且沿C , f ( z ) ≠ 0", 则辐角原理仍成立 ' ' 在C内取C , C 内含f ( z )在C内部全部零点和极点, 则
N( f , C) − P( f , C)
第三节 辐角原理及应用
1. 对数留数 2. 辐角原理 3. 儒歇(Rouche)定理 儒歇 定理
第二十三、二十四讲
一、对数留数
1 f ′( z ) 定义 具有下列形式的积分: ∫Γ f ( z ) dz 2π i
f ′( z ) 称为f ( z )关于曲线Γ的对数留数. = [ln f ( z )]′ f ( z)
注1 若f ( z )在C上及C内解析, 且f ( z )在C上不为零, 则
1 f ′(z) 1 N( f , C) = ∆Carg f (z) (= ∫ f (z) dz) 2πi C 2π
例2 设f ( z ) = ( z − 1)( z − 2) ( z − 4)
2
C: z =3
试验证辐角原理. 解
1 1 = (N( f , C) − P( f , C)) = (10 − 0) =1. 10 10
二、辐角原理
1. 对数留数的几何意义 围线C : z = λ (t ), α ≤ t ≤ β , λ (α ) = λ ( β ),
经变换w = f ( z )的像为
Γ : w = f (λ (t )) = µ (t ), α ≤ t ≤ β , µ (α ) = µ ( β );
N ( f , CR ) = 0
R →+∞
∀R成立,
故 0 = lim ∆ CR arg P( z )
= lim ∆ Γ R arg P( z ) + lim ∆ ( R →− R ) arg P(iy )
R →+∞ R →+∞
而
∆ Γ R arg P( z ) = ∆ Γ arg a0 z n (1 + g ( z )) R
f ′( z ) m h′( z ) ⇒ =− + ; f ( z) z − a h( z )
h′( z ) 由于 在点b的邻域内解析, h( z ) f ′( z ) f ′( z ) 故b必为 的一阶极点,且 Rebs = −m. z= f ( z) f ( z)
命题
设C是一条周线, f ( z )符合条件
定理6.9 定理
设C是一条周线, f ( z )符合条件
(1) f ( z )在C的内部是亚纯的,
(2) f ( z )在C上解析且不为零,
1 f ′(z) 则有 ∫ f (z) dz = N( f , C) −P( f , C). 2πi C
f (z)在C 内 f (z)在C 内 的零点个数的极点个数
g ′( z ) 由于 在点a的邻域内解析, g ( z)
f ′( z ) f ′( z ) 故a必为 的一阶极点,且 Reas = n. z= f ( z) f ( z) (2) 若b为f ( z )的m阶极点, 则在点b的邻域内有 h( z ) , f ( z) = m ( z − b)
且连续到C , 且在 C 上满足条件 f ( z ) > ϕ ( z ) ;
故在C上有 f ( z ) > 0,
f ( z ) + ϕ ( z ) ≥ f ( z ) − ϕ ( z ) > 0,
从而f ( z )及f ( z ) + ϕ ( z )满足定理6.9及注2条件, 由于这两个函数在 C 内解析, 于是由辐角原理 1 ∆ C arg( f ( z ) + ϕ ( z )) = N ( f + ϕ , C ), 2π 1 ∆ C arg f ( z ) = N ( f , C ); 而 2π ϕ ( z) ∆ C arg( f ( z ) + ϕ ( z )) = ∆ C arg f ( z )+∆ C arg(1 + ), f ( z) 由条件(2),
y(−∞ր ) +∞
即当点z自下而上沿虚轴从点∞走向 n 点∞的过程中, P ( z )绕原点转 圈. 2 证明 令周线C 由
R
Ri
CR
o -Ri ΓR
Γ R : z = Re
iθ
−
π
2
≤θ ≤
π
2
5月26日
及虚轴上从Riຫໍສະໝຸດ Baidu − Ri的有向线段所构成,
于 P(z)的 点 在 半 面Re z < 0 的 要 件 是 零 全 左 平 内 充 条 是
= ∆ Γ R arg a0 z n +∆ Γ arg(1 + g ( z ))
R
其中g ( z ) =
a1 z
n −1
+ ⋯ + an , n a0 z
所以 lim ∆ Γ R arg(1 + g ( z )) = 0,
R →+∞
在R → +∞时g ( z )沿Γ R一致趋于零.
另一方面又有
∆ Γ R arg a0 z = ∆
n
故
[− , ] 2 2
π π
arg a0 R e = nπ ,
n inθ
y(−∞ր+∞)
∆arg P(iy) = nπ.
三、儒歇(Rouche)定理
定理6.10 设 C是一条周线, 函数f ( z ) 及 ϕ ( z ) 满足条件 定理
(1) 它们在C的内部均解析, 且连续到C ;
(2) 在C上 f ( z ) > ϕ ( z ) ; 则函数f ( z )与f ( z ) + ϕ ( z )在C的内部有同样多(几阶算 几个 )的零点,即 N( f +ϕ, C) = N( f , C). 证明 由假设知,f ( z )及f ( z ) + ϕ ( z )在 C 内解析,
mh( z ) h′( z ) f ′( z ) = − + m +1 ( z − b) ( z − b) m
其中h( z )在点b的邻域内解析, 且h(b) ≠ 0.于是
m h( z ) h′( z ) h( z ) m h′( z ) =− + =− f ( z) + f ( z ), m m z − b ( z − b) h( z ) ( z − b ) z −b h( z )
f ( z )在z平面解析, 且在C内有
一阶零点z = 1, 二阶零点z = 2, ∴ N ( f , C ) = 3,
当z沿C转一周时,有
∆ C arg f ( z ) = ∆ C arg( z − 1) + ∆ C arg( z − 2) 2 + ∆ C arg( z − 4)
= 2π +2 ⋅ 2π +0 = 6π .
f ′( z ) 的一阶极点, 并且 Re s = −m. z =b f ( z) 证明 (1) 若a为f ( z )的n阶零点, 则在点a的邻域
f ′( z ) (2) 设b为f ( z )的m阶极点, 则b必为 f ( z)
内有 f ( z ) = ( z − a ) g ( z ), 其中g ( z )
说明: 1) 对数留数即函数f(z)的对数的导数 说明
f ′( z ) 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 f ( z)
f ′( z ) 在C内孤立奇点处的留数的代数和; f ( z)
的奇点.
f ′( z ) 引理6.4 (1) 设a为f ( z )的n阶零点, 则a必为 引理 f ( z) f ′( z ) 的一阶极点, 并且 Re s = n; z =a f ( z)