复变函数6.3_辐角原理及其应用
复变函数-幅角原理及其应用
f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一方面
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
dCdz来自[lnf(z)]dz
1
arg P iy n
y( Z )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。
例4 证明多项式 g(z) z4 3z+1 的全部4个零点都位 于 z 2 内。 例5 证明: 满足条件 at | a0 | | a1 | L | at1 | | at1 | | an|
4
8
在自动控制中，一些技术的稳定性归结为要求常系 数线性微分方程解的稳定性，而这类问题要求该方 程的特征多项式
P z a0zn a1zn1 L an
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
辐角原理及其应用
解 设f (z) z10 1, 则f (z)在 z 4上解析且不等于零,
f (z)在 z 4内部解析,有10个零点,
故 1
2 i
z
4
z9 z10 1
dz
1 10
1
2 i
(z10 1)' dz z 4 z10 1
1
{N ( f ,C) P( f ,C)}
10
1 {10 0} 1. 10
f (z) 的一阶极点,且 f (z)
Re s[ za
f (z)] f (z)
n.
(2) 若b为f (z)的m阶极点,则在点b的邻域内有
f
(z)
h(z) (z b)m
,
3
f
(z)
h(z) (z b)m
,
其中h(z)在点b的邻域内解析,且h(b) 0.于是
f
'(z)
mh( z ) (z b)m1
内的充要条件是 y( ) arg P(iy) n.
即当点z自下而上沿虚轴从点走向点的过程中, P(z) 绕原点转 n 圈.
2
14
证明 令周线CR由
R : z Rei
2
2
y
及虚轴上从Ri到 Ri的有向线段所构成,
Ñ 1 2πi
f ((t)) ' (t)dt f ((t))
1 2πi
' (t)
dt
(t)
1
2 i
dw w
由于 1 沿任意一条围绕原点的周线正向积分为2 i,
w
负向积分为 2 i,任意一不围绕原点的周线积分为0.
从而
1
2
i
Ñ
dw为围绕原点的正向圈数与负向圈 w
复变函数在数学中的应用
∫ I =
2π 0
p
dθ (2 cos
θ
)
>
0
做变换 z = cosθ +i sin θ ，则 2 cosθ = z + z−1 及dz = izdθ ，于是上述积分等 价于下述单位圆周上的积分：
∫ ∫ I = 1 i
|z |=1
dz zp(z +
z −1 )
=
1 i
z n−1dz |z|=1 zn p(z + z−1)
证明：思路是反证法，假设在原点的某个邻域内存在C1 解w . 我们将w 分解成
关于x 的奇部与偶部之和w = u +v ，其中u 关于x 是奇部。
由 f (x , y) = f (−x , y) 可知
∂u ∂x
+
ix
∂u ∂y
=
f
(x
,
y)
上述偏微分方程在x ≥ 0 处成立且满足u(0 , y) = 0 .
∪ 又
∞
D n=1 n
在 R2 中的余集是连通的且s = 0
时u = 0.
利用解析函数的唯一性定
理可知在圆盘 Dn 之外u = 0 . 特别地，在每一个圆盘 Dn 的边界 ∂Dn 上 u |∂Dn = 0
但是，利用格林公式有
0
=
∫ ∂Dn
udy −ixudx
=
∫∫Dn
⎜⎜⎝⎜⎛
∂u ∂x
+ ix
∂u ∂y
复变函数教材中收录的代数基本定理证明方法通常是刘维尔定理和幅角原 理，前者应该是已知的最简单证明了，不过这两个定理本身用到了较深的定理。 复变函数中的柯西定理相当于微积分中的牛顿-莱布尼茨公式，算是最基本的分 析定理了。数学就是如此，理论越深，证明过程反而简单了（当然，门槛也高）。
6.3 辐角原理
3. 定理 1
设C是一内部是亚纯的,
(2) f ( z )在C上解析且不为零, ( z ) 1 f 则有 dz N ( f , C ) P( f , C ). 2 i C f ( z ) f ( z )在C 内 f ( z )在C 内
例3 设n次多项式
n
P ( z ) a0 z a1 z
n 1
在虚轴上无零点, 试证它的零点全在左半平面 Re Z 0 内的充要条件是
y ( )
an
(a0 0)
arg P(iy ) n .
即当点z自下而上沿虚轴从点 走向点 的过程中, P( z ) n 绕原点转 圈. 2
从而f ( z )及f ( z ) ( z )满足幅角原理及其注的条件,
1 C arg( f ( z ) ( z )) N ( f , C ), 2 1 C arg f ( z ) N ( f , C ); 2 而 ( z) ), C arg( f ( z ) ( z )) C arg f ( z ) C arg(1 f (z)
令f ( z ) 5 z 4 , ( z ) z 7 z 2 z,
则f ( z )及 ( z )在 z平面解析,
且在 z 1上
( z ) z z z 4 f ( z ) 5 z 5,
7 2 4
N ( P, C ) N ( f , C ) 4.
在定理1的条件下, f ( z )在周线C内部的零点 个数与极点个数之差, 等于当z沿C正向绕行一周 后, arg f ( z )的改变量 C arg f ( z )除以2 ,即 1 N ( f , C ) P( f , C ) C arg f ( z ). 2
离散数学6.3
第六章教学课题：第三节 辐角原理及其应用教学目的：1、掌握作为残数定理直接应用的零点与极点个数定理2、理解辐角原理及其应用；3、充分掌握Rouche 定理及其应用；教学重点：残数定理直接应用的零点与极点个数定理教学难点：Rouche 定理及其应用教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：零点与极点个数定理、辐角原理及其应用、Rouche 定理及其应用都是复变函数论中的一些重要的理论，它对于考察函数的零点和极点的分布时非常方便。
教学过程：1、对数残数 残数理论的重要应用之一就是计算积分⎰'C dz z f z f i )()(21π他称为f(z)的对数残数，显然，函数f(z)的零点和奇点都可能是)()(z f z f '的奇点。
引理6.4（1）设a 是f(z)的n 级零点，则a 必为函数)()(z f z f '的一级极点，并且 n z f z f s az ='=)()(Re （2）设b 为f(z)的m 级极点。
则b 必为函数)()(z f z f '的一级极点，并且 m z f z f s bz -='=)()(Re 定理6.9设C 是一条围线，f(z)合条件（1）f(z)在C 的内部除可能有极点外是解析的；（2）f(z)在C 上解析且不为零。
则有C z f C f P C f N C f P C f N dz z f z f i C 在分别表示与式中)(),(),(),,(),()()(21-='⎰π内部对零点与极点的个数。
证明；由第五章习题（二）14，可知f(z)在C 内部至多有有限个零点和极点，设)2,1(,p k a k =为f(z) 在C 内部的不同零点，其级相应地位为k n ；)2,1(q j b j =为f(z) 在C 内部的不同极点，其级相应地位为j m 则根据引理6.4知)()(z f z f '在C 内部及C 上除去在C 内部有一级极点)2,1(,p k a k =及)2,1(q j b j =外均是解析的，故有残数定理及引理6.4得),(),(])()([Re ])()([Re )()(211111C f P C f N m n z f z f s z f z f s dz z f z f i p k q j j k p k q j b a z C j k -=-+='+'='∑∑∑∑⎰=====π2.辐角原理：对数残数有一个实际意义，我们将它写成⎰'C dz z f z f i )()(21π=⎰C dz z f dz d i )]([ln 21π=⎰C z f d i )(ln 21π =⎰⎰+C Cz f d i z f d i )](arg )(ln [21π 函数)(ln z f 是z 的单值函数，当0z z 从起绕行围线C 一周回到0z 时有 )(ln )(ln )(ln 00z f z f z f d C -=⎰=0，另一方面，当0z z 从起眼正方向绕行围线C 一周回到0z 时，)(arg z f 的值可能改变。
复变函数的应用
复变函数的应用数学与应用数学班数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。
经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。
我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。
可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。
这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。
成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。
我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。
模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。
于是当我们要的信息得以传递。
所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。
一、复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况,它的一般形式是：bia ，其中i是虚数单位。
多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。
三角函数的幅角与辐角的应用
三角函数的幅角与辐角的应用在数学中，三角函数是一类重要的函数，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等众多领域。
幅角和辐角是三角函数中一个重要的概念，对于理解和应用三角函数都起到关键作用。
一、幅角的概念与应用在三角函数中，幅角是指正弦、余弦、正切等函数对应值在单位圆上的位置。
它是以从正半轴到终边的角度测量方式来表示的。
幅角的范围通常取(-π, π]或[0, 2π)。
幅角在物理学中有广泛的应用。
例如，在机械振动的分析中，角频率和幅角是重要的参数。
幅角可以表示振动的相位差，可以帮助我们理解两个振动的关系。
此外，在电路中，幅角可以用来描述交流电信号的相位关系，对于设计和分析电路都是至关重要的。
二、辐角的概念与应用与幅角相对应的，辐角是指三角函数对应值的弧度测量方式。
它是以从正半轴到终边的弧长所对应的角度来表示的。
辐角的范围通常取[-π, π]或[0, 2π]。
辐角在数学和物理中都是非常重要的。
在几何学中，辐角的概念是描述角的大小的一种方式。
在解析几何中，辐角可以用来描绘曲线和参数方程。
在物理学中，辐角是分析周期性现象的必要工具。
例如，在交流电路中，电压和电流可以用正弦函数来表示，辐角可以用来描述它们之间的相位差。
在波动学中，辐角可以用来描述波的传播方向和波的相位。
三、三角函数幅角与辐角的关系幅角和辐角在三角函数中是密切相关的。
它们之间的关系可以通过幅角与辐角的转换来实现。
对于常见的三角函数，幅角和辐角的转换关系如下：1. 正弦函数：幅角θ = arcsin(sinθ) + 2πk (k为整数)2. 余弦函数：幅角θ = arccos(cosθ) + 2πk (k为整数)3. 正切函数：幅角θ = arctan(tanθ) + πk (k为整数)通过这些转换关系，我们可以在不同的坐标系统中使用幅角或辐角，以满足特定问题的需求。
四、幅角与辐角的计算方法在实际应用中，计算幅角和辐角是常见的需求之一。
对于已知三角函数值的情况，如何求解对应的幅角和辐角呢？对于正弦函数和余弦函数，可以使用反三角函数（arcsin和arccos）来计算幅角和辐角。
复变函数6.3 辐角原理及其应用
的一级极点,且
f '( z ) Re s m z b f (z)
证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有
f ( z ) ( z a ) g ( z ),
n
其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是
f '( z ) n( z a ) n 1 g ( z ) ( z a ) n g '( z ),
(z) c arg 1 0. f (z)
推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0） 满足条件：|at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an| 则p(z)在单位圆|z|<1内有n-t个零点 证：令f(z)= atzn-t, (z)=a0zn+…+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +…+an 则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位 圆周 |z|=1上有： |f(z)|= |at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|(z)| 由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多 的零点，即为n-t个
C
2 i
1
f ( z ) f (z)
C
dz
i 2 i
C arg f ( z )
C arg f ( z ) 2
例6.21 设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证 辐角原理
复变函数的应用
复变函数的应用复变函数的应用数学与应用数学班数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。
经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。
我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。
可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。
这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。
成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。
我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。
模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。
于是当我们要的信息得以传递。
所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。
一、复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况,它的一般形式是：bia ，其中i是虚数单位。
多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。
辐角原理及其应用
辐角原理及其应用
欧阳资考
【期刊名称】《中国西部科技》
【年(卷),期】2011(10)27
【摘要】利用留数定理证明了辐角原理,并适当改变辐角原理的条件得到一个重要推论——儒歇定理,结合一些典型例题分析、讨论了辐角原理及推广后的辐角原理的具体应用.
【总页数】2页(P35-36)
【作者】欧阳资考
【作者单位】内江师范学院数学与信息科学学院,四川内江641112
【正文语种】中文
【相关文献】
1.辐角原理在微分方程中的应用
2.含点∞的区域内的辐角原理
3.双解析函数的辐角原理
4.辐角原理应用浅析
5.辐角原理应用浅析
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辐角原理的应用的研究现状
辐角原理的应用的研究现状1. 研究背景辐角原理是一种数学理论，它在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
它的原理是通过计算信号或图像中像素点之间的辐角差值，从而实现对信号或图像的分析与处理。
目前，辐角原理在各个领域都有着重要的研究和应用。
2. 辐角原理在信号处理中的应用在信号处理中，辐角原理被广泛应用于相位估计、频率估计、频谱分析等方面。
通过计算信号之间的辐角差值，可以准确地估计信号的相位和频率，从而实现对信号的精确处理和分析。
辐角原理在通信系统中起到了重要的作用。
通过辐角原理对接收到的信号进行相位估计，可以准确地还原原始信号，从而提高系统的抗干扰性能和传输质量。
3. 辐角原理在图像处理中的应用在图像处理中，辐角原理可以被用于图像增强、图像修复、图像匹配等方面。
辐角原理可以通过计算像素之间的辐角差值，来修复受损的图像。
通过分析图像中像素之间的辐角关系，可以对图像进行修复、去噪等操作，从而得到更清晰、更完整的图像。
辐角原理还可以用于图像匹配。
通过计算不同图像之间像素点的辐角差值，可以实现对图像的匹配和比较，从而实现图像识别和图像检索等功能。
4. 辐角原理在音频处理中的应用在音频处理中，辐角原理可以被用于音频信号的相位估计、频率估计等方面。
辐角原理可以通过计算音频信号中的辐角差值，来准确地估计音频信号的相位和频率。
这对于音频信号的合成、分析和处理都非常重要。
5. 研究现状目前，辐角原理在各个领域都已经取得了一些研究成果。
在信号处理领域，研究者们提出了一些新的辐角原理算法，用于相位估计和频率估计。
这些算法在提高信号处理的精确度和效率方面取得了一定的突破。
在图像处理领域，辐角原理被应用于图像增强和图像修复中。
研究者们通过分析像素之间的辐角关系，提出了一些新的图像增强和修复方法，使得图像处理的效果更好。
在音频处理领域，研究者们通过辐角原理来提高音频信号的相位估计和频率估计的准确度。
他们提出了一些新的算法，通过计算辐角差值来实现音频信号的精确合成和分析。
复变函数的应用
复变函数的应用复变函数得应用数学与应用数学班数学就是一门很抽象得学科,而复变函数更就是如此,如果直接想象很难与实际联系起来。
经过两年得大学学习就目前学习得知识而言,感觉与复变函数联系比较紧密得就是有两方面,一就是电流方面;二就是在信号方面。
我们日常中得电流都就是交流三相得,而相位如果通过三角函数计算得话较为复杂与抽象,很多工程问题无法解决,引入虚数则较大简化了计算得过程,就是很多工程问题迎刃而解。
可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系,但电感本身并不就是虚得。
这就是人为得定义,但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在得某些物理特征。
成功而且巧妙得解决了电流得相位问题。
我们打电话,发短信就是通过电磁波传递信号,在信号方面也极大得应用了复变函数。
信号分析与其她领域使用复数可以方便得表示周期信号。
模值|z|表示信号得幅度,辐角arg(z)表示给定频率得正弦波得相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数得与。
这些周期函数通常用形式如下得复函数得实部表示:其中ω对应角频率,复数z 包含了幅度与相位得信息。
于就是当我们要得信息得以传递。
所以,不管就是我们使用家用电器,用手机问候远方得朋友,还就是使用卫星电视观瞧电视剧,我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在得朋友——复变函数。
一、复变函数得简介复数得概念起源于求方程得根,在二次、三次代数方程得求根中就出现了负数开平方得情况,它得一般形式就是:,其中就是虚数单位。
多复分析就是数学中研究多个复变量得全纯函数得性质与结构得分支学科,它与单复变函数有着很强得渊源,但其特有得困难与复杂性,导致在研究得重点与方法上,都与单复变函数论有明显得区别、因为多复变全纯函数得性质在很大程度上由定义区域得几何与拓扑性质所制约,因此,其研究得重点经历了一个由局部性质到整体性质得逐步得转移、它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中得概念与方法,不断地开辟前进得道路,更新与拓展研究得内容与领域。
复数辐角转换
复数辐角转换
复数辐角转换是一种重要的数学工具，它可以用来将复数表示为辐角形式，该形式通常被称为“极坐标形式”。
本文将介绍复数辐角转换的概念、公式和应用，以及它在不同科学和数学领域中的重要性。
首先，复数辐角转换是一种复数到极坐标的转换，它用来将一个复数转换成“极坐标形式”。
用符号表示，可以用以下的方程式来表示：
z = x + iy，其中，x和y分别表示复数的实部和虚部，i表示虚数单位，z表示复数的极坐标形式，即：
z = reiθ，其中，r表示模的长度，e表示自然常数，i表示虚数单位，θ表示复幅角的弧度值。
通过上面的公式，可以了解复数辐角转换的原理，即将一个复数转换成“极坐标形式”，其空间上是一个“极轴”。
而极轴上的点与复数之间的关系可以由另一个函数表示：
z = reiθ = a + ib = x + iy，其中，r是模长度，θ是复幅角，a和b分别表示实部和虚部，x和y也分别表示实部和虚部。
复数辐角转换在几何图形学、积分学、微积分、物理学中具有重要的应用。
例如，在几何图形学中，复数辐角转换有助于把复平面上的点绘制到一个曲线上，这种曲线称为“复曲线”，在此曲线上可以表示复函数，以绘制复函数图象。
在积分学中，复数辐角转换有助于理解复数函数的积分，以及它们的导数和积分的关系。
在微积分中，复数辐角转换有助于分析复数函数的极限和变换，以及曲线的形状和
特性。
在物理学中，复数辐角转换有助于研究电磁波的分布，以及它们的传播和折射。
综上所述，复数辐角转换是一种重要的数学工具，它可以帮助我们将复数表达式转换成辐角形式，它在几何图形学、积分学、微积分、物理学等领域有着广泛的应用。
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∆Cargf(z)表示z 沿C之正向绕行 一周时argf(z)的 c arg f ( z ) N ( f ,C ) . (6.28) 改变量
y w=f(z) O x
v u
O
1 f ( z ) 1 d dz ln f ( z ) dz C C 2 i f (z) 2 i dz 1 d ln f ( z ) C 2 i 1 [ d|ln f ( z ) | i darg f ( z )] C C 2 i
C
d ln | f ( z ) | ln | f ( z0 ) | ln | f ( z0 ) | 0
darg f ( z ) 1 0 C arg f ( z )
C
C arg f ( z ) 1 f ( z ) i dz C arg f ( z ) C 2 i f (z) 2 i 2
nk (m j ) N ( f , C ) P ( f , C )
k 1 j 1
p
q
例 计算积分
z9 I dz |z| 4 z10 1
1 z9 1 ( z10 1) 2 i (10 0) 2 i I dz dz 10 10 | z| 4 z 10 1 10 |z|4 z 1
则根据引理(6.4)知,
f ( z ) f (z)
在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p) 及bj(j=1,2,…q)均是解析的.
故由留数定理6.1,及引理6.4得
p 1 f ( z ) f ( z ) q f ( z ) dz Re s Re s C z ak 2 i f (z) f ( z ) j 1 z b j f ( z ) k 1
推论2: n次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）
证 明 思 路
1.首先证明存在R>0，
无 方程在圆|z|<R内恰有n个根 ， 根
2.其次证明，对z0 |z0|=R0≥R， 均有|p(z0)|>0 1.令， f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ …+an=0 证 则当|z|=R时， |(z)|≤| a1zn-1|+ …+|an| 明 = | a1|Rn-1+ …+|an-1|R+|an| 取R>1 ≤( | a1|+ …+|an-1|+|an|) Rn-1 <|a0|Rn=|f(z)|
(z) c arg[ f ( z ) ( z )] c arg f ( z ) c arg 1 f ( z )
(z) f ( z ) ( z ) f ( z ) 1 f (z)
(6.31)
根据条件(2), 当z沿C变动时
定理6.9 设C是一条围线,f(z)合条件: (1)f(z)在C内部除可能有极 即：f(z)在C内是亚纯的 点外是解析的; (2)可改为f(z)在C (2)f(z)在C上解析且不为零 上连续且不为零
证 由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只 有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内 部的不同零点,其阶数相应地为nk; bj (j=1,2,…,q)为 f(z)在C内的不同极点,其阶数相应地为mj,
y ( )
arg P ( iy ) n
Ri
CR x
P(z)的全部零点在左半平面内
N ( P,CR )
R
O
R
CR arg( P ( z )) 2
0( R )
Ri
R
0 limCR arg( P( z )) limR arg( P( z )) lim y ( R R ) arg( P(iy))
R R
limR arg( P( z )) limR arg a0 z n (1 g( z ))
R R
limR arg a0 z n limR arg(1 g( z )) n
R R
lim y ( R R ) arg( P(iy)) n
•6.3 辐角原理及即应用
6.3.1 对数留数 6.3.2 辐角原理 6.3.3 儒歇定理
6.3.1 对数留数
定义：形如
1 f ( z ) 1 dz d ln( f ( z )) C 2 i f (z) 2 i C
对数留数因 此而得名
积分称为f(z)的对数留数
主要作用：推出辅角原理
(z) c arg 1 0. f (z)
推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0） 满足条件：|at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an| 则p(z)在单位圆|z|<1内有n-t个零点 证：令f(z)= atzn-t, (z)=a0zn+…+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +…+an 则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位 圆周 |z|=1上有： |f(z)|= |at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|(z)| 由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多 的零点，即为n-t个
h( z ) f (z) ( z b )m
h(z)在点b的邻域内 解析,且h(b)≠0.
h( z )( z b) mh( z ) f ( z ) ( z b)m1
f ( z ) m h '( z ) . f ( z ) z a h( z ) h'( z ) h( z ) 在点b解析
有n个根 R
限定| a1|+ …+|an|≤|a0|R
Hale Waihona Puke 所以只要取 | a1 | | an | R max ,1 | a0 |
有:当|z|=R时,| f(z)|>|(z)|, f(z),(z)在|z|≤R上解析
N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n
f ( z ) f (z)
f '( z ) Re s n z a f (z)
的一级极点,且
f '( z ) Re s m z b f (z)
证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有 n f ( z ) ( z a ) g( z ), 其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是 f '( z ) n( z a )n1 g( z ) ( z a )n g '( z ),
N ( f , C ) N ( f , C ).
证 由假设f(z)与 f(z)+(z)在C内部解析, 且连续到C,在C上有| f(z)|>0,及
| f ( z) ( z) || f ( z) ( z) | 0.
这样一来,这两个函数f(z)与 f(z)+(z)都满足定 理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是 由(6.28),下面只须证明 (6.30) c arg[ f ( z) ( z)] c arg f ( z). 由关系式
定理如函数f(z)在D内单叶解析 6.11 则在D内f (z)≠0. 证: (反证法) 若有D的点z0使 f (z0)≠0,则z0必 为f(z)- f(z0)的一个n级零点(n≥2).由零点的孤立性, 故存在>0 ,使在圆周 C: |z-z0|=上: f(z)- f(z0)≠0, 在C的内部, f(z)- f(z0)及f /(z)无异于z0的零点. 命m表|f(z)- f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定 理即知,当0<|-a|<m时, f(z)- f(z0)-a在圆周C的内部 亦恰有n个零点.但这些零点无一为多重点,理由是 f /(z)在C内部除z0外无其他零点,而z0显然非 f(z)- f(z0)-a的零点.
即：N(p(z),C)=n
2.z0: |z0|=R0≥R，需证:|p(z0)|>0 |(z0)| | a1z0n-1|+ …+|an| = | a1|R0n-1+ …+|an-1|R0+|an|
( | a1|+ …+|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+(z0)| |f(z0)|-|(z0)|>0 p(z0)=a0z0n+ a1z0n-1+ …+an 0
f '( z ) f (z)
g '( z ) g '( z ) n g ( z ) 在点a的邻域内解析, z a g( z ) f '( z ) f '( z ) s c1 n a必为 f ( z ) 的一级极点,且 Re z a f (z)
.
(2)如b为f(z)m级极点 在点b的去心邻域内有
R
y ( ) arg( P (iy )) n
6.3.3 儒歇(Rouche)定理
定理6.10 (儒歇(Rouche)定理) 设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件: (1)它们在C的内部均解析,且连续到C; (2)在C上, |f(z)|>|(z)| f(z)与 f(z)+(z) 在C内部有同样多的零点,即